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学科教师辅导讲义f.若数列中含有偶数项（2n 项），则nd s s =-奇偶；g.n n n n n s s s s s 232,,--成等差数列，且公差为d n 2。
（4）等差数列判断的方法：（先让学生总结，老师再进行补充） a.定义法：a n+1-a n =d （常数）⇔{a n }为等差数列；b.中项公式法：2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +）⇔{a n }为等差数列；c.通项公式法：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，则{a n }为公差是a 的等差数列；d.前n 项和公式法： S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数，则{a n }为等差数列。
【典型例题分析】例1、已知数列的前项和，数列的每一项都有，求数列的前项和.解析：，当时，.又当，.∴ 数列的通项公式为.故数列是首项为9，公差为的等差数列. 在中. 由二次函数的性质知， 当时，最大（若令则）. 而.∴的前五项为正，故，从第6项起又组成一个首项为1，公差为2的等差数列，其和为又.故当时，.综合上述，可得数列的前项和为点评 对于数列的问题要注意从函数的观点去认识．因为的前五项为正，从第六项起为负，所以的前项和只能用分段函数加以表述．变式练习：已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .（只是数值上有所改变，让学生独立完成）解析：由S n =12n －n 2知S n 是关于n 的无常数项的二次函数（n ∈N *），可知{a n }为等差数列，求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：当n =1时，a 1=S 1=12－12=11；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=12n －n 2－［12（n －1）－（n －1）2］=13－2n . ∵n =1时适合上式，∴{a n }的通项公式为a n =13－2n .由a n =13－2n ≥0，得n ≤213， 即当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，a n ＞0；当n ≥7时，a n ＜0. （1）当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n －n 2. （2）当n ≥7（n ∈N *）时， T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=（a 1+a 2+…+a 6）－（a 7+a 8+…+a n ） =－（a 1+a 2+…+a n ）+2（a 1+…+a 6） =－S n +2S 6=n 2－12n +72.∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧+--72121222n n n n ).,7(),,61(**N N ∈≥∈≤≤n n n n评述：此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题.例2、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。
“数列”就是一列数，也就是一列数排成一列。
“等差”就是差相等，也就是相邻两数的差相等。
特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，...和1，0，1，0，1，0，...的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况。
内1、概念及基本公式在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，......依此类推。
我们把等差数列第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，等差数列知识结构模块一：等差数列初步知识精讲内容分析而相邻两项的差则被称为公差。
在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系，请看下图：在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？第5项比第2项大几个公差呢？第7项比第1项大几个公差呢？第17项比第9项大几个公差呢？更重要的是，首项其实就是第一项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于（项数-1）.由此，我们就知道末项减去首项等于（项数-1）个公差的和，因此由此可以得到等差数列的通项公式：同时我们还可以得到以下这些公式：【例1】⑴一个等差数列共有13项。
每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？⑵一个等差数列共有13项。
每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？【难度】★【答案】⑴57；⑵9【解析】分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大？⑴解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-1333⨯+=2433+=57⑵解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13因为每一项都比它的前一项小2，所以首项最大由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-13-33⨯=24-33=9【总结】在运用公式时，审题要审清楚，不同的说法要相应的改变公式的加减。
人教版高中数学 等差数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。
用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。
6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥<所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式 解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n+=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1nnb a = （1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b（1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==- （2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案：A2. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52 答案：D3. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C4. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0答案：D5. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( ) A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案： B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．14答案：C2.若数列{a n}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24 B．27 C．30 D．33答案：D3.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15 B．30 C．31 D．64答案：A4.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100 B．120 C．140 D．160 答案：B5.已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.13D.12答案：A6.在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________. 答案：747.等差数列{a n}中，公差为12，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_______.答案：858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4 ，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项． 24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1， ∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3.∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， ∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ， 即sin 2B ＝sin A ·sin C ， ∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2，∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0， 即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．。
五年级奥数等差数列的认识与公式运用教师版一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示；和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=项,每组3个数,所以共45315÷=组,原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= 知识点拨教学目标五年级奥数等差数列的认识与公式运用教师版(思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。
小学四年级第六讲数列1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数1、重点是对数列常用公式的理解掌握2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？答案：共有67个数，第201个数是603解析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）解：项数=（201-3）÷3+1=67末项=3+3⨯（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603例2、全部三位数的和是多少？答案：全部三位数的和是494550解析：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=49455答：全部三位数的和是494550。
例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
答案：459解析：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。
解：11+21+31+……+91=（11+91）⨯9÷2=459例4、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。
等差数列及其应用(教师版）1．找规律填空：让学生花5分钟时间完成，并开小火车让小朋友汇报一下为什么这么填？（1）1，3，5，__7__ ，_9___；（2）2，6，18，54，__162__ ，__486__；（3）2，4，6，8，10，__12__；（4）5，10，15，20，__25__ ，__30__；（（6）0，3，8，15，__24__ ，__35__；（7）100，200，300，400，__500___ ，___600___；（8）0，2，3，5，10，18，33，__61__ ，__112__；根据练习结果看一下学生的观察和思考能力然后引入知识点（什么是数列？及首项和尾项项数）这样按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的一项，各项依次叫做这个数列的第一项（也叫做首项，如1），第二项，第三项，……，而把最后一个数叫做这个数列的末项。
如1，3，5，7，9这个数列共有5项，所以项数就是5。
实际生活中的数列（等差数列）1.，姚明入选NBA后，罚球练习第一天：600球第二天650球第三天700球第四天750球第五天800球2，鞋的尺码(单位mm)：220，225，230，235，245;3，车辆仪表盘上的时速表：0，20，40，60，80，100，120；4，挂历上的1月，2月，3月，4月，5月……12月大家来仔细观察一下这些数列都有什么特征吗？都是递增的，相邻两数之间的差相等引入知识点（什么等差数列？公差的）以上数列都有这样一个特点；从第二项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个数，这个数我们把它叫做这个数列的公差；这样的数列就叫做等差数列。
例1．引导得出求末项公式=（项数-1）×公差+首项求等差数列3，7，11，15，……的第10项是多少？（第50项是多少？第100项又是多少呢？）4*0+3，4*1+3，4*2+3，4*3+3……第10项是4*9+3=39，4是公差，9是（10-1）也就是要求的项数减1，3是首项，所以我们要求一个等差数列的第10项，末项=（项数-1）×公差+首项（通项公式）例2，求数列 2，6，10，……，26，30共有几项？问共有几项？就是求这个数列的项数首先30和2相差28，28里包含多少个公差4呢，28÷4=7个，和首项差一个公差，这项是6，和首项差两个公差这项就是10……，那和首项差了7个公差这项是30，也就是说，首项后面有7项，再加上首项就是8项（30-2）÷4+1 得出求项数的公式项数 = （末项–首项）÷公差 + 1如果这个数列延长至62那这个数列的项数是多少？例3.通过二种解法，得出等差数列求和公式，= （首项+ 末项）×项数÷2 ；计算：1 + 2 + 3 + 4 + …… + 18 + 19 + 20方法一 =（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（10+11）=（1+20）×20÷2 （首项+ 末项）×项数÷2方法二两个等差数列竖式计算例4，等差数列的和 = 中项×项数（注：项数是奇数时，它有中项，可以用中项公式求和，项数是偶数时，它没有中项，就不能随意套用中项公式求和计算）。
计算：1 + 2 + 3 + 4 + ……+13+…… + 23 + 24 + 25用公式求和 =（1+25）×25÷2=325大家发现这个数列项数是多少？项数是25，项数是奇数，那最中间的一项是哪一项？13=（1+25）+（2+24）+（3+23）+……+（12+14）+1313*2 13*2 13*2 13*113*2*12+13*1=13*25中项*项数=等差数列的和中项=（首项+末项）÷2那现在我们把数列延长1 + 2 + 3 + 4 + ……+13+…… + 23 + 24 + 25+……+45这时这个等差数列的和是多少呢？同学们自己算一下试试看。
等差数列的和=中项*项数=（1+45）÷2*45=23*45=1035好的，刚才我们学习了两个等差数列的求和公式，其中中项*项数的公式只有在项数是奇数时，它有中项，才可以用中项公式求和，项数是偶数时，它没有中项，所以就可以用（首项+ 末项）×项数÷2求和计算）。
下面我们增加点小难度例5，自1开始，每隔两个数写出一个数来，可以得到数列 1、4、7、……。
问：（1）第50个数是几？第100个数是几？（2）前50个数的和是多少？首先我们根据数列来看，知道了哪些信息呢？（1）这两个问题分别让我们求什么呢？（末项）那末项是怎么求的？（根据末项公式）求出答案答：第50个数是148。
答：第100个数是298。
（2）是求什么？（是求前50项的和）怎么求？（用求和公式）（首项+末项）*项数÷2=（1+148）*50÷2=3725（3）是让我们求什么？（假如418是这个数列的末项就是求这个数列的项数）1，4，7，……，415，418项数=（末项-首项）÷公差+1=（418-1）÷3+1=140答：418是这个数列的第140项。
下面我们再增加难度来看这道例题例6，一个等差数列的第5项是18，第9项是30，那么它的第1项是几？？......18， (30)首先大家先思考根据，这个等差数列告诉了我们哪些条件？（首项？末项？项数？公差？）（告诉了我们末项是30，项数是9，不知道公差和首项。
）是让我们求什么呢？（要求第一项也就是首项）我们刚才只学过了求末项的方法末项=（项数-1）*公差+首项根据和减一个加数等于另一个加数推导出求首项的公式首项=末项-（项数-1）*公差得出首项的计算公式末项-首项=（项数-1）*公差被减减-减数=差公差=（末项-首项）÷（项数-1）得出公差的计算公式乘数=积÷被乘数但要计算公差要知道首项末项和项数这些题目中有没有告诉我们呢？其实我们可以先把18，…………30这列数拿出来单独看成一个等差数列，公差和原来数列不变 18作为这个数列的首项，把30作为这个数列的末项，根据已知条件，18和30中间还有几项？应该有第6，7，8项，3项，共有 9-5+1=5那这个数列总共是5项。
现我们知道了项数，首项，末项求公差会求了吗？公差=（末项-首项）÷（项数-1）=（30-18）÷（5-1）=12÷4=3求得公差后，我们再把这个数列的18作为末项，根据首项公式首项=末项-（项数-1）*公差=18-（5-1）*3=18-4*3=18-12=6答：第1项是6刚才我们又学习了根据数列求公差和首项的方法，如果一个数列只告诉你中间的一项和末项，让我们求首项，我们可以先把中间的一项作为首项，先求出项数，再根据求公差的公式求出公差，最后下面我们为了让大家加深理解，我们再来一道类似的例题例7，一个等差数列的第4项是14，第12项是46，那这个数列的第1项和第30项分别是？先把14作为首项 46作为末项一共是12-4+1=9 项数是9公差=（末项-首项）÷（项数-1）=（46-14）÷（9-1）=32÷8=4首项=末项-（项数-1）*公差=46-（12-1）*4=46-44=2答：这个数列的第一项是2。
第30项（末项）=（项数-1）*公差+首项=（30-1）*4+2=29*4+2=116+2=118答：第30项是118。
下面我们来看看在我们实际生活中碰到等差数列的问题例8，建筑工地上有一堆砖，共550块，已经上面每一层都比下面一层要少5块，共堆了5层，问最上面一层有几块砖？这题中告诉了我们哪个等差数列的信息呢？（和，项数，公差，不知道末项，和首项。
）和=（首项+末项）*项数÷2=中项*项数（因为项数是5，奇数）所以，中项=等差数列的和÷项数550÷5=110（块）第三层第二层110-5=105（块）第一层 105-5=100（块）或最上层的首项=末项-（项数-1）*公差 110-（3-1）*5=110-10=100（块）答：最上层有100块砖。
1.找规律填空：（1）____，4，9，16，25，____；（2）1，3，2，4，3，____ ，____，____；（3）198，297，396，495，____ ，____；（4）5，20，13，52，3，12，____ ，60；（5）4，21，6，18，8，15，10，____；3．计算:(4 + 5×6) + (4 + 5×7) + (4 + 5×8) + …… +(4 + 5×20) = （ =34+39+44+……+104=（34+104）*5÷2=1035 ）=4*15+5*6*15+（5+10+15+……+70）=10354.求所有三位数中3的倍数的和？102+105+108+……+999 项数=（999-102）÷3+1=300和=（102+999）*300÷2=165150=3*（34+35+36+ (333)=3*[（34+333）*300÷2]=3*55050=1651505.1-100里不是5和9的倍数的自然数的和是多少？（1+2+3+......+100）-（5+10+15+......+100）-（9+18+27+ (99)=5050-1050-594=4000-594=3406=5050-5*（1+2+3+……+20）-9*（1+2+3+……+11)=5050-5*210-9*66=5050-1050-594=34066.一个影剧院共有28排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第28排有78个座位，这个影剧院共有多少个座位？……,76,78首项=末项-（项数-1）*公差78-（28-1）*2=78-54=2424+26+……+76+78=（24+78）*28÷2=1428（个）或=2*（12+13+14+……+38+39）=2*（51*14）=2*714=1428（个）7.有一列数：1、1994、1993、1、1992、1991、1、……，即从第三个数起，每一个数都是它们前面两个数中较大数减去较小数的差。
那么第997个数是几？第998个数是几？方法一我们先把每三个数分成一组，那第997个数在第几组？997÷3=332……1 第997个数是第333组第一个，也就是1。
第998个数也在第333组里这333组里有333个1，从998个数的数列把333个1拿掉就剩下665个数了这665个数也就是一个等差数列1994，1993，1992，1991……求出末项就等于求得第998个数？反向排列……1991，1992，1993，1994 这665个数求得首项首项=末项-（项数-1）*公差1994-664*1=1330方法二我们先把每三个数分一组第999个数属于第333组三个中第三个数。
