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课时提升作业五十二抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·聊城模拟)设抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离为()A.3B.4C.5D.6 【解题提示】由题意可得点P的纵坐标为4,由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=-1的距离,由此求得结果.【解析】选C.由于抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,故点P的纵坐标为4.再由抛物线y=x2的准线为y=-1,结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,故点P到该抛物线焦点的距离是4-(-1)=5.2.(2016·杭州模拟)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A,则|PA|+|PM|的最小值是()A. B.4C. D.5【解析】选C.抛物线焦点F,准线x=-,如图,延长PM交准线于点N,由抛物线定义得|PF|=|PN|,因为|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5,而|MN|=,所以|PA|+|PM|≥5-=,当且仅当A,P,F三点共线时,取等号,此时,点P位于抛物线上,所以|PA|+|PM|的最小值为.【加固训练】设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于()A.9B.6C.4D.3【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0).由++=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+p=6.3.(2016·重庆模拟)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.4【解析】选C.抛物线C的方程为y2=4x,所以2p=4,可得=,得焦点F(,0).设P(m,n),根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,即m+=4,解得m=3.因为点P在抛物线C上,得n2=4×3=24,所以n=±=±2,因为|OF|=,所以△POF的面积S=|OF|×|n|=××2=2.4.已知抛物线y2=4x的焦点F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,若AB的垂直平分线与x 轴的交点是(4,0),则|AB|的最大值为()A.2B.4C.6D.10【解题提示】可将|AB|与|AF|,|BF|之间的关系联系起来,再利用抛物线的定义求解.【解析】选C.因为抛物线y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(4-x1)2+=(4-x2)2+,又=4x1,=4x2,代入并展开得:16-8x1++4x1=-8x2+16+4x2,即-=4x1-4x2,又x1≠x2,所以x1+x2=4,所以线段AB中点的横坐标为(x1+x2)=2,所以AB≤AF+BF=+=4+2=6(当A,B,F三点共线时取等号),即|AB|的最大值为6.5.(2016·临沂模拟)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2【解析】选C.由题意可设直线方程为y=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程整理得y2+2py-p2=0,所以y1+y2=-2p.因为线段AB的中点的纵坐标为-2,所以=-2.所以p=2.所以抛物线的准线方程为x=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点M(-2,-4)的抛物线方程是.【解析】满足题意的抛物线应有两条,设为y2=ax或x2=by,将点M(-2,-4)的坐标代入求得y2=-8x 或x2=-y.答案:y2=-8x或x2=-y7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.【解析】如图,在等边三角形ABF中,DF=p,BD=p,所以B点坐标为.又点B 在双曲线上,故-=1.解得p=6.答案:6【加固训练】已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.【解析】因为x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,所以可画图观察.如图,连接PF,过F作FQ⊥l1于点Q,d2=PF,所以d1+d2=d1+PF≥FQ===3.答案:38.已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.【解析】当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,代入y2=4x,得交点为(4,4),(4,-4),所以+=16+16=32;当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-4),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-16k=0,由题意,知k≠0,则y1+y2=,y1y2=-16.所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32.综上知,(+)min=32.答案:32【误区警示】本题易出现最小值不存在的错误结论.其原因是忽略直线的斜率不存在的情况,从而得出错误的结论.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·莱芜模拟)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F(0,c)(c>0)到直线y=2x的距离是.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线y=kx+1(k≠0)与抛物线C交于A,B两点,设线段AB的中垂线与y轴交于点P(0,b),求实数b的取值范围.【解析】(1)由题意,=,故c=.所以抛物线C的方程为x2=2y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由得x2-2kx-2=0.所以Δ=4k2+8>0.所以x1+x2=2k,所以线段AB的中点坐标为(k,k2+1).线段AB的中垂线方程为y=-(x-k)+k2+1,即y=-x+k2+2.令x=0,得b=k2+2.所以b∈(2,+∞).10.(2016·菏泽模拟)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1,C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值.(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.所以a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),因为直线l过点B,所以x=1是方程(*)的一个根,由求根公式,得x P=,从而y P=,所以点P的坐标为.同理,由得Q点的坐标为(-k-1,-k2-2k).所以=(k,-4),=-k(1,k+2).因为AP⊥AQ,所以·=0,即[k-4(k+2)]=0,因为k≠0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).(20分钟40分)1.(5分)(2016·烟台模拟)若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3,则此抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=(-4)xC.y2=2x或y2=18xD.y2=3x或y2=(-4)x【解析】选C.因为抛物线y2=2px(p>0)上一点到x轴的距离为3,所以设该点为P,则点P的坐标为(x0,±3),因为点P到抛物线的焦点F的距离为5,所以由抛物线的定义,得x0+=5 (1)因为点P是抛物线上的点,所以2px0=9 (2)由(1)(2)联立,解得p=1,x0=或p=9,x0=,则抛物线方程为y2=2x或y2=18x.2.(5分)设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A 的坐标为()A.(2,±2)B.(1,±2)C.(1,2)D.(2,2) 【解析】选B.设A(x0,y0),F(1,0),=(x0,y0),=(1-x0,-y0),·=x0(1-x0)-=-4.因为=4x0,所以x0--4x0+4=0⇒+3x0-4=0, x0=1或x0=-4(舍).所以x0=1,y0=±2.3.(5分)(2016·武汉模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为直线l,过抛物线上一点P作PE ⊥l于点E,若直线EF的倾斜角为150°,则|PF|=.【解析】由抛物线方程y2=4x,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x=-1.因为直线EF的倾斜角为150°,所以k1=tan150°=-.所以直线EF的方程为:y=-(x-1),联立解得y=.所以E.因为PE⊥l于点E,所以y P=,代入抛物线的方程可得=4x P,解得x P=.所以|PF|=|PE|=x P+1=.答案:4.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k,O为坐标原点.(1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方,求k的取值范围.(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,求|OD|的最小值.【解析】(1)抛物线y=x2的焦点为.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>,解得k<.(2)由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得AC的方程为y-1=-(x-1),x2=--1.对函数y=x2求导,得y′=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线斜率为2x1,所以切线BD的方程为y-=2x1(x-x1),即y=2x1x-.同理,抛物线y=x2在点C处的切线CD的方程为y=2x2x-.联立两条切线的方程解得x3==,y3=x1x2=-k,所以点D的坐标为.因此点D在定直线2x+y+2=0上.因为点O到直线2x+y+2=0的距离d==,所以|OD|≥,当且仅当点D时等号成立.由y3=-k=-,得k=,验证知符合题意.所以当k=时,|OD|有最小值.5.(13分)(2015·福建高考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程.(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,且∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r. 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.。
9．8抛 物 线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程及几何性质标准 方程 y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)图形性 质焦 点 ① ②⎝⎛⎭⎫－p2，0 ③ ④⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准 线 ⑤x ＝－p2⑥ ⑦y ＝－p2⑧ 范 围 ⑨x ≥0， y ∈R⑩⑪⑫y ≤0， x ∈R对 称 轴 ⑬⑭y 轴顶 点 ⑮原点O (0，0)离 心 率 ⑯开 口⑰⑱向左⑲向上⑳自查自纠1．l 焦点 准线2．①⎝⎛⎭⎫p 2，0 ③⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⑥x ＝p 2 ⑧y ＝p 2⑩x ≤0，y ∈R ○11y ≥0，x ∈R ○13x 轴 ○16e ＝1 ○17向右 ○20向下抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫18，0B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：由抛物线的标准方程为x 2＝12y ，可知p 2＝18，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18.故选C. A (2，1)为抛物线x 2＝2py (p >0)上一点，则A 到该抛物线的焦点F 的距离为( ) A.32 B.2＋12 C ．2 D.2＋1解：把A (2，1)代入抛物线方程得2＝2p ，得p ＝1，所以A 到焦点的距离为1＋12＝32，则|AF |＝32，故选A.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]解：由已知得Q (－2，0)，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.故选C. 已知直线l 过拋物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为________．解：设抛物线的焦点到准线的距离为p ，则由题意有2p ＝12，即p ＝6，则△ABP 的面积为12×12×6＝36.故填36.(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是____________． 解：由题意可知焦点F 的坐标为(1，0)，则准线方程为x ＝－1，设M (x M ，y M )，则x M ＋1＝10，所以x M ＝9，即M 到y 轴的距离是9.故填9.类型一 抛物线的定义及标准方程(1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y 解：因为x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以b 2a 2＝3，ba＝ 3.x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋（3）2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .故选D.(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3，2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．解：因为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为(1，0)，所以p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图所示，过M 作抛物线的准线l 的垂线MA ，垂足为A ，由抛物线的定义有|MA |＝|MF |，所以|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MA |， 显然当P ，M ，A 三点共线时，|MP |＋|MF |取得最小值．因为点P 的坐标为(3，2)， 所以|MP |＋|MF |的最小值为3－(－1)＝4.故填4.【点拨】(1)求抛物线的标准方程，若开口未知，则要先判断开口，以便设方程；(2)求最值问题，则常借助抛物线定义及平面几何中三角形两边和大于第三边或两点直线段最短等性质．(1)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解：因为以MF 为直径的圆过点(0，2)，所以点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p2＝5得M ⎝⎛⎭⎫5－p 2，2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，122p ⎝⎛⎭⎫5－p 2. 因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴切于点(0，2)，从而2＝122p ⎝⎛⎭⎫5－p2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8， 所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 解：如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1，0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.故填 5.类型二 抛物线焦点弦的性质如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)||AB ＝x 1＋x 2＋p ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1||AF ＋1||BF ＝2p. 证明：(1)由抛物线的定义知||AB ＝||AF ＋||BF ＝||AA 1＋||BB 1＝x 1＋x 2＋p .(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝p 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－2px 1·2px 2＝－p 2；当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2， 联立抛物线方程，消x 得y 2－2pk y －p 2＝0， 所以y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p＝p 24.(3)设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝||AA 1＋||BB 12＝||AF ＋||BF 2＝||AB 2，所以以AB 为直径的圆与准线相切．(4)当直线AB 的斜率不存在时，1|AF |＋1|BF |＝1|AA 1|＋1|BB 1|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝1p ＋1p ＝2p；当直线AB 的斜率存在时，因为x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫y 1k ＋p 2＋⎝⎛⎭⎫y 2k ＋p 2＝y 1＋y 2k ＋p ＝2p k 2＋p ，x 1x 2＝p 24，所以1||AF ＋1||BF ＝1||AA 1＋1||BB 1＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24＝2pk 2＋2p p 2＋p 2k2＝2p. 【点拨】本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x 2＝2py ，性质(1)应为|AB |＝y 1＋y 2＋p ，性质(2)应为x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝p 24，其余情况可自行推导．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0)．若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 5．抛物线的几个常用结论(1)抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作r ＝||PF .①y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p2；②y 2＝－2px (p ＞0)，r ＝－x 0＋p2；③x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p2；④x 2＝－2py (p ＞0)，r ＝－y 0＋p2.(2)若AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，||AB ＝l .则：①x 1x 2＝p 24；②y 1y 2＝－p 2；③弦长l ＝x 1＋x 2＋p ，因x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，故当x 1＝x 2时，l 取得最小值，最小值为2p ，此时弦AB 垂直于x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．1．(2016·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F (a ，0)(a <0)，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝－2ax D ．y 2＝－4ax解：由题意可令抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，由－p2＝a 可知p ＝－2a ，则抛物线的标准方程为y 2＝4ax .故选B.2．(2016·东北三省三校一联)点M (1，1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，则a 的值为( ) A.14 B ．－112 C.14或－112 D ．－14或112解：抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ，依题意有⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或a ＝－112.故选C. 3．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解：因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)．将点P (1，2)的坐标代入y ＝kx(k >0)，得k ＝2.故选D.4．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：因为抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象的对称性可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.5．(2016·运城期末)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32y B ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y 解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y 得x 2－2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线的方程为x 2＝3y .故选D.6．(2016·甘肃模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43解：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C.则有cos∠ABB 1＝||BC ||AB ＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得||AF ||BF ＝13.故选A.7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水下降1m 后，水面宽为________．解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为x 2＝－2py ，因为拱顶离水面2m ，水面宽4m ，所以22＝－2p ·(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y ，水面下降1m ，则y ＝－3，代入抛物线方程，得x 2＝－2×(－3)，x ＝±6，这时水面宽为26m.故填26m.8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________．解：焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0， 方法一：直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二：由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.故填12.9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |，求C 的方程．解：设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，所以|QF |＝x 0＋p 2＝8p ＋p2.又因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2(舍去负值)．所以C 的方程为y 2＝4x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k F A ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43（x －1），y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2，0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(*)化为y 2－4my ＋8＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝（1＋m 2）（16m 2－32），② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1．。
抛体模型的运动学问题与功能动量目录一．平抛运动的运动描述二．平抛与斜面、台阶、圆问题三．平抛的临界问题四．平抛运动与功能动量五、平抛运动的轨迹一．平抛运动的运动描述1.平抛运动中的物理量两个三角形，速度与位移；九个物理量，知二能求一；时间和角度，桥梁和纽带；时间为明线，角度为暗线。
2.平抛运动时间和水平射程(1)运动时间：由t =2h g 知，运动时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关。
(2)水平射程：x =v 0t =v 02h g，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定。
3.速度和位移的变化规律(1)速度的变化规律①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v 0。
②任一相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv =Δv y =g Δt 。
(2)位移的变化规律①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx =v 0Δt 。
②连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy =g Δt 2。
4.平抛运动常用三种解法①正交分解法：分解位移(位移三角形)：若已知h 、x ，可求出v 0=x g2h；分解速度(速度三角形)：若已知v 0、θ，可求出v =v 0cos θ；②推论法：若已知h 、x ，可求出tan θ=2tan α=2hx ；③动能定理法：若已知h 、v 0，动能定理：mgh =12mv 2-12mv 20，可求出v =v 20+2gh 。
5.重要推论的两种表述(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α，如图乙所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题1.斜面上平抛运动的时间的计算斜面上的平抛(如图)，分解位移(位移三角形)x =v 0t ，y =12gt 2，tan θ=y x ，可求得t =2v 0tan θg。
第54讲 抛 物 线一、课程标准1、了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、基础知识回顾 1、、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2 、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1 准线 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0))||PF ＝x 0＋p2||PF ＝－x 0＋p2||PF ＝y 0＋p2||PF ＝－y 0＋p23 、 与焦点弦有关的常用结论设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 三、自主热身、归纳总结1、抛物线y 2＝4x 的准线方程为( )A. x ＝1B. x ＝－1C. y ＝1D. y ＝－1 【答案】 B【解析】 由题意得抛物线的焦点在x 轴上，且2p ＝4，即p ＝2，所以抛物线的准线方程为直线x ＝－p2＝－1.2、 设抛物线y 2＝8x 上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A. 4B. 6C. 8D. 12 【答案】 B【解析】 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足为A ，延长PA 交直线l 于点B ，则AB ＝2.因为点P 到y 轴的距离为4，所以点P 到准线l 的距离PB ＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离PF ＝PB ＝6.故选B.3、过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.4、拋物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( )A.⎝⎛⎭⎫a 2，0B.⎝⎛⎭⎫a 2，0或⎝⎛⎭⎫－a 2，0C.⎝⎛⎭⎫0，18aD.⎝⎛⎭⎫0，18a 或⎝⎛⎭⎫0，－18a 【答案】C【解析】抛物线的方程化成标准形式为x 2＝12a y (a ≠0)，其焦点在y 轴上，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，18a .故选C. 5、已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程为________． 【答案】y 2＝±4 2x【解析】：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝2 2，所以抛物线方程为y 2＝±4 2x .6、设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 【答案】[－1,1]【解析】：Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，l 与抛物线有公共点；当k ≠0时，Δ＝64(1－k 2)≥0得－1≤k <0或0<k ≤1.综上，－1≤k ≤1.四、例题选讲考点一 抛物线的定义及其应用例1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x －y ＋2＝0上，则抛物线方程为____．(2)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____． 【答案】（1）y 2＝－8x 或x 2＝8y （2）y 2＝4x【解析】 (1)直线x －y ＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)，当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x 轴负半轴上，且p ＝4，则抛物线方程为y 2＝－8x ；当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y 轴正半轴上且p ＝4，则抛物线方程为x 2＝8y ；故抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝8y.(2)设动圆的圆心坐标为(x ，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x.变式1、(1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式2、(1)定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则点M 到y 轴的最短距离为( )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为__________． 【答案】(1)B (2)4【解析】 (1)如图所示，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |.又M 为AB 中点，由梯形中位线定理得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则M 到y 轴的距离d ≥32－12＝1(当且仅当AB 过抛物线的焦点时，等号成立)，所以d min ＝1，即点M 到y 轴的最短距离为1.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.故|PB |＋|PF |的最小值为4.方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 考点二 抛物线的标准方程及其几何性质例2 已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|＝4|FB|，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，求p 的值．【解析】 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A 、B 作准线的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，过点B 作BH ⊥AA′，交AA′于H ，则|BB′|＝|A′H|，设|FB|＝t ，则|AF|＝|AA′|＝4t ，∴|AH|＝|AA′|－|A′H|＝3t ，又|AB|＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35，∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝25p.∴S △AOB ＝12×258p×25p ＝5p 28＝58，∴p 2＝1，又p ＞0，∴p ＝1.变式1、已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__________．【答案】x ＝－2【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax⇒x＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，所以|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1，所以抛物线的准线方程为x ＝－2.变式2、（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－x B.x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y【答案】D【解析】设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .故抛物线方程为y 2＝－x 或x 2＝－8y . 变式3、（山西省临汾一中2019届模拟）直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB .y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.方法总结：1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算考点三 综合考查直线与抛物线的问题例3、如图，已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2，1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程；(2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴，求证：直线AB 的斜率为定值．【解析】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)．∵点P(2，1)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程为x 2＝4y.(2)由题意知k AP ＋k BP ＝0，∴y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，∴x214－1x1－2＋x224－1x2－2＝0，∴x1＋24＋x2＋24＝0，∴x1＋x2＝－4，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝x214－x224x1－x2＝x1＋x24＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．(1)求p，t的值；(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上，若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．【解析】(1)将点A(8，－4)代入y2＝2px，得p＝1.将点P(2，t)代入y2＝2x，得t＝±2.∵t<0，∴t＝－2.(2)由题意知，点M的坐标为(2，0)，直线AM的方程为y＝－23x＋43.联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝－23x＋43，y2＝2x，解得B ⎝⎛⎭⎫12，1，∴k1＝－13，k2＝－2，代入k1＋k2＝2k3，得k3＝－76，故直线PC的方程为y＝－76x＋13，联立⎩⎨⎧y＝－23x＋43，y＝－76x＋13，解得C⎝⎛⎭⎫－2，83.变式2、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于() A．4 B.92C．5 D．6【答案】B【解析】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝k x－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得x A·x B＝1，①因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论] 法一：由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝22，则sin 2θ＝8cos 2θ，所以sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二：因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3， 故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.方法总结：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式||AB ＝x 1＋x 2＋p ；若不过焦点，则必须用弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．五、优化提升与真题演练1、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．2、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．3、（2020年高考北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ． 经过点O B ． 经过点P C ． 平行于直线OP D ． 垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ．4、（2019·全国高考）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．5、(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，消去y 并整理，得x 2－5x ＋4＝0.解得x N ＝1，x M ＝4.所以y N ＝2，y M ＝4.又抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以FM →＝(3,4)，FN →＝(0,2)．所以FM →·FN →＝3×0＋2×4＝8.故选D.6、（2017·全国高考）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，3C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A.3B.335 D.22【答案】A【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x =，023y =，所以sin sin NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 42NM MNF ⋅∠=⋅= 7、(2018·全国卷Ⅰ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.【答案】2【解析】解法一：由题意可知C 的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k 的直线方程为x ＝y k＋1， 设A ⎝⎛⎭⎫y 1k ＋1，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 2k ＋1，y 2， 将直线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y k ＋1，y 2＝4x ，整理得y 2－4ky －4＝0， 从而得y 1＋y 2＝4k，y 1·y 2＝－4. ∵M (－1,1)，∠AMB ＝90°，∴MA →·MB →＝0，即⎝⎛⎭⎫y 1k ＋2·⎝⎛⎭⎫y 2k ＋2＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，即k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②②－①得y 22－y 21＝4(x 2－x 1)，从而k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2. 设AB 的中点为M ′，如图，连接MM ′.∵直线AB 过抛物线y 2＝4x 的焦点，∴以线段AB 为直径的⊙M ′与准线l ：x ＝－1相切．∵M (－1,1)，∠AMB ＝90°，∴点M 在准线l ：x ＝－1上，同时在⊙M ′上，∴准线l 是⊙M ′的切线，切点为M ，且M ′M ⊥l ，即MM ′与x 轴平行，∴点M ′的纵坐标为1，即y 1＋y 22＝1⇒y 1＋y 2＝2， 故k ＝4y 1＋y 2＝42＝2. 8、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A的坐标为()2,3，则PA PM +的最小值是__________．1【解析】设抛物线的焦点是()1,0F ， 根据抛物线的定义可知1PM PF =-1PA PM PA PF ∴+=+-，PA PF AF +≥，当,,A P F 三点共线时，等号成立， PA PM ∴+的最小值是1AF ，AF ==PA PM ∴+1.19、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NF MF-的最小值为______． 【答案】8p = 13【解析】∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=，∴49NFMF-11494NFNF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭419NFNF=+-1≥13=，当且仅当49NFNF=即6NF=时，等号成立，故答案为：13．。
一、选择题1．(2010·湖南文)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A．4 B．6C．8 D．12[答案] B[解析]本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.2．(2011·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0 B．n＝1C．n＝2 D．n≥3[答案] C[解析]本题考查抛物线性质等，注意本题隐含条件：抛物线上两点关于x轴对称．如图．抛物线焦点F，当∠AFM＝∠BFM＝30°时，△ABF是正三角形．当∠A1FN＝∠B1FN＝30°时△A1B1F是正三角形．3．(2010·辽宁理)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )A．4 3 B．8C．8 3 D．16[答案] B[解析]如图，k AF＝－3，∴∠AFO＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6，∴|PA |＝8＝|PF |，故选B.4．(文)(2011·新课标文，9)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等．设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p ＝12，知p ＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.(理)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( ) A.45 B.23 C.47 D.12[答案] A[解析] 本小题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的关系等．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|BF|＝2，∴12＋x2＝2，∴x2＝32，∴取y2＜0，∴B(32，－3)，又AB过M(3，0)点，∴AB所在直线方程为y＝2(2＋3)(x－3)．代入y2＝2x得x1＝2，又C点横坐标为－12.∴S△BCFS△ACF＝x2－－12x1－－12＝32＋122＋12＝45.故选A.5．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )A．相交B．相切C．相离D．以上三种情形都有可能[答案] B[解析]如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝OF＋CM2＝ON＋CM2＝DM2＝MF2，∴这个圆与y轴相切．6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23 C.23 D.223[答案] D[解析] 本题考查抛物线的定义，以及分析问题解决问题的能力、运算能力． 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0，∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0，∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223.二、填空题7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设直线AB 的方程为y ＝x －p2，其与抛物线y 2＝2px 联立，得x 2－3px ＋p 24＝0.又|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8.所以p ＝2.8．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是______米．[答案] 4 2[解析] 设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米， 即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ， 水面升高1米时，即y ＝－1时，x ＝±2 2 则水面宽为42米． 三、解答题9．(2010·福建文)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] 本小题主要考查直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想．(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x得y 2＋2y －2t ＝0因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0， 解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15， 解得t ＝±1.综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.一、选择题1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)[答案] A [解析]如图，求|PQ |＋|PF |的最小值即求|PA |＋|PQ |的最小值(PA ⊥l )， 当A 、P 、Q 三点共线时，|PA |＋|PQ |最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A. 2．对于任意n ∈N ＋，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n 、B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2013B 2013|的值是( )A.20102011B.20112012 C.20122013D.20132014[答案] D[解析] 设A n (x n,0)，B n (x ′n,0)， 则x n ＋x ′n ＝2n ＋1n 2＋n ，x n x ′n ＝1n 2＋n， |A n B n |＝|x n －x ′n |＝x n ＋x ′n2－4x n x ′n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， ∴当n ＝2013时，结果为20132014.[点评] 由条件知A n、B n的横坐标x1、x2是方程(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0的两根，∴x1＝1n＋1，x2＝1n，∴|x1－x2|＝1n－1n＋1.二、填空题3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．[答案]x－y＝0[解析]抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴p2＝1，抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点为(2,2)，则y1＋y2＝4，y21＝4x1①，y22＝4x2②，①－②得y21－y22＝4(x1－x2)，∴(y1＋y2)·(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝1，∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，∴直线方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.4．设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，则P点的坐标为________．[答案](1,1)[解析]解法一设P点坐标为(x0，x0 2)，由点到直线的距离公式得d＝|2x0－x0 2－4|5＝55|x0 2－2x0＋4|＝55|(x0－1)2＋3|≥355.由上式可知当x0＝1时，d min＝35 5.∴点P的坐标为(1,1)．解法二如图，平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．设P(x0，y0)，∵y′＝2x.∴过P点的切线斜率k＝y′|x=x＝2x0＝2.∴x0＝1，y0＝x0 2＝1，故P点坐标为(1,1)．三、解答题5．(2012·东北三校调研)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，试求抛物线的方程．[解析]当抛物线开口向上时，准线为y＝－14a ，点M到它的距离为14a＋3＝6，a＝112，抛物线的方程为y＝112x2.当抛物线开口向下时，准线为y＝－14a ，M到它的距离为－14a－3＝6，a＝－136，抛物线的方程为y＝－136x2.综上可知抛物线的方程为y＝112x2或y＝－136x2.6．P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.∵P 点到准线x ＝－1的距离等于P 到F (1,0)的距离，∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使P 到A (－1,1)的距离与P 到F (1,0)的距离之和最小．显然P 是AF 的连线与抛物线的交点，最小值为|AF |＝ 5.即：所求距离的最小值为 5.(2)|PF |与P 点到准线的距离相等，如图，过B 作BQ ⊥准线于Q 点，交抛物线于P 1点．∵|P 1Q |＝|P 1F |∴|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. ∴|PB |＋|PF |的最小值为4.7．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →. (1)当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上的三点，且|AF →|、|BF →|、|DF →|成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于E (3,0)时，求B 点的坐标．[解析] (1)∵MN →＝2MP →，故P 为MN 中点．又∵PM →⊥PF →，P 在y 轴上，F 为(1,0)，故M 在x 轴的负半轴上， 设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2，又∵PM →⊥PF →，∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程． (2)抛物线C 的准线方程是x ＝－1， 由抛物线定义知|AF →|＝x 1＋1，|BF →|＝x 2＋1， |DF →|＝x 3＋1∵|AF →|、|BF →|、|DF →|成等差数列， ∴x 1＋1＋x 3＋1＝2(x 2＋1)，∴x 1＋x 3＝2x 2又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 23＝4x 3，故y 21－y 23＝(y 1＋y 3)(y 1－y 3)＝4(x 1－x 3)，∴k AD ＝y 1－y 3x 1－x 3＝4y 1＋y 3， ∴AD 的中垂线为y ＝－y 1＋y 34(x －3)AD 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32在其中垂线上， ∴y 1＋y 32＝－y 1＋y 34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32－3.∴x 2＝x 1＋x 32＝1. 由y 22＝4x 2.∴y 2＝±2.∴B 点的坐标为(1,2)或(1，－2)．。
高效速记高中物理必考公式定律与知识梳理 0 0L* 第七章 机械能守恒定律 -@44L *** 6*F=kr 2Q 1Q 2ϕ=U AB =ϕA ϕB W AB =qU ABC =UQ q E p E=F/q E=kQ/r 2-@>% )一电荷1.自然界中存在的两种电荷正电荷㊁负电荷㊂2.电荷间的相互作用同种电荷相斥,异种电荷相吸㊂3.静电产生的三种方式(1)摩擦起电当两个物体相互摩擦时,因为不同物质的原子核对电子束缚的本领不同,电子从一个物体转移到另一个物体,得到电子的物体带负电,失去电子的物体带正电㊂(2)接触起电一个物体带电时,电荷之间会相互排斥,如果另一个导体与该物体接触,电荷会转移到这个导体上,使不带电的导体带电㊂(3)感应起电当一个带电体靠近导体时,由于电荷间相互吸引或排斥,导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体,使导体靠近带电体的一端带异号电荷,远离带电体的一端带同号电荷,这种现象叫静电感应㊂利用静电感应使金属导体带电的过程叫作感应起电㊂二电荷守恒定律电荷既不会创生,也不会消灭,它只能从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的一部分转移到另一部分,在转移过程中,电荷的总量保持不变㊂知识拓展电荷守恒定律现在表述为一个与外界没有电荷交换的系统,电荷的代数和保持不变㊂三元电荷1.电荷量电荷的多少叫电荷量,单位是库仑(C)㊂2.元电荷电子(或质子)所带的电荷量叫作元电荷,用e表示,e=1.60ˑ10-19C㊂关键提醒元电荷是最小的电荷量,自然界任何带电体的电荷量都是元电荷的整数倍㊂3.点电荷若带电体的大小比它们之间的距离小得多,带电体可看作点电荷㊂点电荷是一种理想化的物理模型㊂4.电子的比荷电子的电荷量e与电子的质量m e之比㊂电子的比荷为em e=1.76ˑ1011C/k g㊂第二节 库仑定律-@>% )一库仑定律1.内容真空中两个静止点电荷之间的相互作用力,与它们的电荷量的乘积成正比,与它们的距离的二次方成反比,作用力的方向在它们的连线上㊂2.公式F =k q 1q 2r2,式中k 为静电力常量,大小为9.0ˑ109N ㊃m 2/C2㊂3.适用条件真空中的两个静止点电荷㊂知识拓展(1)两个点电荷间的距离r 趋于0时,不能再视为点电荷,也不遵守库仑定律,它们之间的库仑力不能认为趋近于无穷大㊂(2)两个带电体间的库仑力是一对作用力和反作用力㊂二三个自由点电荷的平衡问题三个自由点电荷在同一直线上只受库仑力处于平衡状态的规律:(1)三个自由点电荷的位置关系是 同性在两边,异性在中间 ㊂(2)三个自由点电荷中,中间电荷的电荷量最小,两边同性电荷中哪个的电荷量小,中间异性电荷就距哪个近一些㊂(3)如图所示,三个自由点电荷的电荷量满足q 1q 3=q 1q 2+q 2q3㊂123例如图所示,水平地面上固定一个光滑绝缘斜面,斜面与水平面的夹角为θ㊂一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端,另一端系有一个带电小球A ,细线与斜面平行㊂小球A 的质量为m ㊁电荷量为q ㊂小球A 的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B ,两球心的高度相同㊁间距为d ㊂静电力常量为k ,重力加速度为g ,两带电小球可视为点电荷㊂小球A 静止在斜面上,则( )㊂A .小球A 与B 之间库仑力的大小为k q 2d2B .当qd =m g s i n θk 时,细线上的拉力为0C .当q d =m g t a n θk 时,细线上的拉力为0D .当q d=m gk t a n θ时,斜面对小球A 的支持力为解析根据库仑定律可知小球A 与B 之间的库仑力大小为kq2d 2,选项A 正确;若细线上的拉力为零,小球A 受重力㊁库仑力和支持力作用,如图所示,由平衡条件可得F =kq 2d 2=面对小球A的支持力不可能为0,选项D错误㊂答案A C第三节电场强度-@>% )一电场1.定义电场是客观存在于电荷周围,且能传递电荷之间相互作用力的一种特殊物质㊂2.静电场静止电荷产生的电场㊂3.电场的基本性质对放入其中的电荷有力的作用㊂二电场强度1.试探电荷（检验电荷）用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的电荷㊂2.场源电荷（源电荷）产生被检验电场的电荷㊂3.电场强度(1)定义:放入电场中某一点电荷所受到的力F与它的电荷量q的比值㊂(2)公式:E=F q㊂(3)单位:N/C或V/m㊂4.电场强度三个公式的对比区别公式物理含义引入过程适用范围说明E=F q 是电场强度大小的定义式Fɖq,E与F㊁q无关,反映的是电场的性质任何电场q为试探电荷的电荷量E=k Q r2是真空中点电荷场强的决定式由E=Fq和库仑定律导出点电荷形成的电场Q为场源电荷的电荷量,E表示跟点电荷相距r处的某点的场强E=U d 是匀强电场中场强的决定式由F=q E和W=q U导出匀强电场U为沿电场线方向上相距为d的两点间的电势差5.电场强度的叠加电场强度是矢量,几个电场共同存在于某空间时,某处的合场强计算应遵循矢量的运算法则㊂三电场线1.定义在电场中画出一些曲线,使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致,这样的曲线叫作电场线㊂2.特点(1)电场线从正电荷或无限远出发,终止于无限远或负电荷㊂(2)电场线不相交,也不闭合㊂(3)电场线的疏密描述电场的强弱,电场线越疏,电场强度越小㊂(4)电场线是为了形象描述电场而假想的线㊂3.正（负）点电荷的电场线(1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)㊂(2)离点电荷越近,电场线越密场强越大㊂(3)以点电荷为球心作一球面,则电场线处处与球面垂直,在此球面上场强大小相等,但方向不同㊂4.等量同种点电荷和等量异种点电荷的电场线的比较5.匀强电场如果电场中各点电场强度的大小相等㊁方向相同,这个电场就叫匀强电场㊂例用电场线能很直观㊁方便地比较电场中各点场强的强弱㊂如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线,图乙是场中的一些点:O是电荷连线的中点,E,F是连线中垂线上相对O对称的两点,B,C和A,D也相对O对称㊂则()㊂*A.B,C两点场强大小和方向都相同B.A,D两点场强大小相等,方向相反C.E,O,F三点比较,O点场强最强D.B,O,C三点比较,O点场强最弱解析由等量异种点电荷的电场线分布规律可知选项A ㊁C ㊁D正确,B项错误㊂答案A C D第四节电势能和电势-@>% )一静电力做功1.静电力做功的特点只与电荷的始末位置有关,与电荷经过的路径无关㊂2.静电力做功的计算方法(1)由公式W=F l c o sα计算,此公式只适用于匀强电场㊂(2)由公式W=q U计算㊂(3)由动能定理计算:W静电力+W其他力=ΔE k㊂(4)由电势能变化计算:W=-ΔE p㊂二电势能1.定义因电场对电荷有作用力而产生的由电荷相对位置决定的能量㊂2.相对性通常取无限远处或大地表面为电势能的零点㊂3.大小电荷在电场中某点的电势能在数值上等于把它从这点移到零势能位置时静电力做的功㊂4.静电力做功与电势能变化的关系(1)静电力做的功等于电势能的减少量㊂(2)静电力对电荷做正功,电荷的电势能减少㊂(3)静电力对电荷做负功,电荷的电势能增加㊂三电势1.定义电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值,叫作这一点的电势㊂用符号φ表示㊂2.公式φ=E p q㊂3.单位伏特(V),1V=1J/C㊂85.相对性电势具有相对性,在选择了零电势的位置后才能确定电场中其他各点的电势㊂通常取无限远处或大地的电势为零㊂关键提醒沿着电场线方向电势越来越低。
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课时提升作业(五十七)一、选择题1.(2013·海口模拟)若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点在圆x 2+y 2+2x-3=0上，则p=( )(A) 12(B)1 (C)2 (D)32.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)123.(2013·贵阳模拟)一个正三角形的三个顶点都在抛物线y 2=4x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是( )()()((A B C D 4.已知抛物线y 2=2px(p>0)上的一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线22x y 1a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )()()()() 1111A B C D 94325.(2013·枣庄模拟)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )()()()()1137A B 3 C 2 D 5166.(2013·哈尔滨模拟)直线y=x-3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( ) (A)48 (B)56 (C)64 (D)727.(2013·西安模拟)若双曲线2222x y 1a b-=(a>b>0)的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线21x y 2b=的焦点分成3∶2的两段，则此双曲线的离心率为( )()(((9A B C D 88.(能力挑战题)已知M 是21y x 4=上一点，F 为抛物线的焦点.A 在C:(x-1)2+(y-4)2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)10 二、填空题9.以抛物线x 2=16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_______.10.抛物线21y x 16=的焦点与双曲线22y x 13m-=的上焦点重合，则m=_______.11.(能力挑战题)如图，抛物线C 1：y 2=4x 和圆C 2：(x-1)2+y 2=1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A,B,C,D 四点，则AB CD 的值是_______.三、解答题12.已知直线y=-2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C. (1)求曲线C 的方程.(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0，2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程.13.(2013·烟台模拟)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l l 的方程；若不存在，说明理由.14.(2013·武汉模拟)如图，椭圆C ：222x y 1a 2+=的焦点在x 轴上，左右顶点分别为A 1,A ，上顶点为B ，抛物线C 1,C 2分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O,C 1与C2相交于直线y =上一点P.(1)求椭圆C及抛物线C1,C2的方程.(2)若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M,N，已知点()Q，求QM QN的最小值.答案解析1.【解析】选C.由已知(p,0)在圆x2+y2+2x-3=0上，2所以有2p p+⨯-=230,42即p2+4p-12=0，解得p=2或p=-6(舍去).2.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则|PQ|等于点P到焦点的距离，而|PQ|=6，所以点P到该抛物线焦点的距离为6. 【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.3.【解析】选A.如图，设AB所在的直线方程为y x,=由2y y 4x,⎧=⎪⎨⎪=⎩得B 点坐标为(12,ABC ABD1S2S2122∴==⨯⨯⨯= 4.【解析】选A.由已知得1+p2=5,∴p=8.∴y 2=16x,又M(1,m)在y 2=16x 上, ∴m 2=16(m>0),∴m=4,∴M(1,4).又双曲线22x y 1a -=的左顶点()A ,一条渐近线为y x x.a ==又AM 1k a .a a 9===解得 5.【解析】选C.如图，设抛物线上点P ，则P 到x=-1的距离与|PF|相等，故距离之和最小值为F 到4x-3y+6=0的距离，d 2.==6.【解析】选A.由题不妨设A 在第一象限，联立y=x-3和y 2=4x 可得A(9,6),B(1,-2),而准线方程是x=-1，所以AP=10,QB=2,PQ=8, 故S 梯形APQB ＝12(AP+QB)·PQ=48.7.【解析】选D.由已知得F 1(-c,0),F 2(c,0), 抛物线21x y 2b =，即y 2=2bx 的焦点bF(,0)2， 依题意12FF 3.FF 2= 即b c32,b 2c 2+=-得：5b=2c ⇒25b 2=4c 2,又b 2=c 2-a 2,∴25(c 2-a 2)=4c 2,解得c 21=故双曲线的离心率为c a21=8.【思路点拨】利用抛物线的定义，数形结合求解.【解析】选B.由题意可知，焦点坐标为F(0,1)，准线方程为l :y=-1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义，得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A 四点共线时，|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值， 于是，|MA|+|MF|的最小值为4-(-1)-1=4.9.【解析】抛物线x 2=16y 的焦点为(0,4)，准线方程为y=-4,故圆的圆心为 (0，4)，又圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x 2+(y-4)2=64. 答案:x 2+(y-4)2=64 10.【解析】因为抛物线21y x 16=的标准方程为x 2=16y ，焦点坐标为(0，4)，又因为双曲线22y x 13m-=的上焦点坐标为(，依题意有4=解得m=13.答案:13【误区警示】本题易出现21y x 16=的焦点为(0，164)的错误，原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.11.【解析】由于抛物线C 1的焦点F 也是圆C 2的圆心(1,0), 则A AB AF 1x ,=-=D 2A D CD DF 1x ,p AB CD x x 1,4AB CD AB CD 1.=-=∴===∴==答案:112.【解析】(1)设点P 的坐标为(x,y)，则点Q 的坐标为(x,-2).∵OP ⊥OQ,∴当x=0时，P,O,Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0.当x ≠0时，得k OP ·k OQ =-1,即y 21x x-=-，化简得x 2=2y ， ∴曲线C 的方程为x 2=2y(x ≠0).(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在. 设直线l 2的方程为y=kx+b,由2y kx b,x 2y,=+⎧⎨=⎩得x 2-2kx-2b=0. ∵直线l2与曲线C 相切，∴Δ=4k 2+8b=0，即2k b .2=-点(0，2)到直线l 2的距离221d 2k 1==+2121312k1=≥⨯+=k==即.此时b=-1.∴直线l213.【解析】(1)将(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p〓1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)存在.假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由2y2x t,y4x,=-+⎧⎨=⎩得y2+2y-2t=0.∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ=4+8t≥0,解得1t.2≥-由直线OA与l的距离d==解得t=〒1.∵-1∉[1,2-+∞),1∈[1,2-+∞).∴符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.14.【解析】(1)由题意，设抛物线C1的方程为y2=4ax,抛物线C2的方程为x2=由22y4ax,x a4,y⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪=⎪⎩P(8,∴椭圆C ：22x y 1.162+=抛物线C 1:y 2=16x, 抛物线C 2:x 2(2)由(1)得直线OP∴直线l 的斜率k 2=-， 设直线l:y=2-x+b,由22x y 1,162y b,⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，得 5x 2-2-16=0.∵动直线l 与椭圆C 交于不同的两点， ∴Δ=128b 2-20(8b 2-16)>0.b <<设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),∴x 1+x 2=,5x 1x 2=28b 16.5-()()()()1212221212112212122121212y y (x b)(x b)221b 8x x x x b .225QM x 2,y ,QN x y ,QM QN x xy y 9b 16b 14x x x x 2y y ,5=-+-+-=-++==+=+∴=+++-=+++=10b -<<∴当8b 9=-时，QM QN 取得最小值，其最小值为2981681438()().595959⨯-+⨯--=-关闭Word 文档返回原板块。
抛体运动的规律学习目标: 1．知道平抛运动及其运动轨迹。
2．理解平抛物体运动的性质，理解平抛运动的特点：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。
3．掌握平抛物体运动的规律。
4．会用运动的合成和分解求解平抛运动问题。
学习重点: 平抛物体运动的规律。
学习难点: 平抛物体运动的性质。
主要内容:一、平抛运动1．平抛运动是一种典型的曲线运动，是运动的合成与分解的实际应用。
2．平抛运动的定义：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动。
二、平抛运动的性质：是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动。
(1)因平抛运动只受竖直向下的重力G=mg，故由牛顿第二定律可知，实际加速度就是重力加速度g(方向竖直向下)，因为速度方向与合力G(或加速度g)的方向不在同一直线上(开始运动时初速度方向与加速度方向垂直，以后速度方向与加速度方向的夹角越来越小，但是永远不重合)，所以做曲线运动。
(2)平抛物体的初速度不太大，发生在离地不太高的范围内，地面可以看作是水平面，重力G和重力加速度g是恒量，方向竖直向下，始终垂直于水平面，所以平抛运动是匀变速曲线运动。
(3)可以证明，平抛运动轨迹是抛物线。
(4)平抛运动发生在同一个竖直平面内。
三、平抛运动的常规处理方法平抛运动是比较复杂的曲线运动，利用运动的合成和分解的观点，把它看做是水平方向(沿初速度方向向前)的匀速直线运动与竖直向下方向的自由落体运动的合运动。
把曲线运动转换成两个简单的直线运动，就可以用直线运动的规律来处理，研究起来简单方便。
这是一种重要的思想方法。
四、平抛运动的规律(1)以抛出点O为坐标原点，水平初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立直角坐标系如图所示。
(2)任一时刻t的速度v水平分速度：竖直分速度：实际(合)速度v的大小：方向：平抛运动瞬时速度v的大小和方向都是时刻改变着的。
(3)任一时刻t的位移s水平分位移：竖直分位移：实际(合)位移s的大小：方向：平抛运动相对抛出点的位移s的大小和方向都是时刻改变着的。
定速抛体运动包络线方程定速抛体运动是指在一定初速度和角度下，物体沿抛体轨迹做斜抛运动，而物体的初速度大小和抛射角度保持不变。
定速抛体运动的包络线方程描述了物体轨迹的外形，是研究定速抛体运动的重要数学模型。
定速抛体运动的包络线方程可以通过数学模型和物理原理推导得出。
在推导之前，我们首先回顾一下定速抛体运动的基本特点。
定速抛体运动是在水平面上进行的运动，假设物体质量为m，初速度为v₀，抛射角度为θ。
在水平方向上，由于没有任何外力作用，物体的运动速度保持不变。
而在竖直方向上，物体受到重力的作用，速度逐渐增加，直到达到最大值后再逐渐减小。
物体到达最高点时，速度为零。
根据空中的抛体运动性质，可以得出如下的物理关系：1.水平速度分量vx：由于没有水平方向的加速度，因此vx保持不变，即vx = v₀cosθ。
2.垂直速度分量vy：在竖直方向上，物体受到重力加速度g的作用，由此可以得出vy = v₀sinθ - gt。
3.水平位移x：根据物体水平速度分量的定义，可以得出物体在水平方向上的位移为x = v₀cosθt。
4.垂直位移y：根据物体在垂直方向上的位移，可以得出物体的垂直位移为y = v₀sinθt - 1/2gt²。
根据以上物理关系，可以得出定速抛体运动的包络线方程。
包络线方程描述了物体轨迹的外形，是由将物体在每一时刻的位移方程相加得到的。
我们可以将物体的垂直位移方程y = v₀sinθt - 1/2gt²写成标准形式y = -1/2gt² + v₀sinθt，并整理得到y = -1/2g(t² -2v₀sinθt/g)。
观察方程y = -1/2g(t² - 2v₀sinθt/g)，可以发现其中的t² - 2v₀sinθt/g为一个关于时间t的二次函数。
根据二次函数的性质，我们知道它的抛物线图像的外形是确定的。
而仔细观察发现，这个二次函数的抛物线图像的顶点坐标为(t₀, h)。
