2020年安徽省马鞍山市高考数学第三次质量监测试卷(文科)(解析版)

2020年安徽省马鞍山市高考数学第三次质量监测试卷（理科）（三模）一、选择题（共12小题）.1．已知A＝{x|2x≤4}，B＝N，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．{1，2}D．{0，1，2}2．已知复数z满足z（3﹣4i）＝（1+i）2（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．3．下列函数是奇函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝x+sin x C．y＝D．y＝4．已知a∈R，“ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣1≤a＜0D．﹣1≤a≤0 5．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为x±3y＝0，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}中，a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2020项，则（1）（2）处可分别填入的是（）A．T＝S﹣T，n≥2019？B．T＝S﹣T，n≥2020？C．T＝S，n≥2019？D．T＝S，n≥2020？7．将函数y＝|sin2x+|图象上的所有点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在[0，2π]上零点的个数为（）A．4B．5C．6D．78．某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积之比为（）A．B．C．D．9．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高ξ（单位：cm）服从正态分布N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）＝0.4，那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为3000；③随机变量X服从二项分布B（100，0.4），若随机变量Y＝2X+1，则Y的数学期望为E（Y）＝81，方差为D（Y）＝48；④分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值为k，当k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，D在BC的延长线上，CD＝2BC，AD＝6，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．11．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，若点B在椭圆上，则b2等于（）A．B．2C．3D．412．已知f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣a•f（x）﹣1＝0有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．{0，}B．（0，）C．[0，]D．（0，]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin（α+）＝（0＜α＜），则tan2α＝．14．（x+1）5（x﹣1）4的展开式中x3的系数为．（用数字作答）15．已知△ABC的重心为O，∠AOB＝，AB＝2，则＝．16．已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1所有棱的棱长均为1，BE1∩面A1CE＝P，则＝，△PCE的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～-23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a•2n+b，数列{log2a n}的前n项和为T n，T2＝3．（1）求a和b；（2）若++…+＜M对于一切n∈N*恒成立，求整数M的最小值．18．已知动圆M过点（2，0），被y轴截得的弦长为4．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若△ABC的顶点在M的轨迹上，且A，C关于x轴对称，直线BC经过点F（1，0）．求证：直线AB恒过定点．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥BC，点A1，B1，C1分别在侧棱PA，PB，PC上，且PA＝3PA1，PB＝2PB1，PC＝PC1，AB＝BC＝6．（1）设直线B1C1与BC交于点A2，直线A1C1与AC交于点B2，直线A1B1与AB交于点C2，求证：A2，B2，C2三点共线；（2）若平面A1B1C1与平面ABC所成的锐二面角大小为45°，求PA的长．20．新冠疫情期间，互联网线上教学解决了各类学校无法开学上课的难题，这得益于互联网产业的蓬勃发展，越来越多的互联网产品给人们的生活、学习等多方面都带来了很多的便利．某科技公司主营教学软件、学习软件、社交聊天软件等互联网产品，旗下的一款教学软件自2019年投放市场以来受到了全国用户的欢迎，成为该公司的明星产品，现统计了该公司连续10个月中的月总收入与这款教学软件的销售额的有关数据：总收入（x万元）42414346474849535556销售额（y万元）253034373941424448Y10参考数据＝480，x﹣10＝254，x i y i＝16275，y i＝340参考公式在线性回归方程：＝x+，＝，＝﹣（1）现有甲、乙、丙3所学校选择了该公司的这一款教学软件在学校推广使用，公司决定派4名技术员（3男1女）驻校指导，每校至少一人，则女技术员被派到甲校的概率是多少？（2）由表中10个月的数据得出该公司月总收入与这款教学软件的月销售额之间的线性回归方程为＝x+．①求y10；②当该公司的月收入达到60万元时，估计这款软件的销售额是多少？（精确到0.1）21．已知f（x）＝e x﹣x2﹣1，g（x）＝cos2x+2x2﹣1．（1）证明：x≥0时，f（x）≥0；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）证明：x≥0时，xe x+sin2x≥2sin x+sin2x．（二）选考题：共10分．请考生在第22-23题中任选一-题作簀.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝a．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为1，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为非负实数，函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+b|+c．（1）若a＝2，b＝6，c＝1，求不等式f（x）＞11的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥9．参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有.一项是符合题目要求的.1．D；2．C；3．B；4．A；5．D；6．A；7．C；8．C；9．A；10．A；11．B；12．B；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．﹣；14．﹣4；15．16；16．；；一、选择题17．；18．；19．；20．；21．；（二）选考题：共10分．请考生在第22-23题中任选一-题作簀.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]22．；[选修4-5：不等式选讲]23．；。

2020年安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）试题考生注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.1.设i 为虚数单位，则复数ii -12009在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M={}02>∈xR x ，N={}0log 2>∈x R x ,则M I C R N 等于A. {}1≤∈x R xB. {}1>∈x R x C. {}10≤<∈x R xD. {}10≤≤∈x R x俯视图正视图侧视图2222223．由函数)(sin )(R x x x f ∈=的图象经过平移得到函数)(/x f y =的图象，下列说法正确的是A. 向左平移π个单位长度B.向左平移 2π个单位长度 C. 向右平移π个单位长度 D.向右平移 2π个单位长度4. 下列说法正确的是A.做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率为nm ； B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法； D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.5.在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积S S MBC 21≤∆的概率为 A. 31 B.21 C.32 D.436. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A －CDEF 外接球的表面积是A.π3B. π34C.π12D. π487． 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M ，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为A.12+ B. 3C.2D.212+ 8.若n xx )3(3+的展开式中存在常数项，则n 的值可以是A.8B.9C. 10D. 12第6题图E F DCBA直观图9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y 的结果是0.5，则在计算框 中“？”处的关系式可以是A.2x y =B. xy -=2C. xy 2= D. 21x y =10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线 给出下面条件：①a ∥α，b ⊂β； ②a ⊥α，b//β； ③a ⊥α，b ⊥β.其中是a ⊥b 的充分条件的有A.②B.③C.②③D.①②③11. 1sin )(+=x x x f ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 时，有)()(21x f x f >，则21,x x 应满足的关系一定是A.021>>x x B. 210x x << C.21x x > D. 21x x >12.过抛物线2x y =上一动点P(t,t 2) (0<t<1)作此抛物线的切线l ，抛物线2x y =与直线x=0、x=1及切线l 围成的图形的面积为S,则S 的最小值为A.121 B. 101 C. 61 D. 41第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)20,0(cos 4,3cos πθρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2交点的极坐标为 ;PABCDE F14. 已知点P y x ,(）满足条件）k k y x xy x 为常数(020⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥，若x+3y 的最大值为8，则=k ;15. 如图，四边形ABCD 中，=AB a , =AD b ,对角线AC 与BD 交于点O ， 若点O 为BD 的中点，OC AO 2=，则=BC ;16.过点)1,2(的直线l 将圆4)2(22=-+y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于 ;三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数)4(sin )4tan(12cos 2cos 4)(24x x x x x f -+--=ππ（Ⅰ）求)1217(π-f 的值; （Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求x x f x g 2sin )(21)(+=的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求二面角C-PD-A 的余弦值.第15题图19. （本小题满分12分）某通道有三道门，在前两道门前的匣子里各有3把钥匙（第三道门前没有钥匙），其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门,若不能进入就终止；若能进入，继续用这两把钥匙开第三道门，记随机变量ξ为打开的门数. （Ⅰ）求0=ξ时的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足11=a ，S n 为其前n 项和，且2)1(4+=n n a S （n ≥1）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等比数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为T n ，且b 1b 2b 3=8,又33221,,b a b a b ++成等差数列，求T n .21．(本小题满分12分)如图，已知圆C ：8)1(22=++y x ,定点A(1,0),M 为圆 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足→AM =→AP 2,→AM ·→NP =0，点N 的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线l 交曲线E 于不同的两点G 、H ， 且满足∠GOH 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.22. (本小题满分14分)设函数),,)()()(()(R c b a c x b x a x x f ∈---=（Ⅰ）若c b a ,,互不相等，且)()(//b f a f =，求证c b a ,,成等差数列;（Ⅱ）若b a ≠，过两点)0,(),0,(b a 的中点作与x 轴垂直的直线，此直线与)(x f y =的图象交于点P ，求证：函数)(x f y =在点P 处的切线过点（c,0）;（Ⅲ）若c=0, b a =,]1,0[+∈a x 时，22)(a x f <恒成立，求a 的取值范围.第21题图2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）参考答案二填空题 13.)6,32(π；14．－6 ； 15．43-； 16.2.三．解答题17．解：（Ⅰ）)4cos()4sin(2cos )4(cos )4tan(12cos )2cos 1()(222x x xx x x x x f ++=++--+=ππππx xxx x 2cos 22cos 2cos 2)22sin(2cos 222==+=π………………………………………………………………4分36cos 265cos 2617cos 2)617cos(2)1217(-=-===-=-πππππf …………………………6分 （Ⅱ）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x g …………………………………………………8分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈45,4422,0ππππx x∴28max ==）（时x g x π…………………………………………………………………………10分12min -==）（时x g x π………………………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC 中，AB ＝1AC ＝2．在Rt△ACD 中，AC ＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝AD ＝4．∴ABCD S ＝1122AB BC AC CD⋅+⋅111222=⨯⨯⨯… 2分则V＝123 ……………………………………………………………… 4分（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． …………………………5分∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ．∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． …………………………7分∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…………………………………………………………8分（Ⅲ）以A 为坐标原点，AD,AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则平面PAD 的法向量为：n =（1，0，0） 由（Ⅱ）知AF ⊥PC,AF ⊥CD ∴AF ⊥平面PCD ∴为平面PCD 的法向量. ∵P(0,0,2),C )0,1,3(∴=)1,21,23(461414323),cos(=++==,即二面角C-PD-A 的余弦值为46…………12分19．解：设第一个匣子里的三把钥匙为A ，B ，C ，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a 能打开所有门，B 只能打开第一道门，b 只能打开第二道门，C,c 不能打开任何一道门)（Ⅰ）31)0(1311===C C P ξ…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）91)1(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分91)2(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分94)3(131********31311=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ(第一次拿A,第二次随便拿，或第一次拿B ，第二次拿a) …10分35943912911310=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………12分20.（Ⅰ）依题⎪⎩⎪⎨⎧+=+=≥--21121414,2）（）（时n n n n a S a S n21221211114）（）（）（）（+=-⇒+-+=⇒--n n n n n a a a a a或111+=--n n a a 111--=--n n a a即或21=--n n a a 01=+-n n a a （舍去）,0>n a …………………………………………………3分 故{}n a 为等差数列，a 1=1，d=212-=n a n ………………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设公比为q ，则由b 1b 2b 3=8，b n >022=⇒b …………………………………………………6分 又q q25,5,2+成等差数列 02522=+-q q ………………………………………………………………………………………8分⎩⎨⎧==121b q 或⎪⎩⎪⎨⎧==4211b q …………………………………………………………………………………10分12-=n n T 或)211(8nn T -=……………………………………………………………………12分21解：（Ⅰ）依题PN 为AM 的中垂线NM NA =22||==+⇒CM NC NA …………………………………………………………2分又C （-1，0），A （1，0） 所以N 的轨迹E 为椭圆，C 、A 为其焦点…………………………………………………………4分a=2，c=1，所以1222=+y x 为所求...............................................................5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：y=k （x-1）代入椭圆方程：x 2+2y 2=2得 （1+2k 2）x 2-4k 2x+2k 2-2=0 (1)设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2），则x 1，x 2是（1）的两个根.2221222121)1(2,214k k x x k k x x +-=+=+ (7)分依题0>⋅OB OA 02121>+y y x x0)()1(2212212>++-+k x x k x x k021421)1(2)1(2222222>++-+-+k k k k k k k (9)分 解得：22-<>k k 或 (12)分22.解：（Ⅰ）'()()()()()()()f x x b x c x a x c x b x a =--+--+--若'()'()f a f c =，则()()()()a b a c c a c b --=--a c ≠Q a b b c ∴-=- 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列 (3)分（Ⅱ）依题意2()(2),28()a b a b c a b P +---2222222222()4'()a b a b a b c b a a b b a a b c a b k f +-+----+-⨯+⨯+⨯-=-== ∴切线22()()42()(2):8a b a b x a b c a b l y -+=------ 令0y =得222c a b a b x --+=-，即x c = ∴切线过点(,0)c .……………………………………………………………………………8分（Ⅲ）0,c a b ==，则2()()f x x x a =-∴2'()()2()()(3)f x x a x x a x a x a =-+-=--①0a >时： 3(0,)a x ∈时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数；3(,)a x a ∈时，'()0f x <，此时2()()f x x x a =-为减函数；(,1)x a a ∈+时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数.而34,(1)1327()aa f a a f +=+=，依题意有322422721a a a a ⎧>⎪⎨⎪>+⎩ 2721a ∴<<………………10分 ②0a <时：()x f 在(0,||1)a +时，2max 1(1)(12)()|()x a a a f f -=--= ∴22(1)(12)2a a a >-- 即3265104a a a -+->……（☆）记32651()4a a U a a -+-=，则22112512()202'()12a a U a a -+=-+>= ∴()U a 为R 上的增函数，而(0)1U =-，∴0a <时，326510()4a a U a a -+-<=恒成立，（☆）无解. 综上，2721a <<为所求.…………………………………………………………………………14分。

2020年安徽省马鞍山市高考数学第三次质量监测试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x <−2}，则A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x <−2或x >1}C. RD. {x|−2<x <1} 2. 在复平面内，复数(2−i)2对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知命题p ：∀x ∈(0,π2)，x >sinx ，则命题￢p 为( )A. ∀x ∈(0,π2)，x ≤sinx B. ∀x ∉(0,π2)，x >sinx C. ∃x 0(0,π2)，x 0≤sinx 0D. ∃x 0∈(0,π2)，x 0>sinx 0 4. 2名男同学和1名女同学随机排成一行照相，则2名男同学不相邻的概率为( )A. 16B. 13C. 23D. 565. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 8−π6 B. 8−π3 C. 4−π6 D. 4−π36. 德国著名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”现将底与腰之比或腰与底之比为√5−12的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC ，△BCD ，△ADE 都是黄金三角形，若AB =2，则DE 的大小为( )A. √5−1B. √5+12C. 2D. √5+17. 将函数f(x)=2sin(x +π6)的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度，得到函数y =g(x)的图象，则( )A. g(x)=2sin 12x B. g(x)=2sin(12x +π3) C. g(x)=2sin(2x −π6)D. g(x)=2sin(2x +5π6) 8. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13，y =23 B. x =56，y =13C. x =56，y =−13D. x =23，y =139. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为√2，直线AC 1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是( )A. 截面形状可能为四边形B. 截面形状可能为五边形C. 截面面积最大值为2√3D. 截面面积最大值为3√3210. 已知函数f(x +2)是定义域为R 的偶函数，f(x)在(2,+∞)上单调递减，则不等式f(lnx)−f(1)<0的解集是( )A. (0,1)∪(3,+∞)B. (1,3)C. (0,e)∪(e 3,+∞)D. (e,e 3)11. 已知正项等比数列{a n }中，a 2=1，a 4=14，S n 表示数列{a n a n+1}的前n 项和，则S n 的取值范围是( )A. [2,83)B. (2,83]C. (2,83)D. [2,83]12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过左焦点F(−2,0)倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则椭圆的标准方程为( )A.x 25+y 2=1B. 24+√3+2√3=1 C. x 26+y 22=1D. 24+2√3+22√3=1二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 等差数列{a n }中，公差d =3，a n =13，S n =35，则n =______． 14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线3x +4y −1=0垂直，则该双曲线的离心率为______．15. 口罩是一种重要的医疗物资，为确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，设该工厂连续6天生产的口罩数量依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6(单位：万只)，若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6的方差为1，且x 12，x 22，x 32，x 42，x 52，x 62的平均数为5，则该工厂这6天平均每天生产口罩______万只． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知函数f(x)=x −xsinx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 ；若g(x)=f(x)−x −a 在(0,π)上有唯一零点x 0，则acosx 01−cos2x 0的值为 ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，且S =√34(a 2+b 2−c 2).(1)求角C ；(2)若3a =2b ，求sin A ．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点．(1)证明：BE ⊥平面PAD ；(2)若PA =AB =2，求四棱锥P −ABCD 的侧面积．19. 某科研单位研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，发现该细菌繁殖的个数y(单位：个)随时间x(单位：天)的变化情况如表1： 1x 1 2 3 4 5 6 y510265096195令w =lny ，与对应关系如表： 2y 510265096195w1.612.303.263.914.565.27(1)根据散点图判断，y =bx +a 与y =ce dx ，哪一个更适合作为细菌的繁殖数量y 关于时间x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)；(3)若要使细菌的繁殖数量不超过4030个，请根据(2)的结果预测细菌繁殖的天数不超过多少天？ 参考公式：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑(n i=1u i −u −)(v i −v −)∑(n i=1u 1−u −)2，α=v −−βu −．参考数据：x −=3.50，y −=63.67，w −=3.49，∑(6i=1x i −x −)2=17.50，∑(6i=1w i −w −)2=9.49，∑(6i=1w i −w −)(x i −x −)=12.87，∑(6i=1x i −x −)(y i −y −)=519.01，ln4030≈8.30，ln1640≈7.40．20. 已知动圆M 过点(2,0)，被y 轴截得的弦长为4．(1)求圆心M 的轨迹方程；(2)若△ABC 的顶点在M 的轨迹上，且A ，C 关于x 轴对称，直线BC 经过点F(1,0).求证：直线AB 恒过定点．21.函数f(x)=e x，g(x)=ax−1，其中a∈R，e是自然对数的底数．(1)若a=e，求函数F(x)=f(x)−g(x)的最小值；(2)若x≥0时，f(x)+xg(x)≥1恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+cosα−2√2sinαy=−2+2√2cosα+sinα(其中α为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=a．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为1，求a的值．23.已知a，b，c为非负实数，函数f(x)=|2x−a|+|2x+b|+c．(1)若a=2，b=6，c=1，求不等式f(x)>11的解集；(2)若函数f(x)的最小值为2，证明：1a+b +4b+c+9a+c≥9．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x>1}，B={x|x<−2}，∴A∪B={x|x<−2或x>1}．故选：B．进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：复数(2−i)2=4−4i+i2=3−4i，复数对应的点(3,−4)，所以在复平面内，复数(2−i)2对应的点位于第四象限．故选D．化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3.【答案】C【解析】解：命题p是全称命题，则否定是特称命题，即∃x0(0,π2)，x0≤sinx0，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，2名男同学和1名女同学随机排成一行，有A33=6种情况，2名男同学不相邻，即女生在中间的排法有A22=2种，则2名男同学不相邻的概率P=26=13；故选：B．根据题意，由排列、组合数公式分析“2名男同学和1名女同学随机排成一行”和“2名男同学不相邻”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是棱长为2的正方体挖去以B1为球心，以1为半径的球的八分之一．则其体积为23−18×43π×13=8−π6．故选：A ．由三视图还原原几何体，该几何体是棱长为2的正方体挖去以B 1为球心，以1为半径的球的八分之一．再由正方体的体积减去八分之一球的体积求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 6.【答案】C【解析】解：由题意BC AB=√5−12，即BC =√5−1，∵BCDC =√5−12， ∴DC =2，由题意黄金三角形它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形 可知∠A =36°，△ABC 等腰三角形， ∴∠CBD =108°，△BCD 等腰三角形 则∠BCD =36°， 那么∠ECD =72°，∵△ADE 都是黄金三角形， ∴∠ECD =72°， 则DC =DE ， 所以DE =2． 故选：C ． 由题意BCAB=√5−12，可得BC ，BC DC =√5−12，求解DC ，由DC =DE 可得答案；本题考查阅读题的信息提取和应用．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：f(x)=2sin(x +π6)的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，得到y =2sin(12x +π6)， 再将其向左平移π3个单位长度，得到g(x)=2sin[12(x +π3)+π6]=2sin(12x +π3).故选：B ．根据函数图象的伸缩和平移变换法则求解即可．本题考查三角函数的图象变换，熟练运用函数图象的伸缩和平移变换法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 8.【答案】C【解析】解：如图，因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗=76AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故x =56，y =−13， 故选：C ．作出图象，整理EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，对应得到x ，y 即可． 本题考查平面向量基本定理的应用，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为√2，直线AC 1⊥平面α， 平面α截此正方体所得截面中，如图，截面形状可能为正三角形或正六边形，由对称性得截面图形不可能是四边形或五边形，故A 和均B 错误；如图，当截面形状为如图所示的正六边形时，截面面积最大， MN =√2+2=2，GH =1， OE =√OO′2+O′E 2=(√22)(12)=√32， ∴截面面积最大值为S =2×1+22×√32=3√32，故C 错误，D 正确．故选：D ．截面形状可能为正三角形或正六边形，由对称性得截面图形不可能是四边形或五边形，当截面形状为正六边形时，截面面积最大，由此能求出结果． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置有关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 10.【答案】C【解析】解：根据题意，函数y =f(x +2)是定义域为R 的偶函数，则y =f(x)的图象关于直线x =2对称， 又由f(x)在(2,+∞)上单调递减，则f(x)在(−∞,2]上单调递增， 若f(lnx)<f(1)，则有|lnx −2|>|1−2|，即lnx >3或lnx <1， 即x >e 3或0<x <e ，即不等式的解集为(0,e)∪(e 3,+∞)； 故选：C ．根据题意y =f(x +2)是定义域为R 的偶函数，分析可得f(x)的对称轴为x =2，进而利用函数单调性分析可得|lnx −2|>|1−2|，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，熟练掌握函数的奇偶性与单调性是解本题的关键． 11.【答案】A【解析】解：设首项为a 1，公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 2=1，a 4=14， 所以{a 2=a 1q =1a 4=a 1q 3=14，解得{a 1=2q =12，所以a n=(12)n−2，故c n=a n a n+1=(12)2n−3，所以S n=2(1−1 4n )1−14<21−14=83由于数列{S n}单调递增，当n=1时，S1=2，故S n的取值范围是[2,83).故选：A．首先求出数列的通项公式，进一步利用数列的通项公式再求出数列的和，再利用数列的单调性和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和公式，数列的单调性，放缩法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：因为FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，所以AB//OF，且AB=FO，由题意的对称性可得A，B关于y轴对称，设A(x1,y1)，则B(−x1,y1)，所以可得x1=−c2=−1由题意可得直线AF的方程为：y=√3(x+2)，所以y1=√3，即A(−1,√3)，将A的坐标代入椭圆的方程可得：1a2+3b2=1，又a2=b2+c2=b2+4，所以解得：a2=4+2√3，b2=2√3，所以椭圆的方程为：x 24+2√3+y22√3=1；故选：D．由FA，FO为邻边作平行四边形OFAB可得AB//FO，且AB=OF，由题意的对称性可得A，B关于y轴对称，进而可得A的横坐标，再由直线AF的方程，可得A的纵坐标，将A的坐标代入椭圆的方程，及c=2，可得a，b的值，进而求出同一点方程．本题考查求椭圆的方程及平行四边形的性质，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：等差数列{a n}中，公差d=3，由a n=a1+(n−1)d=a1+3(n−1)=13，∴a1=16−3n；…①又S n=n(a1+a n)2=n(a1+13)2=35，…②把①代入②中，化简得3n2−29n+70=0，解得n=5或n=143(不合题意，舍去)，所以n=5．故答案为：5．根据等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程求出n的值．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．14.【答案】53【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，由一条渐近线与直线3x+4y−1=0垂直，可得：−34⋅ba=−1，即有3b=4a，c=√a2+b2=53a，可得e=ca =53．故答案为：53．求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得3b=4a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：根据题意，设数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为x−，若其方差为1，则有S2=16[(x1−x−)2+(x2−x−)2+(x3−x−)2+(x4−x−)2+(x5−x−)2+(x6−x−)2]=16[(x12+x22+x32+x42+x52+x62)−6x−2]=1，又由x12，x22，x32，x42，x52，x62的平均数为5，则x12+x22+x32+x42+x52+x62=6×5=30，解可得x−=2；即该工厂这6天平均每天生产口罩2万只，故答案为：2根据题意，设数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为x−，由方差公式可得S2=16[(x12+x22+x32+x42+x52+ x62)−6x−2]=1，由平均数公式计算可得x12+x22+x32+x42+x52+x62的值，变形计算可得答案．本题考查平均数、方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．16.【答案】y=x12【解析】解：f(x)=x−xsinx的导数为f′(x)=1−(sinx+xcosx)，可得f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=1，又切点为(0,0)，可得切线方程为y=x；可令g(x)=0，即−a=xsinx在(0,π)上只有一个实根，设ℎ(x)=xsinx，导数为ℎ′(x)=sinx+xcosx，可得sinx+xcosx=0在(0,π)内只有一个实数解x0，即sinx0+x0cosx0=0，且−a=x0sinx0，则acosx01−cos2x0=−x0sinx0cosx02sin2x0=−x0cosx02sinx0=sinx02sinx0=12．故答案为：y=x，12．求得f(x)的导数，令x=0可得切线的斜率，求得切点，可得所求切线方程；可令g(x)=0，则−a=xsinx 在(0,π)上只有一个实根，由根的定义和函数y=xsinx的图象，结合二倍角的余弦公式，化简整理可得所求值．本题考查导数的运用：求切线方程，以及函数与方程的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为S=√34(a2+b2−c2).所以sinC=√3(a2+b2−c2)2ab=√3cosC．解得tanC=√3，又C∈(0,π)，故C=π3；(2)设a=2t，b=3t(t>0)则c=√a2+b2−2abcosC=√7t所以sinA=asinCc =2t⋅√32√7t=√217．【解析】(1)首先利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出C的值．(2)进一步利用正弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18.【答案】证明：(1)如图，连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形．∵E为AD的中点，∴BE⊥AD.①又∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥PA，②又∵AD∩PA=A，③由①②③知：BE⊥平面PAD.…………….(6分)(2)连接AC，易得AC=2√3，在Rt△PAB中，PB=2√2，∵PA=2，AC=2√3，PA⊥AC，∴PC=4，在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC=PB2+BC2−PC22PB⋅BC =√2)2222×22×2=−√24，∴sin∠PBC=√144，从而S△PBC=12PB⋅BC⋅sin∠PBC=12×2√2×2×√144=√7，又∵S △PAD =12PA ⋅AD =12×2×2=2，由对称性知：S △PAD =S △PAB ，S △PCD +S △PBC ，∴四棱锥P −ABCD 的侧面积S =2S △PAD +2S △PCD =4+2√7.….…….…….…….(12分)【解析】(1)连接BD ，由题意可知BE ⊥AD.利用线面垂直的性质可知BE ⊥PA ，又AD ∩PA =A ，利用线面垂直的判定即可证明BE ⊥平面PAD ．(2)连接AC ，可求AC ，PC 的值，在△PBC 中，由余弦定理得cos∠PBC =−√24，可求sin∠PBC =√144，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了线面垂直的性质和判定，余弦定理以及三角形的面积公式的综合应用，考查了论证推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据散点图判断，y =ce dx 更适合作为细菌的繁殖数量y 关于时间x 的回归方程类型；(2)设w =lny ，变换后可得w =lnc +dx ，设p =lnc ，建立w 关于x 的回归方程，则w =p +dx ，d =∑(6i=1w i −w −)(x i −x −)∑(6i=1x i −x −)2=12.8717.50=0.74，p =w −−dx −=3.49−0.74×3.50=0.90． ∴w 关于x 的回归方程为w =0.74x +0.90，∴y =e 0.74x+0.90；(3)当y =e 0.74x+0.90≤4030时，即0.74x +0.90≤ln4030=8.30，∴0.74x ≤8.30−0.90=7.4，得x ≤10．故细菌繁殖的天数不超过10天．【解析】(1)直接由散点图判断y =ce dx 更适合作为细菌的繁殖数量y 关于时间x 的回归方程类型；(2)设w =lny ，变换后可得w =lnc +dx ，设p =lnc ，建立w 关于x 的回归方程，则w =p +dx ，由已知数据求得d 与p 的值，可得w 关于x 的回归方程，进一步转化为y 关于x 的回归方程；(3)由y =e 0.74x+0.90≤4030，求解x 的范围得答案．本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设动圆圆心M(x,y)，由题意，可得√x 2+22=√(x −2)2+y 2，两边平方整理得y 2=4x ，所以圆心M 的轨迹方程为y 2=4x ；(2)证明：由题意，直线BC 经过点F(1,0)，设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，直线BC 的方程为x =ty +1，与抛物线方程联立{x =ty +1y 2=4x，得到y 2−4ty −4=0， 显然△=16t 2+16>0，所以y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4，再设直线AB 的方程为y =kx +m(k ≠0)，与抛物线方程联立，得到ky 2−4y +4m =0，由对称性知A(x 2,−y 2)，又B(x 1,y 1)，所以−y 1y 2=4m k ， 所以4=4m k ，即m =k ，直线AB 的方程为y =kx +k(k ≠0)，则直线AB 恒过定点(−1,0)．【解析】(1)设M(x,y)，由圆的垂径定理和圆的半径的定义，可得x ，y 的方程，化简可得圆心M 的轨迹方程；(2)设直线BC 的方程为x =ty +1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，再设直线AB 的方程为y =kx +m(k ≠0)，与抛物线方程联立，运用韦达定理，可得m =k ，进而得到直线AB 恒过定点．本题考查轨迹方程的求法，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，同时考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =e 时，F(x)=f(x)−g(x)=e x −ex +1，所以F′(x)=e x −e ，①当x <1时，F′(x)<0，F(x)在(−∞,1)上单调递减；②当x >1时，F′(x)>0，F(x)在(1,+∞)上单调递增．则F(x)min =F(1)=1；(2)令ℎ(x)=f(x)+xg(x)−1=e x +ax 2−x −1(x ≥0)，则ℎ′(x)=e x +2ax −1，可得ℎ′(0)=0，令φ(x)=ℎ′(x)=e x +2ax −1，则φ′(x)=e x +2a ，①当a ≥−12时，φ′(x)≥0恒成立，可得ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0，则ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，所以f(x)+xg(x)≥1恒成立；②当a <−12时，当x ∈[0,ln(−2a))，φ′(x)<0，ℎ′(x)在[0,ln(−2a))上单调递减，当x ∈[ln(−2a),+∞)，φ′(x)>0，ℎ′(x)在[ln(−2a),+∞)上单调递增，则当x ∈[0,ln(−2a))时，ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，所以∃x 0>0，x ∈(0,x 0)时，ℎ(x 0)<ℎ(0)=0．则f(x)+xg(x)≥1不恒成立．综上所述，a 的取值范围是a ≥−12．【解析】(1)求得F(x)的导数和单调性，然后求出F(x)的最值；(2)令ℎ(x)=f(x)+xg(x)−1，通过二次求导，以及讨论a ≥−12，a <−12，结合函数的最小值，即可得到a 的取值范围．本题考查函数的最值求法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+cosα−2√2sinαy =−2+2√2cosα+sinα(其中α为参数)， 转换为的普通方程为：(x −2)2+(y +2)2=9． 曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=a ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x +y −√2a =0．(2)由于圆C 1的半径为3，曲线C 1上恰有三个点到曲线C 2的距离为1，圆心到直线x +y −√2a =0的距离应为2． 由√2a|√2=2，可得a =±2．【解析】(1)首先把参数方程转换为普通方程，进一步把直线的极坐标方程转换为转换为直角坐标方程．(2)利用点到直线的公式，求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极和普通方程之间的转换，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：当a =2，b =6，c =1时，不等式f(x)>11，即：|x −1|+|x +3|>5，设g(x)=|x −1|+|x +3|={2x +2,x ≥14,−3<x <1−2x −2,x ≤−1，当x ≥1时，由g(x)>5，得2x +2>5，即x >32，∴x >32；当−3<x <1时，由g(x)>5，得4>5，显然不成立；当x ≤−1时，由g(x)>5，得−2x −2>5，即x <−72．综上，x <−72或x >32，∴不等式f(x)>11的解集为{x|x <−72或x >32}；(2)证明：∵f(x)=|2x −a|+|2x +b|+c ≥|a −2x +2x +b|+c =|a +b|+c =a +b +c ， 又函数f(x)的最小值为2，∴a +b +c =2．根据柯西不等式可得：1a +b +4b +c +9a +c =14(1a +b +4b +c +9a +c)[(a +b)+(b +c)+(a +c)] ≥14(√a+b ×√a +b √b+c ×√b +c +√a+c √a +c)2=14×36=9． 当且仅当：1a+b =2b+c =3a+c ，即a =23，b =0，c =43时等式成立．综上，1a+b +4b+c +9a+c ≥9．【解析】(1)把a =2，b =6，c =1代入f(x)的解析式，把f(x)>11变形可得x −1|+|x +3|>5，设g(x)=|x −1|+|x +3|，写出分段函数，然后分类求解，取并集得答案；(2)利用绝对值不等式的性质结合函数f(x)的最小值为2可得a +b +c =2.再由柯西不等式证明1a+b +4b+c+9a+c ≥9． 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式性质的应用，训练了柯西不等式的应用，是中档题．。

2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 247-14．4- 15．16 16．23（第1空2分，第2空3分） 三、解答题：17．【解析】（1）由2n n S a b =⋅+得12212,2,a a b a S S a =+=-=3324a S S a =-=，因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =，即2(2)(2)4a a b a =+，化简得0a b +=①（0a =舍）；由23T =得128aa =，即(2)28a b a +=②，由①②解得2,2a b ==-（2a =-舍）． （6分）（2）由（1）得2n n a =，2log n a n =，于是(1)122n n n n T +=++⋯+=，1112()(1)21n T n n n n ==-++， 12n 11112(1)21T T T n ++⋅⋅⋅+=-<+，所以整数M 的最小值为2． （12分）18．【解析】（1）设动圆圆心(,)E x y ，由题意可得：24y x =，所以，动圆圆心的轨迹E 的方程：24=y x （5分） （2）由题意，直线BC 经过点1,0（）F ，设1122,),(,)（Bx y C x y ，直线BC 的方程：1,=+x ty 与抛物线方程联立：214=+⎧⎨=⎩x ty y x得到：2440--=y ty ，显然0,∆> 由根与系数关系：12124,4+==-y y t y y ， （7分）再设直线AB 的方程：(0)=+≠y kx m k ，与抛物线联立：24=+⎧⎨=⎩y kx my x 得到：2440-+=ky y m ，由对称性知：22,)-（Ax y ，又11,),（B x y 由根与系数关系：124my y k-= （10分） 所以：44=mk--，即m k =，直线AB 的方程：()0y kx k k =+≠， 直线AB 恒过定点()1,0-. （12分）19．【解析】（1）因为直线11B C 与直线BC 交于点2A ，所以211A B C ∈且2A BC ∈，故2A ∈面111A B C 且2A ∈ABC ，同理，2B ∈面111A B C 且2B ∈ABC ，2C ∈面111A B C 且2C ∈ABC ，由公理3，记面111A B C I 面ABC l =，则222,,A B C l ∈，即222,,A B C 三点共线． （5分） （2）因为PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥．如图，作AY BC ∥，则,,AB AY AP 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AY AP 分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -． 设6(0)PA a a =>，则1(0,0,4)A a ，1(3,0,3)B a ，1(4,4,2)C a ，11(3,0,)A B a =-u u u u r ，11(4,4,2)A C a =-u u u u r， 设面111A B C 的法向量(,,)n x y z =r，则1111304420A B n x az ACn x y az ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩u u u u r ru u u u r r ，令6z =得(2,,6)n a a =r ， 又面ABC 的法向量(0,0,1)m =，所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅<>===u r ru r r u r r a =5因此PA =（12分） 法二：由第一问知面111A B C I 面22=ABC B C ,作122A D B C ⊥于点D ,联结AD , 1221221221222212211A A AB C A A B C A A B C A D B C B C A AD AD B C A D A A ⊥⇒⊥⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎭I 面面 故1A DA ∠即为锐二面角122A B C A --的平面角，由条件112=453A DA A A AP AD ∠︒⇒== 有条件易知2222224=212,sin =sin =453AC AB AB AC B AC BAC B C ===∠∠︒⇒又 2222222211sin 22AB C S AC AB B AC AD C B AD =⋅∠=⋅⇒=V ，故AP =. （12分） 20. 【解析】（1）方法一：所有的派遣方法有：234336C A ⨯=，女技术员派到甲校的方法有：32233212A C A +=种，故女技术员被派到甲校的概率为121363P ==. （4分） 方法二：只考虑女技术员派遣的方法，共3种派法，被派到甲校仅一种派法，故13P =. （4分）x（2）①由x 与y 之间满足线性回归方程$y =379254x a +知101102211037925410i ii ii x yx y b xx==-==-∑∑， 即10103401627556104837910254254y y ++-⋅⋅=，解得：1053y =. （8分） ②易得48x =，39.3y =，代入$379254y x a =+得： 37939.348254a =⨯+，解得32.3a ≈-，所以$37932.3254y x =-， 当60x =时，3796032.357.2254y =⨯-≈ 故若年收入达到60万元，估计主打产品的销售额是57.2万元. （12分） 另解： 易得48x =，39.3y =，代入$379254y x a =+得：37939.348254a =-⨯， 当60x =时，3793796039.3(6048)57.2254254y a =⨯+=+⨯-≈． （12分） 21．【解】（1）()e 1x f x x '=--，令()()x f x ϕ'=，则()e 1xx ϕ'=-，因为0x ≥，所以()e 10x x ϕ'=-≥，所以()x ϕ在[)0,+∞单调递增，所以()()00x ϕϕ≥=，所以()f x 在[)0,+∞单调递增，则()()00f x f ≥=． （3分） （2）()2sin 24g x x x '=-+，令()()h x g x '=，则()4cos 240h x x '=-+≥，所以()h x 在R 上单调递增，又()00h =，所以0x <时，()()00h x h <=，函数()g x 单调递减；0x >时，()()00h x h >=，函数()g x 单调递增．所以，()g x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞． （7分）（3）证明：要证21e sin 22sin sin 2x x x x x +≥+，即证()2e sin 2cos sin x x x x x ≥-+．①当x π≥时，e e 3x x ππ≥>，而()2sin 2cos sin 3x x x -+≤，所以不等式成立． （8分）②当0x π<<时，sin 0x >，由（2）知：0x ≥时，2cos212x x ≥-，所以221cos 12122x x x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，212cos 12x x -≤+所以只需证221e sin 1sin 2x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭．令()sin p x x x =-（0x ≥），则()cos 10p x x '=-≤，所以()p x 在[)0,+∞单调递减，所以()()00p x p ≤=，即sin x x ≤．故只需证221e 12x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，即证：21e 12xx x ≥++．由（1）知，上述不等式成立．综上，当0x ≥时，21e sin 22sin sin 2x x x x x +≥+． （12分）注：其他证法酌情给分，对于第（3）小题，若不考虑sin 0x >而直接将()2e sin 2cos sin x x x x x ≥-+变为221e sin 1sin 2x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，扣1分，但按其他合理的分段点（如：2π）分类，不扣分． 22．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)(2)9x y -++=； （3分） 曲线2C的直角坐标方程为：0x y +=. （5分） （2）由于圆1C 的半径为3，曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为1，圆心到直线0x y +=的距离应为2=,得：2=±a . （10分） 23．【解析】（1）当26a b c ==，，()11f x >，即：|1||3|5-++>x x ，设22(1)()|1||3|4(31)22(1)+≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪--≤-⎩x x g x x x x x x ，由()5g x >解得：72<-x 或32>x ，所以，不等式()11f x >的解集为73{|}22x x x <->或. （5分）（2）因为()|2||2|||=-+++≥++=++f x x a x b c a b c a b c ，Q 函数()f x 的最小值为2，∴2++=a b c . （7分）证法一：根据柯西不等式可得： []1491149=()()()4a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++++ ⎪++++++⎝⎭214≥1=36=94⨯ 当且仅当：123==+++a b b c a c ，即24,0,33a b c ===时等式成立. 综上，1499a b b c a c++≥+++ （10分）证法二：[]1491149=()()()4a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++++ ⎪++++++⎝⎭14()9()4()9()=14+4++++++⎛⎫+++++ ⎪++++++⎝⎭b c a b a c a b a c b c a b b c a b a c b c a c 114+4+6+12=94≥（），当且仅当24,0,33a b c ===等式成立. 综上，1499a b b c a c++≥+++ （10分）。

马鞍山市20XX 届高三第三次教学质量检测文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无．．．．．．．效．. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑.（1）已知集合,{1,2,3,4,5},{1,3,5,7,9}U Z S T ===，则图中阴影部分表示的集合是（ ▲ ）A. {1,3,5}B. {1,2,3,4,5}C. {7,9}D. {2,4}【答案】D【命题意图】本题考查集合运算，venn 图．简单题． （2）若i 为虚数单位，图中复平面内的点Z 表示复数z ，z 为复数z 的共轭复数， 则表示复数21z i +的点是（ ▲ ） A. 点E B. 点F C. 点G D. 点H 【答案】D.22(12)(1i)12,1312z i z i i i --=+==--+． 【命题意图】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算．简单题．（3）在等比数列{}n a 中，若23454,16,a a a a +=+=则89a a +=（ ▲ ） A. 128 B. －128 C. 256 D. －256【答案】C.【命题意图】本题考查等比数列的基本运算．简单题．（4）“1m =-”是“直线(21)10330mx m y x my +-+=++=和直线垂直”的（ ▲ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件第1题图【答案】A.【命题意图】本题考查直线的方程、充要条件等基础知识．简单题.（5）两圆221:10C x y +-=和222:450C x y x +--=的位置关系是（ ▲ ）A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离【答案】C.【命题意图】本题考查平面内两圆的位置关系．简单题．（6）对于实数集R 上的可导函数()f x ，若满足2(32)()0x x f x '-+<，则在区间[1,2]上必有（ ▲ ）A. (1)()(2)f f x f ≤≤B. ()(1)f x f ≤C. ()(2)f x f ≥D. ()(1)f x f ≤或()(2)f x f ≥【答案】Ａ【命题意图】本题考查导数的应用，函数的单调性．中等题．（7）若实数,x y 满足条件01001x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则3x y |-|的最大值为（ ▲ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B.【命题意图】本题考查线性规划，考查数形结合能力．中等题．（8）函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,||2A πωϕ>><)的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移3π 个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ▲ ） A.()sin 2f x x = B.()sin 2f x x =- C.()sin(2)3f x x π=- D.2()sin(2)3f x x π=+ 【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质、图象变换．中等题．（9）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（ ▲ ）A.B. C. 3D. 【答案】 D.【命题意图】本题考查双曲线及其几何性质，考查运算求解能力．较难题．（10）如图，在ABC ∆中，ADAB ⊥，BC =，1AD =，则AD AC ⋅等于（▲ ）A.B. D.【答案】B. ()AD AC AD AB BC AD AB AD BC AD BC ⋅=+=⋅+⋅=⋅ 2|||cos 3||AD BD ADB AD =⋅∠= 【命题意图】本题考查平面向量的性质、运算的几何意义．较难题．D C BA 第10题图第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．（11）函数()f x =的定义域是 ▲ ． 3,1)(1,3]（12）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2s i n c a C =，4bc =，则ABC ∆的面积是 ▲ ．【答案】1.【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式．简单题．（13）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是空间想象能力．简单题． （14）执行下面的程序框图，输出的T = ▲ ．【答案】12 【命题意图】本题考查程序框图、阅读理解能力．中等题．（15）已知函数211,(0)()22,(0)x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩（），对于下列命题：①函数()f x 的最小值是0；②函数()f x 在R 上是单调递减函数；③若()1,1f x x ><-则；④若函数()y f x a =-有三个零点，则a 的取值范围是01a <<；⑤函数()y f x =关于直线1x =对称． 其中正确命题的序号是___▲___．（填上你认为所有正确命题的序号）．【答案】③④【命题意图】本题考查分段函数的性质，考查理解能力和数形结合能力．较难题．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）（本题满分12分）已知函数2()cos(2)2sin 3f x x x π=-+，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；第14题图第(13)题图正（主）视图 侧（左）视图 俯视图（Ⅱ）当[]2x π∈0，时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值． （16）【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．解：(Ⅰ) 211()cos(2)2sin cos 221cos 22cos 21322f x x x x x x x x π=-+=+-=-+ sin(2)16x π=-+. 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. 由262x k πππ-=+，得对称轴方程为,23k x k Z ππ=+∈.………6分 （Ⅱ）当[0]2x π∈，时， 2666x ππ5π-≤-≤，所以当262x ππ-=，即3x π=时，max ()2f x =；当266x ππ-=-，即0x =时，min 1()2f x =．…………………………12分 （17）（本题满分12分）20XX 年1月份,我国北方部分城市出现雾霾天气，形成雾霾天气主要原因与 2.5PM 有关.2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 2.5PM 日均值越小，空气质量越好. 20XX 年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的 2.5PM 日均值作为样本，样本数据茎叶图如上右图所示（十位为茎，个位为叶）. （Ⅰ）分别求出甲、乙两市 2.5PM 日均值的样本平均数，并由此判断哪个市的空气质量较好； （Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率.（17）【命题意图】本题考查统计、古典概型等基础知识，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力. 简单题．解：（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85；乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.344267717985636x +++++==甲，314845657386586x +++++==乙． 因为x x >甲乙，所以乙市的空气质量较好. ……………………6分（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，记未超标的4天数据为,,,a b c d ，超标的两天数据为,m n ，则6天中抽取两天的所有情况为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn ，基本事件总数为15.记“恰有一天空气质量超标”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：,,,,,,,am bm cm dm an bn cn dn ，事件数为8. 所以8()15P A =. 即恰有一天空气质量超标的概率为815.……………………12分 （18）（本题满分12分）已知函数2()5ln 6f x x ax x =+-（a 为常数），且()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（18）【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用、解不等式等基础知识．中等题．解：（Ⅰ）∵2()5ln 6f x x ax x =+-，∴5()26(0)f x ax x x'=+->；又∵()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，∴(1)5260f a '=+-=，得12a =． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21()5ln 62f x x x x =+-，∴265(1)(5)()(0)x x x x f x x x x-+--'==>；………8分由()0f x '>得1x <，或5x >；由()0f x '<，15x <<．………………………………………………10分∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0，1) 和 (5，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 5 )．…………12分（19）（本题满分13分）如图，已知四边形ABCD 为梯形， AB CD ∥，60ADC ∠=° ，四边形ABEF 为矩形，且平面ABEF ⊥平面ABCD ，122AD DC AF AB ====，点G 为AE 的中点． （Ⅰ）求证： CG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求证：平面ACF ⊥平面BCE ； （Ⅲ）求三棱锥F ACG -的体积．（19）【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体第19题图积的计算，考查空间想象能力．中等题．解：（Ⅰ）取AF 中点H ，连,D H G H ．∵G 为对角线AE 的中点，∴ GH EF ∥，且12G H E F =，∴四边形CDHG 为平行四边形，即CG ∥DH ．又∵CG ⊄平面ADF ，DH ⊂平面ADF ，∴CG ∥平面ADF ．…………………………………4分（Ⅱ）∵四边形ABEF 为矩形，且平面ABEF ⊥平面ABCD ，∴FA ⊥平面ABCD ，∴FA BC ⊥；∵四边形ABCD 为梯形， AB CD ∥，且60ADC ∠=°，∴=120DAB ∠°．又在ADC ∆中，60ADC ∠=°，且2AD DC ==，∴=2AC ，=60DAC ∠°，∴=60CAB ∠°．于是在ABC ∆中，由=2AC ，4AB =，=60CAB ∠°及余弦定理，得BC =222AC BC AB +=，∴A C B C ⊥．∴BC ⊥平面ACF ，又∵BC ⊂平面BCE ，∴平面ACF ⊥平面BCE ．……………………9分（Ⅲ）作CM AB ⊥，垂足为M ，由平面ABEF ⊥平面ABCD 得CM ⊥平面ABEF ．易求得CM =，所以三棱锥F ACG -的体积1111833412F ACG C AFG AFG ABEF V V S CM S CM --∆==⋅=⋅⋅=⋅=．……13分 （20）（本题满分13分）已知等差数列{}n a 和公比为q (1)q >的等比数列{}n b 满足：111a b ==，22a b =，53a b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈均有[]2112(1)n n n a b S n n λ++-->+成立，试求实数λ的取值范围．（20）【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识和基本方法，考查运算求解能力、推理论证能力．中等题．解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，根据题意，得2114d q d q +=⎧⎨+=⎩，解得0,1d q ==（舍去），或2,3d q ==， 所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：21n a n =-，13n n b -=．………………………………5分(Ⅱ)23111223311335373(21)3n n n n S a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯+⨯+⨯++- ① 所以2313133353(23)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+- ② ①－②，得12313(13)212(3333)(21)312(21)3(22)3213n n n n n n S n n n ----=+++++--=+⨯--=---， ∴ (1)31n n S n =-+；…………………………………………………………………………9分所以2(21)3(22)3n n n n n n λ⎡⎤+-->+⎣⎦，化简并整理，得213n n n λ++>．……………………………10分令213n n n n c ++=，则2222212122(1)(1)(32)(33)223333n n n n n n n n n n n n n n n c c +++++++++++-+--=-==． ∵*n N ∈，∴2220n -≤，∴对*n N ∀∈，1n n c c +≤，∴max 12()9n c c ==，故29λ>．…………13分（21）（本题满分13分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,(1,0)F 为其右焦点，离心率为12. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点1(0,)2E ，问是否存在直线:l y kx m =+，使l 与椭圆C 交于,M N 两点，且()()0EM EN EM EN +⋅-=．若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．（21）【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力．较难题．解：（Ⅰ）由题意知：1c =，∵离心率12c e a ==，∴2a =，2223b a c =-=，故所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）假设存在这样的直线:l y kx m =+满足题意，设1122(,),(,)M x y N x y ，MN 的中点为00(,)G x y ．因为()()0EM EN EM EN +⋅-=，所以EM EN ||=||，所以MN EG ⊥．…………………………5分 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=．根据题意，2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，得223k m +>．且122834kmx x k +=-+，所以12024234x x km x k +==-+，002334m y kx m k =+=+．………8分 ∵MN EG ⊥，∴0MN EG ⋅=，即2102101()()()02x x x y y y -⋅+-⋅-=， ∴2100002111()()022y y x y x k y x x -+⋅-=+⋅-=-，∴22431()023434km m k k k -+⋅-=++． 解得0k =，或21(34)2m k =-+．………………………………………………………………10分 当0k =时，:l y m =（m ，显然符合题意；当21(34)2m k =-+时，代入2243k m +>，得222134(34)4k k +>+，解得1122k -<<． 综上所述，存在这样的直线l ，其斜率k 的取值范围是11(,)22-．…………………………13分。

2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测文科数学试题A B =（▲C ．R 2．已知复数z 满足2(2i)i （是虚数单位）z =-，则z 在复平面内对应的点位于（▲）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．命题:(0,),sin 2p x x x π∀∈>，则命题p ⌝是（▲）A ．(0,),sin 2x x x π∀∈≤B ．(0,),sin 2x x x π∀∉>C ．000(0,),sin 2x x x π∃∈≤D ．000(0,),sin 2x x x π∃∈>4．2名男同学和1名女同学随机排成一行照相，则2名男同学不相邻的概率为（▲）． A ．16B ．13C ．23 D ． 565．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（▲）．A ．π86-B ．π83-C ．π4-D ．π4-D ．2sin(2)6x +，若EB xAB y AC =+，则（1111俯视图侧视图正视图第5题图A9．已知正方体111ABCD A B C D -1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，A BC D10．R 的偶函数，()f x 在(ln )(1)0f x f -<的解集是（▲） A ．(0,1)(3,)+∞ B ．(1,3) C ．3(0,)(,)e e +∞ D ．3(,)e e11．已知正项等比数列{}n a 中，21a =，414a =，n S 表示数列{}1n n a a +的前n 项和，则n S 的取值范围是（▲）A ．823[,)B ． 823(,]C ．823(,)D ． 823[,]12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)xy a b a b+=>>，过左焦点()2,0-F 倾斜角为3π的直线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则椭圆的标准方程为（▲）A ．2215x y +=B221= C ．22162x y +=D 221=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{}n a 中，公差3d =，13n a =，35n S =，则n = ▲ ．14．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的一条渐近线与直线3410x y +-=垂直，则该双曲线的离心率为 ▲ ．15．口罩是一种重要的医疗物资，为确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转．设该工厂连续6 天生产的口罩数量依次为123456,,,,,x x x x x x （单位：万只），若123456,,,,,x x x x x x 的方差为1，且222222123456,,,,,x x x x x x 的平均数为5，则该工厂这6天平均每天生产口罩 ▲ 万只．（2）若3=2a b ，求sin A ．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点．（1）证明：BE ⊥平面PAD ；（2）若2PA AB ==，求四棱锥P ABCD -的侧面积． 19．（12分）某科研单位研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，发现该细菌繁殖的个数y （单位：个）令ln w y =，w 与y 对应关系如表2：根据表1绘制散点图如右：（1）根据散点图判断，y bx a =+与dx y ce =，哪一个更适合作为细菌的繁殖数量y 关于时间x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （3）若要使细菌的繁殖数量不超过4030个，请根据（2）的结果预测细菌繁殖的天数不超过多少天？ 参考公式：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-.参考数据：3.50x =，63.67y =， 3.49w =，()62117.50i i x x =-=∑，()6219.49i i w w ==-∑，()()6112.87i i i w w x x ==--∑，()()61519.01i i i x x y y =--=∑，ln 40308.30≈，ln16407.40≈ 20．（12分）已知动圆M 过点2,0()，被y 轴截得的弦长为4. （1）求圆心M 的轨迹方程；（2）若△ABC 的顶点在M 的轨迹上，且A C ，关于x 轴对称，直线BC 经过点(1,0)F . 求证：直线AB 恒过定点.B CD EA P21．（12分）函数()x f x e =，()1g x ax =-，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数. （1）若a e =，求函数()()()F x f x g x =-的最小值；（2）若0x ≥时，()+()1f x xg x ≥恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．1C ．0.1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12BC ．23D6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则点C 的轨迹为 A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）8．点(0)1-，到直线()1y k x =+距离的最大值为A ．1BCD ．29．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．10．设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的图像关于直线2x π=B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．对称f (x )的最小值为2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}|315B x x =＜＜，则A B 中元素的个数为 ( )A .2B .3C .4D .52.若()1i 1i z +=-，则z = A .1i -B .1i +C .i -D .i3.设一组样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，…，10n x 的方差为( )A .0.01B .0.1C .1D .104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）( ) A .60B .63C .66D .69 5.已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πsin 6θ⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A .12BC .23D.2 6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为( ) A .圆B .椭圆C .抛物线D .直线7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线()2:20C y px p =＞交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭， C .()10，D .()20，8.点()01-，到直线()1y k x =+距离的最大值为( )A .1BCD .2 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. B.C.D.10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则( )A .a c b ＜＜B .a b c ＜＜C .b c a ＜＜D .c a b ＜＜ 11.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =( )AB. C.D.12.已知函数()1sin sin f x x x=+，则( )A .()f x 的最小值为2B .()f x 的图像关于y 轴对称C .()f x 的图像关于直线πx =对称D .()f x 的图像关于直线π2x =对称毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≥，≤，则32z x y =+的最大值为________.14.设双曲线2222:1x y C a b-=()00a b ＞，＞的一条渐近线为y =，则C 的离心率为________. 15.设函数()xe f x x a =+，若()14ef '=，则a =________. 16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}3log n a 的前n 项和.若13m m m S S S +++=，求m .18.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天空气质量不好附：()()()()2n ad bc a b c d a c K b d -=++++，.19.（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，在E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =，证明：数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内.20.（12分）已知函数()32f x x kx k =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围.21.（12分）已知椭圆()222:10525x y C m m+=＜＜，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()222123x t tt t y t t ⎧=--⎪≠⎨=-+⎪⎩为参数且，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =. （1）证明：0ab bc ca ++＜；（2）用{}max a b c ，，表示a ，b ，c 中的最大值，证明：{}max a b c ，，毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.由题意，{}5711AB =，，，故AB 中元素的个数为3. 故选：B【考点】集合的交集运算 2.【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.因为()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---====-++-，所以i z =.故选：D . 【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念 3.【答案】C【解析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.因为数据i ax b +，()12i n =，，…，的方差是数据i x ，()12i n =，，…，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.011⨯=，故选：C . 【考点】方差 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t KI tK e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *+≈≈. 故选：C .【考点】对数的运算，指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.由题意可 得：1sin sin 12θθθ+=，则：3sin 12θθ=1cos 2θθ+，从而有：sin coscos sin663ππθθ+=，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B .【考点】两角和与差的正余弦公式及其应用 6.【答案】A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.设()20AB a a =＞，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0A a -，，()0B a ，，设()C x y ，，可得：()AC x a y →=+，，()BC x a y →=-，，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB .故选：A .【考点】平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解 7.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =＞交于E ，D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）()22D ，，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：B . 【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标 8.【答案】B【解析】首先根据直线方程判断出直线过定点()10P -，，设()01A -，，当直线()1y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线()1y k x =+距离最大，即可求得结果.由()1y k x =+可知直线过定点()10P -，，设()01A -，，当直线()1y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线()1y k x =+距离最大，即为AP =.故选：B . 【考点】解析几何初步的问题，直线过定点，利用几何性质 9.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S ===⨯⨯=△△△，根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为(2°11sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅==△，∴该几何体的表面积是：632⨯++故选：C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形 10.【答案】A【解析】分别将a ，b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.因为333112log 2log 9333a c ===＜，355112log 3log 25333b c ===＞，所以a c b ＜＜.故选：A .【考点】对数式大小的比较 11.【答案】C【解析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan B .设AB c =，BC a =，CA b =，22222cos 91623493c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，3c ∴=，2221cos9a c bB +-==，sinB ∴=tan B ∴=.故选：C . 【考点】余弦定理，同角三角函数关系 12.【答案】D【解析】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D .sin x 可以为负，所以A 错；sin 0x ≠，()x k k π∴≠∈Z ，()()1sin sin f x x f x x-=--=-，()f x ∴关于原点对称；()()12sin sin f x x f x x π-=--≠，()()1sin sin f x x f x xπ-=+=，故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对.故选：D .【考点】函数定义域与最值，奇偶性，对称性 二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y=-，当322x zy =-+经过A点时截距最大，此时数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，()12A ，，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，线性目标函数的最大值【解析】根据已知可得a=结合双曲线中a ，b ，c 的关系，即可求解.由双曲线方程22221x y a b -=可得 其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y=，所以ba=c e a ===故【考点】双曲线性质 15.【答案】1【解析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值.由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2BC =，3AB AC ==，且点M 为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r，则： ()11113322222ABC AOB BOC AOCS S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△，解得：r =，其体积：343Vr π==.. 三、解答题17.【答案】（1）13n n a -= （2）6m =数学试卷 第13页（共20页） 数学试卷 第14页（共20页）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式.设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=-=⎧⎨⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=.（2）由（1）求出{}3log n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.令313log log 31n n n b a n -===-，所以()()01122n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得()()()()1123222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m ＞，所以6m =.【考点】比数列通项公式基本量的计算，等差数列求和公式的应用18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350锻炼的人次与该市 当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=. （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结()21003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市 当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ABCD ⊥平面，1AC BB ∴⊥，因为长方体1111ABCD A B C D -，AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.因为1BB BD B =，111BB BD BB D D ⊂、平面，因此11AC BB D D ⊥平面，因为11EF BB D D ⊂平面，所以AC EF ⊥.（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =，连DM ，MF ，因为12D E ED =，11DD CC ∥，11DD CC =，所以1ED MC =，1ED MC ∥，所以四边形1DMC E 为平行四边形，1DM EC ∴∥.因为MF DA ∥，MF DA =，所以四边形MFAD 为平行四边形，DM AF ∴∥，1EC AF ∴∥，因此1C 在平面AEF 内. 【解析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥，进而可证数学试卷 第15页（共20页） 数学试卷 第16页（共20页）11AC BB D D ⊥平面，即得结果.因为长方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ABCD ⊥平面，1AC BB ∴⊥，因为长方体1111ABCD A B C D -，AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.因为1BB BD B =，111BB BD BB D D ⊂、平面，因此11AC BB D D ⊥平面，因为11EF BB D D ⊂平面，所以AC EF ⊥.（2）只需证明1EC AF ∥即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =，再通过平行四边形性质进行证明即可.在1CC 上取点M 使得12CM MC =，连DM ，MF ，因为12D E ED =，11DD CC ∥，11DD CC =，所以1ED MC =，1ED MC ∥，所以四边形1DMC E 为平行四边形，1DM EC ∴∥.因为MF DA ∥，MF DA =，所以四边形MFAD 为平行四边形，DM AF ∴∥，1EC AF ∴∥，因此1C 在平面AEF 内.【考点】线面垂直判定定理，线线平行判定20.【答案】（1）由题，()23f x x k '=-，当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递 增；当0k ＞时，令()0f x '=，得x =，令()0f x '＜，得x ，令()0f x '＞，得x -＜x 所以()f x在⎛上单调递减，在⎛-∞ ，，⎫+∞⎪⎪上单调递增. 【解析】（1）()23f x x k '=-，对k 分0k ≤和0k ＞两种情况讨论即可.由题，()23f x x k '=-，当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增；当0k ＞时，令()0f x '=，得x =，令()0f x'＜， 得x ，令()0f x '＞，得x -＜x ()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎛-∞⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）()f x 有三个零点，由（1）知0k ＞，且00ff ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎨⎪⎪⎩＞＜，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.由（1）知，()f x 有三个零点，则0k ＞，且00f f ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎨⎪⎪⎩＞＜，即22203203k k ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解 得4027k ＜＜，当4027k ＜＜且20fk =＞，所以()f x 在上有唯一一个零 点，同理1k --＜()()23110f k k k --=--+＜，所以()f x 在1k ⎛--⎝，上有唯一一个零点，又()f x 在⎛ ⎝上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范数学试卷 第17页（共20页） 数学试卷 第18页（共20页）围为4027⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）因为()2:10525x yC m m+=＜＜，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.()222:10525x y C m+=＜＜，5a ∴=，b m =，根据离心率c e a ====解得54m =或54m =-（舍），C ∴的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=. （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形，如图BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=，又90PBM QBN ∠+∠=，90BQN QBN ∠+∠=，PBM BQN ∴∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ()50B ∴，，651PM BN ∴==-=，设P 点为()P P x y ，，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，P ∴点为()31，或()31-，， ①当P 点为()31，时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，2MB NQ ∴==，可得：Q 点为()62，，画 出图象，如图()50A -，，()62Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：211100xy -+=，根据点到直线距离公式可得P 到 直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ =APQ ∴△面积为：15252⨯=；②当P 点为()31-，时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，8MB NQ ∴==，可得：Q 点为()68，， 画出图象，如图()50A -，，()68Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P数学试卷 第19页（共20页） 数学试卷 第20页（共20页）到直线AQ 的距离为：d ===根据两点间距离公式可得：AQ ==APQ ∴△面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52.【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积【解析】（1）由参数方程得出A ，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值.令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即()012A ，.令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即()40B -，.AB ∴=（2）由A ，B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知()120304AB k -==--， 则直线AB 的方程为()34y x =+，即3120x y -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得，直线AB 的极坐标方程 为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】（1）()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜.a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【解析】（1）由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由题意得出0a ＞，0b c ，＜，由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bca a a bcbcbc++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用。

2021年安徽省马鞍山市高考数学第三次教学质量监测试卷（理科）（三模）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，P＝{x∈R|x＜0或x＞3}，则（M∪N）∩（∁R P）＝（）A．{1，2，3}B．（2，3）C．{2}D．{x∈R|0≤x≤3} 2．若复数（1+i）（a﹣i）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．雷达图也称为网络图、蜘蛛图，是一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图．如图是小明、小张和小陈三位同学在高一一学年六科平均成绩雷达图，则下列说法错误的是（）A．综合六科来看，小明的成绩最好，最均衡B．三人中，小陈的每门学科的平均成绩都是最低的C．六门学科中，小张存在偏科情况D．小陈在英语学科有较强的学科优势4．已知等差数列{a n}中，a2+a14＝18，a2＝3，则a10＝（）A．10B．11C．12D．135．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜06．的常数项为25，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．函数f（x）的部分图象如图，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．8．函数的部分图象如图，点A的坐标为，则φ的值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，•，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．10．国际数学教育大会（ICME）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．其中已知：OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝⋯＝1，A1，A2，A3，⋯，为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为{l n}，{S n}，则关于此两个数列叙述错误的是（）A．{S n2}是等差数列B．C．D．l n﹣1＝2S n+2S n+111．如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱D1D的中点，F是棱C1B1上的动点，下列命题中：①若过CF的平面与直线EB垂直，则F为C1B1的中点；②存在F使得D1F∥BE；③存在F使得△BEF的主视图和侧视图的面积相等；④四面体EBFC的体积为定值．其中正确的是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④12．已知x∈（0，+∞），不等式ax+eαx≥lnx+x恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．0D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数则＝．14．在△ABC中，，O为△ABC的外心，若，则的值为．15．某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是．16．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切．椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点F1，F2.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M，N．由球和圆的几何性质可知，PN ＝PF1，PM＝PF2.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步：。

2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知{}|24x A x =≤，B =N ，则A B = A ．(0,2]B ．[0,2]C ．{}1,2D ．{}0,1,22．已知复数z 满足2(34i)(1i)z -=+（i 是虚数单位），则||z = A B C ．25D ．153．下列函数是奇函数的是 A ．sin y x x =B ．sin y x x =+C ．sin xy x=D ． sin x y x=4．已知a ∈R ，“0122<-+ax ax 对x ∀∈R 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．10a -<<B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线方程为30x y ±=，则该双曲线的离心率为A BC ．23D ．106．已知数列{}n a 中，121,a a ==21n n n a a a ++=+，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2020项，则(1)(2)处可分别填入的是 A ．,2019?T S T n =-≥ B ．,2020?T S T n =-≥ C ．,2019?T S n =≥ D ．,2020?T S n =≥ 7．将函数1|sin 2|2y x =+图象上的所有点先向左平移12π个单位长度，再向下平移12个单位长度得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在[]0,2π上零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．78．某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积之比为 A ．153πB ．163πC ．3011πD ．3211π9．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样； ②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为3000；③随机变量X 服从二项分布(100,0.4)B ，若随机变量21Y X =+，则Y 的数学期望为()81E Y =，方差为()48D Y =； ④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大. 其中正确的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC △中，3AB =，1AC =，D 在BC 的延长线上，2CD BC =，6AD =，则ABC △的面积为A ．315B ．315C ．313D ．31311．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过左焦点()2,0-F 倾斜角为3π的直第7题图第6题图1A F ECDBA1B 1C 1D 1E 1F 线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则2b 等于 AB．C．D．12．已知()13e ,03,0x x x f x x x x +⎧⋅≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为A ．3{0,}2B ．3(0,)2C ．3[0,]2D ．30,]2（二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知3sin()25+=πα(0)2πα<<，则tan2α= ．14．54(1)(1)x x +-的展开式中3x 的系数为 ．（用数字作答） 15．已知ABC △的重心为O ,,2AOB π∠=AB =CA CB ⋅= ．16．已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -所有棱的棱长均为1，1BE 面1A CE P =，则1BPPE = ，PCE △的面积为 ．（第1空2分，第2空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。