【好题】数学高考第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是()
A ．
3
10
B．
2
5
C．
1
2
D．
3
5
2．1
2
3
{
3
x
x
>
>
是12
12
6
{
9
x x
x x
+>
>
成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
3．设函数()
()
2
1,0
4,0
x
log x x
f x
x
⎧-<
=⎨
≥
⎩
，则()()2
33
f f log
-+=（）
A．9B．11C．13D．15
4．25
3
2
()
x
x
-展开式中的常数项为（）
A．80B．-80C．40D．-40
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
6．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
5
6
7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214
,,
A A A，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
9．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
10．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝
AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )
A ．60︒
B ．30
C ．45︒
D ．15︒
11．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．
14
B ．
12
C ．
2 D ．2
12．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2
π
)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
A ．2，－
3
π
B ．2，－
6
π
C ．4，－
6
π D ．4，
3
π 二、填空题
13．函数()22,0
26,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩
的零点个数是________．
14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.
15．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________
16．双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直
线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 18．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．
19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2
2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两
次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．
20．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.
三、解答题
21．已知直线
3
5
2 :{
1
3
2 x
t
l
y t
=+
=+
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos
ρθ
=.
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线C 的交点为A，B，求MA MB
⋅的值. 22．已知函数
2
()(1)
1
x
x
f x a a
x
-
=+>
+
．
（1）证明：函数()
f x在(1,)
-+∞上为增函数；
（2）用反证法证明：()0
f x=没有负数根．
23．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：
(1)已知抽取的100个使用A未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
24．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
2
1
x t
y at
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（t为参数，a R
∈），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C的极坐标方程是
22
4
π
ρθ⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）己知直线l与曲线C交于A、B两点，且7
AB=a的值.
25．选修4-5：不等式选讲：设函数()13
f x x x a
=++-.
（1）当1
a=时，解不等式()23
f x x
≤+；
