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中考压轴题分类之分类讨论(经典题型)

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中考压轴题分类之分类讨论如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。

它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一；要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：1、代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，分式、根式方程、方案策划、函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等；函数定义域变化；函数图象未给出；函数对称性（反比例函数的图象，二次函数）2、几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；3、综合类：代数与几何分类情况的综合运用.一、代数类专练例1. 代数式的所有可能的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个例2：化简：|x-1|+|x-2|例3：代数式的所有可能的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个例4. 一次函数时，对应的y值为，则kb的值是（）。

A. 14B.C. 或21D. 或14例5 已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。

例6.为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性，某公司计划新建A，B两种温室80栋，将其中售给农民种菜．该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．且所筹资金全部用于新建温室．两种温室的成本和出售价如下表：A型B型成本（万元/栋） 2.5 2.8出售价（万元/栋） 3.1 3.5（1）这两种温室有几种设计方案？（2）根据市场调查，每栋A型温室的售价不会改变，每栋B型温室的售价可降低m万元（0＜m＜0.7）且所建的两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建设温室可使利润最少．例7.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．二、几何类专练1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A ．50° B ．80° C ．65°或50° D ．50°或80°2、某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=6cm ，AB=8cm ，BC=14cm ．动点P 、Q 都从点C 出发，点P 沿C→B 方向做匀速运动，点Q 沿C→D→A 方向做匀速运动，当P 、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）求CD 的长；（2）若点P 以1cm/s 速度运动，点Q 以22cm/s的速度运动，连接BQ 、PQ ，设△BQP 面积为S （cm 2），点P 、Q 运动的时间为t （s ），求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）若点P 的速度仍是1cm/s ，点Q 的速度为acm/s ，要使在运动过程中出现PQ ∥DC ，请你直接写出a 的取值范围．4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。

设运动时间为秒。

⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。

⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？5、（1）如图1，在△ABC中，点D．E．Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．6、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC =∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.7、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？图(1)B HFA（D）G CEC（E） BFA（D）图(2)8、数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．9、如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形” ．（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个___ ______三角形；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？10、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且B P=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△E FG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．11、如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点C 为OB 的中点，点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形． （1）直接写出点A ，B 的坐标，并求直线AB 与CD 交点的坐标；（2）动点P 从点C 出发，沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动；同时，动点M 从点A 出发，沿线段AB 以每秒个单位长度的速度向终点B 运动，过点P 作PH ⊥OA ，垂足为H ，连接MP ，MH ．设点P 的运动时间为t 秒． ①若△MPH 与矩形AOCD 重合部分的面积为1，求t 的值；②点Q 是点B 关于点A 的对称点，问BP+PH+HQ 是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．ADCOBPF E12、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD．BC于点E．F，垂足为O．（1）如图1，连接AF．CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P．Q分别从A．C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P．Q的运动路程分别为a．b（单位：cm，ab≠0），已知A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．13、如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转9 0°后得到△OCD．（1）填空：点C的坐标是（，），点D的坐标是（，）；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图所示，在平行四边形ABCD中，，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t ≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.。

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中考数学压轴题的常见类型与解题思路

中考数学压轴题的常见类型与解题思路

中考数学压轴题的常见类型与解题思路中考数学压轴题通常是对学生多个知识点综合考察的题目，要求考生综合运用所学的数学知识进行解答。

下面是一些常见类型的中考数学压轴题及其解题思路。

1. 几何题几何题是中考数学中常见的题型之一。

几何题涉及图形的性质、计算图形的面积、周长和体积等等。

解决几何题的关键是要熟悉几何的基本定理和公式，并通过观察图形性质找到解题思路。

2. 基础运算题基础运算题是中考数学中的重点内容，包括四则运算、分数运算、百分数运算等等。

解决基础运算题的关键是熟练掌握运算规则和方法，有条理地进行计算。

3. 等式方程题等式方程题是中考数学中常见的题型之一。

解决等式方程题的关键是要根据题目给出的条件建立方程，然后通过运用方程的性质解题。

在解题过程中，要注意合理运用方程的基本性质和解方程的方法。

4. 函数题函数题是中考数学中的重要内容，要求考生熟练掌握函数的定义、性质和运算。

解决函数题的关键是要根据给定的函数关系或函数图像进行分析，确定函数的性质，并运用函数的定义和性质解答问题。

5. 统计与概率题统计与概率题是中考数学中常见的题型之一。

解决统计与概率题的关键是要对给定的数据进行统计分析，找到规律，并运用统计学和概率学的知识解答问题。

6. 证明题证明题是中考数学中的重点内容，要求考生运用数学的推理和证明方法，通过有条理的推理过程证明结论。

解决证明题的关键是要理解证明的目标和要求，清晰地表述证明过程，运用合适的证明方法解答问题。

解决中考数学压轴题的关键是要熟练掌握数学的基本知识和运算方法，同时要灵活运用数学知识，善于找到解题的思路和方法。

在解题过程中，要注重思维的逻辑性和严密性，慎重选择解题思路，合理运用数学知识解答问题。

通过对各个题型的系统练习和深入理解，可以提高解题能力，应对中考数学压轴题。

中考数学压轴题的常见类型与解题思路

中考数学压轴题的常见类型与解题思路

2021年3期210中考数学压轴题的常见类型与解题思路熊良斌（湖北省武汉市旭光学校，湖北 武汉 430074）一、分类讨论思想数学知识之间存在着紧密联系，知识与知识间形成一个知识网络体系或知识框架，在复习教学中教师应把相应的知识章节看作一个整体，帮学生理顺知识体系，让学生能够理解相互之间依存关系所在。

以几何知识为例，初中数学教学中，几何知识涵盖了诸多图形知识，且在中考压轴题中较为常见，在探究数学几何问题中，依托分类讨论思想，不仅可以改善薄弱分析环节，也是帮助学生多视角、多维度感知几何图形知识的真知灼见，帮助学生提高压轴题解题效率。

例如：已知一个直角三角形的边长为4和6，求另一边。

从表面看，这道例题较为简单，但诸多学生考虑的不够全面，在这道题中没有交代这两边是斜边长还是直角边长。

如基于这两种情况进行探究解题：一是斜边长为6，直角边长为4：二是直角边长为4、6。

基于数学本质而论，分类讨论思想是一种较为高效的数学思想。

二、符号化和化归思想符号化是初中数学代数中的重要思想方法，初中数学教师在代数教学中应重视培养符号化思想，在教学过程中，应首先让学生认识到引进字母的意义。

以“有理数”教学为例，教师可以通过两个不同意义的数来说明“+”与“-”所表示的两个相反量的意义。

化归思想更多的是一种解决问题的策略，在数学问题的解决上有非常重要的意义和作用。

化归思想即把一个复杂的数学问题通过有效地化解和归纳转化为几个简单问题，从而更轻松简单地解答出答案。

初中数学教师在应用题教学中，可以让学生首先掌握纵向化归和横向化归两种思路，让学生明白纵向化归即将问题整体看作一些互相关联的分问题组，找到问题关键思路，逐个击破，而横向化归思路偏向是将问题划分成相互独立的小问题，独立解决，让问题简单化提高解题效率。

三、辩证思想众所周知，辩证思想广泛运用于不同的学科领域当中，是学术知识探讨和学术问题解决的一个基本思想方法。

中国古代“祸福相倚”的故事传说，就充分体现了对立统一转化的辩证思想。

中考压轴题分类之分类讨论(经典题型)

中考压轴题分类之分类讨论(经典题型)

中考压轴题分类之分类讨论如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法.它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一；要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1)分类中的每一部分是相互独立的；（2)一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：1、代数类:代数有绝对值、方程及根的定义，分式、根式方程、方案策划、函数的定义以及点(坐标未给定）所在象限等；函数定义域变化；函数图象未给出;函数对称性(反比例函数的图象,二次函数）2、几何类：几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；3、综合类：代数与几何分类情况的综合运用。

一、代数类专练例1。

代数式aabbabab||||||++的所有可能的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D。

无数个例2：化简：｜x—1｜+|x-2｜例3：代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（ ） A 。

中考数学专题《分类讨论思想在压轴题中的应用》原卷

中考数学专题《分类讨论思想在压轴题中的应用》原卷

专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的存在性问题时，要用到分类讨论思想：1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况；2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论；3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论；4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论；5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。

（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN V 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．（1）用待定系数法可求得二次函数的表达式为；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，设BMN V 面积为S ，由ON t =，BM =，可得5BN t =-，45ME BMsin t =︒==，即得()21115255()22228S BN ME t t t =⋅=-⋅=--+，由二次函数性质可得当52t =秒时，BMN V 的面积最大，求得其最大面积；（3）由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，分三种情况进行讨论求解．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3【详解】（1）将点()1,0A -，()5,0B 代入2y x bx c =-++中，得010255b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解这个方程组得45b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为245y x x =-++；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，如图：设BMN V 面积为S ，根据题意得：ON t =，BM =．()5,0B ，5BN t ∴=-，在245y x x =-++中，令0x =得5y =，()0,5C ∴，5OC OB ∴==，45OBC ∠∴=︒．45ME BMsin t ∴=︒==，()22111515255()2222228S BN ME t t t t t ∴=⋅=-⋅=-+=--+，05t << ，∴当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258；（3）存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，又()1,0A -，()0,5C ，①当PQ ，AC 是对角线，则PQ ，AC 的中点重合，21054505m n m n n +=-+⎧∴⎨-+-++=+⎩，解得0(m =与C 重合，舍去)或7m =-，()7,12Q ∴-；②当QA ，PC 为对角线，则QA ，PC 的中点重合，21050455m n m n n -=+⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得0(m =舍去)或7m =，()7,2Q ∴-；③当QC ，PA 为对角线，则QC ，PA 的中点重合，20155450m n m n n +=-⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得1m =或2m =，()1,4Q ∴或()2,3，综上所述，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3．本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB 的解析式，设点M (m ，m -3)点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n 的值，再利用勾股定理求出CD 的长为5，因为四边形CDFE 是菱形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段CE 没有交点，分两种情况（CE 在抛物线内和CE 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围．【答案】(1)①2=23y x x --，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（12，-154），理由见解析(2)b <32-或b >133【详解】（1）①解：把()3,0A ，()0,3B -代入2y x bx c =++，得20333b c c ⎧=++⎨-=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴2=23y x x --②解：存在，理由如下，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把()3,0A ， ()0,3B -代入，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y =x -3，设点M (m ，m -3)、点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，即232331m m m -=--或232332m m m -=--，解得：m =2或m =12或m =3，经检验，m =3是原方程的增根，故舍去，∴m =2或m =12∴点P 坐标为(2，-3)或（12，-154）（2）解：把点D （-3，0）代入直线43y x n =+，解得n =4，∴直线443y x =+，当x =0时，y =4，即点C （0，4）∴CD =5，∵四边形CDFE 是菱形，∴CE =EF =DF =CD =5，∴点E （5，4）∵点()3,0D -在抛物线2y x bx c =++上，∴（-3）2-3b +c =0，∴c =3b -9，∴239y b x bx =++-，∵该抛物线与线段CE 没有交点，分情况讨论当CE 在抛物线内时52+5b +3b -9<4解得：b <32-当CE 在抛物线右侧时，3b -9>4解得：b >133综上所述，b <32-或b >133此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()8,4，OA OC ，分别落在x 轴和y 轴上，将OAB V 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE V ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求k 的值．(2)连接FG ，则图中是否存在与FBG △相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．(3)点M 在直线OD 上，N 是平面内一点，当四边形GFMN 是正方形时，请直接写出点N 的坐标．2．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟）在ABC V 中，AB AC =，E 为边AC 上一点，D 为直线BC 上一点，连AD 、BE ，交于点F ．(1)如图1，若60BAC ∠=︒，D 点在线段BC 上，且AE CD =，过B 作BG AD ⊥，求证：12=FG BF ；(2)如图2，若BAC BFD ∠=∠，且3BF AF =，求BD BC 的值；(3)如图3，若60BAC ∠=︒．若3BD CD =，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AH ，并且使得HAC ADB ∠=∠，连接BH 交AC 于P ，直接写出AC PC= ______ ．3．（2022·吉林长春·模拟）如图，在ABC V 中，5AB AC ==，6BC =．点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿折线CA AB -以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A 时，点Q 停止1秒，然后继续运动．分别连接PQ 、BQ ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)求点A 与BC 之间的距离；(2)当3BP AQ =时，求t 的值；(3)当PQB V 为钝角三角形时，求t 的取值范围；(4)点P 关于直线AB 的对称点是点D ，连接DQ ，当线段DQ 与ABC V 的某条边平行时，直接写出t 的值．4．（2022·浙江金华·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为()3,4，点D 从原点O 出发沿O A B →→匀速运动，到达点B 时停止，点E 从点A 出发沿A B C →→随D 运动，且始终保持CDE COA ∠=∠．设运动时间为t ．(1)当DE OB ∥时，求证：OCD BCE △≌△．(2)若点E 在BC 边上，当CDE △为等腰三角形时，求BE 的长．(3)若点D 的运动速度为每秒1个单位，是否存在这样的t ，使得以点C ，D ，E 为顶点的三角形与OCD V 相似?若存在，直接写出所有符合条件的t ；若不存在，请说明理由．5．（2022·重庆·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c ++＝﹣交x 轴于点A 和C （1，0），交y 轴于点B （0，3），抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE '，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接,AE BE ''，求13BE AE '+'的最小值；(3)M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线223(0)y ax ax a a =--<交x 轴于点A ，(B A 在B 的左侧），交y 轴于点C ．(1)求点A 的坐标；(2)若经过点A 的直线y kx k =+交抛物线于点D ．①当0k >且1a =-时AD 交线段BC 于E ，交y 轴于点F ，求ΔΔEBD CEF S S -的最大值；②当0k <且k a =时，设P 为抛物线对称轴上一动点，点Q 是抛物线上的动点，那么以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标，若不能，请说明理由．7．（2022·广东江门·校考一模）如图，抛物线26y ax x =++的图象与直线y kx b =+有唯一交点()1,4A -．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与x 轴的交点分别为点M 、N ，抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA PM +的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线y kx b =+与x 轴交于点B ，点Q 是x 轴上一动点，请你写出使QAB V 是等腰三角形的所有点Q 的横坐标．8．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，AD 、BD 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：12E C ∠=∠；(2)如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；(3)如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADE ABC S S ∆∆的值．。