构造平衡二叉排序树

平衡二叉树操作的演示1.需求分析本程序是利用平衡二叉树，实现动态查找表的基本功能：创建表，查找、插入、删除。

具体功能：（1）初始，平衡二叉树为空树，操作界面给出创建、查找、插入、删除、合并、分裂六种操作供选择。

每种操作均提示输入关键字。

每次插入或删除一个结点后，更新平衡二叉树的显示。

（2）平衡二叉树的显示采用凹入表现形式。

（3）合并两棵平衡二叉树。

（4）把一棵二叉树分裂为两棵平衡二叉树，使得在一棵树中的所有关键字都小于或等于x，另一棵树中的任一关键字都大于x。

如下图：2．概要设计平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

具体步骤：（1）每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；（2）若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；（3）判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点个关系，确定是那种类型的调整；（4）如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或RL型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；（5）计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，以及调整后平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。

流程图3.详细设计二叉树类型定义：typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;struct BSTNode *lchild ,*rchild;} BSTNode,* BSTree;Status SearchBST(BSTree T,ElemType e)//查找void R_Rotate(BSTree &p)//右旋void L_Rotate(BSTree &p)//左旋void LeftBalance(BSTree &T)//插入平衡调整void RightBalance(BSTree &T)//插入平衡调整Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller)//插入void DELeftBalance(BSTree &T)//删除平衡调整void DERightBalance(BSTree &T)//删除平衡调整Status Delete(BSTree &T,int &shorter)//删除操作Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter)//删除操作void merge(BSTree &T1,BSTree &T2)//合并操作void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2)//分裂操作void PrintBSTree(BSTree &T,int lev)//凹入表显示附录源代码：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//#define TRUE 1//#define FALSE 0//#define OK 1//#define ERROR 0#define LH +1#define EH 0#define RH -1//二叉类型树的类型定义typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;//结点的平衡因子struct BSTNode *lchild ,*rchild;//左、右孩子指针} BSTNode,* BSTree;/*查找算法*/Status SearchBST(BSTree T,ElemType e){if(!T){return 0; //查找失败}else if(e == T->data ){return 1; //查找成功}else if (e < T->data){return SearchBST(T->lchild,e);}else{return SearchBST(T->rchild,e);}}//右旋void R_Rotate(BSTree &p){BSTree lc; //处理之前的左子树根结点lc = p->lchild; //lc指向的*p的左子树根结点p->lchild = lc->rchild; //lc的右子树挂接为*P的左子树lc->rchild = p;p = lc; //p指向新的根结点}//左旋void L_Rotate(BSTree &p){BSTree rc;rc = p->rchild; //rc指向的*p的右子树根结点p->rchild = rc->lchild; //rc的左子树挂接为*p的右子树rc->lchild = p;p = rc; //p指向新的根结点}//对以指针T所指结点为根结点的二叉树作左平衡旋转处理，//本算法结束时指针T指向新的根结点void LeftBalance(BSTree &T){BSTree lc,rd;lc=T->lchild;//lc指向*T的左子树根结点switch(lc->bf){ //检查*T的左子树的平衡度，并做相应的平衡处理case LH: //新结点插入在*T的左孩子的左子树，要做单右旋处理T->bf = lc->bf=EH;R_Rotate(T);break;case RH: //新结点插入在*T的左孩子的右子树上，做双旋处理rd=lc->rchild; //rd指向*T的左孩子的右子树根switch(rd->bf){ //修改*T及其左孩子的平衡因子case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild); //对*T的左子树作左旋平衡处理R_Rotate(T); //对*T作右旋平衡处理}}//右平衡旋转处理void RightBalance(BSTree &T){BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= rc->bf=EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}//插入结点Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller){//taller反应T长高与否if(!T){//插入新结点，树长高，置taller为trueT= (BSTree) malloc (sizeof(BSTNode));T->data = e;T->lchild = T->rchild = NULL;T->bf = EH;taller = 1;}else{if(e == T->data){taller = 0;return 0;}if(e < T->data){if(!InsertAVL(T->lchild,e,taller))//未插入return 0;if(taller)//已插入到*T的左子树中且左子树长高switch(T->bf){//检查*T的平衡度，作相应的平衡处理case LH:LeftBalance(T);taller = 0;break;case EH:T->bf = LH;taller = 1;break;case RH:T->bf = EH;taller = 0;break;}}else{if (!InsertAVL(T->rchild,e,taller)){return 0;}if(taller)//插入到*T的右子树且右子树增高switch(T->bf){//检查*T的平衡度case LH:T->bf = EH;taller = 0;break;case EH:T->bf = RH;taller = 1;break;case RH:RightBalance(T);taller = 0;break;}}}return 1;}void DELeftBalance(BSTree &T){//删除平衡调整BSTree lc,rd;lc=T->lchild;switch(lc->bf){case LH:T->bf = EH;//lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case EH:T->bf = EH;lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case RH:rd=lc->rchild;switch(rd->bf){case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild);R_Rotate(T);}}void DERightBalance(BSTree &T) //删除平衡调整{BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case EH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}void SDelete(BSTree &T,BSTree &q,BSTree &s,int &shorter){if(s->rchild){SDelete(T,s,s->rchild,shorter);if(shorter)switch(s->bf){case EH:s->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:s->bf = EH;shorter = 1;break;case LH:DELeftBalance(s);shorter = 0;break;}return;}T->data = s->data;if(q != T)q->rchild = s->lchild;elseq->lchild = s->lchild;shorter = 1;}//删除结点Status Delete(BSTree &T,int &shorter){ BSTree q;if(!T->rchild){q = T;T = T->lchild;free(q);shorter = 1;}else if(!T->lchild){q = T;T= T->rchild;free(q);shorter = 1;}else{SDelete(T,T,T->lchild,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}}return 1;}Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter){ int sign = 0;if (!T){return sign;}else{if(e == T->data){sign = Delete(T,shorter);return sign;}else if(e < T->data){sign = DeleteAVL(T->lchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}else{sign = DeleteAVL(T->rchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:T->bf = EH;break;case LH:DELeftBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}}}//合并void merge(BSTree &T1,BSTree &T2){int taller = 0;if(!T2)return;merge(T1,T2->lchild);InsertAVL(T1,T2->data,taller);merge(T1,T2->rchild);}//分裂void split(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ int taller = 0;if(!T)return;split(T->lchild,e,T1,T2);if(T->data > e)InsertAVL(T2,T->data,taller);elseInsertAVL(T1,T->data,taller);split(T->rchild,e,T1,T2);}//分裂void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ BSTree t1 = NULL,t2 = NULL;split(T,e,t1,t2);T1 = t1;T2 = t2;return;}//构建void CreatBSTree(BSTree &T){int num,i,e,taller = 0;printf("输入结点个数:");scanf("%d",&num);printf("请顺序输入结点值\n");for(i = 0 ;i < num;i++){printf("第%d个结点的值",i+1);scanf("%d",&e);InsertAVL(T,e,taller) ;}printf("构建成功，输入任意字符返回\n");getchar();getchar();}//凹入表形式显示方法void PrintBSTree(BSTree &T,int lev){int i;if(T->rchild)PrintBSTree(T->rchild,lev+1);for(i = 0;i < lev;i++)printf(" ");printf("%d\n",T->data);if(T->lchild)PrintBSTree(T->lchild,lev+1);void Start(BSTree &T1,BSTree &T2){int cho,taller,e,k;taller = 0;k = 0;while(1){system("cls");printf(" 平衡二叉树操作的演示 \n\n");printf("********************************\n");printf(" 平衡二叉树显示区 \n");printf("T1树\n");if(!T1 )printf("\n 当前为空树\n");else{PrintBSTree(T1,1);}printf("T2树\n");if(!T2 )printf("\n 当前为空树\n");elsePrintBSTree(T2,1);printf("\n********************************************************************* *********\n");printf("T1操作：1.创建 2.插入 3.查找 4.删除 10.分裂\n");printf("T2操作：5.创建 6.插入 7.查找 8.删除 11.分裂\n");printf(" 9.合并 T1,T2 0.退出\n");printf("*********************************************************************** *******\n");printf("输入你要进行的操作：");scanf("%d",&cho);switch(cho){case 1:CreatBSTree(T1);break;case 2:printf("请输入要插入关键字的值");scanf("%d",&e);InsertAVL(T1,e,taller) ;break;case 3:printf("请输入要查找关键字的值");scanf("%d",&e);if(SearchBST(T1,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回87"); getchar();getchar();break;case 4:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T1,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 5:CreatBSTree(T2);break;case 6:printf("请输入要插入关键字的值"); scanf("%d",&e);InsertAVL(T2,e,taller) ;break;case 7:printf("请输入要查找关键字的值"); scanf("%d",&e);if(SearchBST(T2,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 8:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T2,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 9:merge(T1,T2);T2 = NULL;printf("合并成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 10:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T1,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 11:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T2,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 0:system("cls");exit(0);}}}main(){BSTree T1 = NULL;BSTree T2 = NULL;Start(T1,T2);}。

平衡二叉树调整教学探讨在“数据结构与算法”课程教学中，许多教科书在介绍平衡二叉树调整这部分内容时，采用的都是旋转的方法，将不平衡二叉树用左右、顺逆时针旋转的方法使失去平衡的二叉排序树调整为平衡二叉树。

但是在实际教学过程中，笔者发现这样的方法不太容易被学生理解，许多学生尤其是专科学生搞不清楚怎么旋转、围绕谁旋转。

针对这一问题，笔者通过不断的教学实践摸索出一种更容易被学生接受和理解的平衡二叉树调整方法——填空法，这种方法充分利用了二叉排序树的特点，采用填空的方式对失衡的二叉排序树进行调整使之保持平衡。

1基本原理我们知道，二叉排序树具有这样一个特点：左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值，右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

即有这样一个关系：左根据二叉排序树的特点(左假定都在CL中插入一个结点使得A的平衡因子的绝对值变为2从而使得原平衡二叉树失去平衡，此时以A为根结点的子树就是最小不平衡子树，这棵最小不平衡子树可以分为7个部分。

沿着从根结点A到插入结点位置CL的路径方向依次取三个结点，假设为A、B、C，它们和剩下的AL、AR、BL、BR、CL、CR中的4个构成的二叉排序树要成为平衡二叉树，则由这7个部分组成的平衡二叉树的基本结构一定是如图5所示情形：其中，A、B、C三者中值最小的为左子树的根结点，值最大的为右子树的根结点，中间的为整个最小不平衡子树的根结点。

其余的AL、AR、BL、BR、CL、CR等按从小到大的顺序排列，将它们从左到右依次填在树的第三层即可，完成后的二叉树一定是平衡二叉树。

对上述四种复杂情形，平衡后如图6所示：2示例例：已知长度为12的表：{Jan,Feb,Mar,Apr,May,June, July,Aug,Sep,Oct,Nov,Dec}，按照表中元素顺序构造一棵平衡二叉排序树。

解：构造过程如图7、图8所示。

教学实践证明，本文采用的填空法要比传统的旋转法更容易被学生接受和理解。

平衡二叉树构造过程
平衡二叉树的构造过程主要分为以下几个步骤：
1.定义平衡二叉树的结构：平衡二叉树的结构类似于普通二叉树，每
个节点的左子树和右子树的深度差不超过1。

2.插入节点：当往平衡二叉树中插入一个节点时，需要先通过二叉搜
索树的方式找到新节点的插入位置。

然后，通过旋转操作将树重新平衡。

旋转分为左旋和右旋两种操作。

3.左旋：当一个节点的右子树深度大于左子树深度时，需要进行左旋
操作。

左旋操作是将该节点的右子树进行旋转，使其成为该节点的父节点，该节点成为该节点的右子树的左子树。

4.右旋：当一个节点的左子树深度大于右子树深度时，需要进行右旋
操作。

右旋操作是将该节点的左子树进行旋转，使其成为该节点的父节点，该节点成为该节点的左子树的右子树。

5.删除节点：当从平衡二叉树中删除一个节点时，需要通过旋转操作
将树重新平衡，避免树退化成非平衡二叉树，导致性能下降。

6.重新计算节点深度：平衡二叉树的关键是保证每个节点的左子树和
右子树深度差不超过1，因此在进行节点插入和删除操作后，需要重新计
算每个节点的深度，并检查是否满足平衡二叉树的结构。

通过以上步骤，可以构造一个平衡二叉树。

在应用中，平衡二叉树常
用于高效的查找和排序操作。

一、平衡二叉树的概念平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。

定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;（2）左右子树仍然为平衡二叉树.平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。

若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图：二、平衡二叉树算法思想若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。

首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。

然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。

假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

1）LL型平衡旋转法由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行一次顺时针旋转操作。

即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。

而原来B的右子树则变成A的左子树。

（2）RR型平衡旋转法由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。

故需进行一次逆时针旋转操作。

即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。

而原来C的左子树则变成A的右子树。

（3）LR型平衡旋转法由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。

即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

平衡树——特点：所有结点左右子树深度差≤1排序树——特点：所有结点―左小右大字典树——由字符串构成的二叉排序树判定树——特点：分支查找树（例如12个球如何只称3次便分出轻重）带权树——特点：路径带权值（例如长度）最优树——是带权路径长度最短的树，又称Huffman树，用途之一是通信中的压缩编码。

1.1 二叉排序树：或是一棵空树；或者是具有如下性质的非空二叉树：（1）若左子树不为空，左子树的所有结点的值均小于根的值；（2）若右子树不为空，右子树的所有结点均大于根的值；（3）它的左右子树也分别为二叉排序树。

例：二叉排序树如图9.7：二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。

中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。

每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。

搜索,插入,删除的复杂度等于树高，期望O(logn),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表).虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn),如SBT,AVL,红黑树等.故不失为一种好的动态排序方法.2.2 二叉排序树b中查找在二叉排序树b中查找x的过程为：1. 若b是空树，则搜索失败，否则：2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：4. 查找右子树。

[cpp]view plaincopyprint?1.Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){2. //在根指针T所指二叉排序樹中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，3. //则指针p指向该数据元素节点，并返回TRUE，否则指针P指向查找路径上访问的4. //最好一个节点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL5. if(!T){ p=f; return FALSE;} //查找不成功6. else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;} //查找成功7. else if LT(key,T->data.key)8. return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树继续查找9. else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树继续查找10.}2.3 在二叉排序树插入结点的算法向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：1. 若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：2. 若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：3. 若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：4. 把s所指结点插入到右子树中。

算法（平衡⼆叉树）科普⼆叉树⼆叉树⼆叉数是每个节点最多有两个⼦树,或者是空树(n=0),或者是由⼀个根节点及两个互不相交的,分别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成满⼆叉树有两个⾮空⼦树(⼆叉树中的每个结点恰好有两个孩⼦结点切所有叶⼦结点都在同⼀层)也就是⼀个结点要么是叶结点，要么是有两个⼦结点的中间结点。

深度为k且含有2^k-1个结点的⼆叉树完全⼆叉树从左到右依次填充从根结点开始，依次从左到右填充树结点。

除最后⼀层外，每⼀层上的所有节点都有两个⼦节点，最后⼀层都是叶⼦节点。

平衡⼆叉树AVL树[3,1,2,5,9,7]⾸先科普下⼆叉排序树⼜称⼆叉查找树,议程⼆叉搜索树⼆叉排序树的规则⽐本⾝⼤放右边,⽐本⾝⼩放左边平衡⼆叉数⾸先是⼀个⼆叉排序树左右两个⼦树的⾼度差不⼤于1下⾯图中是平衡的情况下⾯是不平衡的情况引⼊公式(LL)右旋function toateRight(AvlNode){let node=AvlNode.left;//保存左节点 AvlNode.left=node.right;node.right=AvlNode;}(RR)左旋function roateLeft(AvlNode){let node=AvlNode.right;//保存右⼦节点AvlNode.right=node.left;node.left=AvlNode;return node;}左右旋⼤图判断⼆叉树是不是平衡树⼆叉树任意结点的左右⼦树的深度不超过1深度计算定义⼀个初始化的⼆叉树var nodes = {node: 6,left: {node: 5,left: {node: 4},right: {node: 3}},right: {node: 2,right: {node: 1}}}//计算⾼度const treeDepth = (root) => {if (root == null) {return 0;}let left = treeDepth(root.left)let right = treeDepth(root.right)return 1+(left>right?left:right)}//判断深度const isTree=(root)=>{if (root == null) {return true;}let left=treeDepth(root.left)let right=treeDepth(root.right)let diff=left-right;if (diff > 1 || diff < -1) {return false}return isTree(root.left)&&isTree(root.right) }console.log(isTree(nodes))判断⼆叉数是不是搜索⼆叉树//第⼀种 //中序遍历let last=-Infinity;const isValidBST=(root)=>{if (root == null) {return true;}//先从左节点开始if (isValidBST(root.left)) {if (last < root.node) {last=root.node;return isValidBST(root.right)}}return false}console.log(isValidBST(nodes))//第⼆种const isValidBST = root => {if (root == null) {return true}return dfs(root, -Infinity, Infinity)}const dfs = (root, min, max) => {if (root == null) {return true}if (root.node <= min || root.node >= max) {return false}return dfs(root.left, min, root.node) && dfs(root.right, root.node, max)}console.log(isValidBST(nodes))实现⼀个⼆叉树实现了⼆叉树的添加,删除,查找,排序//⼆叉树结点class TreeNode {constructor(n, left, right){this.n = n;this.left = left;this.right = right;}}//⼆叉树class BinaryTree {constructor(){this.length = 0;this.root = null;this.arr = [];}//添加对外⼊⼝，⾸个参数是数组，要求数组⾥都是数字，如果有不是数字则试图转成数字，如果有任何⼀个⽆法强制转成数字，则本操作⽆效 addNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_addNode', arr)}//删除结点deleteNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_deleteNode', arr)}//传值判断，如果全部正确，则全部加⼊叉树judgeData(func, arr){let flag = false;//任何⼀个⽆法转成数字，都会失败if(arr.every(n => !Number.isNaN(n))){let _this = this;arr.map(n => _this[func](n));flag = true;}return flag;}//添加的真实实现_addNode(n){n = Number(n);let current = this.root;let treeNode = new TreeNode(n, null, null);if(this.root === null){this.root = treeNode;}else {current = this.root;while(current){let parent = current;if(n < current.n){current = current.left;if(current === null){parent.left = treeNode;}}else {current = current.right;if(current === null){parent.right = treeNode;}}}}this.length++;return treeNode;}//删除节点的真实实现_deleteNode(n){n = Number(n);if(this.root === null){return;}//查找该节点，删除节点操作⽐较复杂，为排除找不到被删除的节点的情况，简化代码，先保证该节点是存在的，虽然这样做其实重复了⼀次查询了，但⼆叉树的查找效率很⾼，这是可接受的let deleteNode = this.findNode(n);if(!deleteNode){return;}//如果删除的是根节点if(deleteNode === this.root){if(this.root.left === null && this.root.right === null){this.root = null;}else if(this.root.left === null){this.root = this.root.right;}else if(this.root.right === null){this.root = this.root.left;}else {let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = this.root.left;replaceNode.right = this.root.right;this.root = replaceNode;}}else {//被删除的⽗节点，⼦节点在⽗节点的位置p，有left,right两种可能let [deleteParent, p] = this.findParentNode(deleteNode);if(deleteNode.left === null && deleteNode.right === null){deleteParent[p] = null;}else if(deleteNode.left === null){deleteParent[p] = deleteNode.right;}else if(deleteNode.right === null){deleteParent[p] = deleteNode.left;}else {//⽤来替换被删除的节点，⽗节点，节点在⽗节点的位置let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);if(replacePNode === deleteNode){deleteParent[p] = replaceNode;}else {deleteParent[p] = replaceNode;replacePNode.right = null;}replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = deleteNode.left;replaceNode.right = deleteNode.right;}}this.length--;}//查找findNode(n){let result = null;let current = this.root;while(current){if(n === current.n){result = current;break;}else if(n < current.n){current = current.left;}else {current = current.right;}}return result;}//查找⽗节点findParentNode(node){let [parent, child, p] = [null, null, null];if(this.root !== node){parent = this.root;if(node.n < parent.n){child = parent.left;p = 'left';}else {child = parent.right;p = 'right';}while(child){if(node.n === child.n){break;}else if(node.n < child.n){parent = child;child = parent.left;p = 'left';}else {parent = child;child = parent.right;p = 'right';}}}return [parent, p];}//查找当前有左⼦树的节点的最⼤值的节点M，如有A个节点被删除，M是最接近A点之⼀（还有⼀个是右⼦树节点的最⼩值） findLeftTreeMax(topNode){let [node, parent, p] = [null, null, null];if(this.root === null || topNode.left === null){return [node, parent, p];}parent = topNode;node = topNode.left;p = 'left';while(node.right){parent = node;node = node.right;p = 'right';}return [node, parent, p];}//查找最⼤值maxValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('right');}}//查找最⼩值minValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('left');}}//实现查找特殊值_findLimit(pro){let n = this.root.n;let current = this.root;while(current[pro]){current = current[pro];n = current.n;}return n;}//中序排序,并⽤数组的形式显⽰sortMiddleToArr(){this._sortMiddleToArr(this.root);return this.arr;}//中序⽅法_sortMiddleToArr(node){if(node !== null){this._sortMiddleToArr(node.left);this.arr.push(node.n);this._sortMiddleToArr(node.right);}}//打印⼆叉树对象printNode(){console.log(JSON.parse(JSON.stringify(this.root)));}}//测试var binaryTree = new BinaryTree();binaryTree.addNode([50, 24, 18, 65, 4, 80, 75, 20, 37, 40, 60]);binaryTree.printNode();//{n: 50, left: {…}, right: {…}}console.log(binaryTree.maxValue());//80console.log(binaryTree.minValue());//4console.log(binaryTree.sortMiddleToArr());// [4, 18, 20, 24, 37, 40, 50, 60, 65, 75, 80] binaryTree.deleteNode([50]);binaryTree.printNode();//{n: 40, left: {…}, right: {…}}排序复习function ArrayList() {this.array = [];}ArrayList.prototype = {constructor: ArrayList,insert: function(item) {this.array.push(item);},toString: function() {return this.array.join();},swap: function(index1, index2) {var aux = this.array[index2];this.array[index2] = this.array[index1];this.array[index1] = aux;},//冒泡排序bubbleSort: function() {var length = this.array.length;for (var i = 0; i < length; i++) {for (var j = 0; j < length - 1 - i; j++) {if (this.array[j] > this.array[j + 1]) {this.swap(j, j + 1);}}}},//选择排序selectionSort: function() {var length = this.array.length;var indexMin;for (var i = 0; i < length - 1; i++) {indexMin = i;for (var j = i; j < length; j++) {if (this.array[indexMin] > this.array[j]) {indexMin = j;}}if (indexMin !== i) {this.swap(indexMin, i);}}},//插⼊排序insertionSort: function() {var length = this.array.length;var j;var temp;for (var i = 1; i < length; i++) {temp = this.array[i];j = i;while (j > 0 && this.array[j - 1] > temp) {this.array[j] = this.array[j - 1];j--;}this.array[j] = temp;}},//归并排序mergeSort: function() {function mergeSortRec(array) {var length = array.length;if (length === 1) {return array;}var mid = Math.floor(length / 2);var left = array.slice(0, mid);var right = array.slice(mid, length);return merge(mergeSortRec(left), mergeSortRec(right)); }function merge(left, right) {var result = [];var il = 0;var ir = 0;while (il < left.length && ir < right.length) {if (left[il] < right[ir]) {result.push(left[il++]);} else {result.push(right[ir++]);}}while (il < left.length) {result.push(left[il++]);}while (ir < right.length) {result.push(right[ir++]);}return result;}this.array = mergeSortRec(this.array);},//快速排序quickSort:function(){function sort(array){if (array.length <= 1) {return array;}var pivotIndex = Math.floor(array.length/2);var pivot = array.splice(pivotIndex,1)[0];var left = [];var right = [];for(var i = 0; i < array.length; i++){if (array[i] < pivot) {left.push(array[i]);}else{right.push(array[i]);}}return sort(left).concat([pivot],sort(right));}this.array = sort(this.array);}};...................................................................................................................############################################################################ ###################################################################################。

平衡二叉树构造方法平衡二叉树对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。

二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1一棵好的平衡二叉树的特征：（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)一、平衡二叉树的构造在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。

首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。

然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

（1）LL型LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。

此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。

（2）RR型RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。

此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。