《算法案例：辗转相除法与更相减损术》教学教案

2024年《算法案例辗转相除法与更相减损术》教学优秀教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握辗转相除法的基本原理和应用。

2. 让学生了解并学会使用更相减损术求最大公约数。

3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学内容：1. 辗转相除法的基本原理和步骤。

2. 更相减损术的原理和步骤。

3. 实际案例分析，运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：辗转相除法的基本原理、步骤及应用，更相减损术的原理和步骤。

2. 教学难点：理解和运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解辗转相除法和更相减损术的原理和步骤。

2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用所学知识解决问题。

3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提高学生的逻辑思维能力。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际案例，引发学生对求最大公约数的兴趣。

2. 讲解辗转相除法的原理和步骤，让学生理解并掌握。

3. 讲解更相减损术的原理和步骤，让学生了解并学会使用。

4. 开展小组讨论，让学生运用所学知识解决实际问题。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对辗转相除法和更相减损术的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其合作能力和问题解决能力。

3. 课后作业：布置有关辗转相除法和更相减损术的练习题，检查学生的掌握情况。

七、教学资源：1. 教材：《算法案例辗转相除法与更相减损术》相关章节。

2. PPT课件：展示辗转相除法和更相减损术的原理、步骤及案例。

3. 网络资源：提供相关的学习网站和视频，方便学生课后自主学习。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍辗转相除法的基本原理和步骤。

2. 第二课时：讲解更相减损术的原理和步骤，并进行案例分析。

3. 第三课时：开展小组讨论，学生运用所学知识解决实际问题。

九、课后作业：十、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术讲义编写者：数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、用辗转相除法求最大公约数.2、用更相减损术求最大公约数.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材34—35页内容，回答问题（辗转相除法）<1>怎样用短除法求最大公约数？<2>怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？<3>什么叫做辗转相除法求最大公约数？结论：<1>求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的质数连乘起来.<2>穷举法求两个正整数最大公约数的步骤：从两个数中较小数开始，由大到小列举，直到找到公约数立即停止列举，得到的公约数便是最大公约数.<3>辗转相除法求最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果，否则转向第二步继续循环执行.如此循环直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因此又叫做欧几里得算法.练习一：①用短除法求18和31的最大公约数.②用辗转相除法求8251与6105的最大公约数.③画出辗转相除法的程序框图，并写出程序.【教学效果】：理解辗转相除法.2、阅读教材36—37页内容，回答问题（更相减损术）<4>怎样用更相减损术求最大公约数？结论：<4>《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的更相减损术也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”其算法如下：第一步，任意更定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约减，若不是，则执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是最大公约数.练习二：用更相减损术求98与63的最大公约数.【教学效果】：理解更相减损术.三、【作业】1、必做题：分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.2、选做题：理解教材例题，并把例题总结到笔记本上.四、【小结】本节课主要学习了更相减损术和辗转相除法.五、【教学反思】当我们的学生对知识流露出不会时，做老师的要更多的去找自己的原因，而不是学生的原因.。

《辗转相除法与更相减损术》教学设计学习目标.1. 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，根据原理进行算法分析；2. 能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；3. 感受算法的意义和价值。

教学重难点1.根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；2.感受算法的意义和价值。

教学课时一课时教学过程知识情境.1. 1. WHILE 语句: 计算机执行语句的过程是2. UNTIL 语句: 计算机执行语句的过程是 你能编写一个程序,用二分法求方程220(0)x x -=>的近似解吗?2. 我们已经学过求最大公约数的方法，你能求出18与30的公约数吗？ 如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，又应该怎样求它们的最大公约数？比如,如何求1424与801的最大公约数？ 知识生成1. 教学辗转相除法.思路. 可以利用除法将大数化小,找两数的最大公约数.(适于两数较大时)(1)用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商和一个余数；(2)若＝0,则n 为m,n 的最大公约数；若≠0,则用除数n 除以余数得到一个商和一个余数；(3)若＝0,则为m,n 的最大公约数;若≠0,则用除数除以余数得到一个商和一个余数；……依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数.例题1. 求两个正数1424和801的最大公约数.①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法.②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定,所以可把它看成一循环体,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言.2. 教学更相减损术. 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤. 可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为. (1) 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.(2) 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例题2. 用更相减损术求91和49的最大公约数.练一练1．求两个正数8251和2146;228和1995;5280和12155的最大公约数.2．用更相减损术求72和168的最大公约数.3．编写一个程序, 求两个正数8251和2146的最大公约数.4．比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求的方法，计算上辗转相除法以法为主，更相减损术以法为主，计算次数上法计算次数相对较少，特别当两个数字时计算次数的区别较明显．(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以则得到，而更相减损术则以而得到．。

辗转相除法与更相减损术学习目标1理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

2根本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

学习重难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

学法与学习用具学法：在理解最大公约数的根底上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。

学习用具：电脑，计算器，图形计算器学习设想〔一〕创设情景，揭示课题1教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比拟大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比方求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。

〔二〕研探新知1辗转相除法例1求两个正数8251和6105的最大公约数。

〔分析：8251与6105两数都比拟大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数〕解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0那么37为8251与6105的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。

也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；第二步：假设＝0，那么n为m，n的最大公约数；假设≠0，那么用除数n 除以余数得到一个商和一个余数；第三步：假设＝0，那么为m，n的最大公约数；假设≠0，那么用除数除以余数得到一个商和一个余数；……依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数。