矩阵论知识要点

矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。

它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。

1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。

1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。

1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。

二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。

2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。

2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。

2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。

三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。

3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。

3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。

3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。

四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。

4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。

矩阵论基础知识总结一、引言矩阵论是线性代数的重要分支，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则、特殊类型矩阵以及矩阵的应用。

二、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列而成的矩形数表，常用大写字母表示，如A、B。

2. 元素：矩阵的每个数称为元素，用小写字母表示，如a、b。

一个矩阵的第i行第j列的元素可以表示为a_ij。

3. 阶数：矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数，记作m×n，其中m表示行数，n表示列数。

4. 主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

三、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：两个相同阶数的矩阵相加，即对应元素相加。

2. 矩阵的数乘：一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。

3. 矩阵的乘法：若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A与矩阵B的乘积C为一个新的矩阵，其中C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

四、特殊类型矩阵1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。

零矩阵与任何矩阵相加等于其本身。

2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。

对角矩阵的乘法可以简化为主对角线上元素的乘积。

3. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的对角矩阵。

单位矩阵与任何矩阵相乘等于其本身。

4. 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

5. 逆矩阵：对于方阵A，若存在一个方阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。

五、矩阵的应用1. 线性方程组：矩阵可以用于求解线性方程组，通过矩阵的运算可以将线性方程组转化为矩阵方程，从而求解未知数的值。

2. 向量空间：矩阵可以表示向量空间中的线性变换，通过矩阵的乘法可以实现向量的旋转、缩放等操作。

3. 数据处理：矩阵可以用于数据的存储和处理，通过矩阵运算可以实现数据的加工、筛选、聚合等操作。

4. 图像处理：图像可以表示为像素矩阵，通过矩阵运算可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。

1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。

矩阵论知识点第一章：矩阵的相似变换1. 特征值，特征向量特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量2. 相似对角化充要条件：（1）（2）（3）（4）3. Jordan标准形计算：求相似矩阵P及Jordan标准形求Jordan标准形的方法：特征向量法，初等变换法，初等因子法4. Hamilton-Cayley定理应用：待定系数法求解矩阵函数值计算：最小多项式5. 向量的内积6. 酉相似下的标准形特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论1. 向量的范数计算：1，2，范数2. 矩阵的范数计算：1，2，，m , F 范数，谱半径3. 谱半径、条件数第三章：矩阵分析1. 矩阵序列2. 矩阵级数特别的：矩阵幂级数计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3. 矩阵函数计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4. 矩阵的微分和积分计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dA(t),)()(X R AXX X X X f T T T 等5. 应用计算：求解一阶常系数线性微分方程组第四章：矩阵分解1. 矩阵的三角分解计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解计算：Householder矩阵，Givens矩阵，矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解计算：满秩分解，奇异值分解4. 矩阵的奇异值分解第五章：特征值的估计与表示1. 特征值界的估计计算：模的上界，实部、虚部的上界2. 特征值的包含区域计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值3. Hermite矩阵特征值的表示计算：矩阵的Rayleigh商的极值4. 广义特征值问题AX转化为一般特征值问题计算：BX第六章：广义逆矩阵1. 广义逆矩阵的概念2. {1}逆及其应用计算：）（1A ，判别矩阵方程D AXB ，b Ax 解的情况3. Moore-Penrose 逆A计算：利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解第七章：矩阵的直积1. 矩阵的直积计算：B A 的特征值，行列式，迹2. 矩阵的行拉直计算：AXB 的行拉直，求解矩阵方程FXBAX 第八章：线性空间与线性变换1. 线性空间的基、维数、坐标计算：基、维数、坐标，值域和核空间2. 线性变换计算：线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数3. 欧氏空间1. 求相似矩阵P 及Jordan 标准形2. 求解一阶常系数线性微分方程组3. Crout 分解，Doolittle 分解4. 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向5. 奇异值分解6. Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值7. 利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解8. 求解矩阵方程FXB AX 1.向量1，2，范数，矩阵的1，2，，m , F 范数，谱半径2.判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4.函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dsinAt ，)()(X R AX X X X X f TTT 等5.模的上界，实部、虚部的上界6.矩阵的Rayleigh 商的极值7.广义特征值BX AX 转化为一般特征值问题8.）（1A ，B A 的特征值，行列式，迹9.基、维数、坐标，值域和核空间10.线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数。

矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。

矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。

矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。

矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。

3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。

对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。

4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。

逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。

5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。

6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。

矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。

7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。

相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。

8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。

9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。

矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。

10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。

矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。

矩阵知识点总结简单一、矩阵的定义和基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按行列排列的数字或符号构成的矩形阵列。

通常用大写字母表示，如A、B、C 等。

1.2 矩阵的元素矩阵中的每一个数字都称为元素。

第i行第j列的元素称为a_ij，表示第i行第j列位置上的数字。

1.3 矩阵的维数矩阵的维数是指矩阵的行数和列数，通常用m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。

如果一个矩阵的行数和列数相等，称为方阵。

方阵的阶数就是它的行数或列数。

1.4 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，就是将矩阵A的行列互换得到的新矩阵。

即如果A=(a_ij)是一个m×n的矩阵，那么A^T=(b_ij)是一个n×m的矩阵，其中b_ij=a_ji。

1.5 矩阵的零矩阵和单位矩阵全是零的矩阵称为零矩阵，记作0。

对角线上都是1，其余都是0的矩阵称为单位矩阵，记作I。

1.6 矩阵的相等如果两个矩阵A和B的对应元素都相等，那么它们是相等的，记作A＝B。

换句话说，只要两个矩阵A和B的维数相同，而且对应元素相等，那么它们就是相等的矩阵。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个相同维数的矩阵，那么它们的和A＋B=(c_ij)和差A－B=(d_ij)分别定义为：c_ij=a_ij+b_ij， d_ij=a_ij-b_ij2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个m×n的矩阵，k是一个数，那么kA=(b_ij)定义为：b_ij=k*a_ij2.3 矩阵的乘法设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积AB=C是一个m×p的矩阵，C的第i行第j列元素c_ij如下求得：c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_i nb_nj2.4 矩阵的逆若m阶方阵A的逆矩阵存在，即存在一个m阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A可逆，B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

通用矩阵总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照行和列排列的数表，通常表示为一个大写字母加方括号：A=[aij]。

其中，A表示矩阵的名称，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。

矩阵的行数和列数分别表示为m 和n，记作m×n矩阵。

2. 矩阵的分类根据矩阵的大小和性质，矩阵可以分为多种类型，包括方阵、行阵、列阵等。

其中，方阵是指行数和列数相等的矩阵；行阵是指只有一行的矩阵；列阵是指只有一列的矩阵。

3. 矩阵的运算矩阵的基本运算包括加法、减法、乘法等。

其中，矩阵的加法和减法需要满足相同大小的矩阵才能进行运算；矩阵的乘法则需要满足左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数才能进行运算。

二、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法的规则与数的加法和减法类似，只需要对应位置的元素进行相应的运算即可。

例如，对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C的第i行第j列的元素为aij+bij，差矩阵D的第i行第j列的元素为aij-bij。

2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中较为复杂的一种运算，它需要满足一定的条件才能进行运算。

具体规则如下：（1）设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积C为m×p矩阵，记作C=AB。

（2）C的第i行第j列的元素为cij，计算公式为cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

通常表示为A^T或者AT，其中A表示原矩阵，A^T表示转置矩阵。

设A为m×n矩阵，A^T为n×m矩阵，则A的第i行第j列的元素为aij，A^T的第j行第i列的元素为aij。

4. 矩阵的逆对于方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。

逆矩阵是一种特殊的矩阵，它主要用于求解矩阵方程和线性方程组。

5. 矩阵的行列式矩阵的行列式是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵的某些特征。

矩阵理论知识点范文矩阵理论是线性代数中的重要内容，应用广泛，在数学、计算机科学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。

矩阵理论的核心是对矩阵的性质和运算规则进行研究。

1.矩阵的定义和表示矩阵是一个按照长方形排列的数表，其中的元素可以是任意类型的数，如实数、复数、矢量等。

矩阵可以用方括号[]或者圆括号()来表示，行和列的数量称为矩阵的维数。

例如，一个3行4列的矩阵可以表示为：A=[a11,a12,a13,a14][a21,a22,a23,a24][a31,a32,a33,a34]其中aij代表矩阵A的第i行第j列的元素。

2.矩阵的运算矩阵之间可以进行加法、减法和乘法运算。

矩阵的加法和减法要求矩阵具有相同的维数，即行数和列数相等。

加法运算通过对应位置的元素相加得到新的矩阵，减法运算通过对应位置的元素相减得到新的矩阵。

矩阵的乘法是矩阵理论的核心内容，其运算规则较为复杂。

两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵相乘的运算规则是，第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的第j列的元素依次相乘，并将乘积相加得到结果矩阵的第i行第j列的元素。

3.矩阵的性质矩阵具有许多重要的性质，其中包括：-矩阵的转置：将矩阵的行和列进行交换，得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

-矩阵的迹：矩阵主对角线上元素的和称为矩阵的迹，用Tr(A)表示。

-矩阵的行列式：是一个标量值，用，A，表示，可以用于判断矩阵是否可逆。

-矩阵的逆：对于可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。

-矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵的列向量或行向量的最大无关个数。

4.矩阵的特殊类型在矩阵理论中，有一些特殊类型的矩阵具有重要的性质，如：-对角矩阵：主对角线以外的元素都为零的矩阵。

-上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。

-下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。

矩阵知识点归纳总结一、矩阵的表示1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列数字构成的矩形数组，通常用大写字母表示，如A、B、C等。

矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。

2. 矩阵的大小矩阵的大小由其行数和列数确定，通常用m×n表示。

例如一个3×2的矩阵表示有3行2列的矩阵。

3. 矩阵的类型根据矩阵的大小和元素的性质，可以分为方阵、对角阵、零矩阵等。

方阵是行数等于列数的矩阵，对角阵是只有主对角线上有非零元素的矩阵，零矩阵则所有元素均为零。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法如果两个矩阵A和B的大小相同，即都是m×n的矩阵，那么它们的和C=A+B也是一个m×n的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。

2. 矩阵的数乘如果一个矩阵A的大小为m×n，那么它的数乘kA也是一个m×n的矩阵，其中k是一个常数，且kA的每个元素等于A相应位置的元素乘以k。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，如果矩阵A的大小为m×n，矩阵B的大小为n×p，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。

4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，它通常用A^T表示。

例如，如果A 是一个m×n的矩阵，那么它的转置A^T就是一个n×m的矩阵，其中A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。

5. 矩阵的逆如果一个方阵A存在逆矩阵A^-1，那么称A是可逆的。

A的逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。

逆矩阵A^-1可以用来求解线性方程组和矩阵方程。

三、矩阵的特征1. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行列式的个数，它也等于矩阵的列空间维数和行空间维数的最小值。

欢迎来主页下载---精品文档精品文档三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λA 可逆的充分必要条件是行列式()λA 是非零常数引理2λ-矩阵()λA =()()n m ij ⨯λa 的左上角元素()λ11a 不为0，并且()λA 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA 等价的()()()nm ij ⨯=λλb B 使得()0b 11≠λ且()λ11b 的次数小于()λ11a 的次数。

引理3任何非零的λ-矩阵()λA =()()nm ij⨯λa 等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...0.....d 21λλλr d d ()()()λλλr 21d ,....d ,d 是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d 1-=+r i d i i λλ引理4等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论6两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλB A m 与矩阵的-⨯n 等价当且仅当存在一个m 阶的可逆λ-矩阵()λP 和一个n 阶的λ-矩阵()λQ 使得()()()()λλλλQ A P =B精品文档推论9两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。

行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。