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五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一 利用定义，回归本质例1 (1)已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF ＝4，则PA ＋PO 的最小值是__________． 答案 213解析 如图，可求A ()－2，4，再求A ()－2，4关于抛物线的准线x ＝2的对称点A ′()6，4，因此PA ＋PO ＝PA ′＋PO ，当O ，P ，A ′三点共线时PA ＋PO 取到最小值．即()PA ＋PO min ＝A ′O ＝62＋42＝213.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．答案62解析 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧AF 1＋AF 2＝4，AF 2－AF 1＝2a ，AF 21＋AF 22＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 跟踪演练1 (1)已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1,3)，B (3,0)，P 为椭圆上一点，则PA ＋PB 的最大值为______．答案 15解析 由椭圆方程可知点B 为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B ′，由椭圆的定义可知PB ＝2a －PB ′＝10－PB ′， 则PA ＋PB ＝10＋()PA －PB ′， 很明显，()PA －PB ′max ＝AB ′ ＝()－3－12＋()0－32＝5，据此可得PA ＋PB 的最大值为10＋5＝15.(2)抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则PF PA的最小值为______． 答案22解析 设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义， 知PF ＝x P ＋m ，又PA 2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫PF PA2＝(x p ＋m )2(x p ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)， 所以PF PA ≥22，所以PF PA 的最小值为22. 技巧二 设而不求，整体代换例2 (1)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是___________________________． 答案 6x －5y －28＝0解析 由4x 2＋5y 2＝80得x 220＋y 216＝1，∴椭圆上顶点为B (0,4)，右焦点F (2,0)为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C (3，－2)． 直线l 的斜率存在，设为k ， ∵点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋5y 21＝80，4x 22＋5y 22＝80，∴4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋5(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45·6－4＝65. ∴直线l 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34解析 由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称， 设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)， 则x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1， 即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)，两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34×x 0－x 1y 0－y 1＝－34×1kPA 1. 因为直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1， 所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34跟踪演练2 (2018·全国大联考江苏卷)已知椭圆M: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过其左焦点F (－c,0)的直线交椭圆M 于A ，B 两点，若弦AB 的中点为D (－4,2)，则椭圆M 的方程是________． 答案x 272＋y 236＝1 解析 设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式得x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝4.将A ，B 的坐标分别代入M 的方程中得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减，化简得y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a 2，又因为A ，B ，D ，F 四点共线，所以2－0c －4＝y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，所以a 2＝b 2(c －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2(c －4)，c 2a 2＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝72，b 2＝36，c ＝6，所以椭圆M 的方程为x 272＋y 236＝1.技巧三 根与系数的关系，化繁为简例3 已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形．(1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →＝611OF 2→，求直线l 的方程．解 (1)因为椭圆C 的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b ＝c ， 因为S ＝a 2＝2，所以a ＝2，b ＝c ＝1，故椭圆Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝kx ＋m ，显然k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，因为x 1,2＝－4km ±8(2k 2－m 2＋1)2(1＋2k 2) 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－1)1＋2k2，Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0，(*)y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k2，y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2， 由PF 2→·QF 2→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝0，得3m 2－1＋4km ＝0，即k ＝1－3m24m，PQ 的中点为点C ⎝⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －m2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2km 2k 2＋1，令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－km 2k 2＋1，0， 由OA →＝611OF 2→，得－km 2k 2＋1＝611，将k ＝1－3m 24m 代入上式，得3m 4－m 29m 4＋2m 2＋1＝311， 即6m 4－17m 2－3＝0，解得m 2＝3，所以m ＝3，k ＝－233或m ＝－3，k ＝233，经检验满足(*)式，所以直线PQ 的方程为 2x ＋3y －3＝0或2x －3y －3＝0.跟踪演练3 (2018·连云港期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与抛物线交于A, B 两点，若FA →＝2BF →，则直线AB 的斜率为________． 答案 ±2 2解析 当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意． ∵抛物线C 的焦点F (1,0)， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝2(2＋k 2)±4(2＋k 2)2－4k42k 2， 则x 1＋x 2＝2()2＋k 2k2，x 1·x 2＝1， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k，①∵FA →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴FA →＝2BF →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2，②①②联立可得，x 2＝k 2－4k 2，y 2＝－4k，代入抛物线方程y 2＝4x 可得k 2＝8， 故 k ＝±2 2.技巧四 平几助力，事半功倍例4 (1)已知直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交抛物线x 2＝4y 于E ，F 两点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为27，则k ＝________. 答案 ±1解析 直线y ＝kx ＋1()k ≠0恒过定点()0，1， 则EF ＝y E ＋y F ＋p ， 圆心到x 轴的距离为d ＝y E ＋y F2，圆的半径为r ＝EF2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去x 得，y 2－2()1＋2k 2y ＋1＝0，则y E ＋y F ＝2()1＋2k 2， 所以根据垂径定理有⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＝⎝⎛⎭⎪⎫y E ＋y F 22＋()72，代入计算得k ＝±1.(2)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点Q 在圆C ：()x ＋32＋()y －32＝1上，点R 是点P在y 轴上的射影，则PQ ＋PR 的最小值是________． 答案 3解析 根据抛物线的定义，可知PR ＝PF －1，而PQ 的最小值是PC －1， 所以PQ ＋PR 的最小值就是PF ＋PC －2的最小值，当C ，P ，F 三点共线时，PF ＋FC 最小，最小值是CF ＝(－3－1)2＋(3－0)2＝5 ， 所以PQ ＋PR 的最小值是3.跟踪演练4 已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为___________． 答案 32解析 双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为点(4,0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＝4，即p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4,0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则AM ＝AF ，所以AK ＝2AM ，所以∠MAK ＝45°，所以AM ＝MK ＝AF ，从而易知四边形AMKF 为正方形，所以KF ＝AF ，所以△AFK 的面积为12KF 2＝32.技巧五 巧设参数，方便计算例5 (2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上位于第一象限的点，O 为坐标原点，A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为________． 答案2解析 S 四边形OAMB ＝S △OAB ＋S △AMB ＝12()2＋AB ·d ＝12(2＋5d )，其中d 为点M 到直线AB 的距离，当M 到直线AB 距离最远时S四边形OAMB取得最大值，设M (2cos θ，sin θ)，直线AB ：x ＋2y－2＝0，所以d ＝||2cos θ＋2sin θ－25＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－25≤22－25，故S四边形OAMB的最大值为 2.跟踪演练5 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若AF ＝3，则△AOB 的面积为________． 答案322解析 设∠AFx ＝θ(0＜θ＜π)及BF ＝m ， ∵AF ＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，∴cos θ＝13，∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∵cos θ＝13，0＜θ＜π，∴sin θ＝223，∴△AOB 的面积为S ＝ 12×OF ×AB ×sin θ＝ 12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322.。
五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一 利用定义，回归本质例1 (1)已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF ＝4，则PA ＋PO 的最小值是__________． 答案 213解析 如图，可求A ()－2，4，再求A ()－2，4关于抛物线的准线x ＝2的对称点A ′()6，4，因此PA ＋PO ＝PA ′＋PO ，当O ，P ，A ′三点共线时PA ＋PO 取到最小值．即()PA ＋PO min ＝A ′O ＝62＋42＝213.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．答案62解析 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧AF 1＋AF 2＝4，AF 2－AF 1＝2a ，AF 21＋AF 22＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 跟踪演练1 (1)已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1,3)，B (3,0)，P 为椭圆上一点，则PA ＋PB 的最大值为______．答案 15解析 由椭圆方程可知点B 为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B ′，由椭圆的定义可知PB ＝2a －PB ′＝10－PB ′， 则PA ＋PB ＝10＋()PA －PB ′， 很明显，()PA －PB ′max ＝AB ′ ＝()－3－12＋()0－32＝5，据此可得PA ＋PB 的最大值为10＋5＝15.(2)抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则PF PA的最小值为______． 答案22解析 设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义， 知PF ＝x P ＋m ，又PA 2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫PF PA2＝(x p ＋m )2(x p ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)， 所以PFPA ≥22，所以PF PA 的最小值为22. 技巧二 设而不求，整体代换例2 (1)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是___________________________． 答案 6x －5y －28＝0解析 由4x 2＋5y 2＝80得x 220＋y 216＝1，∴椭圆上顶点为B (0,4)，右焦点F (2,0)为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C (3，－2)． 直线l 的斜率存在，设为k ， ∵点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋5y 21＝80，4x 22＋5y 22＝80，∴4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋5(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45·6－4＝65. ∴直线l 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34解析 由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称， 设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)， 则x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1， 即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)，两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34×x 0－x 1y 0－y 1＝－34×1kPA 1. 因为直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1， 所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34跟踪演练2 (2018·全国大联考江苏卷)已知椭圆M: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过其左焦点F (－c,0)的直线交椭圆M 于A ，B 两点，若弦AB 的中点为D (－4,2)，则椭圆M 的方程是________． 答案x 272＋y 236＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式得x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝4.将A ，B 的坐标分别代入M 的方程中得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减，化简得y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a 2，又因为A ，B ，D ，F 四点共线，所以2－0c －4＝y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，所以a 2＝b 2(c －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2(c －4)，c 2a 2＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝72，b 2＝36，c ＝6，所以椭圆M 的方程为x 272＋y 236＝1.技巧三 根与系数的关系，化繁为简例3 已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形．(1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →＝611OF 2→，求直线l 的方程．解 (1)因为椭圆C 的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b ＝c ， 因为S ＝a 2＝2，所以a ＝2，b ＝c ＝1， 故椭圆Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝kx ＋m ，显然k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，因为x 1,2＝－4km ±8(2k 2－m 2＋1)2(1＋2k 2) 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2，Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0，(*)y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k2，y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2， 由PF 2→·QF 2→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝0，得3m 2－1＋4km ＝0，即k ＝1－3m24m，PQ 的中点为点C ⎝⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －m2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2km 2k 2＋1，令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－km 2k 2＋1，0， 由OA →＝611OF 2→，得－km 2k 2＋1＝611，将k ＝1－3m 24m 代入上式，得3m 4－m 29m 4＋2m 2＋1＝311， 即6m 4－17m 2－3＝0，解得m 2＝3，所以m ＝3，k ＝－233或m ＝－3，k ＝233，经检验满足(*)式，所以直线PQ 的方程为 2x ＋3y －3＝0或2x －3y －3＝0.跟踪演练3 (2018·连云港期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与抛物线交于A, B 两点，若FA →＝2BF →，则直线AB 的斜率为________． 答案 ±2 2解析 当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意． ∵抛物线C 的焦点F (1,0)， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 联立⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝2(2＋k 2)±4(2＋k 2)2－4k42k 2， 则x 1＋x 2＝2()2＋k 2k2，x 1·x 2＝1， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k，①∵FA →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴FA →＝2BF →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2，②①②联立可得，x 2＝k 2－4k 2，y 2＝－4k，代入抛物线方程y 2＝4x 可得k 2＝8， 故 k ＝±2 2.技巧四 平几助力，事半功倍例4 (1)已知直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交抛物线x 2＝4y 于E ，F 两点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为27，则k ＝________. 答案 ±1解析 直线y ＝kx ＋1()k ≠0恒过定点()0，1， 则EF ＝y E ＋y F ＋p ， 圆心到x 轴的距离为d ＝y E ＋y F2，圆的半径为r ＝EF2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去x 得，y 2－2()1＋2k 2y ＋1＝0，则y E ＋y F ＝2()1＋2k 2， 所以根据垂径定理有⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＝⎝⎛⎭⎪⎫y E ＋y F 22＋()72，代入计算得k ＝±1.(2)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点Q 在圆C ：()x ＋32＋()y －32＝1上，点R 是点P在y 轴上的射影，则PQ ＋PR 的最小值是________． 答案 3解析 根据抛物线的定义，可知PR ＝PF －1，而PQ 的最小值是PC －1， 所以PQ ＋PR 的最小值就是PF ＋PC －2的最小值，当C ，P ，F 三点共线时，PF ＋FC 最小，最小值是CF ＝(－3－1)2＋(3－0)2＝5 ， 所以PQ ＋PR 的最小值是3.跟踪演练4 已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为___________． 答案 32解析 双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为点(4,0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＝4，即p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4,0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则AM ＝AF ，所以AK ＝2AM ，所以∠MAK ＝45°，所以AM ＝MK ＝AF ，从而易知四边形AMKF 为正方形，所以KF ＝AF ，所以△AFK 的面积为12KF 2＝32.技巧五 巧设参数，方便计算例5 (2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上位于第一象限的点，O 为坐标原点，A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为________． 答案2解析 S 四边形OAMB ＝S △OAB ＋S △AMB ＝12()2＋AB ·d ＝12(2＋5d )，其中d 为点M 到直线AB 的距离，当M 到直线AB 距离最远时S四边形OAMB取得最大值，设M (2cos θ，sin θ)，直线AB ：x ＋2y－2＝0，所以d ＝||2cos θ＋2sin θ－25＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－25≤22－25，故S四边形OAMB的最大值为 2.跟踪演练5 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若AF ＝3，则△AOB 的面积为________． 答案322解析 设∠AFx ＝θ(0＜θ＜π)及BF ＝m ， ∵AF ＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，∴cos θ＝13，∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∵cos θ＝13，0＜θ＜π，∴sin θ＝223，∴△AOB 的面积为S ＝ 12×OF ×AB ×si n θ＝ 12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322.。
