新课程古典概型教学中应重视列举法作用

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概 率 为 要 ； 若 中 间 掷 “ ４ 点 ， ， 甲 、 乙 又 站 到 了 平 等 的 ’ ， “ 份 ￣ ２ ’曰 ” 切 ｌ Ｊ ｒ 一Ｊ ‘ 、 、” 、 一￣ ￣ 产 Ｊ劝 ” Ｊ“ 该
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比较合理． 方法 ２ 因为由中间人般子， 只有“ ６ 点” 和“ ４ 点” 对于 甲、 乙两人有效， 若中间人掷， ６ 点” ’ 则甲赢， 甲赢的
过列表来解决此问题．
数学通报
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第５ 期
第６
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葵 次抛掷后向上的点数
由上表可知押 ７ 最有利
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为一个回合， 掷般子的过程按照一个回合一个回合 的顺序进行， 赢家获得全部赌金． 两人约定， 到某个 回合如果甲累计掷出三次“ ６ 点” ， 而乙未掷出三次 ４ 点” ’ ， ， 则甲为赢家； 反之， 如果乙累计掷出三次“ ４ 点” 而甲未掷出三次“ ６ 点” ， 则乙为赢家； 如果甲累 计掷出三次， ６点” ’ 并且乙掷出三次， ４点” ’ ． 则这个回 合不计， 退回到上一回合的基础上继续掷散子， 直 至分出输赢． 掷般子若干次后， 甲累计掷出两次“ ６ 点” ， 乙累计掷出一次“ ４ 点” ． 这时赌博因故不能继 续进行， 问在这种情况下如何合理分配这些赌金？
知识模块．
生养成用列举法解决“ 古典概型” 的意识， 教会学生 学会如何运用列举法去计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率． 运用列举法计算 “ 古典概型” 是概率模块教学的难点．
３ 列举法在解决“ 古典概型” 中的实际运用
列举法（ 下面运用“ 列表法、 树形图） ” 来解决几 个著名的概率问题． 例 １ 齐王与田忌赛马， 田忌的上等马优于齐 王的中等马， 劣于齐王的上等马， 田忌的中等马优 于齐王下等马， 劣于齐王的中等马， 田忌的下等马 劣于齐王的下等马． 现各出上、 中、 下等三匹马分组 分别进行一场比赛， 胜两场以上即为获胜． 如果双 方均不知对方马的顺序， 试探求田忌获胜的概率．
用树形图表示如下：
中间人 １ ／ ２
１ ／ ２ —
所 以 甲 嵌 的 概 率 为 粤 十 粤ｘ 粤
１ 田载今， 张唯一， 林立军． 掷般子与概率的起源． 数学教学参 考， ２ ０ ０ ６ ， ４ 乙 乙 乙 ２ 中华人民共和国教育部制定． 普通高中数学课程标准（ 实 如果把此题改变一下， 就变为另一个非常著名 验） ． 北京： 人民 教育出 版社， ２ ０ ３， ０ ４ ３ 普通高中课程标准实验教科书数学（ 必修３ ）． 南京： 江苏教育 的有关分赌金问题． 出 版社， ２ ０ ０ ５ ， １ ２ 例４ 甲、 乙两人掷般子赌博， 甲、 乙各掷一次
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第５ 期
数学通报
新课程“ 古典概型” 教学中 应重视列举法作用
周德建
（ 江苏省六合高级中学 １１ ２ ５０ ） ０
１ 新课标对古典概率教学要求分析
新课标对古典概率教学要求： 了解随机事件统 计规律性和随机事件概率的意义； 了解概率的统计 定义以及频率与概率的区别； 理解古典概型， 掌握 “ 古典概型” 的概率计算公式； 会用枚举法计算一些 随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 与过去教学要求相比， 必修 ３ 在概率模块内容 中删除了计数原理、 独立事件和 ｎ 次独立重复实验 恰好发生Ｋ次事件的概率教学内容， 而这些内容要 在选修 ２ 一３ 才会进一步学习， 对于希望在人文、 社 会科学等方面发展的学生不作要求； 新课程淡化概 率的繁琐的计算， 而把对“ 古典概型” 研究作为重点
一 次抛掷后向上的点数
概 率 粤 ．
Ｏ
记甲赢为事件Ａ ． 若甲掷 ６ 点发生， 则甲必赢， 所以甲的概率为
冬 ； 若 甲 掷 非６ 点 而 乙 掷 ４ 点 ， 则 “ ６ 点 ， ， 和 “ ４ 点 ， ， 各 ６， 曰 ’护 下” 一Ｊ ， ， 、 ” ’ ‘ 一 行 介， ， 、 ’ ２ 、 Ｊ 一‘ ， ， 、 ’ 『 ’一 砂 ， 、 、 曰
解 方法 １
因为由中间人掷般子， 只有“ ６ 点” 和“ ４ 点” 对 于甲、 乙两人有效， 所以将中间人掷般子时， 出现“ ６ 点” 或， ４ 点” ’ 次数记为比赛已进行的场次， 由题可 知现已比赛 ３ 场， 继续比赛还需 ２ 场， 已胜 ２ 场者在 下面 ２ 场中的比赛可能有（ 胜， 胜） ， （ 胜， 负） ， （ 负， 胜） ， （ 负， 负） ， 只有第 ４ 种情况他才会输． 故先胜两
１－ ２
甲 赢 概 率 音
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参考文献
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解 此题可通过列表来解决．
由于没有计算原理支撑， 在利用等可能事件的 概率公式计算概率时， 要避免选用排列组合的知识 与方法进行计算的题 目， 把计数的方法局限于列表 法、 树形图， 并且强调它们在解决” 古典概型” 中的 作用． 教学中不要把重点放在“ 如何计数” 上， 新课 程这样处理的目的与加强“ 过程性” 教学相一致， 有 利于让学生体验数学发现、 创造和解决过程， 有利 于让学生能够更注重运用数学的观念、 方法与语言 去提出问题， 分析问题和解决问题， 达到培养学生 的创新思维和理性思维的目的． ２ 对学生的概率的知识结构分析 在学生的知识结构中， 高一学生在初一学习随 机事件、 必然事件、 不可能事件的定义； 频率、 概率 区别； 在初三学会利用列举法（ 列表法、 树形图） 对 概率的简单问题进行计算， 我们知道任何个体学习 离不开原有知识和经验， 要利用已有知识和经验去 同化新知识， 同时又要经过对原有认识结构进行完 善的顺应过程． 比较初、 高中对概率教学要求， 我们 可以看出学生在学习概率知识时， 对相关概念很容 易同化、 顺应， 所以相关概念教学不应作为教学的 难点， 但由于初、 高中学生思维能力要求不一样， 对 于解决问题的能力要求不一样， 所以教师应培养学
累计出现 ２ 次， 这时甲、 乙又站到了平等的起点上，
于 是 甲 赢 的 概 率 为 音 都未发生， 则 甲、 乙 音 ｘ 音 ； 若 如 果 “ ６ 点 ” 和 “ ‘ 点 ”
他们成为赢家的机会相等 １－ ６
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又回到赌博中断时的状态， 于是得到 尸 （ Ａ ） ＝
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解得 尸 （ Ａ） ＝丝 ２ ２ ．
方法 ２
用树形图表示如下：
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０ 比赛结果 ３：
田忌胜的概率为 １ 由上表可知， ６． ／ 评 通过列表， 可清晰知道， 田忌获胜唯一的 可能性是田忌的下等马对齐王的上等马， 田忌的上 等马对齐王的中等马， 田忌的中等马对齐王的下等 马． 在两千多年前， 没有任何概率知识的前提下， 孙 殡帮助田忌赢了齐王， 这确实反映孙殡聪颖过人． 例 ２ 据说意大利医生兼数学家卡当， 曾大量 地进行过赌博， 并经常研究不输的方法． 卡当曾研究 过这样的一种赌法： 把两颗般子掷出去， 以每个般子 朝上的点数之和作为赌的内容． 已知般子的六个面 上分别为 １ 一６ 点， 那么， 赌注下在多少点上最有利． 分析 此题可以分别列举两颗般子点数之和 ２￣１ （ ２） 基本事件， 然后计算它们的概率， 也可以通
解 方法 １
例 ３ 甲、 乙两人赌博， 由一个中间人掷般子， 两人约定， 如果， ６ 点” ’ 向上的次数先达三次， 则甲为 赢家； 如果气 点”向上的次数先达三次， 则乙为赢 家； 赢家获得全部赌金． 掷般子若干次后 ， 出现了累 计有两次， ６ 点” ’ 向上、 一次， ４ 点” ’ 向上的结果． 这时 赌博因故不能继续进行， 问在这种情况下如何合理 分配这些赌金？
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解 得 尸 Ａ （ ， 一 翁
因此， 这个间题合理的分配方案为： 甲分得全
部 赌 金 的 轰 ， 乙 分 得 全 部 赌 金 的 晶 ・
评 虽然例 ３ 、 ４ 规定甲、 乙赢的方式不同， 但 它们都可以采用画树形图来解决， 特别是例 ４ 在画 树形图的基础上， 巧妙构造一个方程来解决．