福建省厦门市高二数学下学期期中试题 理(1)

2016～2017学年高二第二学期期中考试理科数学考试时间：120分钟 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 ( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1 21 2.利用反证法证明：“若220x y +=，则0x y ==”时，假设为（ ） A.x ，y 都不为0 B.x ，y 不都为0 C.x y ≠且x ，y 不都为0 D.x y ≠且x ，y 都不为03.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5,现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是（ ）A.0.45B.0.6C.0.65D.0.754. 设 ，，c =，则a 、b 、c 间的大小关系是（）A ．a>b>cB ．b>a>cC ．b>c>aD ．a>c>b5．由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )A ．163 B ．103C ．4D ．66．用数归纳法证明“当n 为正奇数时，nny x +能被x+y 整除”，在第二步时，正确的证法是（ ） A ．设)(*∈=N k k n 正确，再推1+=k n 时正确 B ．设)(12*∈-=N k k n 正确，再推12+=k n 时正确 C ．设)(*∈=N k k n 正确，再推2+=k n 时正确 D ．设)(12*∈+=N k k n 正确，再推12-=k n 时正确 7. 在二项式3*1()()n xn N x-∈的展开式中存在常数项,则n 的值不可能为（ ） A.12 B.8 C.6 D.48．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）A ．122B ．111C ．322D ．2119．某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）A ．1560 B.1080 C ．480 D ．300 10.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A.10B.20C.30D.6011.A,B 两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A,B 两队在每场比赛中获胜的概率均为21，ξ为比赛需要的场数，则=)(ξE ( ) A ．1673 B ．1693 C ．1893 D ．187312.若函数)(ln )(ax x x x f -=在区间),0(e 上有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是( )（ e 是自然对数的底数） A ．)21,21(e B ．)21,0( C ．),21(+∞eD ．)21,1(e第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.复数534i+的共轭复数是14.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不 同排法的种数是 15.已知曲线41)(3++=ax x x f 在0=x 处的切线与曲线x x g ln )(-=相切，则实数=a16.计算，可以采用以下方法： 构造等式： 两边对x 求导得： 令1x =，有 类比上述计算方法，计算nn n n n nC C C C ++++ 32132nnn n n n n n x x C x C x C x C C )1(332210+=+++++ 112321)1(32--+=++++n n n n n n n x n x nC x C x C C 1321232-=++++n nn n n n n nC C C C _________32232221=++++nn n n n C n C C C三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110. （Ⅰ）求n 的值； （Ⅱ）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率.18.（本题满分12分）在n xx )21(4⋅+的展开式中，前三项的系数成等差数列。

（Ⅰ）求展开式中含有x 的项的系数； （Ⅱ）求展开式中的有理项。

19.（本题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）20.（本题满分12分）已知mx x x x f +=ln )(，3)(2-+-=ax x x g （Ⅰ）若函数)(x f 在),1(+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若当0=m 时，对任意)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围.21. （本题满分12分）某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择; 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为54．第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元． 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为52，每次中奖均可获奖金400元． （Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；（Ⅱ）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？22．（本题满分12分） 已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ． （Ⅰ）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （Ⅲ）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）．2016～2017学年厦门六中高二第二学期期中考试 数学 试 卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题（每小题5分，共20分）13．3455i + 14． 432 15. 43--e 16. 2(1)2n n n -+?三、解答题17.解析(1)由题意得：()()()2n 2n 3n n 1C 1C n 3n 210+-==++,解得n=2.……………………5分 (2)记“一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以()()()222253n AB C 1P B |A .n A C C 7===-……………………10分18.解：n xx )21(4⋅+的展开式中前三项的系数分别为0n C ；121nC ；241n C ， 由题意知0898)1(1412201=+-⇒-+=⇒+=n n n n n C C C n n n 8=⇒n 或1=n （舍去）……………………4分 （Ⅰ）设展开式中含有x 的项为·21··r 2881r rr x C T -+=r r r x x 43-4r84·C 21⋅=-； 则41434=⇒=-r r ，含有x 的项为第5项，它的系数为83521484=⋅C ………8分 （Ⅱ）设展开式中第1+r 项为有理项，则·21··r 2881r rr x C T -+=r r r x x 43-4r 84·C 21⋅=- 当840、、=r 时对应的项为有理项，有理项分别为：41x T =；x T 8355=；292561xT =……………………12分 19.解:(Ⅰ)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P=251312A C C =103;……4分(Ⅱ)设检测的次数为ξ,则ξ的取值为2,3,4; ξ=2对应事件:“前2个排的均是次品”⇒P(ξ=2)=2522A A =101,ξ=4对应事件:“前3次检测的是2个正品和1个次品”⇒P(ξ=4)=35331223A A C C =106⇒P(ξ=3)=1-P(ξ=2)-P (ξ=4)=103;……………………9分又由X=100ξ⇒X 的分布列为:EX=100E ξ=100(2×101+3×103+4×106)=350.……………………12分20.解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0，)1(ln )(m x x f ++='，………………2分因为)(x f 在),1(+∞上为单调函数，则方程0)1(ln =++m x 在),1(+∞上无实根。

…4分 故01≥+m ，则1-≥m ……………………………………6分（2）3ln 22-+-≥ax x x x ，则xx x a 3ln 2++≤，对一切()+∞∈,0x 恒成立.……7分设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ，则2)1)(3()('x x x x h -+=，当)(,0)('),1,0(x h x h x <∈单调递减，当)(,0)('),,1(x h x h x >+∞∈单调递增. …………10分)(x h 在),0(+∞上，有唯一极小值)1(h ，即为最小值.所以4)1()(min ==h x h ，因为对任意)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成成立， 故 4≤a …………………………………12分 21. 解:(1)25751215451)0(=⨯⨯+==X P ，412(500)525P X ==⨯=，4148(1000)52525P X ==⨯⨯= 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为…………………………6分（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的均值28()5001000520525E X =⨯+⨯=.若选择方案乙进行抽奖中奖次数2(3,)5B ξ，则26()355E ξ=⨯=.抽奖所获奖金X 的均值()(400)400()480E X E E ξξ===，故选择方案甲较划算 …12分 22.解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …1分 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减．)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ． ………3分当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．………4分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． ……………………………6分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． …………………………9分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++．根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．………12分 因此，由数学归纳法可知不等式成立．(法二)根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ……………10分 ∑=+=+nk k k n 11ln)1ln( ，1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………12分。