【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修四《正弦函数的性质与图像》课时练习及解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图像是( )【解析】 当x ＝π2时y ＝0，当x ＝0时y ＝1， 当x ＝2π时y ＝1，结合正弦函数的图像知B 正确． 【答案】 B2．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，b 在函数y ＝2sin x ＋1的图像上，则b 等于( )A ．22B ．2C ．2D ．3【解析】 由题意知b ＝2sin π4＋1＝2. 【答案】 C3．若函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2与y ＝1围成一个平面图形，则这个封闭的图形面积是( )A ．2B ．4C ．2πD ．4π【解析】 如图，由对称性知，所围成平面图形的面积是长为5π2－π2＝2π，宽为1的矩形的面积，∴S ＝2π，故选C ．【答案】 C4．函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π【解析】 如图所示，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，所以y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.【答案】 B5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°【解析】 cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的． 又0<11°<12°<80°，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 【答案】 C 二、填空题6．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝ ，b ＝ .【导学号：66470016】【解析】 若b >0，由－1≤sin x ≤1知 ⎩⎪⎨⎪⎧α＋b ＝32，α－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.若b <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.【答案】12±1 7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，x ∈R ，若f (a )＝2，则f (－a )的值为 ． 【解析】 f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2，所以a 3＋sin a ＝1， f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1 ＝－(a 3＋sin a )＋1 ＝－1＋1＝0. 【答案】 08．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝32有 个交点.【导学号：69992007】【解析】 在同一坐标系中作出函数y ＝1＋sin x ，y ＝32的图像，如图所示．在x ∈[0,2π]内共有两个交点．【答案】 两 三、解答题9．判断方程x ＋sin x ＝0的解的个数． 【解】 设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x .在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图像．由图知f (x )和g (x )的图像仅有一个交点，即方程x ＋sin x ＝0仅有一个根． 10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． 【解】 (1)y ＝12sin x ＋12|sin x | ＝⎩⎨⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k k ∈Z其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．[能力提升]1．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4C ．sin 3>sin 2D ．sin 7π5>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5【解析】 由于0<π10<π8<π2，而y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，∴sin π10<sin π8，∴－sin π10>－sin π8， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，故选A ．【答案】 A2．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B ．12C ．－32 D.32 【解析】 ∵f (x )的周期是π， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. 又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 【答案】 D3．f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝ .【导学号：66470017】【解析】 因为0≤x ≤π3， 所以0≤ωx ≤π3ω<π3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的． 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＝2，所以π3ω＝π4，所以ω＝34. 【答案】 344．已知－π6≤x ≤3π4，f (x )＝sin 2x ＋2sin x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 值．【解】令t＝sin x，则由－π6≤x≤34π知，－12≤t≤1，∴f(x)＝g(t)＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，当t＝1时，f(x)max＝5，此时，sin x＝1，x＝π2；当t＝－12时，f(x)min＝54，此时，sin x＝－12，x＝－π6.。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）5 正弦函数的图像与性质时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤12，32D.⎣⎡⎦⎤32，1 答案：B解析：画出y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的图像，知其值域为⎣⎡⎦⎤12，1. 2．函数y ＝2＋12sin x ，当x ∈[－π，π]时( ) A ．在[－π，0]上是递增的，在[0，π]上是递减的B ．在[－π2，π2]上是递增的，在[－π，－π2]和[π2，π]上是递减的 C ．在[0，π]上是递增的，在[－π，0]上是递减的D ．在[π2，π]和[－π，π2]上是递增的，在[－π2，π2]上是递减的 答案：B3．若函数y ＝sin(x ＋φ)的图像过点⎝⎛⎭⎫π3，0，则φ的值可以为( )A.π6B.π3C ．－π3D ．－π6答案：C解析：将点⎝⎛⎭⎫π3，0代入y ＝sin(x ＋φ)，可得π3＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋k π，k ∈Z ，只有选项C 满足．4．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2的交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B解析：由y ＝1＋sin x 在[0,2π]上的图像，可知只有1个交点．5．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为奇函数的φ的值可以是( ) A.π4 B.π2C ．π D.3π2答案：C解析：由函数f (x )是R 上的奇函数，知f (0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ＝k π(k ∈Z )，故选C.6．在[0,2π)内，方程|sin x |＝12根的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：D解析：y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x <2k π＋2π)(k ∈Z )．其图像如图所示： 由图，在[0,2π)内y ＝12这条直线与它有4个交点． 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．函数y ＝－2sin x 的定义域是________．答案：{x |2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z }解析：∵－2sin x ≥0，∴sin x ≤0，∴2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z .8．sin(－π18)________sin(－π10)(选项“>”“<”或“＝”)． 答案：>解析：因为－π18>－π10，且y ＝sin x 在(－π2，π2)内为增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)． 9．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 答案：2解析：f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )．又g (x )的定义域为R ，∴g (x )是奇函数，由奇函数图像的对称性，知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．求下列函数的值域：(1)y ＝3－2sin x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4.解：(1)∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sin x ≤5.∴函数的值域为[1,5]．(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋34. 设t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4，∴由正弦函数的图像知22≤t ≤1. 而函数y ＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34在⎣⎡⎦⎤22，1上单调递增，∴当t ＝22，即x ＝3π4时，y min ＝3－22， 当t ＝1，即x ＝π2时，y max ＝1. ∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22，1. 11．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5， 由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5， 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－12＋63b ＝19－123. 12．已知f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对任意的实数x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则y ＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14. 当t ＝12时，f (x )有最大值a ＋14，当t ＝－1时，f (x )有最小值a －2. 故对于一切x ∈R ，函数f (x )的值域为[a －2，a ＋14]，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋14≤174a －2≥1⇒3≤a ≤4.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四§5 正弦函数的性质与图像 5．1 从单位圆看正弦函数的性质5．2 正弦函数的图像课时目标 1．掌握正弦函数的图像，会用“五点法”画出正弦函数的图像．2．能借助正弦函数的图像解决有关问题．1．正弦线设任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，我们称______为角α的正弦线，P 叫正弦线的______．2．正弦曲线由函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像沿x 轴向两方无限延展，就得到正弦曲线．如下图所示：3．正弦曲线的画法“五点法”函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上起关键作用的点有以下五个： __________，__________，__________，__________，__________．一、选择题1．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π) B ．y ＝sin(x －π2)与y ＝sin(π2－x )C ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x2．函数y ＝1＋sin x (x ∈[0,2π])的大致图像是( )3．函数y ＝sin x (x ∈R )图像的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π24．不等式sin x <－12，x ∈[0,2π]的解集为( )A ．(7π6，11π6)B ．[4π3，5π3]C ．(5π6，7π6)D ．(2π3，5π3)5．已知函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤5π2的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π 6．方程sin x ＝lg x 的实根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个二、填空题7．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．8．如果直线y ＝a 与函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32π的图像有且只有一个交点，则a 的取值范围是________．9．方程2π x ＝sin x ，x ∈R 的解集是________．10．函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域为________________________________________________________________________．三、解答题 11．求函数y ＝log 21sin x －1的定义域．12．研究方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．能力提升13．若0<x <π2，则2x 与3sin x 的大小关系( )A ．2x >3sin xB ．2x <3sin xC ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关14．如果函数f (x )＝2|sin x |＋sin x (0≤x ≤2π)的图像与直线y ＝k 有相异的两个公共点，试求实数k 的取值范围．1．正弦曲线在研究正弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图像的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．§5 正弦函数的性质与图像5．1 从单位圆看正弦函数的性质5．2 正弦函数的图像答案知识梳理1．MP 终点 3．(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1 (2π，0)作业设计1．D 2．A 3．D 4．A 5．C [数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图像与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝52π，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－π2×2＝4π．]6．C [数形结合．画出y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像， 如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．] 7．[π4，34π]8．[－1,0)∪{1}9．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，0，π2解析 在同一坐标系内画出直线y ＝2πx ，y ＝sin x 的图像，易知直线y ＝2πx 与y ＝sin x有三个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1、(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1．所以方程解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，0，π2．10．[－4，－π)∪(0，π)解析 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0， 作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．11．解为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12sin x >0，由正弦函数的图像，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π．∴函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋56π，2k π＋π (k ∈Z )．12．解 如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ； 当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点． 即方程有7个根．13．D[令x ＝0， 有2x ＝3sin x ； 令x ＝π6，有2x <3sin x ；令x ＝π2，有2x >3sin x ；作一简图，答案可知，选D ．]14．解 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，(0≤x ≤π)－sin x ，(π<x ≤2π)∴其图像如下图所示，由图知，k 的取值范围是(1,3)．。