70、数列的极限

高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。

极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。

一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。

2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。

（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。

（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。

3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。

（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。

数列与级数的极限与收敛数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个学科中都有广泛的应用。

了解数列与级数的极限与收敛性质对于深入理解这些概念及其应用至关重要。

本文将介绍数列与级数的极限与收敛，并探讨它们的性质和应用。

一、数列的极限数列可以看作是有序的实数集合。

如果数列的项随着索引的增大而趋近于某个确定的数，我们称这个数为数列的极限。

数列的极限可以分为有限极限和无限极限两种情况。

1. 有限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于一个有限数，我们称这个有限数为数列的有限极限。

记作lim(a_n) = A，其中a_n为数列的第n项，A为有限极限。

例如，数列1/n的极限为0，可以表示为lim(1/n) = 0。

2. 无限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于正无穷或负无穷，我们称这个无穷数为数列的无限极限。

记作lim(a_n) = ±∞。

例如，数列n 的极限为正无穷，可以表示为lim(n) = ∞。

二、数列的收敛性数列的收敛性描述了数列的极限是否存在。

收敛的数列具有趋近性，而发散的数列没有明确的趋近性。

1. 收敛数列如果数列存在有限极限，我们称这个数列为收敛数列。

收敛数列的项随着索引的增大越来越接近极限值。

例如，数列1/n是一个收敛数列，其极限为0。

2. 发散数列如果数列不存在有限极限，我们称这个数列为发散数列。

发散数列的项随着索引的增大没有明确的趋近性。

例如，数列n是一个发散数列。

三、级数的极限级数是数列部分和的无穷累加。

如果级数的部分和随着项数的增加而趋近于一个确定的数，我们称这个数为级数的极限。

级数的极限可以分为收敛和发散两种情况。

1. 收敛级数如果级数的部分和存在有限极限，我们称这个级数为收敛级数。

记作Σ(a_n) = S，其中a_n为级数的第n项，S为收敛级数的和。

例如，调和级数Σ(1/n)是一个收敛级数。

2. 发散级数如果级数的部分和不存在有限极限，我们称这个级数为发散级数。

发散级数的部分和没有明确的趋近性。

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。

其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。

本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。

2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。

3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。

二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。

2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。

三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。

2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。

3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。

四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。

2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。

3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。

斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。

数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。

证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。

(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。

（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。

3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。

推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。