21.2.1配方法解一元二次方程

1 x1 1, x 2 . 2
2 3 3 x 6x 4 0
移项，得
3 x 6 x 4,
2
二次项系数化为1，得
2
4 x 2x , 3
2
为什么方程 两边都加12？
配方
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
整理得：X2+6X－16 =0 怎样解这 个方程？
想一想解方程x 6 x 16 0的流程怎样 ? x 6 x 16 0
2
2
移项
2
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x 2bx b 的形式
2
2
x 6 x 3 16 3
2 2
左边写成完全平方形 式 ( x 3) 25 降次
2
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得: x1 2, x2 8
以上解法中,为什么在方程x2+6x=16两边加 不行. 9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法. 2＋10x＋ 25 =(x＋ 2 (1)x ) 5 填空：
化二次项系数为1.
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
2.解下列方程 3x 2 6 x 4 0 ; 4 x 2 6 x 3 0; ３ ４
2 2
2
例1 解下列方程：
1 x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方 x2－8x+42=－1+42 , 为什么方 程两边都加上 42？加其他数 行吗？

1
配方法解一元二次方程
学习过程 【自主学习】
（一）复习：知识回顾：完全平方公式： 和 1.解下列方程:
(1)2
430x -= （2）2
693x x -+=
2．填上适当的数，使下列等式成立：
(1) 212x x ++____ = 2
(6)x + (2) 2
4x x -+____ = (x -___)2
(3) 28x x ++____ = (x +____)2 （4）22
____)(_____4
5
+=++
x x x 由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
（二）探索新知：请阅读教材第3２页，解方程2
450x
x +-=，完成下面框图：
2450x x +-=
归纳总结：
1、通过配成＿＿＿＿＿＿＿形式来解一元二次
方程的方法，叫做配方法。

2、配方是为了降次．．，把一个一元二次方程化为______________方程来解。

三．自学课本例题1: 1.观察方程（1）的解题过程，归纳用配方法
解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是： ①、移项，把＿＿＿＿＿移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。

2．观察方程（2）（3）的解题过程，归纳：方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以____________，将方程的二次项系数化为____。

2。

例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 6a b2 8b c 5 25 0, 试判断△ABC的形状.
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
2
1 16
,
移项和二次项系数
由此可得 x 3 1 ,
44
1
x1
1, x2
. 2
化为1这两个步骤 能不能交换一下呢?
3 3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4,
二次项系数化为1，得
配方，得 即
x2 2x 4 , 3
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当
x=
1 2
时，－x2－x－1有最大值
3 4
.
3.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得 x 22 y 32 z 2 0
由代数式的性质可知
x 22 0, y 32 0, z 2 0
的完全平方式，方程两边所添加的常数与这个方 程的哪一项的系数有关？有什么关系？
请你将方程 y2 6y 16 转化成 (x a)2 b 的形式，
并思考方程的两边所添加的常数有什么特征，说 说你的见解好吗？
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2

∴ −(−1)² ≤ 0, ∴ −² + 2−3 = −(−1)²−2 ≤
-2，原式有最大值，是-2.
完成下列问题：
(1)求代数式 2²−4 + 1的最小值.
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，用长为 100 米的木栅栏围成一个长方形花圃(如
图)，设花圃中垂直于围墙的一边的长度为 x 米，完成下列任务.
(
3 2
(
3 2
1
2
4
. −
. −
)
2
+
)−
1
(
(
. +
1
2
4
)−
. +
4
3 2Biblioteka 3 2)2
+
)
1
4
2.用配方法解方程 ²−6 + 5 = 0,配方后所得的方程是
.( + 3)² = −4
.(−3)² = −4
.( + 3)² = 4
.(−3)² = 4
(
)
3.用配方法解一元二次方程 ² + 2 = 3时，将其化为( ( + )² = 的形式，则.m,n 的值分别
(1)(4 + 1)2−
16
9
= 0.
(2)4(2−1)²−25( + 1)² = 0.
.
)
能力提升全练
1
8.用直接开平方法解一元二次方程 (−1)2 = 9,步骤如下：
4
①(x-1)²=36;②x-1=±6;③x=±7;④即.x₁=7，x₂=-7.其中开始出错的步骤是
A.①
B.②
C.③
(
x²+2x=