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材料力学 第12章 能量方法及应用PPT课件

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大学材料力学下能量方法教学课件

大学材料力学下能量方法教学课件


对未来研究的展望
随着科学技术的发展，材料力学中的问题越来越 复杂，需要更深入的研究。
在实际应用中，应结合数值计算方法和实验研究 ，进一步提高能量方法的实用性和可靠性。
未来研究可进一步探索能量方法的理论基础，完 善其应用范围和精度，以满足更广泛的工程需求 。
此外，可开展跨学科的研究，将能量方法与其他 分析方法相结合，以解决更复杂的工程问题。同 时，应注重培养具有创新思维和实践能力的人才 ，为未来的科学研究和技术发展做出贡献。
断裂能与裂纹扩展的能量关系：在断裂力学中，我们通 常将断裂能作为描述裂纹扩展的能量关系的主要参数。 断裂能是裂纹扩展单位面积所需的能量。
能量法在断裂力学中的应用实例
韧性材料的疲劳裂纹扩展：对于韧性材料，疲劳裂纹的 扩展通常是一个渐进的过程。使用能量法可以研究疲劳 裂纹的扩展规律，并预测结构的剩余寿命。
04
案例分析
悬臂梁的弯曲问题
总结词
悬臂梁弯曲问题是一个经典的材料力学问题，通过能量方法可以更深入地理解其 力学行为。
详细描述
悬臂梁在受到外力作用时会产生弯曲变形，通过应用能量方法，可以计算梁的弯 曲刚度、挠度以及应力分布情况。同时，还可以分析不同材料对梁弯曲的影响。
圆孔附近的应力集中问题
总结词
简化。
输标02入题
能量方法在解决弹性力学、塑性力学和断裂力学等领 域的问题时表现出色，为工程设计和科学研究提供了 有力支持。
01
03
能量方法的应用范围广泛，不仅可用于求解静力问题 ，还可用于分析动力学问题，以及研究材料的屈曲、
振动和稳定性等问题。
04
能量方法的基本原理包括虚功原理、最小势能原理和 哈密顿原理等，这些原理为解决各种材料力学问题提 供了基础。
材料力学第12章 能量法

材料力学第12章 能量法


范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
材料力学第12篇能量方法

材料力学第12篇能量方法


(
2 x
2 xy
2 xz
)dV
V 2E 2G 2G
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) F N (x)
dx 图12.9
组合变形时的应变能
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) FN (x)
dx
图12.9
dV
dW
1 2
FN (x)d(l)
1 2
M T (x)d
dF1l EA
F 2l 2EA
1 2
Fl
V
1 2
F l
FN2l 2EA
F
(a)
如果杆件的轴力 FN 分段为常量时
V
n FN2i li i 1 2Ei Ai
△l
l
F
F1
dF1
F A
B △l
O
△ l1 d(△ l1)
△l
(b)
图12.1
杆件轴线的轴力为变量 FN (x) 时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
V
V
v
dV
l
A
1 2G
FbSISzz*图122.d6 A
dx
(d)
γdx
dx
(c) 图12.6
FS( x)
梁的应变能
V
V v dV
{
l
A
[
M 2(x)y
2EI
2 z
2
FS
2
(
x)
S
*2 z
2GI z2b 2
]dA}dx
令
k
A
I
2 z
A
材料力学第12章 能量方法

材料力学第12章 能量方法


9
(2)剪切变形时的应变能及应变能密度 工程中的剪切变形，一般是与其他变形相伴存 在的，且横截面上的切应力是不均匀分布的。在计 算其应变能时，应以单元体为基础。
图12.3
10
剪切变形时的应变能密度为
可见，剪切变形的应变能密度在数值上等于三 角形OAB的面积。 杆件的剪切应变能为
11
(3)圆轴扭转时的应变能 圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹 性范围，则扭矩MT与扭转角φ的关系也是一条直线 ，如图12.4（b）所示。仿照杆件拉伸应变能的证 明，则变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角 形OAB的面积。有
4
那么，在外力从F1增加到F1+dF1的过程中， 外力功的增量为 当外力从零开始逐渐增加到F值时，则外力功 为 代入 ，得
5
图12.1
6
根据功能原理公式（12.1），则应变能为
式（12.3）为等截面直杆在轴力为常量条件下 的应变能计算公式。如果杆件的轴力FN分段为常 量时，应变能应为各段应变能的总和，即
7
积分可得整个杆件的应变能Vε为 为了更全面地了解应变能，还要知道单位体积 内的应变能，即应变能密度（strainenergy dens ity）由式（a）得应变能密度vε
8
显然，应变能密度vε的数值等于如图12.1（c） 所示三角形oab的面积。这样，又可以将上式的应 变能密度和应变能式（12.5）改写为
第12章
第一节 概述
能量方法
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件 的变形。使用一般的方法（如积分法）进行变形计 算时，需要分析结构和构件的具体变形形式，计算 工作量大。特别是对于刚架、桁架和曲杆等变形复 杂的超静定结构，一般方法根本无法完成。工程上 通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。
材料力学2-12能量法

材料力学2-12能量法

M BC ( x1 ) P( L x1 )
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) x1 x P 0 x Px
M BC ( x) Px

Px 0 0
③变形（ 注意：Px=0）
U M ( x ) M ( x ) f ( x) dx L Px EI Px
U
L
2 M 2 ( x) N 2 ( x) Mn ( x) dx dx dx L L 2 EA 2GI P 2 EI


0
P 2 R 2 (sin j ) 2 P 2 R 2 (1 cos j )2 Rdj Rdj 0 2GI P 2 EI
3P 2 R 3 P 2 R 3 4GI P 4 EI
Px 2 dx EI 0
PL3AB PLAB LAC LAB 3EI GI P
60 0.33 12 60 0.3 0.5 32 3 3 10 0 . 3 10 3 210 5 103 0.4 210 204
8.22mm
§12–3 卡氏定理
第十二章
§12–1 §12–2 §12–3
能量方法
应变能的普遍表达式 莫尔定理(单位力法) 卡氏定理
§12–1 一、能量原理：
应变能的普遍表达式
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作
1
的功，即
U W
Fd
0
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形
和内力的方法称为能量方法。
1 EI
P( L x )( x
1 0
x
1
x )dx1
P x3 ( L x) x 2 ( Lx2 ) EI 3 2
材料力学课件：12 第十二章 能量法(一)

材料力学课件：12 第十二章 能量法(一)


广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
7
第十二章 能量法(一）
例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧
横截面相对转角 对应的广义力。
q
F
A
B
l
A
B
C
(a)
(b)
l
相应广义位移：面积
MM
对应广义力：一对力偶 M
8
第十二章 能量法(一）
➢ 克拉比隆定理：(线弹性体上作用有多个广义力的情况)
引言
弹性体的能量原理
在外载荷作用下， 构件发生变形
载荷在相应位移上做功 构件因变形储存了能量
F
F
能量守恒
从零开始， 缓慢加载
忽略动能与 热能的损失
V W
能量原理：是固体力学的重要原理
4
第十二章 能量法(一）
§12-1 外力功与应变能的一般表达式
一、计算外力功的基本公式
刚体 线性弹簧
W F
V
M2( x )y2
2EI
2 z
dxdydz
1 2
M 2(x ) dx
l EIz
非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能
Vε =
M
2 y
(x)dx
l 2EI y
M
2 z
(x)dx
l 2EIz
注：忽略了弯曲剪力的应变能
l
C
z
F y
18
第十二章 能量法(一）
利用功能原理计算应变能
•单向拉压
dVε
dW
FN (x)dδ 2
第十二章 能量法(一）
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN1 F sin（拉）, FN2 F tan（压）
材料力学(能量法)

材料力学(能量法)


弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学 第十二章 能量法精品PPT课件

材料力学 第十二章 能量法精品PPT课件


应变能只与外力的最终值有关与加载过程和加载次序无关。
13
注意：
1、注意常力做功与变力做功的区别；
2、多个外力引起的同种变形能不能简单叠加而是要算出合 内力后，再用变形能公式计算；如果各外力相互独立，即引 起的变形互不相同，此时不同的变形能可以叠加。
3、功能原理只能计算构件只作 用一个力，力的作用点沿力作用 F 线方向的位移。
纯弯曲
U M e2l 2EI
T 2(x)
U
dx
l 2GIp (x)
横力弯曲
U Me2(x)dx l 2EI(x)
变形能等于内力的平方乘以构件的长度再除以2倍的刚 度，若内力或刚度为变量时，将长度取为微量再积分
5
4、组合变形的变形能
截面上存在几种内力，力独立作用原理成立，各个内 力只对其相应的位移做功。
端B的挠度。
F
解：
A
B
M(x) F x
x l
U
M 2(x )
dx
l ( Fx)2 dx
F 2l3
2EI
0 2EI
6EI
1 W 2 F wB
Fl3 由U=W 得： w B 3 E I
7
例12-2、试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。
解：
F
U
M 2(x )
2EI
dx
A
W3
F1δB2
F 1F 2a EA
所以应变能为：
U 1 W W1W2W3 F12aF22(ab)F1F2a 2EA 2Eb C
W1
F
2 1
a
2EA
F2
W2
F22(a b) 2EA
12
材料力学2--能量法

材料力学2--能量法


因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量, 而与其余各荷载相应 的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d i ，仅Fi 作了外 力功，外力功的变化为：
d W Fi di
注意到上式与下式在数值上相等
V d V d i i
从而有：
V Fi i
（卡氏第一定理 ）22l l 2 l l 2 FN EA
F F F Fl FN 2 sin 2 tan 2 l 2
F 代入前一式得： l EA
3
F F= ( /l )3 EA
或： F EA
l
3
（几何非线性弹性问题）
O
其F-间的非线性关系曲线为： 应变能为：
所以有
V vV v Al
应变能的特征：
（1）应变能恒为正的标量，与坐标系的选取无关； （2）由能量守恒原理可以证明：应变能仅与荷载的 最终值有关，而与加载的顺序无关； （3）在线弹性范围之内，应变能为内力（或位移） 的二次函数，因此力的叠加原理不再适用；
例1：弯曲刚度为 EI 的简支梁受均布荷载 q 作用，如图所 示。 试求梁内的应变能 。
由于外力余功在数值上等于余能，得
d V c d Wc
V c 解得： i Fi
（称为“余能定理”）
特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能 V 在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：
V i Fi
（称为“卡氏第二定理”）
式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。
应用卡氏第一定理得
V EA 4 2 2 ( 1 2) 0 1 2l 2 2 V EA 2 ( 1 2) F 2 2l 2
材料力学第12章 能量方法

材料力学第12章 能量方法


例： 试用下述三种方式， 试用下述三种方式， 计算图示简支梁的 应变能。 应变能。 (1)同时由零开始逐 (1)同时由零开始逐 渐加载至F、M； 渐加载至 、 ； (2)先加载至 ，再加 先加载至F， 载至M； 载至M； (3)先加载至 ，再 先加载至M， 加载至F。 加载至 。 应变能只与荷载的最 终值有关， 终值有关，而与加载 的中间过程或加载的 先后次序无关。 先后次序无关。
F N2 i l i = ∑ i =1 2 E i Ai
n
△l
△l1
△l
(b)
d(△l1)
图12.1
Vε
杆件轴线的轴力为变量
2 N
FN ( x)
时
F ( x) Vε = ∫ l dx 2 EA( x)
FN
例 V 求， ε
vε
注：应变能(比能) 应变能(比能) 的计算一般不能用 叠加原理。 叠加原理。
F1
二、功能原理（Principle for work and energy） 功能原理（ ） 在弹性体受力变形过程中，不考虑动力效应，能量损耗， 在弹性体受力变形过程中，不考虑动力效应，能量损耗， 则外力所作的功，就全部转换为弹性体内部积蓄的应变能， 则外力所作的功，就全部转换为弹性体内部积蓄的应变能， 其表达式如下： 其表达式如下：
2 2 2 M y ( x) FN ( x) M T ( x) M z2 ( x ) Vε = ∫ l dx + ∫ l dx + ∫ l dx + ∫ l dx 2 EA 2GI t 2 EI y 2 EI z
组合变形时的应变能
FN M M Vε = ∫ [ + + ]dx l 2 EA 2 EI z 2GI p
《材料力学》第十二章-求变形的能量法

《材料力学》第十二章-求变形的能量法


3 虚功的计算 外力：P1, P2,……, 虚位移：a1, a2,……., 外力虚功： 内力：N, M,… 虚变形：
We=P1a1+P2a2+……..
内力虚功：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理
对于梁，施加单位力P=1, 力P产生的内力 则有：
莫尔定理
小结： 1 变形位能的概念 2 卡氏定理 3 莫尔定理 4 互等定理 5 虚功原理 作业：12.19, 12.20
2 ( x)
2G
L
dv
2 w ( x)
L
2E
dv
内力表达的变形位能
应力表达的变形位能
结
论
1. 变形位能是状态函数 （同最终的力和变形有关）
11
2. 变形位能的计算不能用叠加原理
如何解释交叉项？ 单独作用时 则 交叉项是两个载荷相互作用的外力功
〈解释1〉
载荷
在载荷
引起的位移上做的功
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
例
A
求等截面直梁C点的挠度和转角（例 12.3 [P356]）
q B x a C
A
P0 =1
B
a
a
C
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx2 M ( x ) aqx 2
③变形
q A x a C B A P0 =1 B
a
a
C
a
对称性
④求转角，重建坐标系（如图）
q
A
§12–3 莫尔定理 Mohr Theory
q(x)
A
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为M(x) 如何计算任一点A的位移？ 1、 在A点加虚单位力

材料力学12 能量法

P
P
P 1
Wc
P1
a
W
dP
o
P
1
(d)

其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同 的量纲，且Wc 为矩形OP1a1 的面积与曲面Oa1 的面积（W） 之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物
理概念，即没有什么力作的功为Wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 。
13
12.1 应变能与余能
N 2 ( x) d x M t2 ( x) d x M 2 ( x) d x 2EA 2GI p 2EI
杆的应变能为
M t2 ( x) d x N 2 ( x) d x M 2 ( x) d x U dU l l l l 2EA 2GI p 2EI
8
12.1 应变能与余能
12.1 应变能与余能
n 1 1
uc
K (n 1)
n
B
D
N1 1 A
P1 N1 2 cos
n 1
1 P1 ( ) uc n k (n 1) 2 A cos
P1
由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此
l P n1 U C uc dV uc (2lA) ( 1 ) V (2 A) n k n (n 1) cos
l
5
12.1 应变能与余能
可以把应变能统一写成
U W
1 PΔ 2
式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一 对力偶等。为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,
一对线位移或一对角位移等。
6
12.1 应变能与余能
（2） 组合变形（用内力形式表示的应变能）

第十二章：能量方法 材料力学课件(授课型)


1 T 2L 2 GI P
——用“内力”表示
1
GI
2
P1
2L
——用“变形”表示
12
同样，对于一般情况，有：
1 T2(x)dx
U
2 l GIP(x)
U Vudv
u 1
2
12
3.弯曲变形能
（1）纯弯曲
θ
θρ θ
M
M
O
L
MM
12
对于线弹性材料，变形能为：
U W 1M ——用外力功表示
2
——加载过程中P1在P2产生的位移上做的功
1 2P2
P E1LA12P2L1
——加载过程中P2在P1产生的位移上做的功
12
变形能不能叠加的力学本质： 一种荷载在另一种荷载引起的 位移上做了功。
12
2.扭转变形能
T M0 T1
L
对于线弹性材料，变形能为： O
φ1 φ
UW0 1Td1 2M 01——用外力功表示
B E
δ1
D δ2
B’
45
°
C
12
均匀变形：
AB
lAB lAB
1
L
BC lB lBCC
22(21)(21)
2L
2L
u A B 0 AB d 0 AB B d 2 3 B A 2 3 B 2 3 B (L 1 ) 2 3
ΔL=ΔL1+ΔL2
P=P1+P2
12
U1P2L1(P1P2)2L1P12L1P22L 2 EA 2 EA 2 EA 2 EA
P1EP2A LU1U2P1EP2A LU1U2
所以，变形能不能叠加。
12

材料力学能量法最经典解析PPT课件


能量法——利用定理求变形
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度，单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
能量法——利用定理求变形
能量法——其他
超静定——与拉压杆相关
每根杆都沿杆的方 向线变形，后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
超静定——与拉压杆相关
此处注意CD杆
变形转换后是 BC杆变形的一 半。
超静定——与拉压杆相关
超静定——与拉压杆相关
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
超静定——弯扭相关
此题仍然是有两个变 量，x是所求任意截面 的挠度值，而ξ是任意 截面的弯矩值，摩尔 积分是对ξ积分。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
超静定——弯扭相关
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
应力已知，计算应变能从而得到外力 功，最终获得力作用下的变形。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
能量法——互等定理
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程，进而 计算应变能。
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给一个增量d，外力做元功为
d W F 1 1 d F 2 2 d F n n d
( F 1 1 F 2 2 F n n )d
可得
W(F11F22
Fnn)
1d
0
12F1112F22 12Fnn
根据功能原理，物体的应变能应为
U W 1 2F 1 11 2F 2 2 1 2F n n
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由
端B的挠度。
A x
解：
M (x)Px
U M 2(x)dx l 2EI
l (Px)2 dx
0 2EI
P 2l3 6EI
W
1 2
P
fB
由UW,得f B
Pl3 3EI
例：试求图示梁的应变能，并利用功能原理求C截面的挠 度。
解： U
l
M 2(x)dx 2EI
第十二章 能量原理及其应用
§12-1 杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能。
物体在外力作用下发生变形，物体的应变能 在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上 所做的功，即
UW (功能原理）
能量法：从功和能的角度出发，分析
杆件的内力、应力和位移。
一、杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
UW
1 2
P
l
1 2
P
Pl EA
P2l FN2l 2EA 2EA
FN或A变化时
UV
l
FN2 (x) 2 EA( x)
dx
P
l l
P
2、扭转
m
m
UW 1 m 1mml m2l MTT 2l
2
2 GIp 2GIp 2GIp
当MT=MT(x)或截面变化
上式表明线弹性体在小变形时的应变能等于各外力与其相应 位移乘积的二分之一的总和。这一结论称为克拉贝依隆 (Clapeyron)原理。
对于多个载荷共同作用时，应变能的计算公式仍可用
U 1 n Fii 2 i1
多个载荷共同作用时，结构的应变能等于各载荷在相 应位移（载荷作用点处沿载荷作用方向的位移）上所作功 之和，称为克拉贝隆定理。
Fn
从0开始缓慢变到最终值1
Fi、Δi分别称作广义力和与广义力相应的广义位移。
其中Δ1为1点的挠度， Δ2为2点的转角， Δ3为分布载荷F3作用区段 挠曲线覆盖的面积，
则任意时刻第i个力作用位置沿 F i 方向的位移为
i t C i 1 F 1 t C i 2 F 2 t C i F n n t C i 1 F 1 C i 2 F 2 C i F n n i
对于由线弹性材料制成的线性结构，内力和位移只与 载荷最终值有关，与加载过程无关，因而对于非比例加载 的一般情况，也是正确的。注意到导出式的过程并没有论 及结构特点，因而式是线性结构的普遍定理之一。
克拉贝隆定理的证明从略
三、组合变形的应变能
截面上存在几种内力， 各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用 原理成立，各个内力只对 其相应的位移做功。
例12-1 如图示悬臂梁受到力F作用，该 梁长度为l，截面为圆形，直径为d，且 l=5d。材料的弹性模量为E，试求该梁 的应变能U。
解：注意到力F的方向与杆轴不重合，因而梁A受到拉伸与弯 曲的组合作用，其中轴力FN=Fcos45°，弯矩M=Fxcos45°
应变能U为
因为A=πd2/4，I=πd4/64，l=5d，则
A
解：T ()P R (1cos), M ()P Rsin
UV l
T2()Rd
2GIp
l
M2()Rd
2EIW 2 P fA
由UW,得
fA
3PR3
2GIp
PR3
2EI
R
A
例 抗弯刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作
用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度 的影响。试计算悬臂梁自由端的挠度。
q0
A
B
L
？ 用功能原理有什么问题吗
§12-2 互等定理
对线弹性结构，应用应变能的概念，可以导出功的互等定理和位 移的互等定理，在结构分析中有重要的作用。
二、功的互等定理
先作用第一组力F11 、 F12 、 F1n
引起各力作用位置沿力方向的位移分别为
Δ1、 1 Δ1、 2 、 Δ1n
第一组力完成的功为
终值U：拉、W压：12 FliiF其Nl中：
EA
F-----广义力 Δ-----广义位移
FFN 轴力
扭转： MTl
EPI
弯曲： Ml
EzI
FMT 扭矩
FM 弯矩
二、应变能的普遍表达式
作用在物体上的外力为 F1、F2、 Fn
外力作用点沿外力方向的位移为 1、2、 n
假设任一时刻各力的大小分别为 、F1 、F…2
A=A(x)时，可取微段：
U MT2(x) dx l 2GIP(x)
3、弯曲
纯弯曲：UW
1 m
2
1m 2
ml EI
横力弯曲： VU
l
M 2(x) dx
2EI (x)
m2l M 2l 2EI 2EI
结论：
1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所
做的功。
2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最
U F N 2(x)dxM 2(x)dx M T 2(x)dx
l2E(x A ) l2E(xI) l2GP(x I)
注意：上式中各项是对内力分量平方的积分，故恒
为正值。且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用 叠加原理。
F F 1 F 2 但 F 2F 1 2 F 2 2
弹性变形的最终状态仅与荷载的终值有关，因此， 弹性变形能的计算与加载次序无关。
a
0
Plbx12 2EI
dx1
b
0
Plax2 2EI
2
dx2
2PE2Ibl22
a3 3
2PE2Ial22
b3 3
P 2a 2b2 6EI l
W
1 2
P
fC
由UW,得
fC
Pa 2b 2 3EIl
例3：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P 垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、 EI为常量。
1 2F 1Δ 11 11 2F 1Δ 212 1 2F 1nΔ 1n
d U 1 2 F N (x )d ( l) 1 2 M (x )d 1 2 M T (x )d
FN2(x)dxM2(x)dxM T2(x)dx 2EA 2EI 2GPI
U F N 2(x)dxM 2(x)dx M T 2(x)dx l2E(x A ) l2E(xI) l2GP(x I)