7年级春季班第12讲：全等三角形的综合 -教师版

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

全等三角形的判定二（SSS ，AAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件可选择的判定方法 一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF3、如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（）种．A.1B. 2C.3D.4【思路点拨】本题要证明△ ABC≌△ A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠ A′，可用的判别方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一对角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一对边AC=A′C′，分别由已知与所添的条件即可得证．【答案与解析】解：添加的条件可以为：∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．若添加∠B=∠B′，证明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；若添加∠C=∠C′，证明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；若添加AC=A′C′，证明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．故选C.【总结升华】此题考查了全等三角形的判定，是一道条件开放型问题，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题要注意挖掘隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角相等，这类问题的答案往往不唯一，只有合理即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ，就可以得到∠DEH ＝∠DFH ，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题.举一反三：【变式】雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC ，支撑杆OE=OF ，AE=AB ，AF=AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．【答案】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB ，AF=AC ，∴AE=AF，在△AOE 与△AOF 中，，∴△AOE≌△AOF（SSS ），∴∠BAD=∠CAD．。

人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明过程训练（讲义、随堂测试、习题）➢ 课前预习1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ．③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ．D C BA ××AB CDOABCD图1图2图33. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，完整书写过程．如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．➢ 知识点睛1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′．321DC BA求证：△ABC ≌△A′B′C′．C'B'A'CB A证明：如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中AB A'B'AC A'C'=⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ）➢ 精讲精练1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC ________BD ．D CBA 2. 如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，AE =AF ，则_____≌______，从而DE =______．ABCD EF3. 已知：如图，AB =CD ，AF =CE ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．求证：△ABF ≌△CDE ．ABCDEF4.已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．ABC D ABCDE Fl第4题图第5题图5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为_________．6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：△ACD≌△AED．E DC7. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AC ∥DF 且AC =DF ，BE =CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．FE DC B A8. 如图，在正方形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AB =BC ，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ． 求证：BE =AF ．ABCDEFM9. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：CF =AE ．10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，D ，E ，F 分别为边BC ，AB ，AC 上的点，且BE =CD ，∠EDF =60°．求证：ED =DF ．FED CBAAB DE F【参考答案】➢课前预习1.SAS，SSS，ASA，AAS3，边2.略3.解：如图∵AB∥CD∴∠1=∠3∵∠1=110°∴∠3=110°∵∠2+∠3=180°∴∠2=180°-∠3=180°-110°➢ 知识点睛 1. SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL ➢精讲精练1. Rt △CAB ，Rt △DAB ，=2. Rt △AED ，Rt △AFD ，DF3. 证明：如图，∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠DEC =∠BFA =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） 4. AB =AD ，HLBC =DC ，HL ∠BAC =∠DAC ，AAS ∠BCA =∠DCA ，AAS 5. 36. 证明：如图，∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠DEA ∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD =∠EAD 在△ACD 和△AED 中C DEA CAD AED AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△ACD ≌△AED （AAS ） 7. 证明：如图，21A BC DE F第8题图∵AC ∥DF∵BE =CF ∴BE +EC =CF +EC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 8. 证明：如图，∵∠ABC =90° ∴∠ABF+∠MBC =90° ∵AE ⊥BF ∴∠CMB =90° ∴∠MBC +∠BCE =90° ∴∠ABF =∠BCE 在△ABF 和△BCE 中A EBC AB BC ABF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已证） ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）∴AF =BE （全等三角形对应边相等） 9. 证明：如图，第9题图321A BDE F∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴∠F =∠AEC =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△BCF 和△CAE 中1 3 F AEC BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（已知） ∴△BCF ≌△CAE （AAS ）∴CF =AE （全等三角形对应边相等） 10. 证明：如图，∵∠B =60° ∴∠1+∠2=120° ∵∠EDF =60° ∴∠2+∠3=120° ∴∠1=∠3在△BDE 和△CFD 中1 3 BE CD B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已知） ∴△BDE ≌△CFD （ASA ）∴ED =DF （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（随堂测试）1. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 为AD 上一点，且BE =AC ，如果要使△BDE ≌△ADC ，那么还需要一个条件，这个条件可以是____________________，理由是_________；这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件还可以是__________________，理由是_________．2. 已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，过点C 作 CF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ． 求证：CF =BE ． 证明：如图，ED CB A 第10题图321A BCD E FF DCA【参考答案】1. DE =DC ，HLBD =AD ，HL ∠EBD =∠CAD ，AAS ∠BED =∠C ，AAS 2. 证明：如图，∵CF ⊥AD ，BE ⊥AD ∴∠CFD=∠BED =90° ∵D 为BC 边的中点 ∴CD =BD在△CFD 和△BED 中∴△CFD ≌△BED （AAS ）∴CF =BE （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（习题）1 2 CFD BED CD BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）∠∠（对顶角相等）（已证）第2题图➢ 例题示范例1：已知：如图，在正方形ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交BC 于点G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明．要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，AB =CB ；BE =BF ；根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由SAS 可证两三角形全等．【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2在△ABE 和△CBF 中12AB CB BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ）∴AE =CF （全等三角形对应边相等）➢ 巩固练习11. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，且PD =PE ，将上述条件标注在图中，易得___________≌___________，从而AD =__________．21G FE DCB A GABC DEF第1题图第2题图12. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，如果要使△ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．13. 已知：如图，C 为BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC =∠CDE =90°．若AB =4，DE =2，则BD 的长为______．14. 已知：如图，点A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．15. 如图，点C ，F 在BE 上，∠1=∠2，BF =EC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF ．PEDCBADC B A ED CBAF E DC BA16. 已知：如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，且AC =BD ，BE ∥CF 证：△ABE ≌△DCF ．17. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD 与CE 相交于点H ，AE =CE ． 求证：AH =CB ．FDCBA HEA➢思考小结1.要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形_______；要证明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等．2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠B=∠D．EBC A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）第二步：分析特征走通思路①要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC中，把∠D放在△ADE中，只需要证明这两个三角形全等即可．②要证明△ABC≌△ADE，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用SAS可得两个三角形全等．第三步：规划过程过程分成三块：①由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；②由SAS得△ABC≌△ADE；③由全等得∠B=∠D．第四步：过程书写【参考答案】➢巩固练习1.Rt△ADP，Rt△AEP，AE2.AD=CB，HLAB=CD，SAS∠A=∠C，AAS∠ADB=∠CBD，ASA3. 64.证明：如图，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF ∴AE +EF =BF +EF 即AF =BE在Rt △CEB 和Rt △DFA 中BC AD BE AF =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，∵BF =EC ∴BF +FC =EC+FC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 A D BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已知）∠∠（已知）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） 6. 证明：如图，∵AC =BD ∴AC -BC =BD -BC 即AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2 ∵∠1+∠3=180° ∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D在△ABE 和△DCF 中3 4 AB DC A D =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已证）∠∠（已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，第5题图4321A B CDF∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3在△AEH 和△CEB 中3 1 AEH CEB AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已知）∠∠（已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）∴AH =CB （全等三角形对应边相等）➢ 思考小结1. 全等；3，边第6题图3124AB DEH。

（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC 的数量关系．【思路点拨】（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC 是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．（2）在BP 上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP 是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．（3）以A 为圆心，以AP 的长为半径画弧交BP 于D，连接AD，过点A 作AF⊥BP 交BP 于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．【答案与解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，又∵点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，∴∠ABP=30°，∴∠PAB=90°，∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4；（2）结论：PA+PC=PB．证明：如图1，在BP 上截取PD，使PD=PA，连结AD，∵∠APB=60°，∴△ADP 是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠1=∠2，PA=PD，在△ABD 与△ACP 中，，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB；证明：如图2，以A 为圆心，以AP的长为半径画弧交BP 于D，连接AD，过点A 作AF⊥BP 交BP 于F，∴AP=AD，∵∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∴∠APB=30°，∴∠DAP=120°，∴∠1=∠2，在△ABD 与△ACP 中，，∴△ABD≌△ACP，∴BD=PC，∵AF⊥PD，∴PF= AP，∴PD= AP，∴PA+PC=PB．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC【答案】证明：在 AB 上截取 AE＝AC,连结 DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD在△AED与△ACD中A（3）结论：PA+PC=PB．⎨ ⎩⎧AE =AC⎪∠BAD =∠CAD⎪AD =AD∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC在△BED 中，BE＞BD－DC即 AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，∠1=∠2，EF∥BC 交AC 于点F．试说明AE=CF．【思路点拨】作EH⊥AB 于H，作FG⊥BC 于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG 即可．【答案与解析】解：作EH⊥AB 于H，作FG⊥BC 于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD 是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【总结升华】本题考查了角平分线的性质；已知角平分线，构造全等三角形，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．5、如图所示，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延长线于 E，AE1BD2，求证：BD 是∠ABC 的平分线．【答案与解析】证明：延长 AE 和 BC，交于点 F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF 和Rt△BCD 中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA 和Rt△BEF 中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD 是∠ABC的平分线．【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l 经过顶点 C，过 A，B 两点分别作l 的垂线AE，BF，垂足分别为 E，F.（1）如图 1 当直线l 不与底边 AB 相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l 绕点 C 顺时针旋转，使l 与底边 AB 相交于点 D，请你探究直线l 在如下位置时，EF、AE、BF 之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.⎨ ⎩⎨ ⎩【答案与解析】证明：（1）∵AE⊥ l ，BF⊥ l ，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。

用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）责编：康红梅【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．【答案与解析】解：已知：线段a、b，求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．举一反三：【变式】（2015•魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D．类型二、作三角形2、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．类型三、三角形全等的实际应用3、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD 三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离．【答案与解析】解：能．证明：连接EF∵AB∥CD，（已知）∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．∵M是BC中点∴BM=CM，在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴CF=BE（对应边相等）．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．举一反三【变式】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【答案】B；4、（2015•大庆模拟）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以再AB的垂直线BF上取两点C，D．使BC=CD，再画出BF的垂直线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS【思路点拨】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【答案与解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），∴AB=ED．故选C．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．举一反三【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【答案】C；。

精锐教育学科教师辅导教案建议5min如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE 、BE ，分别延长AE 、BC 交于点F ，给出下列五个关系式：①AD //BC ；②DE ＝EC ；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD ＋BC ＝AB ．将其中的三个关系式作为已知 条件，在剩下的两个中选一个作为结论，构成正确的说法． （1）用序号写出一个正确的说法条件：________________________________________ 结论：________________________________________ （2）请你对（1）进行说理． （3）用序号写出所有正确的说法建议10min1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对4231DFECBA应角由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边一定是对应边； （4）有公共角的，角一定是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

(S .S .S )（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(A .S .A ) （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(A .A .S ) （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案． （1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△． （2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三： 【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ， 所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中， 因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程： 【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析； 【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠， 在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （ ）．△ADB ∠＝ （全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论． 证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==， 在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析 【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。

初一数学春季班（教师版）压轴综合题内容分析本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题，对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高等，视具体题目而定．知识结构模块一：角度的不变性知识精讲本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解在动点下产生不变角的问题，特别是外角定理的运用在本节中非常重要．2/ 31【例1】 如图，已知∠MON =90°，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线所在的直线交于点C ． （1） 试说明∠C 与∠O 的关系；（2） 当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动时，试问∠C 的大小是否发生变化，若保 持不变，求出∠C 的大小；若发生变化，求出其变化范围．【答案】（1）2∠C =∠O ；（2）不变，为45°． 【解析】∠ACB 的大小不变．理由：∵AC 平分∠OAB （已知），∴∠BAC =12∠OAB （角平分线的定义），∵BD 平分∠ABN （已知），∴∠ABD =12∠ABN （角平分线定义），∵∠ABN =∠MON +∠OAB （三角形的外角性质），∠ABD =∠ACB +∠BAC （三角形的外角性质），∴∠ACB =∠ABD -∠BAC =12（∠MON +∠OAB ）-12∠OAB =12∠MON =12×90°=45°． 【总结】本题主要考察了三角形外角和定理，结合角平分线的性质．例题解析AB CDMN O4 / 31【例2】 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 是直角三角形，∠AOB =90°，斜边AB与y轴交于点C ．（1） 若∠A =∠AOC ，求证：∠B =∠BOC ；（2） 延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠DOB ＝∠EOB ，∠OAE ＝∠OEA ， 求∠A 的度数；（3） 如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO 的延长线于点P ，当△AOB 绕O 点旋转时（斜边AB 与y 轴正半轴始终交于点C ），在（2）的条件下，试问∠P 的度数是否发生变化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由 【答案】（1）略；（2）∠A =30°；（3）不变，25°．【解析】（1）∵△AOB 是直角三角形∴∠A +∠B =90°，∠AOC +∠BOC =90° ∵∠A =∠AOC ，∴∠B =∠BOC ．（2）∵∠A +∠ABO =90°，∠DOB +∠ABO =90° ∴∠A =∠DOB ，即∠DOB =∠EOB =∠OAE =∠OEA ∵∠DOB +∠EOB +∠OEA =90° ∴∠A =30°． （3）∠P 的度数不变，∠P =25°∵∠AOM =90°-∠AOC ，∠BCO =∠A +∠AOC 又OF 平分∠AOM ，CP 平分∠BCO∴∠FOM =45°-12∠AOC ，∠PCO =12∠A +12∠AOC∴∠P =180°-（∠PCO +∠FOM +90°）=45°-12∠A =25°． 【总结】本题主要考察了三角形内角和与外角和定理，融入结合角平分线的性质，综合性较强．ABCD ExyOA BCPMFxy O【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB ABCD S S ∆=四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①+DCP BOP CPO ∠∠∠的值不变，②+DCP CPOBOP ∠∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．42），=8ABCDS ；（2）P 1（0，4），P 2（0，-4）；（3）①不变．【解析】（1）依题意知，将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，故C 、D 两点点y 值为2．所以点C ，D 的坐标分别为C （0,2），D (4,2)，ABCDS= CO ×AB =2×4=8．（2）理由如下：设点P 到AB 的距离为h ，PAB S ∆=12×AB ×h =2h ， 由PAB ABCD S S ∆=，得2h = 8，解得h = 4，∴P （0，4）或（0，-4）． （3）①是正确的结论，过点P 作PQ ∥CD ，因为AB ∥CD ，所以PQ ∥AB ∥CD （平行公理的推论）∴∠DCP ＝∠CPQ ，∵∠BOP ＝∠OPQ (两直线平行，内错角相等)， ∴∠DCP ＋∠BOP ＝∠CPQ +∠OPQ ＝∠CPO ，所以＝=1．【解析】本题考察了在平面直角坐标系中的数形结合问题，与平行线性质解决角的问题．ABCD Oy-1 A BCDOxyOABCD Px y3-136 / 31【例4】 如图，在平面直角坐标系中，∠ABO =2∠BAO ，P 为x 轴正半轴上一动点，BC 平分∠ABP ，PC 平分∠APF ，OD 平分∠POE ． （1） 求∠BAO 的度数；（2） 求证：∠C =15°+12∠OAP ；（3） P 在运动中，∠C +∠D 的值是否发生变化，若发生变化，说明理由，若不变，求 出其值．【答案】（1）∠BAO =30°；（2）详见解析； （3）不变化，105°．【解析】（1）∵∠ABO ＋∠BAO ＋∠AOB ＝180°，而∠AOB ＝90°，∠ABO ＝2∠BAO ， ∴2∠BAO ＋∠BAO ＋90°＝180°，∴∠BAO ＝30°；（2）∵∠CBP ＝12∠ABO ，∠ABO ＝2∠BAO ，∠BAO ＝30°，∴∠CBP ＝30°．由三角形外角定理，有：∠CPF ＝∠C ＋∠CBP ，∠APF ＝∠OAP ＋∠AOP ，而∠CPF ＝12∠APF ，∴∠C ＋∠CBP ＝12（∠OAP ＋∠AOP ），显然有：∠AOP ＝90°， ∴∠C ＋30°＝12（∠OAP ＋90°）＝12∠OAP ＋45°， ∴∠C ＝15°＋12∠OAP ； （3）∵∠D ＋∠DOP ＋∠OPD ＝180°，而∠DOP ＝12∠EOF ＝1290°＝45°，∴∠D ＋45°＋∠OPD ＝180°，又∠OPD ＝∠C ＋∠CBP ， ∴∠D ＋45°＋∠C ＋∠CBP ＝180°，结合证得的∠CBP ＝30°， 得：∠D ＋∠C ＝180°－45°－∠CBP ＝135°－30°＝105°． 即：点P 在运动时，∠D ＋∠C 的值保持不变，且∠D ＋∠C ＝105°． 【总结】本题主要考察了三角形内角和定理及外角和定理，结合角平分线的性质．ABCDEFP G O xy旋转问题是七年级几何证明中的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关系是解决旋转类问题的关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后的图形位置．【例5】 如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE +CF =AB ． 【答案】详见解析【解析】∵ABCD 是正方形，∴OB =OC ，∠BAO =∠BCO =45°，由题意可得，∠EOB =∠COF =90°-∠BOF ， ∴△EOB ≌△FOC ， ∴CF =BE ，∴AB =AE +BE =AE +CF ．【总结】本题主要考察了正方形的性质，利用三角形全等的性质证明线段之间的关系．模块二：旋转问题知识精讲例题解析ABCDEFGHKO8 / 31【例6】 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°，（1）在图1中，AC 与BD 相等吗，有怎样的位置关系?请说明理由．（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC 与BD 还相等吗，为什么?【答案】（1）AC = BD ；（2）相等．【解析】（1）AC =BD∵△ABO 、△CDO 均为等腰直角三角形， ∴AO = BO ，CO = DO ∴AC = BD ．（2）在图2中，∠AOB =∠COD =90°，∵∠DOB =∠COD -∠COB ，∠COA =∠AOB -∠COB ， ∴∠DOB =∠COA ，在△DOB 和△COA 中，OD =OC ，∠DOB =∠COA ，OB =OA ， ∴△DOB ≌△COA （SAS ）， ∴BD = AC ．【总结】本题主要考察了旋转运动的特点，相对简单．A B图1 DOB图2ADCOC【例7】 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=︒，点E 为CD 的中点，点F 在底边BC 上，且FAE DAE ∠=∠．（1）请你通过观察、测量、猜想，得出AEF ∠的度数；（2）若梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C ∠不是直角，点F 在底边BC 或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．【答案】（1）∠AEF =90°；（2）都成立，详见解析． 【解析】（1）∠AEF 的度数是90°．（2）都成立．以图2为例证明．证明：如图①，延长AE 交BC 的延长线于点G ， ∵AD ∥BC ，∴∠D =∠ECG ，∠DAE =∠G ， ∵E 为DC 的中点，∴DE =EC ， ∴△ADE ≌△GCE （AAS ），∴AE =GE ， ∵∠F AE =∠DAE ，∴∠F AE =∠G ，∴F A =FG ， ∴EF ⊥AE ，∴∠AEF =90°．【总结】本题主要考察了旋转运动的特点，运动后边相等即相等的角，相对简单．ABCDE F ABCD EF ABC DEF图1图2图310 / 31【例8】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（ ）． A ． B ．2对C ．3对D ．4对【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的三边相等、三个角都是60°，以及全等三角形的判 定方法（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ），全等三角形的性质，再结合旋转的性质即可得到结 果．△EBC ≌△ACD ，△GCE ≌△FCD ，△BCG ≌△ACF ．理由如下： BC =AC ，EC =CD ，∠ACB =∠ECD ，∠ACE 是共同角⇒△EBC ≌△ACD ． CD =EC ，∠FCD =ECG ，∠GEC =∠CDF ⇒△GCE ≌△FCD ．BC =AC ，∠GBC =∠FAC ，∠FCA =∠GCB ⇒△BCG ≌△ACF ．故选C ．【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据边和角之间的关系，证明三角形全等，得出相应的结论．【例9】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：CF 平分∠AFB ．（备注：直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等） 【答案】详见解析【解析】过C 点分别作CP ⊥AN ，交AN 于点P ，CQ ⊥BM 交BM 于点Q ． 在△CAN 与△BCM 中，60?+AC CM CN BC ACN MCB MCN =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=∠⎩，所以△CAN ≌△CMB ， 所以BM =AN ，ACNBCMS S=， 因为12ACNSAN CP =，12BCMS BM CQ =，所以CP =CQ ； 易得△CPF ≌△CQF ，所以∠PFC =∠QFC ，所以CF 平分∠AFB ．【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据边和角之间的关系，证明三角形全等，得出相应的结论．A B CD E FGKA BC D EFM N【例10】 如图1，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°．（1）请猜测线段EF 、BE 、DF 之间的等量关系并证明．（2）变式：如图2，E 、F 分别在四边形ABCD 的边BC 、CD 上，∠B ＋∠D ＝180°，AB ＝AD ，∠EAF ＝12∠BAD ，则线段BE 、EF 、FD 的等量关系又如何?请加以证明．【答案】（1）EF =BE +DF ；证明详见解析；（2）成立，详见解析． 【解析】（1）延长CB 到G ，使BG =FD ，∵∠ABG =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ，∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠DAF +∠BAE =∠EAF ，∴∠EAF =∠GAE ，∴△AEF ≌△AEG ，∴EF =EG =EB +BG =EB +DF ，故答案为：EF =BE +FD ．（2）结论成立，应为EF =BE +DF ，在CD 上截取DG =BE ，（如图） ∵BE =DG ，AB =AD ，∠B =∠ADG =90°，∴△ABE ≌△ADG ， ∴∠BAE =∠DAG ，AG =AE ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF =∠F AG ，AF =AF ，AE =AG ，∴△AEF ≌△AFG （SAS ）， ∴EF =FG =DF +DG =EB +DF ．【总结】本题主要考察了利用旋转思想做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．ABCDE F 图1ABCD EF图2【例11】请阅读下列材料：已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形．小智的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF，连结FD，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明．【答案】（1）直角三角形；（2）不变．【解析】（1）将△AEC绕点C逆时针旋转90°，使AC与AB重合，E至点E’，连接E’D，∵△AEC≌△AE’B，∴∠ABE’ =∠C=45°=∠CBA，∴△E’BD是直角三角形，∵A E’=AE，AD=AD，∠E’AB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=45°=∠DAE，∴△A E’D≌△AED，∴E’D=ED，∴以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是直角三角形．（2）结论：仍然成立证明：作∠F AD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠F AD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠F AE=∠F AD+∠DAE=∠F AD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠F AE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°，∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是直角三角形．【总结】本题主要考察了旋转的特点找出边角关系，构造全等三角形解决边的关系．12/ 31ABCDEMH【例12】 如图，在ABC ∆形外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，使90BAD ∠=︒，90CAE ∠=︒，作AH BC ⊥于H ，延长HA ，交DE 于M ，求证：DM = ME ．【答案】略【解析】作DG ∥AE 交AM 的延长线于点G∵90BAD CAE ∠=∠=， ∴+180DAE BAC ∠∠= 又∵+180DAE GDA ∠∠= ∴∠GDA =∠BAC ∵DG ∥AE ∴∠DGA =∠EAM ， 又∵AH ⊥BC ，∴∠EAM +∠CAH =90°=∠CAH +∠ACB ∴∠DGA =∠ACB ． ∵AD =AB ， ∴△DGA ≌△ACB ， ∴DG =AC =AE ， ∴△DGM ≌△EAM ， ∴DM =ME ．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，包含等腰直角三角形的性质、两直线平 行内错角相等，及同角的余角相等，说理时要认真分析，找到其中的联系．ABCDEMHG14 / 31【例13】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别由两点M ，N ，D 为ABC ∆外一点，且60,120MDN BDC ∠=︒∠=︒，BD =CD ．探究：当点M ，N 分别在直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．（1）如图（1），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_________；此时_______QL =．(2)如图（2），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明．（3）如图（3），当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN x =，则Q =______(用含x 、L 的式子表示) ．【答案】（1）BM +NC =MN ；23Q L =；（2）成立，详见解析；（3）Q =2x +23x ． 【解析】（1）如图，BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC =MN ．此时23Q L =． （2）猜想：结论仍然成立．证明：延长AC 至E ，使CE =BM ，连接DE ． ∵BD =CD ，且∠BDC =120°，∴∠DBC =∠DCB =30°．又△ABC 是等边三角形， ∴∠MBD =∠NCD =90°．在△MBD 与△ECD 中：BM =CE ，∠MBD =∠ECD ，BD =DC ， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）． ∴DM =DE ，∠BDM =∠CDE ． ∴∠EDN =∠BDC ﹣∠MDN =60°．在△MDN 与△EDN 中：DM =DE ，∠MDN =∠EDN ，DN =DN ，ABCD （1）M NABCD （2）MNCD （3）AB NM图1图2∴△MDN ≌△EDN （SAS ）．∴MN =NE =NC +BM ． ∴AMN 的周长Q =AM +AN +MN =AM +AN +（NC +BM ） =（AM +BM ）+（AN +NC ）=AB +AC =2AB ． 而等边△ABC 的周长L =3AB ． ∴23Q L =； （3）如图，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN =x ，则Q =2x +23L （用x 、L 表示）．【总结】本题主要考察了利用旋转思想做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．【例14】 如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ． （1）求证：12EF AC AB +=； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动．如图2，11A F 平分11BAC ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111F E AC ⊥，垂足为1E ，请猜想11E F ，1112A C 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）略；（2）E 1F 1+12A 1C 1=AB ．16 / 31【解析】（1）如图1，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，∴AE =12AC ，∠ABD =∠CBD =45°∵AF 平分∠BAC ，∴EF =MF ； 又∵AF =AF ，∴△AMF ≌△AEF ， ∴AE =AM ，∵∠MFB =∠ABF =45°，∴MF =MB ，∴MB =EF ，∴EF +12AC =MB +AE =MB +AM =AB ．（2）三者之间的数量关系：E 1F 1+12A 1C 1=AB 如图2，连接F 1C 1，过点F 1 作F 1P ⊥A 1B 于点P 1F Q BC ⊥于点Q∵11A F 平分∠11BAC ∴11E F PF = 同理111111QF PF E F PF QF ===∴又∵1111A F A F =∴11111Rt A E F Rt A PF △≌△∴111A E A P = 同理1111111111Rt QFC Rt E FC C Q C E AA CC ==≌∴由题意 ∴11112A B BC AB AA BC CC AB BC +=++-=+=AB 1111111111++++++2BP PF QF QBA B BC A P BP QB C Q A P C Q E F =====∴111111*********222+=2AB A E C E E F AC E F E F AC AB=++=+∴∴ 【总结】本题主要考察了旋转后的图形的位置和角度之间的关系，构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．【例15】 如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中， ∠BDE =∠ACB =90°，且BE 在AB边上，取AE 的中点F ，CD 的中点G ，连结GF . （1）FG 与DC 的位置关系是，FG 与DC 的数量关系是；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.【答案】（1）FG ⊥CD ，FG =12CD ；（2）成立；详见解析． 【解析】（1）延长ED 交AC 的延长线于M ，连接FC 、FD 、FM∴四边形 BCMD 是矩形，∴CM=BD ．又△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，∴ED=BD=CM ， ∵∠E =∠A =45°，∴△AEM 是等腰直角三角形．又F 是AE 的中点，∴MF ⊥AE ，EF=MF ，∠E =∠FMC =45º． ∴△EFD ≌△MFC ． ∴FD=FC ，∠EFD =∠MFC ． 又∠EFD ＋∠DFM =90°∴∠MFC ＋∠DFM =90°，即△CDF 是等腰直角三角形．又G 是CD 的中点，∴FG =12CD ，FG ⊥CD ．（2）如图，证明方法同上； 先证明，△EFD ≌△MFC ，即可得到△CDF 是等腰直角三角形，得证．【总结】旋转类问题，利用等腰三角形的性质找出边和角的关系，通过全等三角形的性质解决边的关系．AB C DE FGMABC DEFGMABCDE FGACB18 / 31本节主要针对常规图形，添加合适的辅助线，如截长补短、倍长中线，添加平行线等构造全等的三角形，该类型题目综合性较强，考察同学们全等三角形判定和性质的综合运用能力．【例16】 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC的中点．∠AEF =90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】（1）成立，详见解析；（2）成立，详见解析．模块三：构造全等类知识精讲例题解析A BC DE 图2FGABCDE 图1F GA BC 图3DE FG【解析】解：（1）成立．证明：在AB 上取一点M ，使AM =EC ，连接ME ． ∴BM =BE ，∴∠BME =45°，∴∠AME =135°，∵CF 是外角平分线，∴∠DCF =45°，∴∠ECF =135°， ∴∠AME =∠ECF ，∵∠AEB +∠BAE =90°，∠AEB +∠CEF =90°， ∴∠BAE =∠CEF ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE =EF ．（2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN =CE ，连接NE ． ∴BN =BE ，∴∠N =∠NEC =45°，∵CF 平分∠DCG ，∴∠FCE =45°，∴∠N =∠ECF ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BE ，∴∠DAE =∠BEA ， 即∠DAE +90°=∠BEA +90°，∴∠NAE =∠CEF ， ∴△ANE ≌△ECF （ASA ）∴AE =EF ．【总结】本题主要考察了利用截长补短做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．MN20 / 31【例17】 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边△ADF ，且DE ∥AF ，EF ∥AD ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD =CF ；②AC =CF +CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC =CF +CD 是否成立?若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．【答案】（1）详见解析；（2）AC =CF -CD ，详见解析；（3）AC = CD -CF ．【解析】解：（1）证明：由题意得，AF =AD ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠BAC =60°=∠DAF ． ∠BAC ﹣∠DAC =∠DAF ﹣∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ．∵在△BAD 和△CAF 中，AB =AC ，∠BAD =∠CAF ，AD =AF ，∴△BAD ≌△CAF （SAS ）． ∴CF =BD ．∴CF +CD =BD +CD =BC =AC ．即①BD =CF ，②AC =CF +CD ． （2）AC =CF +CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC =CF ﹣CD ．理由如下：由（1）知：AB =AC =BC ，AD =AF ，∠BAC =∠DAF =60°， ∴∠BAC +∠DAC =∠DAF +∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ． ∵在△BAD 和△CAF 中，AB =AC ，∠BAD =∠CAF ，AD =AF ， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）．∴BD =CF ．∴CF ﹣CD =BD ﹣CD =BC =AC ，即AC =CF ﹣CD ． （3）补全图形如右：AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系为AC =CD ﹣CF ．【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据性质找出全等的三角形，再利用全等三角形的性质解决边的关系，综合性较强．A BCD 图1EFABC 图2D FECDAB图3【例18】已知如图1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AP与AB所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）AP=AB，AP⊥BQ；（2）AP=BQ，且AP与BQ垂直；（3）成立．【解析】（1）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，（2）AP=BQ，且AP与BQ垂直；理由如下：延长BQ交AP于G，由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，∴∠PQC=45°=∠QPC，∴CQ=CP，在△BCQ和△ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP，CQ=CP∴△BCQ≌△ACP（SAS），∴AP=BQ，∠CBQ=∠P AC，∵∠ACB=90°，∴∠CBQ+∠BQC=90°，∵∠CQB=∠AQG，∴∠AQG+∠P AC=90°，∴∠AGQ=180°-90°=90°，∴AP⊥BQ，（3）成立，理由如下：①如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°，又∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°，∴CQ=CP，在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP，CQ=CP，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS），∴BQ=AP，②如图3，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ，∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC，在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°，∴∠PNB=90°，∴QB⊥AP．【总结】本题主要考察了等腰三角形再平移的问题，通过全等三角形的性质解决边的关系，题目较复杂．22/ 31321【例19】直线CD 经过∠BCA 的顶点C ，CA =CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC =∠CF A =∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①图1，若∠BCA =90°，∠α=90°，则EF __________|BE -AF |（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0°<∠BCA <180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA 应满足的关系是__________；（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠BCA =∠α，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．【答案】（1）①=；②∠α+∠BCA =180°；（2）EF =BE +AF ． 【解析】解：（1）①=；②所填的条件是：∠α+∠BCA =180°，证明：在△BCE 中，∠CBE +∠BCE =180°-∠BEC =180°-∠α， ∵∠BCA =180°-∠α，∴∠CBE +∠BCE =∠BCA ， ∵∠ACF +∠BCE =∠BCA ， ∴∠CBE =∠ACF又∵BC =CA ，∠BEC =∠CF A ， ∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF ，又∵EF =CF -CE ，∴EF =|BE -AF |； （2）EF =BE +AF ．∵∠1+∠2+∠BCA =180°，∠2+∠3+∠CF A =180° ∵∠BCA =∠α=∠CF A ，∴∠1=∠3；又∵∠BEC =∠CF A =∠α，CB =CA ，∴△BEC ≌△CF A （AAS ）， ∴BE =CF ，EC =F A ，∴EF =EC +CF =BE +AF ．【总结】本题主要考察了通过角度的转换，找出等量关系，构造全等三角形，通过全等的性质解决边的关系，题目较复杂．A BCDEFA B CDE F ABC DEF 图1图2图324 / 31【习题1】 在五边形ABCDE 中，已知AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，连接AD ．求证：AD 平分∠CDE ． 【答案】详见解析．【解析】证明：∵AB =AE ，∠ABC +∠AED =180°．∴把△ABC 旋转∠BAE 的度数后BC 和EC ′重合， 且∠ABC =∠AEC ′，BC =EC ′ ∴△ABC ≌△AEC '，∴AC =AC ′， 又BC +DE =CD ，BC =EC ′，∴CD =DC ′，在△ACD 和△ADC ′中，AC =AC ，，AD =AD ，CD =CD ，， ∴△ACD ≌△ADC ′， ∴∠CDA =∠ADC ′， ∴AD 平分∠CDE ．【总结】本题主要考察了全等三角形判定的条件，添加合适的辅线，证明相关问题．【习题2】 用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转．（1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图1），通过 观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论；（2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图2）， 你在（1）中得到的结论还成立吗?简要说明理由． 【答案】（1）BE =CF ；（2）成立，详见解析．随堂检测AB CDEAB CDEF ABF EC D图1图2【解析】（1）BE=CF．证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF．∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）BE=CF仍然成立．证明：在△ACE和△ADF中，∵∠CAE+∠EAD=∠F AD+∠DAE=60°，∴∠CAE=∠DAF，∵∠BCA=∠ACD=60°，∴∠FCE=60°，∴∠ACE=120°，∵∠ADC=60°，∴∠ADF=120°，在△ACE和△ADF中，FAD CAEAC ADADF ACE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACE≌△ADF，∴CE=DF，∴BE=CF．【总结】本题主要考察了图形的旋转问题，结合特殊的三角形的性质，通过证明全等三角形解决边的关系．26 / 31G【习题3】如图17(1)，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． ①若∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ；②若△AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF =45º，问△CEF 的周长是否△AEF 位置的变化而变化? （2）如图17(2)，已知正方形ABCD 的边长为1， BC 、CD 上各有一点E 、F ，如果△CEF 的周长为2，求∠EAF 的度数．（3）如图17(2)，已知正方形ABCD ，F 为BC 中点，E 为CD 边上一点，且满足 ∠BAF =∠F AE ，求证：AE =BC +CE ． 【答案】（1）不变，周长为定值是2倍边长； （2）∠EAF =45°；（3）详见解析． 【解析】（1）证明：延长CB 到G ，使GB =DF ， 连接AG （如图）∵AB =AD ，∠ABG =∠D =90°，GB =DF ， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠3=∠2，AG =AF ，∵∠BAD =90°，∠EAF =45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠GAE =∠1+∠3=45°=∠EAF ， ∵AE =AE ，∠GAE =∠EAF ，AG =AF ，∴△AGE ≌△AFE （SAS ），∴GB +BE =EF ，∴DF +BE =EF ． （2）辅助线如上图所示：∵△CEF 的周长为2，∴EF =BE +CF =BE +BG =EG ，在△AGE 和△AFE 中EF EGAE AE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△AFE （SSS ），∴∠1+∠3=∠EAF ，又∵∠1+∠2+∠EAF =90°，∠3=∠2，∴∠EAF =45°． （3）过F 点作FG ⊥AE 交AE 于点G ，在△ABF 和△AFG 中，∠BAF =∠F AE ，AF=AF ，∠ABF =∠AGF =90°， ∴△ABF ≌△AFG ，∴AF=FG=FC ， 又∵FE=FE ，∠FGE =∠FCE =90°， ∴△FGE ≌△FCE ，∴CE =EG ， ∴AE =AG +GE =AB +EC ．【总结】根据角平分线作垂线，构造全等的三角形，结合全等三角形的性质解决边的关系．【习题4】 已知：如图，MN ⊥PQ ，垂足为O ，点A 、B 分别在射线上OM 、OP 上，直线图17（2）FEDCBAFE DCBA图17（1）BE 平分∠PBA 与∠BAO 的平分线相交于点C ． （1）若∠BAO =45°，求∠ACB ；（2）若点A 、B 分别在射线上OM 、OP 上移动，试问∠ACB 的大小是否会发生变化?如果保持不变，请说明理由；如果随点A 、B 的移动发生变化，请求出变化的范围．【答案】（1）∠ACB =45°；（2）不变，详见解析． 【解析】（1）∵MN ⊥PQ ，∴∠BOA =90°，在△ABO 中，∠PBA =∠BAO +∠BOA =45°+90°=135°， ∵∠PBA 与∠BAO 的平分线相交于点C ，∴∠BAC =12∠BAO =12×45°=22.5°，∠FBA =12∠PBA =12×135°=67.5° 在△ABC 中，∠ACB =∠FBA ﹣∠BAC =67.5°﹣22.5°=45°；（2）∵MN ⊥PQ ，∴∠BOA =90°，在△ABO 中，∠PBA =∠BAO +∠BOA =∠BAO +90°， ∴∠PBA 与∠BAO 的平分线相交于点C ， ∵∠BAC =12∠BAO ，∠FBA =12∠PBA =12（∠BAO +90°）=12∠BAO +45°，在△ABC 中，∠ACB =∠FBA ﹣∠BAC =12∠BAO +45 °﹣12∠BAO =45°． 【总结】本题主要考察了不变的角的一般求解过程，结合角平分线的性质，通过内角及外角的定理计算角度的相关问题．ABCP E FMNO Q28 / 31【作业1】 等边△ABD 和等边△CBD 的边长均为1，E 是AD 上异于A 、D 的任意一点，BE ⊥AD ，F 是CD 上一点，满足AE +CF =1，当E 、F 移动时，试判断△BEF 的形状． 【答案】等边三角形．【解析】在△ABE 与△DBF 中，∠A =∠BDF =60°，AB =BD ，AE =1-CF =DF ， ∴△ABE ≌△DBF （ASA ）∴BE =BF∴△BEF 为等腰三角形，其中BE ，BF 为腰，EF 为底， 又∵∠EBF =60°，∴△BEF 是等边三角形．【总结】本题主要考察了特殊的三角形的性质，通过证明全等三角形特殊角判定特殊的三角形．【作业2】 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．【答案】详见解析． 【解析】∵∠QAP =∠BAC ，∴∠QAP +∠P AB =∠P AB +∠BAC ， ∴∠QAB =∠P AC ， 在△ABQ 和△ACP 中，AQ =AP ，∠QAB =∠P AC ，AB =AC ，∴△ABQ ≌△ACP ，∴BQ =CP ．【总结】本题主要考察了特殊的三角形的性质，通过证明全等三角形解决边的关系．课后作业ABCDEFA BCPQ P QA BC【作业3】 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A （a ，0），B （b ，0），且a 、b 满足331a b b =-+--，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． （1）在y 轴上是否存在一点M （0，m ），连接MA ，MB ，使MABS＞ABDC S 四边形?若存在这样一点，求出点求m 的取值范围；若不存在，试说明理由．（2）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B 、D 重合）+DCP BOPCPO ∠∠∠的值是否发生变化，并说明理由．（3）若点P 是线段AB 上的动点，+APCDPBABCD S SS 与的面积之间有什么关系?写出分析过程．【答案】（1）44m m ><-或；（2）1；（3）1+2APC DPBABCD S SS =． 【解析】（1）由题意得133a b b +=-+-，则103013a b a b +=-==-=，，，，则A （-1，0），B （3，0），C （0，2），D （4，2）， AB =4，M （0，m ），OM =|m |，11422||22ABM S AB OM OM OM m =⋅=⨯==，428ABCD S AB OC =⋅=⨯=，则2|m |>8，m >4或m <-4；（2）不变过P 作PQ ∥AB 交y 轴于点Q ，则∠OPQ =∠BOP ， 又∵PQ ∥CD ，∴∠CPQ =∠DCP ， ∴∠DCP +∠BOP =∠OPQ +∠CPQ =∠CPQ ， ∴+DCP BOP CPO ∠∠∠=1；MQ30 / 31（3）1+2APC DPBABCD S SS = 1111+()2222APCDPBSSAP OC BP OC OC BP AP OC AB =⋅+⋅=+=⋅ABCDS OC AB =⋅，∴1+2APC DPBABCD S SS =【总结】本题主要考察了图形中的动点问题，结合平面直角坐标系，问题综合性较强，难度不大．【作业4】 如图1，△ABC 是正三角形，△BDC 是等腰三角形，BD =CD ，∠BDC =1200，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN . （1）探究BM 、MN 、NC 之间的关系，并说明理由. （2）若△ABC 的边长为2，求△AMN 的周长.（3）若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由．【答案】（1）BM +CN =MN ；（2）AMN C ∆=4；（3）MN =BM +CN ． 【解析】解：（1）BM +CN =MN如图，延长AC 至P ，使CP =BM ，连结DP ，在Rt △BDM ≌Rt △CDP∴∠PDN =∠MDN =60° ∴△MDN ≌△PDN ∴MN =NP =NC +CP =NC +MB （2）利用（1）中的结论得出：△AMN 的周长=AM +MN +AN =（AM +BM ）+（NC +AN ）=2+2=4 （3）CN -BM =MN证明：如图，在CN 上截取，使CP =BM ，连结DP ∵∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =∠DCB =30°∴∠DBM =∠DCM 1=90° ∵BD =CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDP ∴∠MDB =∠PDC ，DM =DP∵∠BDM +∠BDN =60° ∴∠CDP +∠BDN =60°ABC DM NPAB CD P MNP∴∠NDP=∠BDC-（∠PDC+∠BDN）=120°-60°=60°∴∠PDN=∠MDN∵AD=AD∴△MDN≌△PDN∴MN=NP=NC-CP=NC-MB【总结】本题主要考察了全等三角形的判定条件，通过添加相应的辅助线构造全等三角形解决边的关系。

全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称ASA ） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称AAS ） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简称HL ） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例A BC PMNO A BC PMNO例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：D 在AB 上，E 在AC上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证AD ＝AE ．例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你理由ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的长．AGF C BDE图1AEB CFAB CDE D C EFBA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块专题一： 全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。

人教版八年级数学上册12章三角形全等之倍长中线（讲义）➢课前预习1.填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2.想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．O BCA➢知识点睛1.“三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________．2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线D C BAMAB CD延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE②平行夹中点F EDCBA延长FE 交BC 的延长线于点G➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．D A（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．D CB ADB A4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．FED CAGFE DB A6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．GFE DCAGF EDCBAFE DCB A【参考答案】➢课前预习1.（1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；直角，HL（2）全等，三，边2.（1）证明：如图∵O是AB的中点∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 解：（1）如图，21BCDA（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图，∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE由（3）得AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线21EDCBA∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CDCB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3321MA BCDEF∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B321MABCD EF G∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90° ∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°∴∠2=∠3=45°∴EG=CG三角形全等之倍长中线（随堂测试）1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（），证全等转移边：______=_______；④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB的取值范围．2.如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？【参考答案】GFEADBC1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS ACEB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示：②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中， ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩？？FE C D BA AB DCE F？？GG？？FECDBA AB D CE F？？∴△DEF≌△CEG（SAS）∴DF=CG，∠DFE=∠G∵DF=AC∴CG=AC∴∠G=∠CAE∴∠DFE=∠CAE∵DF∥AB∴∠DFE=∠BAE∴∠BAE=∠CAE∴AE平分∠BAC➢巩固练习1.已知：如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．A2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．ADF ECBEFAD C3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BECDB A21ECDBA方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．DC21ECDB A【参考答案】➢巩固练习1. 22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）➢思考小结1.倍长中线SAS AAS 角2.证明略。

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

第12讲 全等三角形[基础篇]一、全等三角形1、全等三角形的概念：经过平移、翻折、旋转能够重合的两个三角形叫做全等三角形。

注意：（1）互相重合的顶点叫做对应顶点；（2）互相重合的边叫做对应边；（3）互相重合的角叫做对应角。

2、两个全等三角形的表示：ABC DEF ∆∆≌把对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

B 1C1BCAACA BC C 1B A1CBF E二、全等三角形的判定判定定理1：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简称：A .S .A （角边角）如图所示：已知：F C E B EF BC ∠=∠∠=∠=,,；则DEF ABC ∆≅∆:。

判定定理2：有两角和任意一角的邻边对应相等的两个三角形全等．简称：A .A .S （角角边）如图所示：已知：E B D A EF BC ∠=∠∠=∠=,,；则DEF ABC ∆≅∆．判定定理3：有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 简称：S .A .S （边角边）如图所示：已知：E B EF BC DE AB ∠=∠==,,；则DEF ABC ∆≅∆判定定理4：有三条边对应相等的两个三角形全等． 简称：S .S .S （边边边）如图所示：已知：,,AB DE BC EF AC DF ===；则DEF ABC ∆≅∆．C BF EC BF EC BFEC BF E[技能篇]类型一：全等三角形的概念例1-1 下列每组中的两个图形，是全等图形的为（ ）A. B ．C ．D ．例1-2 如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有___________例1-3 如图，ABN ACM ∆∆≌，B ∠和C ∠是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角。

例1-4 如图，ABD ACE ∆∆≌，AB AC =，写出图中的对应边和对应角。

N M C B AE DB A例1-5 如图所示，ABC DCB ∆∆≌．（1）若74D ∠=︒，38DBC ∠=︒，则A ∠=_____，ABC ∠=（2）如果AC BD =，请指出其他的对应边_________（3）如果AOB DOC ∆∆≌，请指出所有的对应边________，对应角________例1-6 如图，如果将ABC ∆向右平移CF 的长度，则与DEF ∆重合，那么图中相等的线段有__________；若46A ∠=︒，则D ∠=________．类型二：全等三角形的性质例2-1 已知ABC DEF ∆∆≌，60A ∠=︒，70B ∠=︒，2AB cm =．求DE 的长度及D ∠、F ∠的度数.例2-2 如图ABC EDF ∆∆≌，DF BC =，AB ED =，20AF =，10EC =，求AE 的长．B FE DC BAAF例2-3 已知：如图所示，Rt EBC ∆中，9035EBC E ∠=︒∠=︒，.以B 为中心，将Rt EBC ∆绕点B 逆时针旋转90°得到ABD ∆，求ADB ∠的度数.解：∵9035Rt EBC EBC E ∆∠=︒∠=︒中，，，∴ECB ∠=__________°.∵将Rt EBC ∆绕点B 逆时针旋转90°得到ABD ∆，∴∆________≌∆_________．∴________________ADB ∠=∠=°.例2-4 如图，把ABC ∆绕C 点顺时针旋转35︒，得到''ABC ∆，''AB 交AC 于点D ，则'AB D ∠=________°．例2-5 如图，将ABC ∆绕着点C 按顺时针方向旋转20︒，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.EDCB A B'A'D C BA例2-6 如图，已知ABC DEF ∆∆≌，30502A B BF ∠=︒∠=︒=，，，求DFE ∠的度数与EC 的长。