当前位置：文档之家 › 第7章 稳态热传导问题的有限元法

第7章 稳态热传导问题的有限元法

  • 格式：ppt
  • 大小：862.00 KB
  • 文档页数：48

下载文档原格式

  / 48

合集下载

有限元法的原理_求解域_概述及解释说明

有限元法的原理_求解域_概述及解释说明

有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。

它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。

有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。

1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。

1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。

通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。

此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。

2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。

它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。

在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。

2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。

这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。

这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。

2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。

第7章 有限元分析概述

第7章 有限元分析概述

3、变形体及受力情况的描述:
基本变量:
u
(位移)
ε
(应变)
ζ
(应力)
（如果考虑三个方向(xyz)的情况，则有对应的向量、张量描述:
ε ij
ζ ij
ui
）
基本方程: ①力的平衡方面 三大类变量 ②几何方面 三大类方程 ③材料方面
求解方法: ①经典解析 ②半解析法 ③传统数值求解 ④现代数值求解(计算机软硬件，规范化，标准化， 规模化，计算机化)
几个概念： 单元：把弹性体假想地分割成有限个离散体，这些离
散体称为单元。 节点：离散单元仅在其顶点处相互连接，连接点成为节点。 要求：这种连接必须满足变形协调条件， 既：不能出现裂缝，不能发生重叠。 节点力：单元之间只能通过节点传递内力，通过节点 传递的内力成为节点力。 节点载荷：作用在节点上的载荷为节点载荷。 节点位移：当弹性体受到外力作用发生变形时，组成它的 各个单元也将发生变形，因而各个节点将产生
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。把这类 问题称为离散系统。
例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。
平面桁架结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
双向拉索悬索桥
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方 程和相应的边界条件。这类问题称为连续系统。
例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。
目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
软件名称 简介
MSC/Nastran
MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
著名结构分析程序，最初 由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件

第7章 热传导

第7章 热传导
4. 一维非稳态导热的速算图
5. 二维、三维非稳态导热
1. 薄壁物体非稳态导热 ----集总热容法 ( lumped capacity method ) 薄壁——当物体内部的导热热阻比物体与环境
的对流热阻小的很多时，可归结为薄壁物体的导热 问题。
集总热容法——当物体体积不大，而导热系
数又比较大，认为物体内部的温度在任意时刻都是均 匀的，好像该物体原来连续分布的质量和热容量汇 总到一点，因而只有一个温度值，这种分析法称为 总集热容法。
第一类边界条件（记为B.C.I）
直接给出边界上（任意时刻）的数值。
传热 传质
T TS
A AS
第二类边界条件（记为B.C.II）
给出边界上的导数值（梯度值、通量值）
传热 传质
q ys
T k y
S
j Ays D AB
A y
S
T 0 如某一端面(L)绝热，则可具体写为 q k x x l T 如温度分布中心对称(x =0)，则写为 x 0 0 x
初始条件（I.C.）
反映研究对象的特定历史条件。 追溯了在某个初始时刻的状态。
边界条件（B.C.）
反映所研究对象是处于怎样的特定环境。 环境通过体系的边界将如何影响所研究的对象。
下面以传热为例写出相应的初始条件和边界条件。
1）初始条件
给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为：
传热 传质 传热 传质
三、非稳态导热
在工程问题中，需要知道当物体表面的热状态
发生变化时，物体内给定的温度变化到某一确 定值需要的时间，这也是非稳态导热问题。
在本节将着重讨论薄壁、无限大物体、厚
壁物体 非稳态导热中的 温度分布及求解 方法。

稳态热传递

稳态热传递

• •
3-23
建模
单位
如要获得/UNITS命令的更多说明，请使用线上文档。
在输入窗口输入 “help, /UNITS” 查看 线上文档。
要使用帮助，在输入窗口中输入 “help,xxxxx”; “xxxxx” 可以是单元类型 (77), 命令(/units), 或单元类别(solid)。或者 ，使用UtilityMenu>>Help下拉式菜单。
1. DOF 约束 - 指定的 DOF (温度) 数值
2. 集中载荷 - 集中载荷(热流)施加在点上
3. 面载荷 -在面上的分布载荷(对流,热流)
4. 体载荷 - 体积或区域载荷
3-6
热载荷和边界条件的类型
施加的载荷 温度 载荷分类
约束
实体模型载荷
在关键点上 在线上 在面上 在关键点上 在线上(2D) 在面上(3D) 在线上(2D) 在面上(3D) 在关键点上 在面上 在体上
3-15
稳态热传递
例题说明
• 下面是一个截面。
建模说明: • 内部对流载荷使用平面效果 单元。 • 使用 “在线上施加对流”施 加肋骨外表面上的对流载荷 。 • 在肋骨短部施加热流。 • 假设钢管是非常长的，不考 虑钢管端部的影响。 • 只对最小的循环部分建模。
3-16
稳态热传递
例题说明
绝热对称边界
3-37
前处理：建模
定义并检查实参
检查需要的实参。注意现在 没有定义任何实参。单击 “Add….”开始。
3-38
前处理：建模
定义并检查实参 • 定义实参: – 首先选中要定义实参的单元类型 – 然后，在对话框中输入相应的数字以定义实参。
注: 如果有HGEN载荷施 加到平面效果单元上时， 必须指定厚度。

《高等有限元方法-张年梅》2.6二维稳态热传导问题

《高等有限元方法-张年梅》2.6二维稳态热传导问题

2.6 二维稳态热传导问题一、稳态热传导有限元的一般格式 具有内热源的二维稳态热传导问题的基本方程为ðððððð�aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQ cccc=00 按照有限元法公式推导的标准步骤，首先将求解区域A 离散为有限个单元体，在每个单元体内用伽辽金法选择权函数，得到：∬NN ii �ððððxx �aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQcccc �dddd dd ee=00 ii =11，⋯，nn （2.6.1） 上式中：dd ee 为单元面积，nn 为每个单元的节点个数，NN ii �xx ，ðð�为插值函数，它同样具有以下性质：NN ii �xx jj ，ððjj �=�00当jj ≠ii 时11当jj =ii 时和 ∑NN ii =11每个单元内各点的温度TT 可以近似地用单元节点温度ððii 插值得到：TT =�NN ii �xx ，ðð�ððii nnii =11=[NN ]{ðð}ee式中：[NN ]=[NN 11NN 22⋯NN nn ]，{ðð}ee 为单元节点温度列阵。

基于有限元方法的热传导分析及其工程应用

基于有限元方法的热传导分析及其工程应用

基于有限元方法的热传导分析及其工程应用热传导是热力学中的一个重要现象，它描述了热量在物体中的传递过程。

在许多工程领域中，对热传导进行准确的分析和预测至关重要。

有限元方法是一种常用的数值模拟方法，可以有效地用于热传导分析，并在工程实践中得到了广泛的应用。

1. 有限元方法简介有限元方法是一种将复杂问题离散化为简单问题的数值方法。

它将需要求解的区域划分为有限数量的子区域，称为单元。

通过在每个单元上建立适当的数学模型，并考虑其边界条件，可以得到整个区域的近似解。

有限元方法可以应用于不同的物理场问题，例如结构力学、热传导、流体力学等。

2. 热传导的数学模型热传导过程可以用热传导方程表达。

对于三维空间中的热传导问题，热传导方程可以写作：∇·(k∇T) + q = ρCp∂T/∂t其中，T是温度分布，k是热导率，q是体积源项，ρ是密度，Cp是比热容。

这是一个偏微分方程，可通过有限元方法进行离散化求解。

3. 有限元离散化过程为了使用有限元方法解决热传导问题，首先需要将待求解区域划分为有限数量的单元。

常见的单元形状有三角形、四边形单元等。

然后，在每个单元内选择适当的插值函数来近似温度场的分布。

通过在每个单元上建立局部方程，并将它们组装成一个整体方程，可以得到一个线性方程组。

通过求解这个方程组，可以得到整个区域的温度分布。

4. 边界条件的处理在热传导问题中，边界条件起着重要的作用。

边界条件可以分为温度边界条件和热通量边界条件。

温度边界条件指定了边界上的温度值，而热通量边界条件指定了热量在边界上的传递速率。

在有限元方法中，通过在网格节点处施加相应的边界条件，可以得到方程组的边界条件部分。

5. 工程应用基于有限元方法的热传导分析在工程中有着广泛的应用。

以热导率为例，对于材料的选取和设计，了解其热导率的分布是非常重要的。

有限元方法可以对材料的热导率进行模拟和预测，从而指导工程设计和优化。

同时，在导热设备的设计中，有限元方法也可以用来评估材料的热传导性能，确定热传导路径，优化传热效果。

有限元线法在热传导问题中的发展现状

有限元线法在热传导问题中的发展现状有限元线法在热传导问题中的发展现状一、介绍1、有限元线法（FEM），是一种将力学系统的几何性质和材料属性结合在一起的解析方法，是解决力学问题的主要方法之一。

2、其在热传导问题中，可以用来计算温度场、热流和热量传递过程。

二、发展历程1、 1960年，R. Kosloff 等人首次将有限元法用于热传导问题，他们使用有限元积分方法，解决了半空间热传导问题。

2、 1970 年，R. S. Averill 和G. Y. Yu在其著作"Finite Element Analysis Of Thermal Transport Problems"中，系统地论述了有限元法用于热传导的数学模型，使此方法在热学领域应用得到突飞猛进。

3、 1980 年， J. J. Roques 和J. Legais 提出了原子键链分子动力学(AMBER) 模型新方法，解决了边界和凝聚态体中由热传导和热扩散引起的温度变化问题。

4、 2000 年，Y. S. Li、R. S. Elliott以及R. K. Marcus等人在《Wiley Periodicals Inc. Applied Numerical Mathematics》${2004}$年出版的一篇文章中，深入研究了FEM在热传导中的理论与方法，能够有效地解决非线性热传导问题。

三、近年发展1、朝着更容易使用、节约时间的方向发展，有限元线法的发展方向有：(1) 自动生成程序：自动生成识别器系统，用于自动生成、确定和交互使用有限元法程序。

(2) 基于网格优化的程序：改进网格，自动优化有限元法下的固有源状态精度。

(3) 热传导分析器：可用于热传导问题中复杂场景的几何建模，以及对复杂热源场特性的分析。

2、先进的微网格热传导分析：采用微网格技术为基础，基于微结构的理论和方法，进行高精度热传导分析。

3、柔性的多物理场分析：分析热源交互作用的特性，提供热传导源中温度场的分析。

有限元法PPT课件

重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)

6 稳态热传导问题的有限元法

6. 穩態熱傳導問題的有限元法本章的內容如下：6.1熱傳導方程與換熱邊界6.2穩態溫度場分析的一般有限元列式 6.3三角形單元的有限元列式 6.4溫度場分析舉例6.1熱傳導方程與換熱邊界在分析工程問題時，經常要瞭解工件內部的溫度分佈情況，例如發動機的工作溫度、金屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分佈等。

物體內部的溫度分佈取決於物體內部的熱量交換，以及物體與外部介質之間的熱量交換，一般認為是與時間相關的。

物體內部的熱交換採用以下的熱傳導方程（Fourier 方程）來描述，Q z T z y T y x T x tT c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ為密度，kg/m 3； c 為比熱容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,為導熱係數，)k m w ⋅；T 為溫度，℃；t 為時間，s ；Q 為內熱源密度，w/m 3。

對於各向同性材料，不同方向上的導熱係數相同，熱傳導方程可寫為以下形式，Q zT yT xT tT c222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ （6-2）除了熱傳導方程，計算物體內部的溫度分佈，還需要指定初始條件和邊界條件。

初始條件是指物體最初的溫度分佈情況，() z y,x,T T00t ==（6-3）邊界條件是指物體外表面與周圍環境的熱交換情況。

在傳熱學中一般把邊界條件分為三類。

1）給定物體邊界上的溫度，稱為第一類邊界條件。

物體表面上的溫度或溫度函數為已知，s sT T=或 ),,,(t z y x T Ts s=（6-4）2）給定物體邊界上的熱量輸入或輸出，稱為第二類邊界條件。

已知物體表面上熱流密度，s sz zy yx xq n zT n yT n xT =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n yT n xT s sz zy yx x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3）給定對流換熱條件，稱為第三類邊界條件。

工程有限元方法温度场有限元分析PPT(31页)


由上式得出稳态热传导问题的变分原理如下
0
1
2
k
x
2
1 2
k
y
2
1 2
k
z
2
Q d
qd q
3
ha
1 2
h2
d
稳态热传导分析有限元列式
• 温度插值
将空间域 离散为有限个单元体，在典型单元内各点的温度 可以近似的用单
元的节点温度 i 插值得到
ne
Ni (x, y)i Ni i 1
方程
c
t
x
kx
x

y
ky
y
z
kz
z
Q
0
升温需要的热量
由x, y, z方向传入的热量
内部热源产生的热量
导热系数 k, W/ m K
物体内部的 热源密度
Q, W/kg
比热容 c, J/ kg K
密度 , kg/m3
热传导基本方程
• 热传导问题的边界条件
域的 边界条件 1 2 3
在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的 工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。物体 内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的 热量交换，一般认为是与时间相关的。在一般三维问题中，瞬态温度场的
场变量 x, y, z,t 在直角坐标中应满足下述热传导（Fourier热传导）微分
k x nx k y ny k z nz k n q
k
x
nx
k
y
ny
k
z
nz
k
n
h(a
)
在 2 边界上 在 3 边界上
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

)dΒιβλιοθήκη 0(8-18)14
采度用分布Ga函ler数ki和n方换法热，边选界择条权件函代数入为(8，-w181 )式N，i 单将元单的元加内权的积温
分公式为
e
[ Ni x
(x
[N ]) Ni x y
( y
[N ])]{T}e d y
e
e
NiQ d 2 Ni qs d
(8-19)
e 3
Ni h[N ]{T}e d
一点上都满足边界条件（8-11）。对于复杂的工程问
题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似
解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数
，一般表示为:
n
u u Ni ai Na
（8-12）
i 1
其中 ai为待定系数，为 Ni已知函数，称为试探函数。试探
函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数
T
0
t
5
这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。 稳态热传导问题并不是温度场不随时间变化，而是指 温度分布稳定后的状态。
若我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态 过渡到最后的稳定温度场，那么随时间变化的瞬态（ Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三 维问题的稳态热传导方程为
，取： W j N j W j N j
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值 方法”的1.2.3节）。
12
以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场 的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程：
x
x
T x
y
y
1 x j
y
j
T
1 xm ym
20
T 2A
单元内的温度分布用结点上的温度值表示为
T [Ni
Nj
N
m
]TTij
Tm 复合求导法则
在三角形单元上，采用Galerkin法,可得
A
[
N
]T
[
x
(
x
T x
)
y
( y
T ) Q ]dA 0 y
[N ]T
x
(
x
T ) x
x
([
N
]T
x
e 3
Ni hT f d 0
换热边界条件代入后，在(8-19)式内相应出现了第二
类换热边界项
e
Γ2 Ni qs d
第三类换热边界项
e 3
Ni h[N ]{T}e d
e 3
Ni hT f d
但没有出现与第一类换热边界对应的项。这是因
为。，写采成用矩阵N形i 作式为，权有函数，第一类换热边界被自动满15 足
W
T j
Rd
0
(8-15)
W j和W j 称为权函数，通过公式（8-15）可以选择待定 的参数。
11
这种采用使余量的加权积分为零来求得微分方程 近似解的方法称为加权余量法。对权函数的不同选择 就得到了不同的加权余量法，常用的方法包括配点法 、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法（ Galerkin method）。在很多情况下，采用Galerkin法得 到的方程组的系数矩阵是对称的，在这里也采用 Galerkin法建立稳态温度场分析的一般有限元列式。 在Galerkin法中，直接采用试探函数序列作为权函数
e
e
[(
[ N x
])
T
(
x
[ N x
]
)
(
[ N y
])T
(
y
[N ])]{T}e d y
e [N ]T Q d
e
[
2
N
]T
qs
d
e
e
e h[N ]T [N ]{T}e d 3
e 3
[N ]T hT f d 0
17
e
e
根据单元结点的局部编号与整体编号的关系， 直接求和得到整体刚度矩阵，整体方程组为
8
8.2 稳态温度场分析的一般有限元列式
在前面我们已经介绍了有限元方法可以用来分析 场问题，稳态温度场计算是一个典型的场问题。我们 可以采用虚功方程建立弹性力学问题分析的有限元格 式，推导出的单元刚度矩阵有明确的力学含义。在这 里，介绍如何用加权余量法（Weighted Residual Method ）建立稳态温度场分析的有限元列式。
A
[N ]T Q dA Q
A
N N
i j
N m
dA
QA 3
1 1 1
由Green公式，可得
A
[
x
([
N
]T
x
T x
)
y
([ N
]T
y
T ]dA y
s
([N ]T
x
T x
nx
[N ]T
y
T y
ny
)dS
24
为方便起见，把换热边界统一表示为第三类换热 边界，可得
A
[
x
([
N
]T
x
c
2 m
Tm
NT
N
T
x
x
单元的刚度矩阵为
[K ]e
x
4
bi2
bi b j
bibm
bi b j
b
2 j
b j bm
bib
j
bjbm
bm2
y
4
ci2 cic
j
ci cm
cic j
c
2 j
c j cm
cicm c j cm
cm2 23
显然地，单元的导热矩阵是对称的。 如果单元的内部热源为常数，由内部热源产生的 温度载荷项为 -- 与体力载荷移置类似
T x
)
y
([ N
]T
y
T ]dA y
s h[N ]T (T f Ts )dS s h[N ]T T f dS s h[N ]T [N ]{T}e dS
N j x
y
N i y
N j )d y
e 3
hNi N j d
e
e
e
Pi 2 Ni qs d 3 Ni hTf d NiQ d
如果某个单元完全处于物体的内部，则
K ij
e
(x
N i x
N j x
y
N i y
N j )d y
e
Pi NiQ d
在整个物体上的加权积分方程是单元积分方程的和，即
(x
T~ ) x
w1
x
(x
T~ ) x
y
(w1 y
T~ ) y
w1 y
( y
T~ ) y
w1
y
( y
T~ ) y
应用Green定理，一个单元内的加权积分公式可写为
面积积分-> 边界积分
e
[ w1 x
(x
T~ x
)
w1 y
( y
T~ y ) w1Q ]d
e
w1 (x
T~ x
nx
y
T~ y
ny
N
T
x
x
[N ]T
y
(
y
T ) y
y
([
N
]T
y
T y
)
y
[N ]T y
T y
复合求导法则
22
A
y
[N ]T y
T y
dA
x
A
1 4A2
ci cj
cm
[ci
cj
cm
]TTij
dA
Tm
x
4A
ci2 ci c
j
ci cm
cic j
c
2 j
c jcm
ci cm c jcm
TTij
c T 2T 2T 2T Q
t
x 2
y 2
z 2
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还 需要指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最 初的温度分布情况，即
T t0 T0 x, y, z
边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换 情况。在传热学中一般把边界条件分为三类。
3
1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。 物体表面上的温度或温度函数为已知，
[K ]{T} {P}
18
8.3 三角形单元的有限元列式
回顾已经学过的内容可以发现，与计算弹性力学 平面问题时所采用的方法一样，二维温度场问题计算 中所采用的三角形单元可以使用相同的形函数：
19
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
1
N j 2A (a j bj x c j y)
Nm
x
x
T x
y
y
T y
z
z
T z
Q
0
（8-7）
6
对于各向同性的材料，可以得到以下的方程， 称为Poisson方程
2T 2T 2T Q 0
x 2 y2 z 2
（8-8）
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料 中的温度场满足Laplace方程
2T 2T 2T 0 x 2 y2 z 2
或
T s Ts
（8-4)
T s Ts (x, y, z,t)
2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类 边界条件。
已知物体表面上热流密度，
(x
T x
nx
y
T y
ny
z
T z