《数学哲学与数学史》十七世纪的数学

数学史上的天才世纪——十七世纪的数学（二）数学学院2004级研刘海鹏根据西方国家数学的发展情况，通常人们把世界数学史划分以下五个阶段。

即：（1）数学的萌芽时期（约公元前3500年—公元前600年）这一时期，数学在人类文明的发源地埃及、巴比伦、古代中国、古代印度开始萌芽。

（2）初等数学时期（公元前600年—17世纪中叶）这一时期数学经历了希腊文明时期、东方数学的繁荣时期、中世纪及文艺复兴时期欧洲数学的发展时期。

（3）变量数学时期（17世纪中叶—19世纪20年代）思想和科学方法的变革，使得变量数学建立并取得长足的发展，微积分的发明及以极限理论为基础的微积分体系的确立。

（4）近代数学时期（19世纪20年代—1945年）这一时期崭新的数学思想开辟了数学的新天地，几何学上突破了传统欧氏几何体系，各种非欧几何相继出现；代数学上打破了以方程论为中心的古代代数学的牢笼，以群论为发端的近世代数诞生；分析学上经过几代人的努力，奠定了分析学严格的逻辑基础，并开拓了复变函数论、泛函分析论等新的数学分支。

（5）现代数学时期（1945年—）这一时期，计算科学形成；应用数学出现众多的分支；纯粹数学有了若干重大的突破。

就17世纪而言，17世纪的数学是沿着超越希腊传统的潮流而发展起来的。

数学发展到这时，希腊人的严格证明已被舍弃，这促进了直观推断的思想方式，人们逐渐认识到数的重要性要超过图形，开始积极的使用“无限”的概念，开始关注各种变化的量和它们之间那的依赖关系……等等，使得数学进入了一个崭新的历史时期—变量数学时期。

在变量数学的建立阶段，出现了很多引人注目的事件：创立了几门影响深远的数学分支学科如伽利略提出实验力学、笛卡儿和费马创立解析几何、费马和帕斯卡开拓概率论、牛顿和莱不尼茨发明微积分等，数学逐渐出现代数学的趋势并与其它学科联系日益紧密；创立了大量的抽象概念；数学教育的数学研究也逐步社会化，如帕斯卡提出数学归纳法等。

尽管17世纪有着长期的宗教战争，严重的谷物欠收、数次的瘟疫流行，但就科学和数学而言，17世纪却是史无前例的富于发现的时代，数学和其它自然科学迅速发展，硕果累累，因此有人称赞17世纪是“数学史上的天才世纪”。

数学史数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史．但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。

数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。

第一节发展历史一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段．一、数学萌芽时期(公元6世纪以前)在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。

这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。

古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。

巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算．他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。

几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。

中国是最早使用十进位值制记数法的国家。

早在三千多年前的商代中期，在甲骨文中产生了一套十进制数字和记数法，最大的数字为三万．与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成六十甲子，用以记日、记月、记年。

用阴(——)、阳(一)符号构成八卦表示8种事物，后来发展为64卦。

春秋战国之际，筹算已普遍应用，其记数法是十进位值制。

数的概念从整数扩充到分数、负数，建立了数的四则运算的算术系统。

几何方面，4500年前就有测量工具规、矩、准、绳，有圆方平直的概念。

公元前1100年左右的商高知道“勾三股四弦五”的勾股定理．春秋末战国初的墨子在《墨经》中给出了一些数学定义，包含有许多算术、几何方面的知识和无穷、极限的概念。

数学哲学之16-18世纪数学哲学（认识论之争）16、17世纪毕达哥拉斯主义：在16、17世纪，数学是最成熟的自然学科。

这时期许多思想家与数学家受柏拉图、毕达哥拉斯及神学的影响，认为自然界现象不仅互相联系，而且按照统一规律运转，这个统一的基础就是数学，这是毕达哥拉斯主义的继续。

M·克莱因说，他们认为“上帝是按数学方式设计了大自然的”。

在17世纪前后的200年间，一批优秀的科学家在这一思想的鼓舞下，不断去寻找大自然的数学规律。

哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡尔、牛顿等都不止一次的谈到上帝通过他们的数学方式使宇宙以和谐。

开普斯试图用五种几何模型（正4,6,8,12,20面体）论证宇宙的构造，但没有成功。

伽利略说“上帝在自然界规律中令人赞美的体现出来的并不亚于他在圣经中所表现的”，对此莱布尼兹补充说“世界是按上帝的计算创造的”。

文艺复兴时的重要人物达·芬奇认为，数学作为真正科学可以把沉默强加于争辩者之舌，意即数学逻辑严密，是绝对真理。

伽利略曾将宇宙看成是一部用数学语言写成的巨著，并认为“数学知识不但是绝对真理，而且像圣经那样，每句每行都神圣不可侵犯的。

实际上数学更优越，因为圣经还有许多不同的意见，而对数学真理，则不会有不同的意见。

”毕达哥拉斯学派学说实际是用数学规律取代上帝并创造宇宙使之和谐的学说。

17世纪唯理论数学观：唯理论虽有唯物、唯心之分，但他们的认识论却有共同点，就是重视数学演算与逻辑推理，强调演绎法；认为包括数学在内的科学是人们理性或“天赋观念”的产物；只承认科学的普遍性与必然性，否认感性认识的真实性。

莱布尼兹是后来数学基础研究中逻辑主义的先驱。

他从自己的认识论出发，将真理分成两部分：事实真理与理性真理，并认为前者是偶然性真理，后者是必然性真理。

对于理性真理，他又分为两种：原始真理和逻辑真理。

对前者，他认为不可能也不需要证明。

对后者则采用他的“不矛盾原则”，数学真理就属于逻辑真理。

《数学哲学与数学史》第16、17周复习资料——十九世纪的数学9－1、牛顿、莱布尼兹微积分算法的（逻辑）基础问题。

9－2、(高斯)证明了正（十七）边形可以用欧几里德工具做出。

最伟大的专著是《（算术）研究》，引入了同余的符号和性质, 定义了一个数b关于a的（指标）, 证明了被称为“数论中的（酵母）”,证明形如2^2^n+1的素数或此种形式素数的（乘积），关于素数个数（素数）定理。

3.傅立叶宣称：均可用（三角）级数来表示。

在有限区间上只有有限个（间断点）的函数。

定积分的符号是（傅立叶）发明的。

傅立叶是一首（数学）的诗，最突出的贡献是他对（热传导）问题的研究9－15、法国数学家（泊松）是给出欧拉－麦克劳林求和公式的余项的第一个人。

第一个沿着复平面上的路径实行积分的人,是提议（重力）理论也可以引用到电场和磁场的第一人。

在电场方面静电引力之总和为（0）。

9－18、波尔查诺分析的（算术）化之父。

造出了一个参数函数，在该间隔的任何点上没有（导数）。

9－20、波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理说的是：任何（有界）无限点集,至少包括一个（聚）点。

9－22、（庞斯列）首次提出“力作功”的概念9－23、(柯西)在其著作《（分析）教程》首次成功地为(微积分)奠定基础。

给出的极限的定义:（差）,给出的无穷小量的定义为：（低于）,极限为∞的定义为：（高于）,转述为（不等式）。

首次放弃“一个变量决不会（超过）它的极限”,以（极限）为基础,建立了（级数）收敛性第一个认识到无穷级数并非（多项式）理论,而应当以（极限）为基础。

他用（部分和）有限来定义级数收敛，对于一般项级数，但其（乘积）不一定收敛。

此变量取名为（自变量），证明了隐函数的（局部）存在性。

连续的严格定义：导致函数本身的（无穷小）增量。

”, 用（差商）的极限来定义导数, 以（割线）的极限位置来定义切线的, 他认为积分是无穷小量的无穷和的（极限），坚持先证明存在性则是从依赖直觉到（严格分析）的转折点。

17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601——1665)。

这道题是这样的：当n>2时，x^n+y^n=z^n没有正整数解。

在数学上这称为“费马大定理”。

为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。

由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。

费马小传：费马（1601～1665）Fermat，Pierre de费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。

他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。

费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。

费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。

多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。

费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。

直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

17 世纪的法国，男子最讲究的职业是当律师，因此，男子学习法律成为时髦，也使人敬羡。

有趣的是，法国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的条件。

1523年，佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关，公开出售官职。

这种官职鬻卖的社会现象一经产生，便应时代的需要而一发不可收拾，且弥留今日。

鬻卖官职，一方面迎合了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位，另一方面也使政府的财政状况得以好转。

数学专业的数学史与数学哲学数学作为人类创造的一门重要学科，具有悠久而丰富的历史。

在现代社会中，数学已成为各个领域不可或缺的基石，奠定了科学和技术发展的基础。

本文将探讨数学专业的数学史与数学哲学，以期更好地理解这门学科的精髓。

一、数学史1. 原始数学的发展从远古时期开始，人类就开始使用数学来解决实际问题。

原始数学包括了对数字、量和形状的认知。

例如，埃及人利用数学来建造金字塔和水利系统；古希腊人则推动了几何学的发展，并由此推动了数学的更加抽象化和逻辑化。

2. 古代数学的兴起古代数学在埃及、中国、印度、巴比伦和希腊等地得到了重要的发展。

中国古代的《九章算术》和《周髀算经》体现了中国古代数学的较高水平，印度数学家也为我们留下了各种重要的数学成果。

希腊古代数学家从逻辑和证明的角度出发，发展了几何学和算术学。

3. 中世纪数学的低谷与复兴在中世纪，由于宗教和社会的原因，数学的发展遭遇了低谷。

然而，中世纪的阿拉伯数学家通过翻译古希腊和印度的数学著作，使数学逐渐复兴。

阿拉伯的代数学和几何学显著推动了欧洲文艺复兴时期的数学繁荣。

4. 近现代数学的发展近现代数学经历了快速而广泛的发展。

十七世纪的牛顿和莱布尼茨发现了微积分学；十九世纪的高斯和黎曼为代数学和几何学做出了杰出的贡献；而二十世纪的希尔伯特和哥德尔则引领了数学基础理论和逻辑的前沿探索。

二、数学哲学数学哲学探讨数学的本质及其在人类认识和思维中的地位。

以下是几个重要的数学哲学观点：1. 实在主义实在主义认为数学是由人类创造的一种推理体系，它与现实世界无直接关联。

实在主义者关注数学的逻辑一致性，注重证明和推理。

2. 直觉主义直觉主义认为数学是人类直觉和心理活动的产物，数学对象的存在基于人类感知和认知。

直觉主义者质疑无穷和排中律的存在，强调直觉和构造性证明。

3. 形式主义形式主义认为数学是一套符号系统，数学对象的存在与人类的直观和认知无关。

形式主义关注于推理和符号处理的形式规则，强调逻辑和形式的一致性。

十六、十七世纪的代数学十六、十七世纪的代数学研究生：王珥指导教师：王青建学科专业：科学技术史（数学史）摘要：十六、十七世纪在数学的发展中是非常重要的时期，其中无论是方程理论，符号体系，还是对数以及解析几何的发明都是划时代的，这些都为十七世纪微积分的创立提供了条件．也直接促进了微积分的产生。

在十七世纪微积分初创时，许多算法都是在代数学的基础上发展起来的。

但是，有些算法在逻辑上并不严密，它们的基础并不完善，然而微积分作为当时科学领域的数学Ｔ具却是十分好用的。

它的计算方法从形式上看与代数学的形式推导十分类似。

十七世纪之后，数学进入变量数学时期，几乎所有的科学都与微积分有关，微积分方法不再以几何的形式表达，它加速了代数化的进程。

一系列重要的代数符号出现，代数方法显示了更大的作用。

可是不久微积分的理论基础问题就暴露出来了．这应与之前代数学上的算法准备不足有关。

本文在列出十六、十七世纪代数学发展主线的基础上。

分析了微积分产生的代数学基础，这个基础本身带有强烈的程序化的算法特征。

可以看出代数基础上的算法特征在卜六、十七世纪的数学中担当着主要角色。

它与希腊公理体系下的演绎逻辑并存，在不同的时期分别担任主角，指导着不同地区数学的发展。

另外，本文还从微积分早期的算法中找出一些方法，与代数上的算法进行比较说明它的来源。

实际上在低谷中徘徊了多个１廿纪的欧洲的数学，在十六、十七世纪中突然出现了一个飞跃，解析几何和微积分的创立并不是一个偶然的现象。

阿拉伯人的工作无疑对其产生过重要的影响。

他们将实用计算放在数学的首位，并把代数建立在算术而不是儿何的基础之上，这些重要的数学思想对欧洲的数学思想的重大转变起着至关重要的作用。

关键词：代数学：算法体系：方程求解；解析几何：微积分斗＾、十七肚纪是欧洲数学复苏所墩得重大突破的两个世纪。

卜六世纪作为文艺复兴的末期，无论是经济方面，还是在文学，艺术和科技方面都取得了长足的发展。

在数学领域也早现出ｒ占代与近代的交替特点，为数学革命铺平了道路。

十六、十七世纪数学16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪差不多终止，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由进展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧残了。

封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。

资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速进展。

例如在航海方面，为了确定船只的位置，要求更加周密的天文观测。

军事方面，弹道学成为研究的中心课题。

准确时计的制造，运河的开凿，堤坝的修建，行星的椭圆轨道理论等等，也都需要专门多复杂的运算。

古希腊以来的初等数学，已慢慢不能满足当时的需要了。

在科学史上，这一时期显现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。

第一是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了全然的坚决。

他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益周密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，因此开始制作每隔10的正弦、正切及正割表。

当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋工作达12年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。

16世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量周密的天文观测，在那个基础上，德国天文学家开普勒总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发觉。

开普勒的《酒桶的新立体几何》将酒桶看作由许多的圆薄片累积而成，从而求出其体积。

这是积分学的前驱工作。

意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观看与实验，充分利用数学工具去探究大自然的隐秘。

这些观点对科学(专门是物理和数学)的进展有庞大的阻碍。

他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理”。

依靠那个原理他解决了许多现在能够用更严格的积分法解决的问题。

“不可分”的思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的阻碍，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。

16世纪的意大利，在代数方程论方面也取得了一系列的成就。

塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里、邦贝利等人相继发觉和改进三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虚数。

这是自希腊丢番图以来代数上的最大突破。

数学的发展与演变从一到无穷大的数学进程在人类文明的进步过程中，数学作为一门基础科学，始终起着举足轻重的作用。

从最早的数数到无穷大的概念，数学一直在不断发展与演变。

本文将从古代数学的起源开始，逐步追溯数学的进程，展示数学的发展与演变过程。

一、古代数学的起源最早的数学可以追溯到约5000年前的古埃及和美索不达米亚文明。

古埃及人运用数学知识来解决土地测量和建筑工程问题，而美索不达米亚人则用数学进行商业交易和税收计算。

这些最早的数学思想体现了人们对数数和计算的需求。

二、希腊数学的兴起古希腊是数学发展史上的重要时期。

毕达哥拉斯学派的出现使数学融入了哲学的范畴。

毕达哥拉斯定理是他们最著名的成果之一，该定理说明了直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

同时，欧几里得也在古希腊时期确立了几何学的基本原理，他的《几何原本》成为欧洲学习几何学的标准教材。

三、中世纪与文艺复兴时期的数学革命中世纪的数学受到了基督教教义的束缚，但在文艺复兴时期，数学的地位逐渐恢复。

意大利的数学家费拉拉克里奥和卢卡·帕西奥利在代数学和几何学方面作出了重要的贡献。

此外，文艺复兴时期的数学家卡布拉诺也发现了复数的存在，这一发现在数学发展史上具有重要意义。

四、十七世纪的数学革命十七世纪是数学史上的黄金时期，伽利略、笛卡尔、费马等众多数学家的贡献使数学呈现出前所未有的发展势头。

伽利略提出了匀速运动的概念，笛卡尔则运用代数符号将几何问题转化为代数问题。

此外，牛顿和莱布尼茨的微积分发现被誉为数学的革命，为后来科学的发展奠定了基础。

五、现代数学的新兴进入现代，数学的领域日益增加。

在几何学方面，黎曼几何为后来的广义相对论奠定了基础；在代数学中，群论、环论等新的分支先后出现；在概率论和统计学中，人们开始研究随机事件和数据分析。

同时，计算机的发明和普及也为数学的发展带来了重大影响，数值计算、优化问题等新的数学分支应运而生。

六、数学的无穷大数学的进展并不止于此，无穷大的概念是数学领域中重要的发展方向。

17世纪牛顿对微积分的贡献17世纪数学最重要的成就之一是微积分的创立，而牛顿就对微积分做了许多重要的贡献。

流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。

说在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。

1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。

据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。

1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》（Tract on Fluxions）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。

《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。

该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。

牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：（a）设有两个或更多个物体A，B，C，?在同一时刻内描画线段x，y ,z。

已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q， r的关系。

（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比p/q 的关系方程式，求另一线段y。

牛顿对多项式情形给出（a）的解法。

对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。

特别重要的是，《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”当然，《简论》中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。

牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。

在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。

前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。