圆锥曲线经典高考常考题选编

高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．132 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.33[33-D. 33(,33-3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

答案解析1将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 4.答案：B 2.答案：D ∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22），∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1，∴e ∈（2，+∞） 3.答案：D 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅²x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 4答案：C 由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1，又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2，又∵e ＝21=a c ，∴选C. 5.答案：D 由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，∴椭圆中心到准线距离为6.答案：C 渐近线方程为y =±b a x ，由b a ²（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2，∴c ＝2a ，14.答案：B y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 7.答案：A 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.8.答案：A 将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x＝1，所以选A.9.答案：A 由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1, 10.答案：C 如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 11.答案：B 把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.12.答案：A 由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221ab a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2.13.答案：D ，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sinθ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C 将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以应选C.14.答案：D 原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.15.答案：A 解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A.16.答案：23因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|²|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b17.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）. 18.答案：1625)2(22y x +- =1由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3 ∵长轴长为10，∴2a =10，∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 19答案：（±7，0）由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2m x ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 20.答案：（2，1）抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1）21.答案：－1椭圆方程化为x 2+ky 52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k -5，b 2=1又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－122答案：x 2－4y 2＝1设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1 23.答案：516设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ）a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2 m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝516 24.答案：16922y x -=1由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 25.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ²k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ²k PN =22ab .26解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222by a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=a b 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2 解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .27.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2³59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 图8—18④⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9³4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 28.解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2即|PF 1|2＝（6－|PF 1|）2＋20， 得|PF 1|＝314，|PF 2|＝34，故27||||21=PF PF ；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即20＝|PF 1|2＋（6－|PF 1|）2，得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故||||21PF PF ＝2.29.证法一：依题设得椭圆的半焦距c =1，右焦点为F （1，0），右准线方程为x =2，点E 的坐标为（2，0），EF 的中点为N （23，0）. 若AB 垂直于x 轴，则A （1，y 1），B （1，－y 1），C （2，－y 1），∴AC 中点为N （23，0），即AC 过EF 中点N .若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为y =k （x －1），k ≠0.记A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则（2，y 2）且x 1，x 2满足二次方程22x +k 2（x －1）2=1，即（1+2k 2）x 2－4k 2x +2（k 2－1）=0∴2221222121)1(2,214kk x x k k x x +-=+=+. 又x 12=2－2y 12＜2，得x 1－23≠0，故直线AN 、CN 的斜率分别为 )1(2232,32)1(22322211111-=-=--=-=x k yk x x k x y k .∴k 1－k 2=2k ²32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（x 1－1）－（x 2－1）（2x 1－3）=3（x 1+x 2）－2x 1x 2－4 =2211k+［12k 2－4（k 2－1）－4（1+2k 2）］=0， ∴k 1－k 2=0，即k 1=k 2.故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N .30.解：设椭圆C 的方程为12222=+b y a x ，由题意a =3，c =22，于是b =1.∴椭圆C 的方程为92x ＋y 2＝1．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2＋36x ＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝518-， 故线段AB 的中点坐标为（51,59-）．图8—22。

(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

圆锥曲线高考题精选一、选择题：1、（1995）双曲线3322=-y x 的渐近线方程是（A ）x y 3±= （B ）x y 31±= （C ）x y 3±= （D ）x y 33±= 2、（1996）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）3、（1996）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。

已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）332 4、（1996文）中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是 （A ）13422=+y x （B ）14322=+y x （C ）1422=+y x （D ）1422=+y x 5、（1996文）椭圆091891502522=+++-y y x x 的两个焦点坐标是 （A ）（-3，5），（-3，-5） （B ）（3，3），（3，-5）（C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）6、（1997）曲线的参数方程是)0,(.1,112≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t t t y t x 是参数，它的普通方程是（A ）1)1()1(2=--y x （B ）2)1()2(x x x y --=（C ）1)1(12--=x y （D ）112+-=xxy7、（1997）椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线0=+y x 对称，椭圆C 的方程是 （A ）19)3(4)2(22=+++y x （B ）14)3(9)2(22=-+-y x （C ）14)3(9)2(22=+++y x （D ）19)3(4)2(22=-+-y x 8、（1998）曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为 （A ）4)2(22=++y x （B ）4)2(22=-+y x （C ）4)2(22=+-y x （D ）4)2(22=++y x9、（1998）椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上。

以下题目全是经典的高考题目,希望对您有帮助!!圆锥曲线1．如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； (2)已知当M 点的坐标为（2，p 2-）时，AB = (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜由22x py =得22x y p =，则,x y p'= 所以12,.MA MB x x k k p p ==因此直线MA :102(),x y p x x p +=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p+=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.AB k p =由弦长公式AB==又AB=p=1或p=2，因此所求抛物线方程为22x y=或24.x y=(3)解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),则CD的中点坐标为123123(,),22x x x y y yQ++++设直线AB的方程为011(),xy y x xp-=-由点Q在直线AB上，并注意到点1212(,)22x x y y++也在直线AB上，代入得033.xy xp=若D（x3,y3）在抛物线上，则2330322,x py x x==因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或22(2,).xD xp(1’ 当x0=0时，则12020x x x+==，此时，点M(0,-2p)适合题意.(2’ 当x≠，对于D(0，0)，此时221222221212002(2,),,224CDx xx x x xpC x kp x px+++==又0,ABxkp=AB⊥CD，所以22220121221,44AB CDx x x x xk kp px p++===-即222124,x x p+=-矛盾.对于22(2,),xD xp因为2212(2,),2x xC xp+此时直线CD平行于y轴，又00,ABxkp=≠所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x≠时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.2．已知曲线11(0)xyC a ba b+=>>：所围成的封闭图形的面积为1C的内切圆半径为3．记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（O为坐标原点）（Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得23ab ⎧=⎪⎨= 又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k +=+=+=+++．设()M x y ，由(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y kλ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k=-，即x k y =-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++， 又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 轨迹222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时最小409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上,AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．下同解法一. 3．已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=.（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解: （1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，此时斜率21mk m =+ 因为()2112m m ≤+，所以2112m k m =≤+，当且仅当1m =时等号成立 所以，斜率k 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不能.由（1）知l 的方程为()4y k x =-，其中12k ≤； 圆Ｃ的圆心为()4,2C -，半径2r =；圆心Ｃ到直线l的距离d =由12k ≤，得1d ≥>，即2rd >，从而，若l 与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l 所得 的弦所对的圆心角小于23π，所以l 不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为12的两段弧； 4．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解:（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+则由题有：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、（2015全国I卷）（14）一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程16 4为。

3、（2014全国I卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：上+ y2= 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆a2 b2 2的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一，，〜5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：— + ） =1（a > b > 0）a 2 b2的离心率为*，左、右焦点分别是F , F ，以F 为圆心，以3为半径的圆与以F 为圆心，以1为半径的 2 1212圆相交，交点在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；x 2 y 2（H ）设椭圆E ：江+而二1，P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国I 卷）（5）已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i ）求|OQ | | OP |的值；（ii ）求A ABQ 面积最大值.取值范围是（2、（2015全国I 卷）（5）已知M （x 0 丫0）是双曲线C ： --W= 1上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是（2J3(D )(一二33、（2014全国I 卷）4.已知F 是双曲线C ： x 2 - my 2 = 3m （m > 0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E_,： ---= 1 （a >0, b >0）,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上， 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点，且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、（2015山东卷）（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C : 一--—= 1（a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py （p > 0）交于点O , A , B ，若A OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、（2014山东卷）（10）已知a > b ，椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二，则C 的渐近线方程为（）222（A ） x 土 <2y = 0 （B ） J2x 土 y = 0 （C ） x 土2y = 0 （D ） 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、（2016全国I卷）（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4"；2 , | DEI= 2d5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）82、（2015全国I卷）（20）（本小题满分12分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y =—与直线y = kx + a（a >0）交与M,N两点，（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点R使得当k变动时，总有N OPM =Z OPN ?说明理由。

全国卷圆锥曲线高考题选1、 (15全国新课标1)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．2、(14全国新课标)已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 相交于A 、B 两点，若AB 的 垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求的方程.3、（13新课标1）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.4．（13新课标Ⅱ卷数学）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.5、(12全国新课标)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。

高考数学《圆锥曲线》试题汇编1.（湖北文）（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为63，右焦点为(22,0)。

斜率为1的直线l 与椭圆G交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -。

（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求PAB 的面积。

2.福建文11.设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于A.1322或 B.223或 C.122或 D.2332或 3.福建文18.（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x2=4y 相切于点A 。

（1） 求实数b 的值；（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.4.上海文22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（3）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围. 5.天津文（18） 设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为21,F F ，点),(b a P 满足212F F PF =。

（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于B A ,两点。

若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于N M ,两点，且AB MN 85=，求椭圆的方程。

6.全国新课标文（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值。

高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题（含答案解析）1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =−+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求||CD 的最小值．【解析】（1）设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+−=−−=−+≤⎭+ ⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=−时取等号，故PH（2）设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++−= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=−⎪+⎪⎪⎨⎪=−⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为直线111:1y PA y x x −=+与直线132y x =−+交于C , 则111114422(21)1C x x x x y k x ==+−+−,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+−+−.则224||(21)1C D x CD x k x −=+−====≥=当且仅当316k=时取等号，故CD2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b−=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,P x y Q x y在C上，且1210,0x x y>>>．过P且斜率为Q M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ AB∥；③||||MA MB=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F，∴2c=,∵渐近线方程为y=，∴ba=∴b=，∴222244c a b a=+==，∴1a=，∴b=∴C的方程为：2213yx−=；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12x x=，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为()2y k x=−,则条件①M在AB上，等价于()()2000022y k x ky k x=−⇔=−；两渐近线的方程合并为2230x y−=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k −−+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===−=−−, 设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y −+−=−+−, 移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤−−++−−+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x −⎡⎤⎡⎤−++−+=⎣⎦⎣⎦−,即()000N N x x k y y −+−=,即200283k x ky k +=−；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x −=−−=−,∴)121202y y x x x −=+−, 所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +−−==−−,直线)00:PM y x x y =−+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y −−=,即)3yy +−=中，得：()()00003y y ⎡⎤−=⎣⎦, 解得P的横坐标：100x y ⎛⎫+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫−=++−=−−⎪−−⎭∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=， 综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =−；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=−；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==−−,∴③成立； 选①③推②：由①③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴003ky x =，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴02623x k −=−，∴()2002ky k x =−，∴①成立.3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ−取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）抛物线的准线为2px =−，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时=32pMF p +=，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my −−=，120,4y y ∆>=−，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y −==+−，34223434444AB y y k y y y y −==+−， 直线112:2x MD x y y −=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y −−⋅−=， 130,8y y ∆>=−，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MN AB k k y y y y ===++ 又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===， 若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++， 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=， 34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x +. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =− 由 2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩得：()2222240k x k x k −++=，121x x =,同理，124y y =−.直线MD :11(2)2y y x x =−−,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =. 代入抛物线方程可得:138y y =−,所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得：()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x −−−====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=，34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x =+. [方法三]：三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),0P t ,若 P 、M 、N 三点共线，由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得124y y t =-， 反之，若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t 因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =−，由M 、D 、A 三点共线，得138y y =−， 由N 、D 、B 三点共线，得248y y =−，则3412416y y y y ==−，AB 过定点（4,0）（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ−最大时，AB k =:4AB x =+. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P −的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B −−，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P −的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =−，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H −.求得HN 方程：(22y x =−，过点(0,2)−. ②若过点(1,2)P −的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y −−+=. 联立22(2)0,134kx y k x y −−+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +−+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧−++=⎪+⎪⎨+−⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k −+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=−⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++− 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x −−=−+−−， 将(0,2)−，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +−+++−−=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++−−−+−−= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).−5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，直线l 交C于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【解析】（1）因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，所以224111a a −=−，解得22a =，即双曲线22:12x C y −=．易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m −−−−=， 所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−，()()222222Δ16422210120m k m k m k =−+−>⇒−+>且≠k ．所以由0AP AQk k +=可得，212111022y y x x −−+=−−， 即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−=， 即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+−−−−−= ⎪−−⎝⎭， 化简得，()2844410k k m k +−++=，即()()1210k k m +−+=，所以1k =−或12m k =−，当12m k =−时，直线():21l y kx m k x =+=−+过点()2,1A ，与题意不符，舍去， 故1k =−．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP AQ k k +=，所以παβ+=，由（1）知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+，解得tan α=（负值舍去） 此时P A 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=()tan βα−=tan 2α=−2tan 0αα−，解得tan α，于是，直线):21PA y x =−+，直线):21QA y x =−+，联立)222112y x x y ⎧=−+⎪⎨−=⎪⎩可得，)23241002x x ++−，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，103Q x +=，Q y=53−． 所以5:03PQ x y +−=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d = 故PAQ △的面积为11623⨯=． ［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α=1112y x −−，联立1112y x −=−221112x y −=得1x1y ，同理，2x 2y =12203x x +=，12689x x =而1||2|AP x −，2||2|AQ x −，由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠故12121||||sin 2()4|2PAQSAP AQ PAQ x x x x =∠=−++= 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．。