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专业知识--整理分享1 k 0 2π μ 2π m m 1 m a + m b k0 a b第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、（35 分）如图，质量分别为m a 、m b 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l 0 、劲度系数为k 0 的绝缘轻弹簧连接。
（1） t = 0 时，弹簧处于原长，小球 a 有一沿两球连线向右的初速度v 0 ，小球b 静止。
若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t (t > 0) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为 L 0 ，记静电力常量为 K 。
求小球所带电荷量 和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。
参考解答：（1）如图， t 时刻弹簧的伸长量为u = l - l 0有d 2uμ dt 2式中μ = = -k 0u ①m a m b②m a + m b为两小球的约化质量。
由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f = ω 2π = = ③最后一步利用了②式。
t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为u = A sin ωt + B cos ωt④式中 A 、B 为待定常量。
t = 0 时，弹簧处于原长，即 u (0) = B = 0 将 B = 0 代入④式得a 相对于b 的速度为u = A sin ωt⑤v ' =dr a - dr b = du= A ω cos ωt ⑥adt dt dtt = 0 时有k0 (L -l )K 0 0L=-va'(0) =v- 0 =Aω⑦由⑥⑦式得va'=vcosωt⑧系统在运动过程中动量守恒小球a 相对于地面的速度为mav=mava+mbvb⑨va=va'+vb⑩由③⑧⑨⑩式可得，t 时刻小球a 和小球b 的速度分别为⎡m ⎛ (m +m )k ⎫⎤mv =⎢1 +b cosa b 0 t ⎪⎥a v ⑪⎢m m m ⎥m +m 0⎣ a ⎝ a b⎡⎛(m +m )k ⎫⎤⎭⎦ a bmv =⎢1 - cosa b 0 t ⎪⎪⎥ a v ⑫⎢m m ⎥m +m 0⎣⎝ a b ⎭⎦ a b（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为q ，系统平衡时有q2K2k(Ll) ⑬由⑬式得设t时刻弹簧的长度为L （见图II），有q =L⑭d 2 L q2μdt2=-k(L -l) +KL2⑮图II令x =L -L为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度L的伸长量，⑮式可改写为d 2 x q2 ⎛x ⎫-2μ dt2=-kx -k(L-l) +KL21+L⎪⑯系统做微振动时有0 ⎝0 ⎭x因而⎛x ⎫-2x ⎡⎛x ⎫2 ⎤1 +L⎪ = 1 - 2L+O ⎢L⎪⎥⑰⎝0 ⎭ 0 ⎣⎢⎝ 0 ⎭⎦⎥baL⎛ 1 2π3L - 2l 00 ⎫ ⎝ 0 ⎭ μ L ⎪ 0 k 1 ⎛ 3L - 2l ⎫ ⎛ m + m ⎫ 2π 0 0 ⎪ a b⎪ k ⎝ 0 ⎭ ⎝ a b L m m 0⎭L 30 L 0利用上式，⑯式可写为d 2x ⎡q 2⎤ ⎛q 2⎫ ⎡⎛ x ⎫2 ⎤ μ dt 2 = ⎢-k 0 (L 0 - l 0 ) + K L 2 ⎥ - k 0 + 2K L 3 ⎪ x + O ⎢ L⎪ ⎥⑱⎡⎛ x ⎫2 ⎤⎣ 0 ⎦ ⎝ 0 ⎭ ⎢⎣⎝ 0 ⎭ ⎥⎦略去O ⎢ L ⎪ ⎥ ，并利用⑬或⑭式，⑱式可写为⎢⎣⎝ 0 ⎭ ⎥⎦d 2 x ⎛q 2 ⎫3L - 2l μ = - k + 2K ⎪ x = - 0 0 k x⑲dt 2⎝⎭由⑲式知， 3L 0 - 2l 0 > 0 ，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f = = ⑳最后一步利用了②式。
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、（40分）一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。
重力加速度大小为g 。
试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
解： （1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。
小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。
设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。
考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得sin F mg ma θ-= ①式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。
由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ（规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为1()R r θθθ=+ ②由②式得，a 与θ的关系为22122()d d a r R r dt dtθθ==- ③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得212d rF I dtθ-= ④式中，I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量212I mr = ⑤由①②③④⑤式及小角近似sin θθ≈ ⑥ 得22203()θθ+=-d gdt R r ⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑧（2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。
对于小圆柱，由转动定理得221212θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭d Fr mr dt⑨对于圆筒，同理有2222()θ=d FR MR dt ⑩由⑨⑩式得22122221θθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭d d F r R m M dt dt ⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()θθθθ=+-R r R ⑫ 由⑫式得22212222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得 sin F mg ma θ-= ⑭ 由⑫式得22()θ=-d a R r dt⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似sin θθ≈，得22203d M m gdt M m R rθθ++=+- ⑯由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑰评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。
12π2π第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、（35 分）如图，质量分别为ma、m b 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k的绝缘轻弹簧连接。
（1）t 时，弹簧处于原长，小球a 有一沿两球连线向右的初速度v，小球b 静止。
若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t ) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为L，记静电力常量为K 。
求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。
参考解答：（1）如图，t 时刻弹簧的伸长量为ul l有d 2udt2式中ku ①mamb ②mamb为两小球的约化质量。
由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f2π③最后一步利用了②式。
t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为u A sin t B cos t ④式中A 、B 为待定常量。
t 时，弹簧处于原长，即u B将 B 代入④式得a 相对于b 的速度为u A sin t ⑤vdradrbduA cos t ⑥a dt dt dtt 时有专业知识--整理分享kL = - va (0) v 0 0 A⑦由⑥⑦式得v a v 0 cost⑧系统在运动过程中动量守恒小球 a 相对于地面的速度为m a v 0m av am b vb⑨v a v av b⑩由③⑧⑨⑩式可得， t 时刻小球a 和小球b 的速度分别为m (m m ) mvbcosa b 0t a vmm m 0 a (m m )a bmvaa⑫m 0a bab（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有q 2K 2k 0 (L 0 l 0 ) ⑬由⑬式得设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II ），有q L 0 ⑭d 2 L q 2dt 2k 0 (L l 0 ) K L 2⑮图 II令 xLL 0 为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L 0的伸长量，⑮式可改写为d 2x q 2xdt 2 k 0 x k 0 (L 0 l 0 ) KL2L⑯系统做微振动时有x因而xxx 2LLOL⑰b a L 0WORD格式-可编辑专业知识--整理分享WORD格式-可编辑12π2πL3L利用上式，⑯式可写为d 2x q2q2x 2dt2k0 (L0 l0 ) K L2k2KL3x OL⑱x20 0 0略去OL，并利用⑬或⑭式，⑱式可写为d 2 x q2 3L 2lk 2K x 0 0 kx ⑲dt2 0由⑲式知，3Ll，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f ⑳最后一步利用了②式。
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 f =（2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。
对于小圆柱，由转动定理得221212θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭d Fr mr dt⑨对于圆筒，同理有2222()θ=d FR MR dt⑩由⑨⑩式得22122221θθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭d d F r R m M dt dt ?设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()θθθθ=+-R r R ? 由?式得22212222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt?设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。
求彗星 （1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过C 、D 两点时速度的大小。
已知积分公式()()3/21/2223x a a x a C =+-++，式中C 是任意常数。
解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故 1, 0E ε==①彗星绕太阳运动的轨道方程为：1cos kr θ=+②彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒()2221022L mr V r E mr ++==&③ 式中()MmV r Gr=-④⑥式得2T t =∆=⑩将题给数据代入⑩式得66.4010s T ≈⨯?（2）彗星在运动过程中机械能守恒2102GMm m E r-==v ? 式中v 是彗星离太阳的距离为r 时的运行速度的大小。
由?式有=v 当彗星经过C 、D 处时C D E r r R ==?由??式得，彗星经过C 、D 两点处的速度的大小为C D =v v ? 由?式和题给数据得 4C D 4.2210m/s ==⨯v v ?评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分；第（2）问12分，?式4分，????式各2分。
精心整理第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共一、选择题：本题共5小题，每小题6分。
在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。
把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。
全部选多的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
1AC2A．1T=C．1T=3．表示，其中R0AC4．θ+∆之A．C．⎝⎭⎝⎭5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，且光强都相同，总的光强为I，脉冲宽度（发光持续时间）为τ，光脉冲的光强I随时间t的变化如图所示．该光脉冲正入射到一长为L 的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面反射损失．在通过玻璃棒后光脉冲的光强I 随时间t的变化最可能的图示是（虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图）二、填空题。
把答案填在题中的横线上。
只要给出结果，不需写出求得结果的过程。
6．如图，一个球冠形光滑凹槽深度h=0.050m，球半径为20m．现将一质量为0.10kg的小球放在凹槽边缘从静止释放．重力加速度大小为9.8m/s2．小球由凹槽最高点滑到最低点所用时间为_________________s7．（10分）先用波长为λ1的单色可见光照射杨氏双缝干涉实验装精心整理置；再加上波长为λ2（λ2>λ1）的单色可见光照射同一杨氏双缝干涉实验装置．观察到波长为λ1的光干涉条纹的1、2级亮纹之间原本是暗纹的位置出现了波长为λ2的光的干涉条纹的1级亮纹，则两种光的波长之比λ2∶λ1=_______________．8．（10分）某一导体通过反复接触某块金属板来充电．该金属板初始电荷量为6μC ，每次金属板与导体脱离接触后，金属板又被充满6μC 的电荷量．已知导体第一次与金属板接触后，导体上带的电荷量为2μC ；经过无穷次接触，导体上所带的电荷量最终为_________．9．（10分）如图，一焦距为20cm 的薄透镜位于x =0平面上，光心位于坐标原点O ，光轴与x 轴重合．在z =0平面内的一束平行光入射到该透镜上，入射方向与光轴的夹角为30°．该光束通过透镜后汇聚点的位置坐标为____________．10．（10分）一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧连接，置于光11．（20图所示．A l ）．火柴棍A h ；O 是火柴棍棍B 这（1（2）通过火柴棍B 只要角12．（20F 作用在已r 0，（1）矩．（2）当框平面与水平面abef 的夹角为θ时，框平面恰好处于平衡状态．求此时线框中cd 边所受到的磁场B 的作用力的大小与外力的大小F 之间的关系式．（3）随着磁感应强度大小随时间的变化，可按照（2）中的关系式随时调整外力F 的大小以保持框平面与水平面abef 的夹角总为θ．在保持夹角θ不变的情形下，已知在某一时刻外力为零时，磁感应强度大小为B ；求此时磁感应强度随时间的变化率t B ∆∆． 13．（20分）横截面积为S 和2S 的两圆柱形容器按图示方式连接成一气缸，每个圆筒中各置有一活塞．两活塞间的距离为l ，用硬杆相连，形成“工”精心整理字形活塞，它把整个气缸分割成三个气室，其中I 、III 室密闭摩尔数分别为ν和2ν的同种理想气体，两个气室内都有电加热器；II 室的缸壁上开有一小孔，与大气相通；1mol 该种气体能为CT （C 是气体摩尔热容量，T 是气体的绝对温度）．当三个气室中气体的温度均为T 1时，“工”字形活塞在气缸中恰好在图所示的位置处于平衡状态，这时I 室内气柱长亦为l ，II 室内空气的摩尔数为023．已知大气压不变，气缸壁和活塞都是绝热的，不计活塞与气缸之间的摩擦．现通过电热器对I 、III 两室中的气体缓慢加热，直至I 室内气体的温度升为其初始状态温度的2倍时，活塞左移距离d ．已知理想气体常数为R ．求（1）III 室内气体初态气柱的长度；（2）III 室内气体末态的温度；（3）此过程中I 、III 室密闭气体吸收的总热量．14．（20zB z ．在即y J R E H =p 和n ，15．（，（但0<l <L ）（1（2（316．（的轻弹m 的小弹性绳长度为l 0静止释放．（1）证明小物块做简谐运动；（2）若k =0.50N/m 、m =50g 、α0=30°、l 0=2.0m ，重力加速度g =9.8m/s 2，求小物块做简谐振动的周期T ；（3）当小物块下拉的距离为0.010m 时，写出此后该小物块相对于平衡位置的偏离随时间变化的方程．已知：当x<<1时，x x -≈+111，x x 2111+≈+．。
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、(40分）一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平,横截面如图所示。
重力加速度大小为g 。
试在下述两种情形下,求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： (1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
解:（1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。
小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力.设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F ,方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正).考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得sin F mg ma θ-= ①式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。
由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ(规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为1()R r θθθ=+ ② 由②式得，a 与θ的关系为22122()d d a r R r dtdtθθ==- ③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得212d rF I dtθ-= ④式中，I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量212I mr = ⑤ 由①②③④⑤式及小角近似sin θθ≈ ⑥ 得22203()θθ+=-d gdt R r ⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑧(2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。
对于小圆柱,由转动定理得221212θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭d Fr mr dt⑨对于圆筒，同理有2222()θ=d FR MR dt⑩由⑨⑩式得22122221θθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭d d F r R m M dt dt ⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()θθθθ=+-R r R ⑫ 由⑫式得22212222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得 sin F mg ma θ-= ⑭ 由⑫式得22()θ=-d a R r dt⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似sin θθ≈，得22203d M m gdtM m R rθθ++=+- ⑯由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑰评分参考：第（1)问20分，①②式各3分,③式2分，④式3分,⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第(2)问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。
第34届物理竞赛复赛试题及答案一、单项选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 下列哪项不是粒子物理学的基本假设？A. 充分性原理B. 相对性原理C. 不确定性原理D. 费马原理2. 北极星光谱线的移位现象最初是哪个科学家通过实验发现的？A. 胡克B. 辛普森C. 赫尔曼D. 亨德里克3. 相对论中的洛伦兹变换具有以下哪一个性质？A. 反演不变性B. 时空相对性C. 相对性原理D. 矛盾性原理4. 某气体的绝热指数为1.4，再加压的条件下这个气体的温度A. 不变B. 上升C. 下降D. 不确定5. 看物体原来的颜色为白光，看物体反射的颜色为蓝色，这个现象的解释是？A. 物体的原来颜色是蓝色B. 物体反射的辐射更多地集中在较短波长的光区C. 物体反射的辐射更多地集中在较长波长的光区D. 环境光强烈时物体的颜色会发生变化6. 电子在磁场中作匀速圆周运动，则其动能与势能的变化情况如何？A. 动能不变，势能减小B. 动能增大，势能减小C. 动能减小，势能增大D. 动能不变，势能增大7. 像肉眼所能看见的太阳周围的白光，几乎全部来自于？A. 太阳的干扰光B. 太阳的热光C. 太阳的黑体辐射D. 太阳的光谱线8. 一个空气球放在零摄氏度的水中充气，如果它充满气体后体积为1mA. 它在水中漂浮B. 它在水中沉底C. 它在水中升起，但不漂浮D. 它不会对水位高度产生影响，但会影响它周围的水流9. 求一光束入射角为60度，折射角为45度的光线不透明物体的表面上，光的速度在透明物体的内部为1660m/s，这个透明物体的折射率是多少？A. 2.5B. 约1.73C. 约1.25D. 约0.7510. 一个理想氧化铝晶体会使垂直于晶面上的光线进行多少次反射？A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次11. 下列哪个现象可以被理解为对牛顿第二定律的否定？A. 物体保持匀速直线运动B. 物体在匀速直线运动的基础上变向C. 物体静止不动D. 物体改变了速度12. 下列哪个现象可以被认为是孤立系统中机械能守恒的例证？A. 弹性碰撞B. 重物下落C. 摆动D. 手摇电筒发光13. 下列哪个动量的变化是最大的？A. 两个物体同向碰撞B. 两个物体相对碰撞C. 两个物体撞击后分别继续沿直线运动D. 两个物体进行纯旋转14. 一个摩擦系数为0.2的物体放在斜面上，角度为20度，有多大的力可以使物体静止？A. 约0.17NB. 约0.34NC. 约2.0ND. 约9.8N15. 均匀带电球面的电场强度在球心处的方向是？A. 垂直于球面B. 与球心连线方向相同C. 与球心连线方向相反D. 没有固定方向16. 某飞行物从高空坠落，开始时垂直速度0m/s，最终速度达到400m/s，下落时间为20s，飞行物的高度是多少？A. 约4kmB. 约8kmC. 约16kmD. 约32km17. 当球被踢出一个斜向上发射，物体的速度是否因高度的增加而增加压力吗？A. 是的B. 不是的18. 均匀带电圆环电场强度在环心处的方向是？A. 沿环半径方向B. 沿环切线方向C. 沿环正对方向D. 沿环法线方向19. 在静电场中无线积分可用于计算？A. 电场强度B. 磁场强度C. 感应电流D. 电荷20. 均速直线运动的物体在运动过程中，它？A. 总是以恒定速度运动B. 可以运动，但速度变化C. 速度与时间无相关性D. 总是以恒定加速度运动二、问答题（共5题，每题20分，共100分）21. 两球间有一距离，它们的引力大小是多少？22. 在磁场中，如果一个电子沿着磁场方向运动，是什么力恰好与它运动方向垂直？23. 在一个喇叭中发出的是什么类型的波？24. 跳伞让人成为了空气阻力的受害者，如果比重不同的气体相互作用，哪个气体在空气中起到的作用最小，为什么？25. 解释重力势能的大小和高度之间的关系。
