初中几何典型解题模型巩固练习解析

胡不归模型巩固练习（基础）一．选择题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2(AD +12DC)=2(AD +DF)当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．【解答】解：过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2(AD +12DC)＝2（AD +DF ），∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长， 此时，∠B ＝∠ADB ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD ＝BD ＝AB ＝4，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，∴BC ＝8，∴DC ＝BC ﹣BD ＝4，∴2AD +DC ＝2×4+4＝12，∴2AD+DC的最小值为12，故选：D．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．2．如图，已知AE∥CD，AB＝2，∠CBE＝2∠A＝60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+12CP的最小值为（）A．√3B．2 C．√32+1D．√3+1【分析】由已知可得∠A＝30°，∠ACB＝30°，∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小．【解答】解：∵∠CBE＝2∠A＝60°，∴∠A＝30°，∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝2，∵AE∥CD，∴∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，∵∠DCA＝30°，∴PQ=12 PC，∴BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小；∴BQ＝BC•sin60°=√3，故选：A．【点评】本题考查最短距离、平行线的性质；由胡不归原理求线段的最短距离，利用平行线和直角三角形的知识求解是关键．3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，AB ＝2，点E 为BD 上动点，连接AE ，则AE +12BE 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【分析】过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作AH ⊥BC 于H ，交BD 于E '，由△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，可得EM =12BE ，当AE +12BE 最小时，AE +EM 最小，此时E 与E '重合，M 与H 重合，AE +12BE的最小值为AH 的长度，在Rt △ABH 中，有AH ＝AB •sin ∠ABH ＝2×sin 60°=√3，故AE +12BE 最小值为√3．【解答】解：过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作AH ⊥BC 于H ，交BD 于E '，如图：∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠EBM ＝30°，∴EM =12BE ，∴AE +12BE ＝AE +EM ，当AE +12BE 最小时，AE +EM 最小，此时E 与E '重合，M 与H 重合，AE +12BE 的最小值为AH 的长度， 在Rt △ABH 中，AH ＝AB •sin ∠ABH ＝2×sin 60°=√3，∴AE +12BE 最小值为√3， 故选：C ．【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−49x 2+83x 与x 轴的正半轴交于点A ，B 点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC +5AC 的最小值为（ ）A ．24B ．25C ．30D ．36【分析】连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD 、OA 、OD ，再证明△OBD ∽△CBM ，△OBD ∽△OAN ，进而可得3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB 时，AC +CM 最小，根据AN OA =BD OB 求出AN ，AC +CM 最小值即为AN ，则问题得解．【解答】解：连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，如图，令y ＝0，得方程−49x 2+83x =0，解得：x 1＝0，x 2＝6，∴A 点坐标为（6，0），即OA ＝6，将y =−49x 2+83x 配成顶点式得：y =−49(x −3)2+4，∴B 点坐标为（3，4），∴BD ＝4，OD ＝3，∵CM ⊥OB ，AN ⊥OB ，∴∠BMC ＝∠ANO ＝90°，根据抛物线对称轴的性质可知BD ⊥OA ，∴∠BDO ＝90°，在Rt △BDO 中，利用勾股定理得OB =√OD 2+BD 2=√32+42=5，∵∠OBD ＝∠CBM ，∠BDO ＝∠BMC ＝90°，∴△OBD ∽△CBM ，同理可证得△OBD ∽△OAN ，∴BC MC =BO OD ，AN OA =BD OB ， ∴BC MC =BO OD =53，即3BC ＝5MC ， ∴3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），∵当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB 时，AC +CM 最小，∴AC +CM 最小值为AN ，如图所示，∵AN OA =BD OB ，∴AN =BD OB ×OA =45×6=245，∴AC +CM 最小值245， ∴即3BC +5AC ＝5（AC +CM ）＝24．故选：A ．【点评】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC ＝5MC ，进而得出3BC +5AC ＝5（AC +CM ）是解答本题的关键．二．填空题5．如图，▱ABCD 中∠A ＝60°，AB ＝6，AD ＝2，P 为边CD 上一点，则√3PD +2PB 最小值为 ．【分析】由直角三角形的性质可得DH =12DP ，HP =√3DH =√32DP ，则当点H ，点P ，点H 三点共线时，HP +PB 有最小值，即√3PD +2PB 有最小值，即可求解．【解答】解：如图，过点P 作PH ⊥AD ，交AD 的延长线于H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠CDH ＝60°，∵HP ⊥AD ，∴∠DPH ＝30°，∴DH =12DP ，HP =√3DH =√32DP ，∵√3PD +2PB ＝2（√32PD +PB ）＝2（HP +PB ）， ∴当点H ，点P ，点B 三点共线时，HP +PB 有最小值，即√3PD +2PB 有最小值，此时：BH ⊥AH ，∠A ＝60°，∴∠ABP ＝30°，∴AH =12AB ＝3，BH =√3AH ＝3√3，则√3PD +2PB 最小值为6√3，故答案为：6√3．【点评】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =√33x −√3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为 ．【分析】先求出点A ，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，作点B 关于OA 的对称点B '，可证△ABB '是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH =12AC ，则2BC +AC ＝2（B 'C +CH ），即当点B '，点C ，点H 三点共线时，B 'C +CH 有最小值，即2BC +AC 有最小值，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵一次函数y =√33x −√3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴点A （3，0），点B （0，−√3），∴AO ＝3，BO =√3，∴AB =√AO⬚2+OB⬚2=√9+3=2√3，如图，作点B 关于OA 的对称点B '，连接 AB '，B 'C ，过点C 作CH ⊥AB 于H ，∴OB ＝OB '=√3，又∵AO ⊥BB '，∴BB '＝2√3，AB ＝AB '＝2√3，BC ＝B 'C ，∴AB ＝BB '＝B 'A ，∴△ABB '是等边三角形，∵AO ⊥BB '，∴∠BAO ＝30°，∵CH ⊥AB ，∴CH =12AC ，∴2BC +AC ＝2（BC +12AC ）＝2（B 'C +CH ）， ∴当点B '，点C ，点H 三点共线时，B 'C +CH 有最小值，即2BC +AC 有最小值，此时，B 'H ⊥AB ，△ABB '是等边三角形，∴BH ＝AH =√3，∠BB 'H ＝30°，∴B 'H =√3BH ＝3，∴2BC +AC 的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C 的位置是解题的关键．7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +√55BD的最小值是 ．【分析】过D 点作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，如图，利用等角的余角相等得到∠ABE ＝∠ACH ，在Rt △ABE 中根据正切的定义得到tanA =CH AH =2，则可设AH ＝x ，CH ＝2x ，所以AC =√5x ＝20，解方程得到AH ＝4√5，CH ＝8√5，则sin ∠ACH ＝tanABE =√55，在Rt △BDF 中利用正弦的定义得到DF =√55BD ，从而得到CD +√55BD ＝CD +DF ，然后根据垂线段最短解决问题．【解答】解：过D 点作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，如图，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AB ，CH ⊥AB ，∴∠∠BFD ＝∠AEB ＝∠AHC ＝90°，∵∠A +∠ABE ＝90°，∠A +∠ACH ＝90°，∴∠ABE ＝∠ACH ，在Rt △ABE 中，∵tanA =CH AH =2，∴设AH ＝x ，CH ＝2x ，∴AC =√x 2+(2x)2=√5x ，即√5x ＝20，解得x ＝4√5，∴AH ＝4√5，CH ＝8√5，∴sin ∠ACH =AH AC =4√520=√55， ∴tanABE =√55，在Rt △BDF 中，∵sin ∠FBD =DF BD =√55，∴DF =√55BD ，∴CD +√55BD ＝CD +DF ，∵CD +DF ≥CH （当且仅当C 、D 、F 共线时取等号），∴CD +√55BD 的最小值是8√5．故答案为：8√5．【点评】本题考查了胡不归问题：用垂线段DF 表示√55BD 和运用垂线段最短是解决问题的关键．也考查了解直角三角形．8．如图，矩形OABC 两边与坐标轴正半轴重合，Q 是AB 边上的一个动点，P 是经过A ，C 两点的直线y =−√3x +2√3上的一个动点，则4PQ +2CP 的最小值是 ．【分析】4PQ +2CP ＝4（PQ +12CP ），再考虑胡不归．【解答】解：过P作PM⊥OC，垂足为M，过Q作QN⊥OC，垂足为N，当x＝0时，y=−√3x+2√3=2√3，∴OC＝2√3，令y=−√3x+2√3=0得x＝2，∴OA＝2，∴tan∠OCA=OAOC=22√3=√33，∴∠OCA＝30°，∴PM＝PC•sin∠OCA＝PC•sin30°=12 PC，∴4PQ+2CP＝4（PQ+12CP）＝4（PQ+PM）≥4QN＝4×2＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了胡不归模型，关键是将4PQ+2CP提取系数4．三．解答题9．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长；（2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+√5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）【分析】（1）作∠BAC 的平分线与△ABC 的外接圆相交于点D ，点D 即为所求；过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于N ．利用全等三角形的性质证明AM ＝AN ＝5，可求解；（2）取格点M ，连接CM ，取CM 的中点J ，连接AJ ，取格线的中点K ，连接BK （BK ⊥AJ ），交AC 于P ，交AJ 于I ，点P 即为所求作．【解答】解：（1）如图，点D 即为所求作．如图，过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于N ．在△ADM 和△ADN 中，{∠DAM =∠DAN∠AMD =∠AND =90°AD =AD，∴△ADM ≌△ADN （AAS ），∴DM ＝DN ，AM ＝AN ，∵∠DAB ＝∠DAC ，∴DB̂=DC ̂， ∴DB ＝DC ，∵∠DMB ＝∠N ＝90°，∴BM＝CN，∵AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝10，∴AN＝5，∴AD=ANcos30°=53210√33；（2）如图2，点P为所求，步骤：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求．【点评】本题考查了胡不归问题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．10．如图，四边形ABCD是边长为√2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．【分析】（1）根据旋转的性质得BM＝BN，∠MBN＝60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA＝BE，∠ABE＝60°，易得∠ABM＝∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；②由△BMN为等边三角形得BM＝MN，由△AMB≌△ENB得EN＝AM，根据两点之间线段最短，当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，作EH⊥BC于H，先计算出∠EBH＝30°，在Rt△EBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到EH=12BE=√22，BH=√3EH=√62，然后在Rt△EHC中，根据勾股定理可计算出CE=√3+1．【解答】（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，∵∠ABM+∠ABN＝60°，∠EBN+∠ABN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，{AB=EB∠ABM=∠EBN BM=BN，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=√2×√2=2，点O为BD的中点，∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；②∵△BMN为等边三角形，∴BM＝MN，∵△AMB≌△ENB，∴EN＝AM，作EH ⊥BC 于H ，∵∠ABE ＝60°，∠ABC ＝90°，∴∠EBH ＝30°，在Rt △EBH 中，EH =12BE =√22，BH =√3EH =√62，在Rt △EHC 中，CH ＝BH +BC =√62+√2，∴CE 2＝CH 2+EH 2＝（√62+√2）2+（√22）2＝4+2√3=（√3+1）2， ∴CE =√3+1， ∴当M 点在CE 上时，AM +BM +CM 的值最小，这个最小值为√3+1．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题．11．如图，二次函数y 1＝k （x +2）﹣4）的图象与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．经过点B 的直线y 2＝﹣x +b 与二次函数图象的另一交点为D ，交y 轴于E ．（1）求b 的值；（2）连接OD ，若△OBE 与△OED 的面积之比为4：5，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒√2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中所用时间最少？【分析】（1）由题意可求点A，点B坐标，将点B坐标代入一次函数解析式可求b的值；（2）设点D（m，n），由△OBE与△OED的面积之比为4：5，可求m的值，代入一次函数解析式可求点D坐标，将点D坐标代入二次函数解析式可k的值，即可求二次函数的表达式；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1DF√2=AF+FH；再由垂线段最短，得到垂线段AG与直线BD的交点，即为所求的F点．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，∴k（x+2）（x﹣4）＝0∴x1＝﹣2，x2＝4∴A（﹣2，0），点B（4，0）∵直线y2＝﹣x+b经过点B∴0＝﹣4+b∴b＝4（2）设点D（m，n）∵直线y2＝﹣x+4经过点E∴E（0，4）∵△OBE与△OED的面积之比为4：5，∴（12×4×4）：[12×4×（﹣m）]＝4：5∴m＝﹣5∵点D在直线直线y2＝﹣x+4上，∴n＝5+4＝9∴点D（﹣5，9）∵点D在二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）上∴9＝k×（﹣3）×（﹣9）∴k=1 3∴二次函数解析式为：y1=13（x+2）（x﹣4）=13x2−23x−83，（3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H，∵点E（0，4），点B（4，0）∴OE＝OB＝4∴∠OBE＝45°∵DP∥x轴，∴∠HDF＝∠OBE＝45°∵FH⊥DP∴∠HFD＝∠HDF＝45°∴DH＝HF∴DF=√2HF由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1FD√2=AF+HF，即运动的时间值等于折线AF+的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长．∴AG与BD的交点为点F∴点F的横坐标为﹣2，∴y＝2+4＝6∴点F坐标为（﹣2，6）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，函数极值的确定方法，解（1）的关键是求出点B的坐标，解（2）的关键是用三角形的面积公式求出点D坐标，解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题．12．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过B，C，D，作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'，求BB'+CC'+DD'的最大值和最小值．【分析】找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，并且根据本等量关系计算得BB′+CC′+DD′=2AP，根据AP的取值范围计算BB′+CC′+DD′的最小值和最大值【解答】解：连接AC和DP，∵S△DPC＝S△APC=12 AP•CC′，∴S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP（BB′+DD′+CC′）＝1，∴BB′+CC′+DD′=2 AP．又∵AB≤AP≤AC，即1≤AP≤√2，故√2≤BB′+CC′+DD′≤2，∴BB′+CC′+DD′的最小值为√2，最大值为2．故最大值为2，最小值为√2．【点评】本题涉及垂线可考虑用面积法来求．故找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，本题13．（1）如图①，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，若D 是BC 边上的动点，求2AD +DC 的最小值．（2）如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D ，E 分别是BC ，AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接P A ，PB ，求P A +14PB 的最小值． 【分析】（1）过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，DF =12DC ，2AD +DC ＝2（AD +12DC ）＝2（AD +DF ），当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．（2）如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．利用相似三角形的性质证明PF =14PB ，根据PF +P A ≥AF ，利用勾股定理求出AF 即可解决问题．【解答】解：（1）过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图①，在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC ＝2（AD +12DC ）＝2（AD +DF ），∴AD ＝BD ＝AB ＝2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，∴BC ＝4，∴DC ＝BC ﹣BD ＝4﹣2＝2，∴2AD +DC ＝2×2+2＝6，∴2AD +DC 的最小值为6．（2）如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．∵∠DCE ＝90°，DE ＝4，DP ＝PE ，∴PC =12DE ＝2，∵CF CP =14，CP CB =14， ∴CF CP =CP CB ，∵∠PCF ＝∠BCP ，∴△PCF ∽△BCP ，∴PF PB =CF CP =14， ∴PF =14PB ，∴P A +14PB ＝P A +PF ，∵P A +PF ≥AF ，AF =√CF 2+AC 2=√(12)2+62=√1452，∴P A +14PB ≥√1452，∴P A +14PB 的最小值为√145．14．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为y 轴上一个动点，连接BP ，求√10CP +10BP 的最小值；（3）连接AC ，在x 轴上是否存在一点P ，使得∠PCO +∠ACO ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式；（2）对条件√10CP +10BP 提取系数10，再利用胡不归模型；（3）构造和∠ACO 相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0），B （3，0），∴{a −b +3=09a +3b +3=0， 解得{a =−1b =2， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）过点P 作PM ⊥AC ，垂足为M ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在y ＝﹣x 2+2x +3中，令x ＝0，则y ＝3，∴C （0，3），在△AOC 中，OA ＝1，OC ＝3，AC =√10，∴sin ∠ACO =OA AC =√1010， 在△CMP 中，sin ∠ACO =MP CP =√1010， ∴MP =√1010CP ， ∵S △ABC =12×AB ×OC =12×4×3=12×AC ×BN =12×√10×BN ，∴√10CP +10BP ＝10（√1010CP +BP ）＝10（MP +BP ）≥10BN ＝10×6√105=12√10， ∴√10CP +10BP 的最小值为12√10．（3）如图，∠PCO +∠ACO ＝45°，∴∠ACP ＝45°，∵OA ＝OB ＝3，∴△COB 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°，∴∠ACO ＝∠PCB ，过点B 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴tan ∠PCB =PQ CQ =tan ∠ACO =OA OC =13，∴CQ ＝3PQ ，设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ，BQ ＝PQ =√22（3﹣x ），又CQ +PQ ＝BC =3√2，∴3×√22×（3﹣x ）+√22（3﹣x ）＝3√2， ∴x =32，∴P （32，0）．由对称性得，P'（−32，0）也满足题意，∴P（32，0）或（−32，0）．【点评】本题考查了二次函数用待定系数法求表达式，胡不归模型等．第（3）问关键是构造和∠ACO相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

专题14几何综合六种模型通用的解题思路：题型一：两垂一圆构造直角三角形模型平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC为直角三角形分类讨论:若∠A=90°,则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外);若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型分类讨论:若AB=AC,则点C在以点A为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN 以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节题型三：胡不归模型【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值.2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC =，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．1．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）2．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PABCDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．EDCBAC例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．例五：如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为( )A．9 B．9 C．18+D．18 例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．QPABCPABCPABCABCP三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=30ABD∠=︒，点E是边AB的中点，过点E作EF AB⊥交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF∆绕点B按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将BEF∆绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF∆旋转至D、E、F三点共线时，则ADE∆的面积为．2．（2021•贵港）已知在ABC∆中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC∆绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF∆，连接AE，CF．（1）如图1，当90=；=时，则AE与CF满足的数量关系是AE CF∠=︒且AB ACBAC（2）如图2，当90≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若∠=︒且AB ACBAC不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD OABC=时，求DE的长．=，连接DE，当5==，6AO CF3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =；（2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60︒得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC=时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；∆，（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ． （1）如图1，当60α=︒时， ①求证：PA DC =； ②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．3．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）4．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PAB CDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】等边三角形中的旋转型全等连接OB 、OC ，易证△OBD ≌△OCE ，∴OD =OE ，结论①正确；考虑∠FOG 是可以旋转的，△ODE 面积和△BDE 面积并非始终相等，故结论②错误；ECBACC∵△OBD ≌△OCE ，∴四边形ODBE 的面积等于△OBC的面积，142OBCS=⨯=，故结论③正确；考虑BD =CE ，∴BD +BE =CE +BE =4，只要DE 最小，△BDE 周长就最小，△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，故OD 最小，DE 便最小， 当OD ⊥AB 时，OD此时2DE ==，∴周长最小值为6，故结论④正确． 综上，选C ，正确的有①③④．【小结】所谓全等，实际就是将△ODB 绕点O 旋转到△OEC 的位置．等等，好像和某个图有点神似，如下：当然这个图形还可以简化一下，毕竟和D 点及F 点并没有什么关系．结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转．例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．【分析】连接PP '，则CPP '△是等边三角形，故6PP PC '==，易证△CPB ≌CP A '△，∴10AP BP '==， 又AP =8，∴APP '△是直角三角形，∴3sin 5PAP '∠=．D例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．【分析】分四边形为三角形．连接PQ ，易证△APQ 是等边三角形，△BPQ 是直角三角形，26APQS=168242BPQS =⨯⨯=， ∴四边形APBQ的面积为(．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．【分析】构造旋转．如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ， 可得△AEP 是直角三角形，△BEP 是等边三角形，21688242APBBPCAEPBEPSSSS+=+=⨯⨯+=+ 所以本题答案为24+QPABCQPABCPABCC搭配一：若222PA PB PC+=，则可任意旋转，得等边+直角．且两条较短边夹角（∠APB）为150°．搭配二：若∠APB=150°，则有222PA PB PC+=．例五：如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为()A．9B．9C．18+D．18【分析】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．法一：如图，将三个小三角形面积分别123S S S、、考虑到△ABC是等边三角形，可将△APB 旋转到△ADC位置，可得：21331334642ADP PCDS S S S+=+=+⨯⨯=，同理可得：212143462S S++⨯⨯=，223153462S S+=+⨯⨯=，∴()123218S S S++，∴1239S S S++，故选A．CC CPABCS3S2S1PAB CC法二：如图，易证∠APB =150°，过点A 作BP 的垂线交BP 延长线于点H ，则1322AH AP ==，PH，4BH =)2229271625944S AH BH ==+=+++=+=⎝． 【思考】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？作旋转之后，可得△AEP 是等腰直角三角形，若使△PEB 也为直角三角形， 则原∠APD =135°，而线段PA 、PB 、PD 之间的关系为：2222PA PD PB +=．搭配一：若∠APD =135°，则2222PA PD PB +=；搭配二：若2222PA PD PB +=，则∠APD =135°．另外，其实这个图和点C 并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形． 大概如下图：抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式．例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．【分析】显然根据∠APB =135，构造旋转．可得：△APQ 是等腰直角三角形，△PQC 是直角三角形，且∠PQC =90°，另外还有条件PC =HPABC EAB CDEPABCPC重新梳理下条件，（1）有一条线段PC =（2）∠PQC =90°，则Q 点轨迹是个圆弧，（3）以PQ 为斜边在PC 异侧作等腰直角三角形，点A 是直角顶点．∴A 点轨迹是什么？瓜豆原理啦，也是个圆弧：∴AC22=．三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ． 实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF= ；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为 ． （2）小王同学继续将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸：在以上探究中，当BEF ∆旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE ∆的面积为 ．CPP PCCC【解答】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB ==， ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，2AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，∴=AE ∴，ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯==； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122AE DG =⨯⨯==2．（2021•贵港）已知在ABC ∆中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC ∆绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ∆，连接AE ，CF ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒且AB AC =时，则AE 与CF 满足的数量关系是 ；（2）如图2，当90BAC ∠=︒且AB AC ≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD OA =，连接DE ，当5AO CF ==，6BC =时，求DE 的长．【解答】解：（1）结论：AE CF=．理由：如图1中，=，∠=︒，OC OB AB ACBAC=，90⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，AOC EOF90∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OCAOE COF SAS∴∆≅∆，()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，=，∠=︒，OC OBBAC90∴==，OA OC OB∠=∠，AOC EOF∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OC∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OEOC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OACF OC=，5 CF OA==，∴5 53 AE=，253 AE∴=，DE∴=．3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =； （2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图①中，EA ED =，45EAD ∠=︒，45EAD EDA ∴∠=∠=︒，90AED ∴∠=︒，BF FD =，12EF DB ∴=， 90CAB ∠=︒，45CAD BAD ∴∠=∠=︒，1452ABC AED ∠=∠=︒， 45ACB ABC ∴∠=∠=︒，AC AB ∴=，AD ∴垂直平分线段BC ，DC DB ∴=，12EF CD ∴=． （2）解：如图②中，结论：12EF CD =．理由：取CD 的中点T ，连接AT ，TF ，ET ，TE 交AD 于点O ． 90CAD ∠=︒，CT DT =，AT CT DT ∴==，EA ED =，ET ∴垂直平分线段AD ，AO OD ∴=，90AED ∠=︒，OE OA OD ∴==，CT TD =，BF DF =，//BC FT ∴，45ABC OFT ∴∠=∠=︒，90TOF ∠=︒，45OTF OFT ∴∠=∠=︒，OT OF ∴=，AF ET ∴=，FT TF =，AFT ETF ∠=∠，FA TE =，()AFT ETF SAS ∴∆≅∆，EF AT ∴=，12EF CD ∴=．如图③中，结论：EF =．理由：取AD 的中点O ，连接OF ，OE ．EA ED =，60AED ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，AO OD =，OE AD ∴⊥，30AEO OED ∠=∠=︒，tan AO AEO OE ∴∠==∴OEAD =1302ABC AED ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，AB ∴，AO OD =，BF FD =，12OF AB ∴=，∴OF AC =， ∴OE OFAD AC =，//OF AB ，DOF DAB ∴∠=∠，90DOF EOF ∠+∠=︒，90DAB DAC ∠+∠=︒，EOF DAC ∴∠=∠，EOF DAC ∴∆∆∽，∴EFOECD AD =，EF ∴．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒． （1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．【解答】（1）证明：90AOB MON ∠=∠=︒， AOB AON MON AON ∴∠+∠=∠+∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=；（2）①证明：连接BN ，90AOB MON ∠=∠=︒，AOB BOM MON BOM ∴∠-∠=∠-∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，45MAO NBO ∴∠=∠=︒，AM BN =，90MBN ∴∠=︒，222MB BN MN ∴+=，MON ∆都是等腰直角三角形，222MN ON ∴=，2222AM BM OM ∴+=；②解：如图3，当点N 在线段AM 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴-+=，解得：x =，AM BN ∴= 如图4，当点M 在线段AN 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴++=，解得：x =，AM BN ∴=，综上所述，线段AM ． 5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP AC =时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且APQ ∆，求线段AP 的长度．【解答】解：（1）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒， ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=．（2）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒，ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒；BQ AP AC BC ∴===，AP AC =，90CAP ∠=︒，30BAP ∴∠=︒，75ABP APB ∠=∠=︒，135CBP ABC ABP ∴∠=∠+∠=︒，45CBD ∴∠=︒，45QBD ∴∠=︒，CBD QBD ∴∠=∠，即BD 平分CBQ ∠，BD CQ ∴⊥且点D 是CQ 的中点，即直线PB 垂直平分线段CQ ．（3）①当点Q 在直线l 上方时，如图所示，延长BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒， ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 60BEF ∴∠=︒，设AP t =，则BQ t =，EQ t ∴=-，在Rt EFQ ∆中，)QF t =-，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即1)2t ⋅-=，解得t =t ．即AP ． ②当点Q 在直线l 下方时，如图所示，设BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒，ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，120BEF ∴∠=︒，60QEF ∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 设AP m =，则BQ m =，EQ m ∴=-，在Rt EFQ ∆中，QF m =，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即12m m ⋅-解得m m ==．综上可得，AP 6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．【解答】（1）①证明：如图1中，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ， PB PD ∴=，AB AC =，PB PD =，60BAC BPD ∠=∠=︒， ABC ∴∆，PBD ∆是等边三角形，60ABC PBD ∴∠=∠=︒，PBA DBC ∴∠=∠，BP BD =，BA BC =，()PBA DBC SAS ∴∆≅∆，PA DC ∴=．②解：如图1中，设BD 交PC 于点O ．PBA DBC ∆≅∆，BPA BDC ∴∠=∠，BOP COD ∠=∠，60OBP OCD ∴∠=∠=︒，即60DCP ∠=︒．（2）解：结论：CD =．理由：如图2中，AB AC =，PB PD =，120BAC BPD ∠=∠=︒，2cos30BC AB ∴=⋅⋅︒，2cos30BD BP =⋅︒=，∴BC BD BA BP= 30ABC PBD ∠=∠=︒，ABP CBD ∴∠=∠，CBD ABP ∴∆∆∽，∴CD BC PA AB=CD ∴=．（3）过点D 作DM PC ⊥于M ，过点B 作BN CP ⊥交CP 的延长线于N ． 如图31-中，当PBA ∆是钝角三角形时，在Rt ABN ∆中，90N ∠=︒，6AB =，60BAN ∠=︒，cos603AN AB ∴=⋅︒=，sin 60BN AB =⋅︒=2PN PB ==， 321PA ∴=-=，由（2）可知，CD = BPA BDC ∠=∠，30DCA PBD ∴∠=∠=︒， DM PC ⊥，12DM CD ∴=如图32-中，当ABP ∆是锐角三角形时，同法可得235PA =+=，CD =12DM CD ==综上所述，满足条件的DM ．．。

初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

12024学年初中数学几何（阿氏圆模型）模型专项练习1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A 、B，则所有符合＝k（k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点C （m ，0），D （0，n ），点P 是平面内一动点，且OP ＝r ，设＝k ，求PC +kPD 的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ；第二步：证明kPD ＝PM ；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ， 又∵∠POD ＝∠MOP ，∴△POM ∽△DOP ． 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为△ABC 内一动点，满足CD ＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD 的最小值．2．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+的最小值和PD ﹣的最大值；2的一个动点，那么PD +的最小值为 ，PD ﹣的最大值为 ．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD +的最小值为 ，PD ﹣的最大值为 ．3．【问题背景】如图1，△ABC中，∠BAC＞∠B，点D在边BC上，若∠CAD＝∠B，则可得△CAB∽△CAD ，进而可得，进一步变形有AC2＝CD•CB．【简单运用】（1）如图1，若AC＝2，BC＝4，则BD长为；＝ ．（2）如图2，⊙O中，弦AD、BC相交于点E，已知AB＝2AE，BE＝15，且C是劣弧AD的中点，求CD的长．【灵活运用】如图3，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9交于坐标轴于A、B两点，点P坐标为（m，n），且m2+n2＝36，连接P A，PB，则3PB+2P A的最小值为．3动点，则PD ﹣PC 的最大值为 ．5．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足＝k （k 为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC 中，CB ＝4，AB ＝2AC ，则△ABC 面积的最大值为 ．参考答案1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的过程解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上过程解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【过程解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．2．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．【过程解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝． ∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝． 故答案为，．3．【问题背景】如图1，△ABC中，∠BAC＞∠B，点D在边BC上，若∠CAD＝∠B，则可得△CAB∽△CAD，进而可得，进一步变形有AC2＝CD•CB．【简单运用】（1）如图1，若AC＝2，BC＝4，则BD长为3；＝ ． （2）如图2，⊙O中，弦AD、BC相交于点E，已知AB＝2AE，BE＝15，且C是劣弧AD的中点，求CD的长．【灵活运用】如图3，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9交于坐标轴于A、B两点，点P 坐标为（m，n），且m2+n2＝36，连接P A，PB，则3PB+2P A的最小值为3． 【过程解答】解：（1）∵AC2＝CD•BD，∴4CD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵△CAB∽△CAD，∴＝＝＝，故答案是3，；（2）如图1，∵＝，∴∠B＝∠CAE，由上知，∴△ACE∽△BCA，∴＝＝＝＝， AC2＝CE•BC，∴AC＝2CE，∴4CE2＝CE•（CE+15），∴CE＝5，∴CD＝AC＝2CE＝10；【灵活运用】如图2，由题意得，∵且m2+n2＝36，∴OP＝6，在OA上截取OC＝4，∴＝，又∵∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴＝，∴P A＝PC，∴PB+P A＝PB+PC≥BC，当B、P、C共线时，（PB+PC）最小＝BC＝＝，∵3PB+2P A＝3（PB+P A），∴（3PB+2P A）最小＝3，故答案是3．4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 5．【过程解答】解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵＝2，＝2，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5． 故答案为：55．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．【过程解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC 的延长线交于点P，∵∠CAP＝∠ABC，∠BP A＝∠APC，AB＝2AC，∴△APC∽△BP A，，∴BP＝2AP，CP＝AP，∵BP﹣CP＝BC＝4，∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，∴BP＝，CP＝，即点P为定点，∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P 与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，S△ABC＝BC•A1P＝×4×＝．故答案为：．1．（2021•黔西南州中考真题）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．【过程解答】解：（1）如图1中，连接OD、DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO，OE＝BE．解法一：∵在⊙O中，DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°，∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，∴CD是⊙O的切线；解法二：∵BC＝OB，OB＝OD，∴＝＝＝，又∵∠DOE＝∠COD，∴△EOD∽△DOC，∴∠CDO＝∠DEO＝90°，∴CD为圆O的切线；（2）答：这个确定的值是．连接OP，如图2中：由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝。

全等模型巩固练习1． 王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）见解析；（2）20cm【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）由题意得：AD ＝2×3＝6cm ，BE ＝7×2＝14cm ，∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．2． 如图，小明站在堤岸的A 点处，正对他的S 点停有一艘游艇，他想知道这艘游艇距离他多远，于是他沿堤岸走到电线杆B 旁，接着再往前走相同的距离，到达C 点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．此时他位于D 点．那么C 、D 两点间的距离就是在A 点处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗？【解答】见解析【解析】在△ABS 与△CBD 中，{∠A =∠C =90°AB =CB ∠ABS =∠CBD，∴△ABS ≌△CBD （ASA ），∴AS ＝CD ．3． 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．【解答】见解析【解析】∵OC ＝35cm ，墙壁厚OA ＝35cm ，∴OC ＝OA ，∵墙体是垂直的，∴∠OAB ＝90°且CD ⊥OC ，∴∠OAB ＝∠OCD ＝90°，在Rt △OAB 和Rt △OCD 中，{∠OAB =∠OCD =90°OC =OA ∠AOB =∠COD，∴Rt △OAB ≌Rt △OCD （ASA ），∴DC ＝AB ，∵DC ＝20cm ，∴AB ＝20cm ，∴钻头正好从B 点处打出．4． 课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图AD ⊥DE ，BE ⊥DE ．（1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）若三角板的一条直角边AC ＝25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．【解答】（1）见解析；（2）5cm ．【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）∵一块墙砖的厚度为a ，∴AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∴AC =√AD 2+CD 2=5a ＝25，∴a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．5． 某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30cm ，由以上信息能求出CB 的长度吗？如果能，请求出BC 的长度，如果不能，请你说明理由．【解答】30cm【解析】∵O 是AB 、CD 的中点，∴OA ＝OB ，OC ＝OD ，在△AOD 和△BOC 中，{OA =OB∠AOD =∠BOC OC =OD，∴△AOD ≌△BOC （SAS ），∴CB ＝AD ，∵AD ＝30cm ，∴CB ＝30cm ．6． 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA ＝OD ，OB ＝OC ，只需测得AB ＝a ，EF ＝b ，就可以知道圆形容器的壁厚了．（1）请你利用所学习的数学知识说明AB ＝CD ；（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a ，b 的代数式表示）【解答】（1）见解析；（2）12（b ﹣a ） 【解析】（1）连接AB ．在△AOB 和△DOC 中，{OA =OD ∠AOB =∠DOC BO =OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD；（2）∵EF＝b，AB＝CD＝a，（b﹣a）．∴圆形容器的壁厚是127．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）（1）线段的长度就是A、B两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】（1）DE；（2）见解析【解析】（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；故答案为：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．8．某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A、B间的距离，于是工作人员在岸边A、B的垂线AF上取两点E、D，使ED＝AE．再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，这时测得CD 长就是AB 的距离．请说明理由．【解答】见解析【解析】证明：∵AB ⊥AD ，CD ⊥AD∴∠A ＝∠CDE ＝90°又∵ED ＝AE ，∠AEB ＝∠CED∴△ABE ≌△CED （AAS ）所以AB ＝CD ．9． 课间，王二丁拿着老师的等腰直角三角板的三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE（1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）已知DE ＝42cm ，请你帮王二丁求出砌墙的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．【解答】（1）见解析；（2）6【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）由题意得：∵一块墙砖的厚度为a ，∴AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：△ADC ≌△CEB ，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝42，∴a＝6，答：砌墙的厚度a为6cm．10．如图，小明站在乙楼BE前方的点C处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C 相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD是多少米？【解答】40米【解析】∵AD⊥DC，EB⊥BC，∴AD∥BE，∴∠AEF＝∠C，∵B、C相距30米，C、D相距60米，∴EF＝DB＝BC＝30米，∵∠AFE＝∠EBC＝90°，∴△AEF≌△ECB（ASA），∴AF＝BE，∵DF＝BE，∴AD＝2BE＝2×20＝40（米）．答：甲楼的高AD是40米．11．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE=13AB，AF=13AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．【解答】∠BAD ＝∠CAD【解析】雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD ＝∠CAD ，理由如下：∵AB ＝AC ，AE =13AB ，AF =13AC ， ∴AE ＝AF ，在△AOE 与△AOF 中，{AE =AF AO =AO OE =OF，∴△AOE ≌△AOF （SSS ），∴∠BAD ＝∠CAD ．12．如图，O 为海港码头，A ，B 是到海港码头O 距离相等的两座灯塔，OA ，OB 为海岸线，一艘渔船离开码头，计划沿∠AOB 的平分线方向航行，在航行途中，测得渔船到灯塔A ，B 的距离始终相等．（1）渔船是否偏离预定的航线？为什么？（C 表示渔船航行途中的某一位置）（2）已知灯塔A ，B 距离码头17海里，灯塔A ，B 相距16海里，若渔船航行到距离灯塔17海里的E 处，渔船离开海港码头多远？【解答】（1）渔船没偏离预定的航线；（2）30海里【解析】（1）没有偏离预定航行，理由如下：连接AC ，BC ，在△AOC 与△BOC 中，{OA =OBOC =OC AC =BC，∴△AOC ≌△BOC （SSS ）．∴∠AOC ＝∠BOC ，即点C 在∠AOB 的平分线上，∴渔船没偏离预定的航线；（2）连接AE ，AB 交OC 于∵OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC ，∴OC ⊥AB ，AC ＝BC =12AB ＝8， 由题意得，OA ＝OB ＝AE ＝17，AB ＝16，∴OC =√OA 2−AC 2=√172−82=15，∵AO ＝AE ，AC ⊥OE ，∴OE ＝2OC ＝30，故渔船离开海港码头30海里．13．如图，A 、B 两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 点出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC ＝CD ，过D 作DE ∥AB ，使E 、C 、A 在同一直线上，则DE 的长就是A 、B 之间的距离，请你说明道理．【解答】见解析【解析】∵DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CAB ，{∠CAB =∠CED∠ACB =∠ECD BC =CD∴△ABC ≌△EDC （AAS ），∴AB ＝ED ，答：DE 的长就是A 、B 之间的距离．14．如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC 的高AC 与右边滑梯EF 水平方向的长度DF 相等，两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系？【解答】∠ABC 与∠DFE 互余【解析】证明：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，{BC =EF AC =DF∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）∴∠ABC ＝∠DEF又∵∠DEF +∠DFE ＝90°∴∠ABC +∠DFE ＝90°即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余．。

初中数学几何模型大全及解析一中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE．（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.二角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .三手拉手模型【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .四邻边相等的对角互补模型五半角模型六一线三角模型七弦图模型八最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】综合练习已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．⑴求证：EG=CG且EG⊥CG；⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？。