专题11 矩阵与变换(原卷版)-2020年江苏高考数学试卷名师分析与预测

2020届江苏省高考数学押题卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U ．2．设复数z 满足(1i)i z ⋅-=（其中i 为虚数单位），则z 的模为 ．3．一组数据3，x ，5，6，7的均值为5，则方差为 ．4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =3，AA 1=2，P ，M 分别为BD 1，B 1C 1上的点． 若112BP PD =，则三棱锥M -PBC 的体积为______．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 ．8． 若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f =______． 9． 已知函数()f x 是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m (m 为常数)，则2(log 5)f -的值为______．10．已知函数2()e (1)x f x x ax =++的单调减区间为()ln ln e e b a ，，则a b 的值为______． 11．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⊥CD ，则点A 的横坐标为 ．12．设H 为三角形ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则cos BHC ∠= ．13．已知函数f (x )满足1()+()x f x f x e'=，且f (0)=1，则函数[]21()3()()2g x f x f x =-的零点个数是 ．14．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<L L ，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项的和为n S ，且满足221()n n S a t n N *=+-∈，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三棱锥S —ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ‖平面ABC ．（2）求证：BC ⊥SA ．16．（本小题满分14分）已知△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ．（1）若π3B =，b =，△ABC 的面积S ，求a+c 值； （2）若()22cos C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，求角C ．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为13，左焦点F 到直线l ：x ＝9的距离为10， 圆G ：(x －1)2+y 2＝1．（1）求椭圆的方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，EH 为圆G ：(x －1)2+y 2＝1的任一直径，求PE PH ⋅u u u r u u u r 的取值 范围；（3）是否存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得圆M 上任意一点N 作圆G 的切线，切点为T ，都满足NF NT =M 的方程；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在某商业区周边有两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇；该商业区为圆心角π3， 半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12l l 、分别交于A B 、，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12l l 、上．（1）设km,km,OA a OB b == 试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并写出,a b 的范围；（2）设α=∠AOT ，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A B 、的位置，使得新建公路AB 的长度最短．已知函数f (x )＝x 3－x +2x ．（1）求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）令g (x )2ln x +，若函数y ＝g (x )在(e ，+∞)内有极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意t ∈(1，+∞)，s ∈(0，1)，求证：1()()e 2eg t g s ->+- ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }满足，2S n ＝(a n +2)b n ，其中n S 是数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{b n }的通项公式； （2）若b n ＝n ，a 2＝3，求证：数列{a n }满足a n +a n +2＝2a n +1，并写出数列{a n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，设 n n na cb =．试问，数列{c n }中的任意一项是否总可以表示成该数列其他两项之积？若可以，请证明之；若不可以，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）满分40分考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．（选修4－2：矩阵与变换）已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：2,3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N．（1）写出矩阵M、N；（2）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y＝x的直线，求直线l的方程．C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为,2sinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α∈R，α为参数），曲线C2的极坐标方程为cos sin50ρθθ-=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求线段PQ的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30︒，AE垂直BD于点E、F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．23．（本小题满分10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3，且a3－a2≤2，A⊆S．（1）若n = 6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．。

江苏省2020年高考名师押题信息卷数 学2020.6.29Ⅰ卷一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝__________．2．i 是虚数单位，则|2+i 1−i|的值为__________． 3．若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．4．（如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是__________5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为__________．6.已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________.7．设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则a 2+a 5a 8的值为__________．8．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上，若直线x +y −√6=0上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是__________．10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为__________．11．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +3a ，g （x ）=2x−1．若对∀x 1∈[0，3]，总∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数a 的取值集合为__________． 12．在ABC ∆中，3,2,AB AC D ==为边BC 上一点．若25,3AB AD AC AD ⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB AC ⋅u u u v u u u v 的值为_________．13．已知向量()1,3a =v ，(),1b x y =-v 且//a b v v ，若实数,x y 均为正数，则31x y+最小值是______ 14．已知f （x ）是R 上的偶函数，且f(x)={3x ，0≤x ＜1(13)x +1，x ≥1，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）＝0有三个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本小题满分14分)已知函数()221()cos sin cos ()2f x x x x x x R =+-∈. (1)求()f x 的单调递增区间.(2)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )=1，c =10，cosB =17，求ΔABC 的中线AD 的长.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAP ＝∠CDP ＝90°，E 为PC 中点． （Ⅰ）求证：AP ∥平面EBD ；（Ⅱ）若△P AD 是正三角形，且P A ＝AB ．（i ）当点M 在线段P A 上什么位置时，有DM ⊥平面P AB ；（ii ）在（i ）的条件下，点N 在线段PB 什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ．17. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点处时，点Q 的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u v u u u u v时，求直线BM 的方程．。

专题二十二　选修4系列【真题典例】22.1　矩阵与变换挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度2018江苏,21B1.逆矩阵及矩阵的运算2.平面变换2017江苏,21B 矩阵的运算及应用2016江苏,21B 逆矩阵及矩阵的运算2015江苏,21B 特征值、特征向量的应用矩阵与变换1.矩阵的概念2.二阶矩阵与平面向量3.常见的平面变换4.矩阵的复合与矩阵的乘法5.二阶逆矩阵6.二阶矩阵的特征值与特征向量7.二阶矩阵的简单应用2014江苏,21B矩阵的运算★★★分析解读 矩阵与变换是江苏卷附加题中三选二的内容之一,主要考查矩阵的变换、矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等,难度不大.破考点【考点集训】考点　矩阵与变换1.(2019届江苏盐城一中月考)在平面直角坐标系xOy 中,设点A(-1,2)在矩阵M =对应的变换作用[-1 00　1]下得到点A',将点B(3,4)绕点A'逆时针旋转90°得到点B',求点B'的坐标.解析　设B'(x,y).由=,得A'(1,2).[-1 00　1][-12][12]则=(2,2),=(x-1,y-2).A 'B A 'B '记旋转矩阵N =,[0　-11　0]则=,即=,解得[0　-11　0][22][x -1y -2][-22][x -1y -2]{x =-1,y =4,所以点B'的坐标为(-1,4).2.(2018江苏如皋中学月考)已知矩阵M =的逆矩阵M -1=,求实数m,n 的值.[m273][n -2-7m ]解析　因为MM -1=[m273][n-2-7m ]==,[mn -1407n -21-14+3m ][1001]所以解得{mn -14=1,7n -21=0,-14+3m =1,{m =5,n =3.3.(2019届江苏梅村中学月考)已知矩阵A =(c,d 为实数).若矩阵A 属于特征值2,3的一个特征向[12c d ]量分别为,,求矩阵M 的逆矩阵A -1.[21][11]解析　由题意知==2,==3,[12cd ][21][42c +d ][21][12c d ][11][3c +d ][11]所以解得{2c +d =2,c +d =3,{c =-1,d =4.所以A =,所以A -1=.[12-14][23-131616]4.(2019届江苏盐城中学月考)已知二阶矩阵A =.[350-2](1)求矩阵A 的特征值和特征向量;(2)设向量β=,求A 5β.[1-1]解析　(1)矩阵A 的特征多项式f(λ)==(λ-3)(λ+2).|λ-3-50λ+2|令f(λ)=0得λ1=3,λ2=-2.设λ1=3对应的一个特征向量为,[xy ]则将λ1=3代入二元一次方程组得解得y=0.{0·x -5y =0,0·x +5y =0,所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为.[10]设λ2=-2对应的一个特征向量为,则取x 1=1,则y 1=-1.[x 1y 1]{-5x 1-5y 1=0,0·x 1+0·y 1=0,所以矩阵A 的属于特征值-2的一个特征向量为.[1-1](2)由(1)可知向量β是矩阵A 的属于特征值-2的一个特征向量,所以A 5β=λ5β=.[-3232]炼技法【方法集训】方法一　求解逆矩阵1.(2018江苏扬州期末)已知x,y ∈R ,若点M(1,1)在矩阵A =对应的变换作用下得到点N(3,5),求矩[2x3y ]阵A 的逆矩阵A -1.解析　因为A =,即=,即解得所以A =.[11][35][2x 3y ][11][35]{2+x =3,3+y =5,{x =1,y =2,[2132]解法一(定义法):设A -1=,则AA -1==,[ab c d ][2132][a b c d ][1001]即{2a +c =1,3a +2c =0,2b +d =0,3b +2d =1,解得所以A -1=.{a =2,b =-1,c =-3,d =2,[2-1-32]解法二(公式法):因为A -1=,且det A ==2×2-1×3=1,[d det A-bdet A-cdet Aa det A]|2132|所以A -1=.[2-1-32]2.(2019届江苏常州一中月考)已知矩阵M =,试求:[122](1)矩阵M 的逆矩阵M -1;(2)直线y=2x 在矩阵M -1对应的变换作用下的曲线方程.解析　(1)因为M =,[12002]所以M -1=.[212](2)设点P(x,y)是直线y=2x 上任意一点,在矩阵M -1对应的变换作用下得到点Q(x',y'),则==,[x 'y '][20012][x y ][2x 12y ]所以即{x '=2x ,y '=12y,{x =12x',y =2y '.因为点P 在直线y=2x 上,于是2y'=2×x',所以2y'=x',12即直线y=2x 在矩阵M -1对应的变换作用下的曲线方程为y=x.12方法二　矩阵变换应用1.(2019届江苏泰州中学月考)已知曲线C:x 2+2xy+2y 2=1,矩阵A =所对应的变换把曲线C 变成曲线[1210]C 1,求曲线C 1的方程.解析　设曲线C 上的任意一点P(x,y),P 在矩阵A =对应的变换下得到点Q(x',y'),[1210]则=,即x+2y=x',x=y',[1210][x y ][x 'y ']所以x=y',y=.x '-y '2代入x 2+2xy+2y 2=1,得y'2+2y'·+2=1,x '-y '2(x '-y '2)2即x'2+y'2=2,所以曲线C 1的方程为x 2+y 2=2.2.(2019届江苏宿迁中学月考)已知矩阵M =,N =,试求曲线y=sin x 在矩阵MN 变换下的函[102][121]数解析式.解析　MN ==,[1002][12001][12002]即在矩阵MN 变换下→==,[x y ][x 'y '][12002][x y ][12x2y]所以即{x '=12x,y '=2y ,{x =2x ',y =12y',代入y=sin x 得y'=sin 2x'.12即曲线y=sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y=2sin 2x.过专题【五年高考】自主命题·江苏卷题组1.(2017江苏,21B,10分)已知矩阵A =,B =.[0　11　0][1　00　2](1)求AB ;(2)若曲线C 1:+=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2,求C 2的方程.x 28y22解析　本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A =,B =,[0　11　0][1　00　2]所以AB ==.[0　11　0][1　00　2][0　21　0](2)设Q(x 0,y 0)为曲线C 1上的任意一点,它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P(x,y),则=,[01　20][x 0y 0][x y ]即所以{2y 0=x,x 0=y,{x 0=y,y 0=x 2.因为点Q(x 0,y 0)在曲线C 1上,则+=1,x 208y 22从而+=1,即x 2+y 2=8.y 28x28因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2:x 2+y 2=8.2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A =,矩阵B 的逆矩阵B -1=,求矩阵AB .[1　20 -2][1　-120 2]解析　设B =,[a bc d ]则B -1B ==,[1　-120 2][a bc d ][1　00 1 ]即=,[a ‒12cb ‒12d2c2d ][1　00 1 ]故解得所以B =.{a -12c =1,b -12d =0,2c =0,2d =1,{a =1,b =14,c =0,d =12,[1　140　12]因此,AB ==.[1　20 -2][1　140　12][1　540　-1]3.(2015江苏,21B,10分)已知x,y ∈R ,向量α=是矩阵A =的属于特征值-2的一个特征向量,求[1-1][x 1y 0]矩阵A 以及它的另一个特征值.证明　由已知,得Aα=-2α,即==,[x 1y 0][1-1][x -1 y ][‒22]则即{x -1=-2,y =2,{x =-1,y =2,所以矩阵A =.[-1　12　0]从而矩阵A 的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵A 的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A =,B =,向量α=,x,y 为实数,若Aα=Bα,求x+y 的[‒1　21 x ][112‒1]2y 值.解析　由已知,得Aα==,Bα==.[-1　21　x ][2y ][-2+2y 2+xy ][1　12　-1][2y ][2+y4-y ]因为Aα=Bα,所以=.故[-2+2y 2+xy ][2+y 4-y ]{-2+2y =2+y ,2+xy =4-y .解得所以x+y=.{x =-12,y =4.72教师专用题组1.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A =,B =,求矩阵A -1B .[-1　00　2][1　20　6]解析　设矩阵A 的逆矩阵为,[a bc d ]则=,即=,[-1　00　2][a b c d ][1　00　1][-a -b 2c 2d ][1　00　1]故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A 的逆矩阵为A -1=,12[-1　00　12]所以A -1B ==.[-1　00　12][1　20　6][-1　-20　3]2.(2011江苏,21B,10分)已知矩阵A =,向量β=.求向量α,使得A 2α=β.[1　12　1][12]解析　A 2==.[1　12　1][1　12　1][3　24　3]设α=.由A 2α=β,得=,从而[x y ][3　24　3][x y ][12]{3x +2y =1,4x +3y =2.解得x=-1,y=2,所以α=.[-12]评析本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.3.(2012江苏,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1=,求矩阵A 的特征值.[-14 3412 -12]解析　因为A -1A =E ,所以A =(A -1)-1.因为A -1=,[-14 3412 -12]所以A =(A -1)-1=,[2　32　1]于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4.|λ-2 -3-2 λ-1|令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.评析本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.4.(2014福建,21(1),7分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1=.(2　11　2)(Ⅰ)求矩阵A ;(Ⅱ)求矩阵A -1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解析　(Ⅰ)因为矩阵A 是矩阵A -1的逆矩阵,且|A -1|=2×2-1×1=3≠0,所以A ==.13(2‒1‒12)(23‒13‒1323)(Ⅱ)矩阵A -1的特征多项式为f(λ)==λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),|λ‒2‒1‒1λ‒2|令f(λ)=0,得矩阵A -1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=是矩阵A -1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,(1‒1)ξ2=是矩阵A -1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.(11)【三年模拟】解答题(共60分)1.(2019届江苏南京六校调研)设矩阵A 满足A =,求矩阵A 的逆矩阵A -1.[1206][-1-203]解析　A =[-1-203][1206]-1==.[-1-203][1-1316][-1012]因为det A =-,所以A -1=.12[-1002]2.(2018江苏南京、盐城一模)已知矩阵M =,求圆x 2+y 2=1在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.[2001]解析　设P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=1上任意一点,则+=1.x 20y 20设点P(x 0,y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q(x,y),则=,即解得[x y ][2001][x 0y 0]{x =2x 0,y =y 0,{x 0=12x,y 0=y.代入+=1,得+y 2=1,即为所求的曲线方程.x 20y 20x 243.(2017江苏镇江期末)已知实数a,b,矩阵A =对应的变换将直线x-y-1=0变换为自身,求a,b 的[2ab -1]值.解析　设直线x-y-1=0上任意一点P(x,y)在变换T A 的作用下变成点P'(x',y').由=,得[2a b-1][x y ][x 'y ']{x '=2x +ay ,y '=bx -y .因为P'(x',y')在直线x-y-1=0上,所以x'-y'-1=0,即(2-b)x+(a+1)y-1=0.又因为P(x,y)在直线x-y-1=0上,所以x-y-1=0.因此{2-b =1,a +1=-1.解得a=-2,b=1.4.(2018江苏南京、盐城、连云港二模)已知α=为矩阵A =属于实数λ的一个特征向量,求λ[11][1a-12]和A 2.解析　因为=λ,所以[1a -12][11][11]{1+a =λ,-1+2=λ,解得所以A =,所以A 2=.{a =0,λ=1,[10-12][10-34]5.(2018江苏南京学情调研)设二阶矩阵A =.[1234](1)求A -1;(2)若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C':6x 2-y 2=1,求曲线C 的方程.解析　(1)根据逆矩阵公式,可得A -1=.[-2132-12](2)设曲线C 上任意一点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P'(x',y'),则==,[x 'y '][1234][x y ][x +2y 3x +4y ]所以{x '=x +2y ,y '=3x +4y .因为(x',y')在曲线C'上,所以6x'2-y'2=1,代入得6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得8y 2-3x 2=1,所以曲线C 的方程为8y 2-3x 2=1.6.(2018江苏苏州高三上学期期中调研,21B)已知矩阵A =,α=,求A 49α的值.[1　22　1][42]解析　矩阵A 的特征多项式f(λ)==λ2-2λ-3.|λ‒1‒2‒2λ‒1|令f(λ)=0,解得矩阵A 的特征值λ1=-1,λ2=3.当λ=-1时特征向量为α1=,[1‒1]当λ=3时特征向量为α2=,[11]又∵α==α1+3α2,[42]∴A 49α=α1+3α2=.λ491λ492[350-1350+1]方法点拨　解此类题应分成以下几个步骤:一是求特征值,二是根据特征值求特征向量,三是把已知向量用特征向量表示,最后求得结果.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．。

专题11.6 矩阵与变换【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 某某高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征向量的复习.2. 加强训练，提高推理和运算能力. 矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题. 【课前检测训练】 【练一练】 1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤-121x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112-1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数.若Aα＝Bα，求x ＋y 的值.2.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -20 3. 3.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l ′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程. 解 因为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，所以B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-20 1，所以AB －14.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b0满足：Mαi ＝λi a i ，其中λi (i ＝1，2)是互不相等的实常数，αi (i ＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M .解 由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ-a -bλ＝λ2－ab ＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Mα2＝λ2α2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2.所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1. 从而a ＝b ＝－1. 故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-1-10. 5.已知a ，b ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1a b 3所对应的变换T A 将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解 设直线x －y －1＝0上任意一点P (x ，y )在变换T A 作用下变成点P ′(x ′，y ′)，【题根精选精析】 考点1:矩阵及其变换【1-1】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1201，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．【答案】4x ＋y －8＝0.【解析】易得AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11202，在直线l 上任取一点P (x ′，y ′)，经矩阵AB 变换为点Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1202⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′＋12y ′ 2y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋12y ′，y ＝2y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －14y ，y ′＝y2，代入x ′＋y ′－2＝0中得x －14y ＋y2－2＝0，∴直线l ′的方程为4x ＋y －8＝0.【1-2】求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5 【解析】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn pq ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5. 【1-3】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2【1-4】在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形△A ′B ′C ′的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【答案】4【解析】解：因为△ABC 在MN 作用下变换为△A ′B ′C ′， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24. 即A ′(0,0)，B ′(0,4)，C ′(－2,4)． 可得S △A ′B ′C ′＝4.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得的图形的面积为4.【1-5】在直角坐标系中，已知椭圆x 2＋4y 2＝1，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210，求椭圆x 2＋4y 2＝1，在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积．【答案】π.∴在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为π. 【基础知识】1．乘法规则(1)行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法法则： [a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 12b 21b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l＝Ak ＋l，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)．2．常见的平面变换(1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1s 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤10t1.(6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示的是y 轴上的投影变换．【思想方法】.1.通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．3．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式．【温馨提醒】1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 考点2：特征值与特征向量【2-1】若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12【解析】解： ∵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002为一伸缩变换对应的矩阵，∴M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12. 又∵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 00 12也为一伸缩变换对应的矩阵，∴N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32002.由矩阵的性质知(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 1. 【2-2】已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．【答案】－1.【2-3】给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，求A 4B . 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤145113 【解析】解：设A 的一个特征值为λ，由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝0，得【2-4】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求矩阵A .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1【解析】解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3；由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.【2-5】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3【解析】[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. 【基础知识】1．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．(3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的． 性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0. 2．逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝0.3．特征值和特征向量设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A nα＝t 1λn1ξ1＋t 2λn2ξ2. 【思想方法】1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E 2； (2)公式法：|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，有A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．【温馨提醒】1．逆矩阵的求法常用待定系数法．2．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB )－1＝B －1A －1，若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立．3.求M nα，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t 1α1＋t 2α2.利用性质M nα＝t 1λn1α1＋t 2λn 2α2求解． 【易错问题大揭秘】1.两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算.2.矩阵的特征值与特征向量(1)不是每个矩阵都有特征值与特征向量. (2)属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.(3)设ξ是矩阵A 属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零数k ，k ξ也是矩阵A 属于特征值λ的一个特征向量.。

绝密★启用前2020年普通高等学校全国统一招生考试(江苏卷)预测卷数学I注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|x<0},B={-2,-1,0,2},则A ∩B=___2.已知复数z 满足112z i i=++(i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数为___ 3.某地区有小学生､初中生､高中生的人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的眼睛视力状况,在抽取的样本中初中生有320人,则该样本中的高中生人数为_____类别小学生 初中生 高中生 合计 人数 18000 16000 9000 430004.5.函数2()ln )(9f x x =-的定义域为____6.有3名学生甲､乙､丙,在分发数学作业时,从他们3人作业中各随机取出1份作业,则这3名学生恰好都拿到自己作业的概率为_____7.已知等比数列{}n a 满足11,2a =且2434(1),a a a =-则5a =____ 8.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,2()log 3f x x =-,则f(f(-16))的值为_____9.某品牌汽车4S 店一年销售汽车4000辆,每次从汽车公司购置x 辆,运费为4万元/次,一年的总储存费用为0.4x 万元.要使一年的总运费与总储存费用之和最小的,则x 的值为_____.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线220y px p =>的准线1与双曲线2221x y a a-=>0的两条渐近线围成等边三角形,且面积为3,则p+a=_____. 11.如图,在正四棱柱形容器内盛有水和相同高度的实心圆柱(其中圆柱底面内切于正四棱柱底面,水面恰与正四棱柱上底面齐平),将实心圆柱拿去后,则水面高度与正四棱高度比为____.(不计水的损耗)12.如图,△ABC 中,M 为AB 中点,AB=5,CM=3,EF 为圆心为C,半径为1的圆的动直径,则BE AF ⋅的取值范围是_____13.在平面直角坐标系xOy 中,圆221:4O x y +=与圆2222:(4)(0)O x y r r -+=>,在圆2O 上存在点Q,过点Q 作圆1O 的切线,切点为P,N,使得5,9QP QN ⋅=则实数r 的最小值为___. 14.已知函数3,1,(),1,x a x f x x ax x -≥⎧=⎨-<⎩若函数y=f[f(x)]恰有5个不同零点,则实数a 的取值范围是____. 二､解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边作两个钝角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B 两点.已知A,B 的横坐标分别为3102,.1010-- 求:(1)cos(α-β)的值;(2)2α-β的值.16.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,已知PA ⊥底面ABC,AC ⊥BC,且PA=AC,点E,F 分别是棱PC,PB 的中点.(1)求证:AE ⊥BC;(2)点G 为棱AB 上一点,满足2,GB GA =求证:AE//平面CFG.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0),x y a b a b +=>>圆C:222().4b x y b +-=A,B 分别为椭圆的左､右顶点,直线AC 交圆C 于D,P 两点(D 在线段AC 上),且2.AD DC =(1)求椭圆的离心率;(2)直线BP 与椭圆相交于点Q,直线AQ 被圆C 截得弦长为6,3求椭圆的标准方程. 18.(本小题满分16分)如图为某野生动物园一角,∠MOK 内区域为陆地动物活动区,∠NOK 内区域为水上动物活动区.为满足游客游览需要,现欲在OM,ON 上分别选一处A,B,修建一条贯穿两区域的直路AB,AB 与KO 相交于点P.若PA 段,PB 段每百米修路费用分别为1万元和2万元,已知∠NOK=30°,OM⊥OK,OP=2百米,设∠PAO=α.(1)试将修路费用表示为α的函数()S α(2)求修路费用()S α的最小值.19.(本小题满分16分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且7146,54.a a S == (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)是否存在正整数m,k,使得31,1,1m m k a a a +---依次成等比数列?并说明理由; (3)设数列{}n b 满足2*1()(),5n n a b n -=∈N 将{}n a 和{}n b 中相同的项按照从小到大的顺序依次排列,得到数列{},n c 求数列{}n c 的通项公式.20.(本小题满分16分)已知函数y=f(x)的定义域为D,若满足∀x ∈D,(x-1)f(x)≥0,则称函数f(x)为“L 型函数”.(1)判断函数xy e =和y=lnx 是否为“L 型函数”,并说明理由;(2)设函数f(x)=(x+1)lnx-(x-1)lna(a>0),记()().g x f x '=①若函数g(x)的最小值为1,求a 的值;②若函数f(x)为“L 型函数”,求a 的取值范围.21.[选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵记1040,10102A B ⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦记M=AB,求1.M B.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线1,12x l y l=-+⎧⎨=-+⎩(l 为参数)与曲线cos ,cos 2x y θθ=⎧⎨=-⎩(θ为参数)的交点为A,B,求线段AB 的长.C.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知x,y,z 均是正实数,且2229436.x y z ++=,求证:x+y+z ≤7.[必做题]第22､23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图1,某电视台一档综艺节目的游戏挑战项目“蜂巢迷宫”的道具,游戏规定挑战者必须“蒙眼”进行现简化模型如图2所示,共有A,B,C,D,E,F 六个房间组成,每个房间各有六扇门分别与相邻房间或与外部相通,假设打开每扇门都是等可能的.现挑战者从房间A 出发,要求到达房间E.(1)求挑战者“打开两扇门完成挑战”的概率;(2)一次游戏中规定“只要走出道具外部或打开超过四扇门(含四扇)挑战失败”,得0分;“打开三扇门完成挑战”,得1分,“打开两扇门完成挑战”,得2分.挑战者共挑战1次,得分设为X,求随机变量X 的概率分布和数学期望E(X).23.(本小题满分10分)(1)用数学归纳法证明二项式定理:011()n n n n n a b C a C a b -+=++222*,.n r n r r n n n n n C a b C a b C b n --++++∈N(2)利用二项式定理求证:220()n k n n n k CC ==∑。

专题18 矩阵【真题感悟】1、【2019年江苏，21A 】已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.2、【2018江苏，理21B 】[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．3. 【2017江苏，21B 】已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A=，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程. 4. 【2016江苏，21 B 】 [选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 矩阵B 的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB . 5. 【2015江苏，21 B 】（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.【考纲要求】一、矩阵的逆二、矩阵变换三、矩阵运算四、矩阵的特征值与特征向量考查要求为理解.【考向分析】1. 江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征向量的复习.2. 加强训练，提高推理和运算能力. 矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题.【高考预测】求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，是考查的方向，难度为容易题.【迎考策略】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y '' （3）矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||d b a b ad bc c d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.【强化演练】1．直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.(I)求矩阵的逆矩阵； (Ⅱ)求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程. 2．已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，是非零的平面列向量，，，求矩阵．3．已知矩阵M ＝的一个特征值为3，求M 的另一个特征值．4．已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程． 5．若二阶矩阵满足，. 求曲线在矩阵所对应的变换作用下得到的曲线的方程. 6．已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为 ，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()()003022A B C ，，，，，．设变换1T ， 2T 对应的矩阵分别为1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 2001N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求对△ABC 依次实施变换1T ， 2T 后所得图形的面积． 8．设二阶矩阵,． （1）求；（2）若曲线 在矩阵对应的变换作用下得到曲线,求的方程． 9．已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值.10．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值3λ=所对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ； （2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2xy =，求曲线C 的方程.。

江苏省2020年高考名师押题信息卷数 学2020.6.29Ⅰ卷一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝__________．【答案】（﹣1，3）【解析】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，∴A ∪B ＝（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．2．i 是虚数单位，则|2+i 1−i |的值为__________．【答案】√102【解析】|2+i 1−i |=|2+i||1−i|=√22√1+(−1)2=√52=√102， 故答案为：√102． 3．若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．【答案】1【解析】分析程序的运行过程知，程序运行后输出y ={x +ln e 2，x ≤1e x ，x ＞1； 又x ＝ln 2＜1，所以y ＝x +ln e 2=ln 2+lne ﹣ln 2＝1． 故答案为：1．4．（如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是__________【答案】13【解析】第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1﹣0.2﹣0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3＝13，故答案为：13.5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为__________．【答案】25 【解析】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n =C 52=10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m =C 11C 41=4，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p =m n =410=25．故答案为：25．6.已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________.【答案】13-【解析】令6t πα=-，得6t πα=+，可得出cos 3t =，然后代入6t πα=+结合诱导公式和二倍角的余弦公式可计算出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 7．设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则a 2+a 5a 8的值为__________． 【答案】2【解析】等比数列{a n }的公比设为q ，S 3，S 9，S 6成等差数列，可得2S 9＝S 3+S 6，若q ＝1，则18a 1＝3a 1+6a 1，显然不成立，故q ≠1，则2•a 1(1−q 9)1−q =a 1(1−q 3)1−q +a 1(1−q 6)1−q ， 化为2q 6＝1+q 3，解得q 3=−12，则a 2+a 5a 8=a 1q+a 1q 4a 1q 7=1+q 3q 6=1−1214=2，故答案为：2．8．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．【解析】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 30b a =︒=c e a ===. 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上，若直线x +y −√6=0上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是__________．【答案】√62【解析】圆x 2+y 2＝1的圆心为（0，0），半径为1，△ABC 是边长为1的等边三角形，可得四边形OACB 为菱形，。