高一数学函数的最大(小)值

3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。

第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义最值 条件几何意义最大值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≤M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≥M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最低点的纵坐标思考 函数f (x )＝x 2＋1≥－1总成立，f (x )的最小值是－1吗？ 答案 f (x )的最小值不是－1，因为f (x )取不到－1. 知识点二 求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 预习小测 自我检验1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．答案 －1 22．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．答案 123．函数y ＝2x 2＋2，x ∈R 的最小值是________． 答案 24．函数y ＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．答案 32一、图象法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示，由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 二、利用函数的单调性求最值例2 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )是增函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3x 1－x 2x 1＋2x 2＋2，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3,5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.反思感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练2 已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2,4])，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是[2,4]上任意两个实数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝61－x 2－61－x 11－x 11－x 2＝6x 1－x 21－x 11－x 2，因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0,1－x 1<0,1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2,4]上是增函数，所以f (x )max ＝f (4)＝1，f (x )min ＝f (2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，x ∈N ，0≤x ≤5，11，x ∈N ，x >5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，x ∈N ，0≤x ≤5，8.2－x ，x ∈N ，x >5.(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数最值分类讨论问题典例 已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最小值． 解 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. (2)当t ≤1<t ＋2，即－1<t ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝－4.(3)当1<t ，即t >1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为增函数，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最小值为g (t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1 D ．以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]， 所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值答案 A4．已知函数f (x )＝2x －3，当x ≥1时，恒有f (x )≥m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．∅答案 B解析 因为f (x )＝2x －3在x ∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝－1，故满足f (x )≥－1. 又因为在x ≥1时，f (x )≥m 恒成立， 所以m ≤－1，故m ∈(－∞，－1]． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图象求最值 答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：(1)最值M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案 A解析 选项B ，C 在[1,4]上均为增函数，选项A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A 正确． 2．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，x ∈N ， 公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________． 答案 f (－2) f (6)解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 7．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________． 答案2714解析 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减， 所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.所以y max ＋y min ＝32＋37＝2714.8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0.9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解 (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．11．若函数f (x )＝k x在区间[2,4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．10 B ．10或20 C ．20 D ．无法确定答案 C解析 当k ＝0时，不满足．当k >0时，y ＝f (x )＝k x在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝k4＝5，∴k ＝20满足条件，k <0时，y ＝f (x )＝kx 在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝k2＝5，∴k ＝10，又∵k <0，∴k ＝10舍去， 综上有k ＝20.12．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k8≤5或k8≥20，所以k ≤40或k ≥160.13．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．答案 {m |1≤m ≤2}解析 y ＝f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，利用图象(图略)得1≤m ≤2.14．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．答案 12解析 令t ＝2x －1，t ≥0，∴x ＝t 2＋12， ∴y ＝t 2＋12＋t ＝12(t 2＋2t ＋1)＝12(t ＋1)2， ∵t ≥0，∴当t ＝0时，y min ＝12.15．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，则F (x )的最值情况是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析 由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3， 所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，0≤x ≤3，x ，x <0或x >3.作出函数F (x )的图象(图略)，可得F (x )无最大值，无最小值．16．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．(1)证明 设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)解 由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。

高一数学最大值最小值公式高一数学中常用的最大值和最小值公式如下：
1. 对于二次函数 y = ax^2 + bx + c：
- 当 a > 0 时，最小值为 c - (b^2 - 4ac) / 4a；
- 当 a < 0 时，最大值为 c - (b^2 - 4ac) / 4a。

2. 对于一次函数 y = kx + b，没有最大值和最小值。

3. 对于三角函数 sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x) 和反函数以及二次函数 A
sin^2(x) + B sin(x) cos(x) + C cos^2(x) 等，没有最大值和最小值，只有极值。

4. 对于直线方程 Ax + By + C = 0：
- 当 A = 0 时，没有斜率，没有最大值和最小值；
- 当 B = 0 时，斜率为无穷大或无穷小，没有最大值和最小值；
- 当A ≠ 0 且B ≠ 0 时，直线的最大值和最小值由条件 AB < 0 决定。

5. 对于绝对值函数 y = |x|，最小值为 0，没有最大值。

这些是高一数学中常用的最大值和最小值公式，但需要注意的是，根据具体题目的条件，可能还会有其他的最大值和最小值公式。

因此，在解题过程中，还需根据题目的要求来确定最大值和最小值。

高一数学复习考点知识讲解课件含参数的函数的最大(小)值考点知识1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题． 一、求含参数的函数的最值例1已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x .求函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值． 解f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝(3x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .①当a >0时，f (x )在[0，a )上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝－a 3.②当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0. ③当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，－a 3上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 3，＋∞上是增函数． 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3.综上所述，当a >0时，f (x )的最小值为－a 3；当a ＝0时，f (x )的最小值为0； 当a <0时，f (x )的最小值为527a 3. 延伸探究当a >0时，求函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x 在[－a ,2a ]上的最值． 解f ′(x )＝(3x ＋a )(x －a )(a >0)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，－a 3上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 上是减函数，在[a ,2a ]上是增函数． 因为f (－a )＝－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3，f (a )＝－a 3，f (2a )＝2a 3.所以f (x )max ＝f (2a )＝2a 3. f (x )min ＝f (－a )＝f (a )＝－a 3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练1已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －a ，求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解f (x )＝13x 3－ax 2，则f ′(x )＝x 2－2ax . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a . 令g (a )＝f (x )max ， ①当2a ≤0，即a ≤0时， f (x )在[0,2]上是增函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (2)＝83－4a .②当2a ≥2，即a ≥1时，f (x )在[0,2]上是减函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (0)＝0. ③当0<2a <2，即0<a <1时，f (x )在 [0,2a ]上是减函数，在(2a ,2]上是增函数， 从而g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，0<a ≤23，0，23<a <1，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，a ≤23，0，a >23.二、由最值求参数的值或范围例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．跟踪训练2已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3]．三、与最值有关的探究性问题例3已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－1x＝x－1x，∴所求切线的斜率为f′(2)＝12，切点为(2,2－ln2)，∴所求切线的方程为y－(2－ln2)＝12(x－2)，即x－2y＋2－2ln2＝0.(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上是增函数，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练3已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，使得f (x )在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由． 解(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3.令f ′(x )＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＝0，解得x ＝0或x ＝a 3.当a ＝0时，f ′(x )＝6x 2≥0恒成立，函数f (x )在R 上是增函数； 当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a 3或x <0，令f ′(x )<0，得0<x <a3， 即函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，令f ′(x )>0，得x >0或x <a 3，令f ′(x )<0，得a3<x <0， 即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．综上所述，当a ＝0时，函数f (x )在R 上是增函数；当a >0时，函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．(2)存在，理由如下：由(1)可得，当a ≤0时，函数f (x )在[0,1]上是增函数． 则最小值为f ()0＝1，不符合题意；当a >0时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数；当a3≥1，即a ≥3时，函数f (x )在[]0，1上是减函数，f (x )的最大值为f ()0＝1，最小值为f ()1＝2－a ＋1＝－1，解得a ＝4，满足题意；当0<a 3<1，即0<a <3时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 3，1上是增函数，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 33－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋1＝－1，化为－a 327＝－2，解得a ＝332>3，不符合题意． 综上可得，a 的值为4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值． (2)由最值求参数的值或取值范围． (3)与最值有关的探究性问题． 2.方法归纳：转化法、分类讨论．3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．1．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′()1＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为() A ．1B ．4C ．－1D ．0 答案B解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2，则f ′(1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f′(x)＝6x2≥0，故f(x)在[1,2]上是增函数，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.2．函数f(x)＝x＋ae x的最大值为()A．a B.()a－1eC．e1－a D．e a－1答案D解析f(x)＝x＋ae x，则f′(x)＝1－x－ae x，所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，在(1－a，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f()1－a＝e a－1.3．已知函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.3－1B.34C.43D.3＋1答案A解析由f(x)＝xx2＋a，得f′(x)＝a－x2 () x2＋a2，当a>1时，若x>a，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若1<x<a，则f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝a时，函数f(x)有最大值12a ＝33，解得a＝34<1，不符合题意．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，最大值为f(1)＝12，不符合题意．当0<a<1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．此时最大值为f(1)＝1a＋1＝33，解得a＝3－1，符合题意．故a的值为3－1.4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2,2]上的最大值为________．答案33解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值3.课时对点练1．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于() A ．2B ．1C.233D ．0 答案A解析∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又f ′(x )＝a cos x ＋cos3x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cosπ＝0，解得a ＝2.2．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于() A ．0B ．1C ．2D.52 答案C解析y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，易知当－1<x <0时，y ′<0，当－2<x <－1或0<x <1时，y ′>0，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(－2，－1)，(0,1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，又当x＝－1时，y＝m＋12，当x＝1时，y＝m＋52，所以最大值为m＋52＝92，解得m＝2.3．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为() A．[1，3] B．[1，＋∞)C．(1，3] D．(1，＋∞)答案A解析∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f(3)＝0，f(1)＝2，∴1≤m≤ 3.4．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为()A．1B．2C．eD.1 e答案D解析∵f′(x)＝1x－a，x>0，∴当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，故函数f (x )单调递增，不存在最大值； 当a >0时，令f ′(x )＝0,得x ＝1a ，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1e .5．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1] 答案A解析f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )>0，解得x >0，令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )min ＝f (0)＝1＋a . 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.6．(多选)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的值可以为() A ．0B.13C.12D ．1 答案BC解析∵f ′(x )＝3x 2－3a ， 且f ′(x )＝0有解，∴a ＝x 2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.7．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．答案－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是增函数，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只考虑x＝a的情况．①若0<a<1，即0<a<1，则当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2a a.(如下表所示)②若a≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增函数，当x ＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，当0<a<1，x＝a时，f(x)有最大值2a a，当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.10．已知函数f(x)＝2e x(x＋1)．(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值． 解(1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值．(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上是减函数，在(－2，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)．∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2，－3<t <－2，2e t (t ＋1)，t ≥－2.11．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，则实数m 的最大值为()A.1e ＋3e －2B.3e ＋e ＋2C ．4D ．e 2－1 答案A解析∵2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0， ∴m ≤2ln x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝()x ＋3()x －1x 2，当1e ≤x <1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当1<x ≤e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∵存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，m ≤2ln x ＋x ＋3x 成立，∴m ≤h (x )max ，∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h ()e ＝2＋e ＋3e ， ∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >h ()e . ∴m ≤1e ＋3e －2.12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，则实数m 的最小值是()A ．－3B ．－32C.32D. 3解析由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x －m ≤0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，即2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，令g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，则g ′(x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π6≤2x ＋π6≤π2，则2≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤4，所以－5≤－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1≤－3，即g ′(x )<0，所以g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，g (x )max ＝g (0)＝3，所以m ≥3，m 的最小值为 3.13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，kx ，x ≤0.若∃x 0∈R 使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，则实数k 的取值范围是()A.(]－∞，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1eC.[)－1，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞解析由题意可得，存在实数x 0≠0，使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，假设x 0>0，则－x 0<0， 所以有－kx 0＝ln x 0， 则k ＝－ln x 0x 0，令h (x )＝－ln x x， 则h ′(x )＝ln x －1x 2，令h ′(x )>0，即ln x >1，解得x >e ， 令h ′(x )<0，即ln x <1，解得0<x <e ，则h (x )在()0，e 上是减函数，在()e ，＋∞上是增函数， 所以h (x )≥h (x )min ＝h ()e ＝－lne e ＝－1e ， 所以k ≥－1e .14．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________． 答案1解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当1a <x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1. 解得a ＝1.15．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(a >1)，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为___________．答案4解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2－3，当a >1时，令f ′(x )＝3ax 2－3＝0，解得x ＝±a a ，±a a∈[－1,1]．①当－1≤x <－a a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；②当－a a <x <a a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a a <x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，且f (－1)≥0即可， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，得a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 3－3·a a ＋1≥0，解得a ≥4，由f (－1)≥0，可得a ≤4，综上可得a ＝4.16．已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解函数f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝e ；③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上是减函数，其最小值为f(e)＝1＋ae≥2，与最小值是32相矛盾．综上所述，a的值为 e.。

单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下：函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ：(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数. 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x )＝1x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？答案 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域.梳理 一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.类型一 求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性.解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图.所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞). 类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数. 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞).设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝x 在它的定义域[0，＋∞)上是增函数.反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结. 跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数.证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2). ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x 在区间[1，＋∞)上是增函数.命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数.证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0. f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )在R 上是增函数. 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数.反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f (x 1)－f (x 2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)－f (x 2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：f (x )在R 上是减函数.证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1， 又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f (－x )＞1.∴对任意实数x ，f (x )恒大于0. 设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减函数. 类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( )A.[18，13) B.(0，13)C.[18，＋∞) D.(－∞，18]∪[13，＋∞)答案 A解析 要使f (x )在R 上是减函数，需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1.解得18≤a ＜13.反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________. 答案 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围. 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23.反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小.跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数， f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23，∴所求a 的取值范围是(23，＋∞).1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]答案 C2.函数y ＝6x 的减区间是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C3.在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A.f (x )＝x 2 B.f (x )＝1xC.f (x )＝|x |D.f (x )＝2x ＋1答案 B4.已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A.函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增 B.函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减 C.函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D.以上的三个结论都不正确 答案 D5.若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( )A.x <1B.x >－1C.－1<x <1D.x <－1或x >1答案 C1.若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减.2.对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较.课时作业一、选择题1.函数y ＝1x －1的单调减区间是( )A.(－∞，1)，(1，＋∞)B.(－∞，1)∪(1，＋∞)C.{x ∈R |x ≠1}D.R答案 A解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当.故选A.2.如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 答案 C解析 因为f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的符号相同，故A ，B ，D 都正确，而C 中应为若x 1<x 2，则f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b ).3.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是( ) A.(－3,0) B.(0,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案 B解析 由已知f (0)＝－1，f (3)＝1， ∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3)， ∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3， ∴－1<f (x )<1的解集为(0,3).4.已知函数f (x )在R 上是增函数，则下列说法正确的是( ) A.y ＝－f (x )在R 上是减函数 B.y ＝1f (x )在R 上是减函数C.y ＝[f (x )]2在R 上是增函数D.y ＝af (x )(a 为实数)在R 上是增函数 答案 A解析 设x 1<x 2，因为函数f (x )在R 上是增函数，故必有f (x 1)<f (x 2). 所以－f (x 1)>－f (x 2)，A 选项一定成立.其余三项不一定成立，如当f (x )＝x 时，B 、C 不成立，当a <0时，D 不成立. 5.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，则有( ) A.f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b ) B.f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b ) C.f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) D.f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) 答案 C解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ， ∵f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )， ∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ).6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上递增， 故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2. 二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________.答案 [0，13]解析 当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13.8.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________. 答案 [1，32)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32.9.函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调减区间是________. 答案 [－1,1]解析 f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2＝(x ＋1－2)2， ∴f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]， ∴f (x )在定义域[－1,1]上单调递减.10.已知一次函数y ＝(k ＋1)x ＋k 在R 上是增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是________. 答案 (－1,0)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，－k k ＋1>0，解得－1<k <0.三、解答题11.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间.解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示：∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1].12.已知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明过程.解 F (x )在(0，＋∞)上为减函数.证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， ∴F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 2)f (x 1).∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且x 1<x 2， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x 1)－f (x 2)<0. 而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 1)>F (x 2). ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数. 13.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围. (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增. (2)解 任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述0<a ≤1. 四、探究与拓展14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________. 答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1，由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15.设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (2)＝1，且x >1时，f (x )>0. (1)求f (12)的值；(2)判断y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明； (3)解不等式f (2x )>f (8x －6)－1.解 (1)对于任意x ，y ∈R 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )， ∴当x ＝y ＝1时，有f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. 当x ＝2，y ＝12时，有f (2×12)＝f (2)＋f (12)，即f (2)＋f (12)＝0，又f (2)＝1，∴f (12)＝－1.(2)y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下： 设0<x 1<x 2，则f (x 1)＋f (x 2x 1)＝f (x 2)，即f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1).因为x 2x 1>1，故f (x 2x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数. (3)由(1)知，f (12)＝－1，∴f (8x －6)－1＝f (8x －6)＋f (12)＝f (12(8x －6))＝f (4x －3)，∴f (2x )>f (4x －3)，∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >4x －3，4x －3>0. 解得解集为{x |34<x <32}.第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.知识点一 函数的最大(小)值思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.梳理一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y ＝f(x)的最小值.知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.答案x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点.梳理一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.类型一借助单调性求最值例1已知函数f(x)＝xx2＋1(x>0)，求函数的最大值和最小值.解设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x21＋1－x2 x22＋1＝x1(x22＋1)－x2(x21＋1)(x21＋1)(x22＋1)＝(x2－x1)(x2x1－1)(x21＋1)(x22＋1).当x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,1]上单调递增；当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减.∴f(x)max＝f(1)＝12，无最小值.反思与感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. 解 设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1 ＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1) ＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2).所以，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是减函数. 因此，函数y ＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 类型二 求二次函数的最值例2 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值；(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值；(3)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值；(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)解 (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上，对称轴x ＝1，∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2).∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(2)∵对称轴x ＝1，①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时， f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3(t ≤0)，t 2＋2t －3(t >0)， φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2t －3(t ≤－1)，－4(－1<t ≤1)，t 2－2t －3(t >1).(3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.∴当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值.(4)作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值；(2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x 轴、竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h (单位：m)与水平距离x (单位：m)之间的函数关系式为h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52].求水流喷出的高度h 的最大值是多少？解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.∴当t ＝1即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值.(2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ，∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数，∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)由函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.对于函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]， 当x ＝1时，函数有最大值h max ＝－12＋2×1＋54＝94. 于是水流喷出的最高高度是94m. 类型三 函数最值的应用例3 已知x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解 方法一 令y ＝x 2－x ＋a ，要使x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需y min ＝4a －14>0，解得a >14. ∴实数a 的取值范围是(14，＋∞). 方法二 x 2－x ＋a >0可化为a >－x 2＋x .要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需a >(－x 2＋x )max ，又(－x 2＋x )max ＝14，∴a >14. ∴实数a 的取值范围是(14， ＋∞). 引申探究把例3中“x ∈(0，＋∞)”改为“x ∈(12，＋∞)”，再求a 的取值范围. 解 f (x )＝－x 2＋x 在(12，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为(－∞，14)， 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(12，＋∞)恒成立， 只需a ≥14，∴a 的取值范围是[14，＋∞). 反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x ∈D ，f (x )>a 恒成立，一般转化为最值问题：f (x )min >a 来解决.任意x ∈D ，f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .跟踪训练3 已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围.解 ∵x >0，∴ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x. 要使a ≤1x 2－1x对任意x ∈(0,1]恒成立， 只需a ≤(1x 2－1x)min . 设t ＝1x，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1. 1x 2－1x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14. 当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0，即x ＝1时，(1x 2－1x)min ＝0， ∴a ≤0.∴a 的取值范围是(－∞，0].1.函数y ＝－x ＋1在区间[12，2]上的最大值是( ) A.－12 B.－1 C.12D.3 答案 C2.函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( ) A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值答案 A3.函数f (x )＝x 2，x ∈[－2,1]的最大值，最小值分别为( )A.4,1B.4,0C.1,0D.以上都不对 答案 B4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1)，则f (x )的最大值，最小值分别为( ) A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对答案 A 5.若不等式－x ＋a ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( ) A.0B.－2C.－52D.－12答案 D1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得.即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a ).2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得. 课时作业一、选择题1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的值域是( ) A.RB.[－1,1]C.{－1,1}D.{－1,0,1}答案 D解析 该函数的函数值只有三个.2.函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间(1,4]上的值域是( )A.[－1，＋∞)B.[0,3]C.(－1,3]D.[－1,3] 答案 D解析 g (x )＝(x －2)2－1，当x ＝2时，g (x )min ＝－1；当x ＝4时，g (x )max ＝3，∴g (x )在(1,4]上的值域为[－1,3].3.下列说法正确的是( )A.若函数f (x )的值域为[a ，b ]，则f (x )min ＝a ，f (x )max ＝bB.若f (x )min ＝a ，f (x )max ＝b ，则函数f (x )的值域为[a ，b ]C.若f (x )min ＝a ，直线y ＝a 不一定与f (x )的图象有交点D.若f (x )min ＝a ，直线y ＝a 一定与f (x )的图象有且仅有一个交点答案 A解析 值域为[a ，b ]，则最小的函数值即f (x )min ＝a ，最大的函数值即f (x )max ＝b ，A 对.f (x )min ＝a ，f (x )max ＝b ，区间[a ，b ]上的某些元素可能不是函数值，因而[a ，b ]不一定是值域，B 错.若f (x )min ＝a ，由定义一定存在x 0使f (x 0)＝a ，即f (x )与直线y ＝a 一定有交点，但不一定唯一，C ，D 都错.4.函数y ＝x ＋2x －1( )A.有最小值12，无最大值 B.有最大值12，无最小值 C.有最小值12，有最大值2 D.无最大值，也无最小值答案 A解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.5.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A.－1B.0C.1D.2答案 C解析 因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，即－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.6.已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( )A.[160，＋∞)B.(－∞，40]C.(－∞，40]∪[160，＋∞)D.(－∞，20]∪[80，＋∞)答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数.二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k 8≤5或k 8≥20，所以k ≤40或k ≥160.二、填空题7.若x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (－∞，－1)解析 由题意得x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立.令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.8.若函数y ＝ax ＋1(a ＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.答案 1解析 ∵a ＞0，∴函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，∵y max ＝3a ＋1＝4，解得a ＝1.9.已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1,3]解析 f (x )的对称轴为x ＝3，当且仅当1<a ≤3时，f (x )min ＝f (a ).10.下列函数：①y ＝x ＋|x |；②y ＝x －|x |；③y ＝x |x |；④y ＝x |x |.其中有最小值的函数有________个. 答案 2解析 y ＝x ＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x <0，2x ，x ≥0，y min ＝0. y ＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x >0，2x ，x ≤0，无最小值. y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，－x 2，x ≤0，无最小值.y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，y min ＝－1. 三、解答题11.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？ 解 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，设两地销售的利润之和为y ，则 y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，15－x ≥0. ∴0≤x ≤15，且x ∈Z .当x ＝－192×(－1)＝9.5时y 值最大， ∵x ∈Z ，∴取x ＝9或10.当x ＝9时，y ＝120，当x ＝10时，y ＝120.综上可知，公司获得的最大利润为120万元.12.求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值.解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1)当a ＜0时，由图①可知，f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(2)当0≤a ≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(3)当1＜a ≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.(4)当a ＞2时，由图④可知，f (x )在[0,2]上为减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.13.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1， 当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调的，故－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －m )2，x ≤0，x ＋1x ＋m ，x >0的最小值为f (0)，则实数m 的取值范围是() A.[－1,2] B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2] 答案 D解析 当x ≤0时，f (x )＝(x －m )2，f (x )min ＝f (0)＝m 2， 所以对称轴x ＝m ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋m ≥2x ·1x ＋m ＝2＋m ， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，所以f (x )min ＝2＋m .因为f (x )的最小值为m 2，所以m 2≤2＋m ，所以0≤m ≤2.15.已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x .(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，求函数F (x )的最大值的表达式g (m ). 解 (1)要使函数f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥0，1－x ≥0，得－1≤x ≤1.故函数f (x )的定义域是{x |－1≤x ≤1}.∵[f (x )]2＝2＋21－x 2，且0≤1－x 2≤1， ∴2≤[f (x )]2≤4，又∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤2，即函数f (x )的值域为[2，2].(2)令f (x )＝t ，则t 2＝2＋21－x 2，则1－x 2＝t 22－1，故F (x )＝m (12t 2－1)＋t ＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]， 令h (t )＝12mt 2＋t －m ， 则函数h (t )的图象的对称轴方程为t ＝－1m. ①当m >0时，－1m<0，函数y ＝h (t )在区间[2，2]上单调递增， ∴g (m )＝h (2)＝m ＋2.②当m ＝0时，h (t )＝t ，g (m )＝2；③当m <0时，－1m >0，若0<－1m ≤2， 即m ≤－22时，函数y ＝h (t )在区间[2，2]上单调递减， ∴g (m )＝h (2)＝2，若2<－1m ≤2，即－22<m ≤－12时， g (m )＝h (－1m )＝－m －12m； 若－1m >2，即－12<m <0时， 函数y ＝h (t )在区间[2，2]上单调递增，∴g (m )＝h (2)＝m ＋2.综上，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2，m >－12，－m －12m ，－22<m ≤－12，2，m ≤－22.。