高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案高一数学（必修1）第一章：函数及其表示基础训练选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A。

⑴、⑵B。

⑵、⑶C。

⑷D。

⑶、⑸2.函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是（）A。

1B。

0或1C。

2D。

1或23.已知集合A={1.2.3.k}，B={4.7.a。

4.a^2+3a}，且a∈N，x∈A，y∈B*，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，则a，k的值分别为（）A。

2，3B。

3，4C。

3，5D。

2，54.已知f(x)={x+2(x≤-1)，x^2(-1<x<2)，2x(x≥2)}，若f(x)=3，则x的值是（）A。

1B。

1或-3C。

1，或±3D。

35.为了得到函数y=f(-2x)的图象，可以把函数y=f(1-2x)的图象适当平移，这个平移是（）A。

沿x轴向右平移1个单位B。

沿x轴向右平移1/2个单位C。

沿x轴向左平移1个单位D。

沿x轴向左平移1/2个单位6.设f(x)={x-2(x≥10)，f[f(x+6)](x<10)}，则f(5)的值为（）A。

10B。

11C。

12D。

13填空题1.设函数f(x)={1/(x-1)(x≥1)，2/x(xa，则实数a的取值范围是（0.1）。

2.函数y=(x-2)/(x^2-4)的定义域是R-{-2.2}。

3.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。

4.函数y=(x-1)/(x-x^2)的定义域是(-∞。

0)∪(1.+∞)。

5.函数f(x)=x+(1/x)的最小值是2.解答题1.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。

解：当x+1≠0时，即x≠-1时，f(x)有意义，所以f(x)的定义域为R-{-1}。

2.求函数y=(x^2+x+1)/(x+1)的值域。

解：y=(x^2+x+1)/(x+1)=x+1+1/(x+1)，当x→±∞时，y→±∞，所以y的值域为R-{-1}。

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

第一章集合与函数概1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a＝2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1＜x2,,因为1＜x1＜x2,所以x1－1＞0,x2－1＞0,x2－x1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，.6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].。

（数学1必修）函数及其表示一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,54．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32C ．1，32或 D5．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移12个单位6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题1．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 。

2．函数422--=x x y 的定义域 。

3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 。

函数的概念、定义域、值域练习题班级：高一（3）班 姓名： 得分：一、选择题（4分×9=36分）1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f (x )→y ＝12xB ．f (x )→y ＝13xC ．f (x )→y ＝23x D ．f (x )→y ＝x2．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( )A ．[－1，1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．[0，1]D ．{－1，1}3．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( )A ．[－1，3]B ．[0，3]C ．[－3，3]D ．[－4,4]4．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[2，8]D ．[3，9]5．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上6．函数f (x )＝1ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ∈R }B ．{a |0≤a ≤34}C ．{a |a ＞34}D ．{a |0≤a ＜34}7．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年．A ．4B ．5C ．6D ．78．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．15B ．1C ．3D ．30 9．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．{1，3，5}D ．R二、填空题（4分）10．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________．（5分）11．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域是(用区间表示)________． 三、解答题（5分×3=15分）12．求下列函数的定义域．(1)y ＝x ＋1x 2－4； (2)y ＝1|x |－2；(3)y ＝x 2＋x ＋1＋(x －1)0.（10分×2=20分）13．(1)已知f (x )＝2x －3，x ∈{0，1，2，3}，求f (x )的值域．(2)已知f (x )＝3x ＋4的值域为{y |－2≤y ≤4}，求此函数的定义域．（10分×2=20分）14．（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域；（2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；1.2.1 函数的概念答案一、选择题1．[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C. 2．[答案] D[解析] 使函数y ＝1－x 2＋x 2－1有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0x 2－1≥0，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 3．[答案] C[解析] ∵－2≤x 2－1≤2，∴－1≤x 2≤3，即x 2≤3，∴－3≤x ≤ 3.4．[答案] C[解析] 由于y ＝f (3x －1)的定义域为[1,3]，∴3x －1∈[2,8]，∴y ＝f (x )的定义域为[2,8]。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象， 于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D【解析】奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确． 【变式2】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--， 又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--，∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∴33(2)8, 0(2)(2)8, 0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩，30(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或30(2)80x x <⎧⎨--->⎩． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac a-=->-，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C ．22D ．32【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴22m M =．故选C 项． 举一反三：【变式1】函数221x y x =+（x ∈R ）的值域是________．【答案】[0，1） 【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221x y x =+，得21y x y=-，∴01y y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）．例6．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】 直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【答案】 514a <<【解析】 如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．类型三：函数的零点问题例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定 【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0f f -⋅<，也有可能(1)(1)0f f -⋅>．【总结升华】若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -⋅<．举一反三：【变式1】若函数2()f x x ax b =++的零点是2和4-，则a = ，b = ． 【答案】2,8a b ==-【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是 ． 【答案】10,2-类型四：函数性质的综合应用 例8. 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+=12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 类型五：函数的实际应用例9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定资本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价能获得最大利润? 【答案】11.5 1490【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：(1)已知固定成本200元／天，水进价5元／桶；(2)用表格体现出了售价与日销售量的关系；(3)解决利润最大问题．解决本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销售量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题． 【解析】 设每桶水在原来的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到：价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为：480-40(x -1)＝520-40x ＞0，所以0＜x ＜13，则利润：213(52040)2004014902y x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭．(0＜x ＜13)故当x ＝6.5时，利润最大，即当水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．【总结升华】列表法是给出函数关系的一个重要形式，通过“利润＝收入－支出”这一实际意义建立变量之间的关系．运用二次函数模型，常解决一些最大（小）值问题，对生产生活等问题进行优化．举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值． 【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+ 800016500500()n c n c n n=++=++ 24000c =++，=，即n=4时，y取得最小值且y min=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。

高一数学（必修1）第一章（中）函数及其表示[基础训练]一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵B ．⑵、⑶C ．⑷D ．⑶、⑸2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,54．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32 C ．1，32或 D5．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移12个单位6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题1．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 。

2．函数422--=x x y 的定义域 。

3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固【巩固练习】1.已知函数()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有（ ）。

A. ()()()()f a f b f a f b +>-+-B. ()()()()f a f b f a f b +>---C. ()()()()f a f a f b f b +->+-D. ()()()()f a f a f b f b +->--2.若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）。

A.1a < B. 1a > C. 1a ≤ D. 1a ≥3．函数2()23f x x ax =--在区间[]1,2上是单调函数的条件是（ ）。

A.(],1a ∈-∞B.[)2,a ∈+∞C.[]1,2a ∈D. (][),12,a ∈-∞+∞4.函数y = ）A.(][),01,-∞+∞ B .[]0,1 Ｃ. (]0,1 Ｄ. ()[),01,-∞+∞5.函数|35|y x =-的单调递减区间是（ ） A.()0,+∞ B. (),0-∞ C. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A. ()()f x f x ⋅-是奇函数 B. ()|()|f x f x ⋅-是奇函数 C. ()()f x f x --是偶函数 D. ()()f x f x +-是偶函数7. 已知函数1, 0()1, 0x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）A．{|11}x x -≤≤ B ．{x|x ≤1}C．{|1}x x ≤D．{|11}x x ≤≤8.实数,x y 满足224x y +=，则283x y ++的最大值是（ ） A ．23 B ．21 C ．19 D ． 17．9.设[]2,3x ∈-，则函数2241y x x =--的值域是 .10. 设()f x 是定义在R 上的函数且(2)()f x f x +=,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为 .11．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是______________.12.关于函数22()21,f x x ax a x R =-++∈，有下列四个结论： ①当0a >时，函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增； ②当0a >时，函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减； ③对于任意x R ∈，必有()1f x ≥成立；④对于任意x R ∈，必有()(2)f x f a x =-成立． 其中正确的论断序号是 ．（将全部正确结论的序号都填上）13. 已知函数f(x)=-x 2+2ax-a 2+1(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 取值范围；(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．14. 已知实数1[,1]3a ∈，将函数f(x)=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a 的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的表达式；(2)判断函数g(a)在区间1[,1]3上的单调性，并求出g(a)的最小值．15．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >．（1）求(1)f ； （2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f ．【答案与解析】1. 【答案】A【解析】因为a b >-、b a >-，所以()()f a f b >-、()()f b f a >-，即()()()()f a f b f a f b +>-+-。

高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是①与；②与；③与；④与。

A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】C【解析】①中两函数定义域相同，值域不同，分别为；②中两函数定义域不同，分别为；③、④中两函数定义域、值域都相同。

【考点】函数的概念，即函数的三要素：定义域、对应法则、值域。

2.设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为分段函数在求值时，不同范围内的自变量对应不同的函数，所以在编写函数求值的算法程序需运用条件语句，故本题选C.【考点】基本算法语句中的条件语句的理解.3.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.（1）求f(x)的解析式；（2）在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，求实数m的取值范围【答案】（1）f(x)=x2-x+1，（2）【解析】（1）求二次函数解析式，一般方法为待定系数法.二次函数解析式有三种设法，本题设一般式f(x)=ax2+bx+1，再利用等式恒成立，求出项的系数.由a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x得2ax+a+b=2x，所以.（2）恒成立问题一般转化为最值问题.先构造不等式，再变量分离，这样就转化为求函数的最小值问题.试题解析：（1）设f(x)=ax2+bx+1a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x2ax+a+b=2xf(x)=x2-x+1（2）考点:二次函数解析式，二次函数最值，不等式恒成立4.已知函数，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】表示当自变量时对应的函数值；根据分段函数的定义,当时,；因为 , 所以.故选D【考点】1、函数的概念；2、分段函数.5.下列函数中，与函数有相同图象的一个是A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A中函数的定义域为,定义域不相同,故选项A错;选项B中函数可化为,故B正确;选项C中函数的定义域为,故选项C错;选项D中函数的定义域为,故选项D 错.所以正确答案为B.【考点】函数相等.6.设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（）A．（4，2）B．（1，3）C．（6,2）D．（3,1）【答案】D【解析】集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为，所以，解得，所以集合中的元素为故选D．【考点】本题主要考查了映射的定义．7.下列四组函数，表示同一函数的是( )A．,B．C．D．【答案】D【解析】 A选项两个函数的定义域相同，但至于分别是[0,+∞)和R,所以排除A.B选项的定义域分别为x≠0和x>0,所以排除B.C选项中的定义域分别为R和x≠0，所以排除C.D选项的两函数化简后都是y=x,所以选D.【考点】 1.常见函数的定义域，值域问题.2.同一函数的判定方法.8.下列4对函数中表示同一函数的是( )A．，=B．，=C．=，D．，=【答案】B【解析】A．与=定义域不同；B．与=定义域、值域、对应法则完全相同，所以是同一函数；C．=与的定义域不同；D．与=的值域不同。

第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]写出函数的定义域及函数值（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。

.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]C、(1,5]D、[1,5)【正确答案】A【答案解析】由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。

高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即A不正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为或，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即B不正确；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即C不正确；对于D，函数的定义域和值域均为，函数的定义域和值域也均为，两者的定义域和值域均相同，所以是同一函数，即D正确.【考点】相等函数的概念.2.已知,则（指出范围）.【答案】.【解析】令，，即，由已知得方程：，化简整理得，，.所以，.【考点】函数的解析式求法；换元法.3.下列各组函数的图象相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象相同即是同一个函数A、定义域不相同，B、对应关系不同，C、定义域不相同，中，x不能为零;两函数相同条件是定义域相同，对应关系相同，值域相同三者有一不满足就不是同一函数,但函数定义域相同，对应关系相同值域就相同．故判断同一函数，只判断定义域，对应关系即可【考点】两函数相等4.，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查函数解析式.由，故选D.【考点】函数解析式，诱导公式.5.设则f(2 016)＝()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】.【考点】求分段函数函数值.6.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】表示同一函数必须具备两个条件：一是定义域相同，二是对应法则相同.对于A，的定义域为，而的定义域为，不符合；对于B，的定义域为，对于的定义域为，不符合；对于C，函数与函数的定义域都为，但当时，与的对应法则不相同，也不符合；对于D，函数与函数的定义域都为，且，两个函数的对应法则也相同，故相同函数的是答案D.【考点】1.函数的概念；2.对数的恒等式.7.下列函数中，与函数相同的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】函数相同的两个条件：定义域相同，对应法则相同.原函数的定义域为，所以，故选D.【考点】函数的概念.8.下列函数中,与函数相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由函数，那么对于A，由于对应关系不一样，定义域相同不是同一函数，对于B,由于，对应关系式不同，不成立，对于C，由于定义域相同，对应法则不同，不是同一函数，排除法选D.【考点】本题考查同一个函数的概念.9.下列函数中，与函数有相同图象的一个是A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A中函数的定义域为,定义域不相同,故选项A错;选项B中函数可化为,故B正确;选项C中函数的定义域为,故选项C错;选项D中函数的定义域为,故选项D 错.所以正确答案为B.【考点】函数相等.10.已知函数的值域是，则的值域是A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得,令,则,此时,两个函数的定义域相同,且它们的对应关系均为,所以两个函数的值域相同,故正确答案为A.【考点】函数的定义.11.设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（）A．（4，2）B．（1，3）C．（6,2）D．（3,1）【答案】D【解析】集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为，所以，解得，所以集合中的元素为故选D．【考点】本题主要考查了映射的定义．12.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的定义可知，两个函数要为同一函数则其三要素必须相同。

第一章 集合与概念函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示方法测试题知识点：函数的概念1、下列式子中不能表示函数()y f x =的是 ( ) A. 2x y =B. 1y x =+~C. 0y x +=D. 2y x =2、若函数()y f x =的定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠,值域为{|12,0}y y y -≤≤≠,则()y f x =的图象可能是 ( )3、设集合{{|02},|02}M x x N y y =≤≤=≤≤,下面的四个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.①②③④B.①②③C.②③D.②4、函数()y f x =定义在区间[-2,3]上,则()y f x =的图象与直线x a =的交点个数为 .}5、已知函数2()1(0)f x ax a =-≠,且((1))1f f =-,则a 的取值为 . 知识点：函数的定义域和值域6、下列函数中,与函数y =( )A. ()f x =B. 1()f x x=C. ()||f x x =D. y =7、函数y = ( ) A. {|1}x x ≤B. {|0}x x ≥C. {|1,x x ≥或0}x ≤D. {|01}x x ≤≤】8、函数21()()1f x x R x =∈+的值域是 ( )A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)9、函数22y x x =-的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 .10、若函数12y x =-的定义域是A,函数y =B,则A ∩B= . 知识点：函数相等11、下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )A. 211x y x -=-与1y x =+B. y =1y x=C. 1y =与1y x =-D. y x =与y）知识点：函数的表示法12、已知()f x 是反比例函数,且(3)1f -=-,则()f x 的解析式为 ( )A. 3()f x x=-B. 3()f x x=C. ()3f x x =D. ()3f x x =-13、已知(1)26g x x -=+,则(3)g = .14、若()f x 是一次函数, (())41f f x x =-,则()f x = .15、如图,函数()f x 的图象是曲线OAB,其中点O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则1()(3)f f 的值等于 .{16、作出下列函数的图象: (1) 1,y x x Z =-∈. (2) 243,[1,3]y x x x =-+∈. 知识点：分段函数及映射17、设集合A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是( ) A. 2:(1)f x x →- B. 2:(23)f x x →- C. :21f x x →-D. :23f x x →-18、集合A 的元素按对应关系“先乘12再减1”和集合B 中的元素对应,在这种对应所成的映射:f A B →,若集合B ={1,2,3,4,5},那么集合A 不可能是 ( )、A.{4,6,8}B.{4,6}C.{2,4,6,8}D.{10}19、已知2,0,()(1),0,x xf xf x x>⎧=⎨+≤⎩则44()()33f f+-等于( )B.420、已知函数()f x的图象是两条线段(如图,不含端点),则1(())3f f= ( )A.13- B.13C.23- D.2321、函数2,010,()4,1015,5,1520,xf x xx<<⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩则函数的值域是.?22、已知集合{,},{,}A a bB c d==,则从A到B的不同映射有个.【参考答案】1A.解：从函数的概念来看,一个自变量x对应一个y;而A中2x y=中一个x对应两个y.所以A不是函数.2￥B.A中y取不到2,C中不是函数关系,D中x取不到0.3 C.由函数的定义,对集合M中的任意一个元素,在集合N中都有唯一的元素与之对应,而①中对于集合M中满足1<x≤2的元素,在集合N中没有元素与之对应,故不表示集合M到集合N的函数关系;对于④集合M中的元素在N中有两个元素与之对应.故排除①④.4 0或1解：当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a∉[-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点." 51解：因为f(x)=ax2-1,所以f(1)=a-1,f(f(1))=f(a-1)=a(a-1)2-1=-1,所以a(a-1)2=0,又因为a≠0,所以a-1=0,所以a=1.6B.解：因为函数y=的定义域是{x|x≠0},所以A,C,D都不对.）7D.解：要使函数有意义,需解得0≤x≤1.8C.解：因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以0<≤1,所以值域为(0,1].9 {-1,0,3}$解：当x=0时,y=0;当x=1时,y=-1;当x=2时,y=0;当x=3时,y=3.故函数的值域为{-1,0,3}.10 [0,2)∪(2,+∞)解：由题意知A={x|x≠2},B={y|y≥0}, 则A∩B=[0,2)∪(2,+∞).11 D.解：对于选项A:函数y=的定义域不包含1,而y=x+1的定义域是R,显然不是同一个函数./对于选项B:函数y=x的定义域为x≥0,而函数y=的定义域是{x|x≠0},显然不是同一个函数.对于选项C:函数y=2x-1的值域是大于等于-1的,而直线y=x-1的值域是R,显然不是同一个函数.对于选项D:因为y=x与y=33x的最简解析式相等,且定义域都为R,所以为同一个函数.12B.解：设f(x)=(k≠0),由f(-3)=-1得=-1,所以k=3.所以f(x)=.1314、解：因为g(x-1)=2x+6,令x-1=t,则x=t+1,所以g(t)=2(t+1)+6=2t+8,即g(x)=2x+8, 所以g(3)=2×3+8=14.14 2x-或-2x+1解：设f(x)=kx+b,则f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1. 所以解得或(所以f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.15 2解：因为f(3)=1,所以=1, 所以f=f(1)=2.16 解：(1)因为x∈Z,所以图象为一条直线上的孤立点,如图(1)所示.(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1,3时,y=0;￥当x=2时,y=-1,其图象如图(2)所示.17 A.解：观察集合A与B中的元素,可知集合A中元素减1后的平方对应集合B中的元素.故选项A构成从A到B的映射.18 C.解：选设x∈A,则f(x)=x-1,由f(x)=1得x=4,由f(x)=2,得x=6.由f(x)=3得x=8;由f(x)=4得x=10;由f(x)=5得x=12,据此可知,x≠2,故应选C.% 19B.解：选f=2×=,f=f=f=f =f=,故f+f=4.20B.解：选由图象知,f(x)=所以f=-1=-,所以f(f)=f=-+1=.21 {2,4,5}解：因为f(x)=所以函数的值域是{2,4,5}.422解：a→c,b→c;a→d,b→d;a→c,b→d;a→d,b→c,共4个.。

函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意x 都有 f(－ x)=－ f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 f(－ x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。

如果函数 f(x) 不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：1○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2x，则－ x 也○ 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定 f(－ x)与 f( x)的关系；○3作出相应结论：若f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数；若f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0 ，则 f(x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；②设 f (x) ， g( x) 的定义域分别是D1, D2，那么在它们的公共定义域上：奇 +奇 =奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2．单调性（ 1）定义：一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x1 )<f(x2)（ f(x1)> f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；1○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x1， x2；当 x1<x2时，总有 f(x1)< f(x2)2（ 2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b 2－4a ≥0；（3）b 2=4a 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<< （2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】（1）D （2）A【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22214(40)b ac x x b ac --=->，2()f x x bx c =++的最大值是224444ac b b aca a --=-．依题意，当s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍240,4b ac a ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有224404b ac b aca--=>-，4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则2210x x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例4．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围． 【答案】（1）右图；（2）1(,2)[,)2-∞-+∞． 【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.【答案】1316-（,0） 【解析】由定义运算“*”可知 2222112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是13-（,0）. 【变式2】设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+> 【答案】B【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B. 例5． 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a ≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．（2）（－∞，16]．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】（1）2 ()(),00,-∞+∞；（2）单调递增 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+ =12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 【变式2】函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x在上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误例6．请先阅读下列材料，然后回答问题． 对于问题“已知函数21()32f x x x=+-，问函数()f x 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：解：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4，当x=1时，u 有最大值，u max =4，显然u 没有最小值．∴当x=1时，()f x 有最小值14，没有最大值． （1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； （2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，试研究其最值情况． 【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值．【解析】（1）不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4≤4，当0＜u ≤4时，114u ≥，即1()4f x ≥；当u ＜0时，10u<，即()0f x <． ∴()0f x <或1()4f x ≥，即()f x 既无最大值，也无最小值．（2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，令u=ax2+bx+c （a ＞0）． ①当Δ＞0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=<，当2404ac b u a -≤<时，2144a u ac b ≤-，即24()4af x ac b≤-；当u ＞0时，即()0f x >． ∴()0f x >或24()4af x ac b ≤-，即()f x 既无最大值，也无最小值．②当Δ=0时，u 有最小值，2min 404ac b u a-==，此时，u ≥0，∴＜10u>，即()0f x >，()f x 既无最大值，也无最小值． ③当Δ＜0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=>，即2404ac b u a-≥>． ∴21404a u ac b <≤-，即240()4af x ac b <≤-． ∴当2b x a =-时，()f x 有最大值244aac b-，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值． 当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值． 【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C D 【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴2m M =．故选C 项． （2）设2, ||1(), ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 的值域是（ ）A ．（－∞，－1]∪[1，+∞）B ．（－∞，－1]∪[0，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞） 【答案】C【解析】要使[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又()g x 是二次函数，定义域连续，故()g x 不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C 项． 【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．类型三：函数的零点问题例7．若函数2()4f x x kx =-+在区间（1，6）内有零点，求k 的取值范围． 【答案】204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】 二次函数在区间（1x ，2x ）上有零点，分以下四种情况：【解析】（1）(1)(6)0f f ⋅<，解得2053k <<，如图1 （2）0(1)0(6)0162f f k ∆>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得45k <<，如图2（3）0162k∆=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得4k =，如图3 （4）(1)07122f k =⎧⎪⎨<<⎪⎩或(6)07622f k=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得5k =，如图4或5 综上所述k 的取值范围是204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【总结升华】二次函数2()f x ax bx c =++（不妨设0a >）在有限的开区间12(,)x x 内有零点的条件是：（1）12()()0f x f x ⋅<（2）12120()0()02f x f x b x x a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩（3）1202b x x a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩（4）1121()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩或2122()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩ 举一反三：【变式1】试讨论函数2()2||1()f x x x a a R =---∈的零点个数． 【解析】由2()2||10f x x x a =---=得22||1x x a -=+，令222,0,()()12,0,x x x g x h x a x x x ⎧-≥⎪==+⎨+<⎪⎩ (),()g x h x 的图象如图所示，(2)(0)(2)0,(1)(1)1g g g g g -===-==-．当11,a +<-即2a <-时，()g x 与()h x 无公共点．当11a +=-或10a +>，即2a =-或1a >-时，()g x 与()h x 有两个交点． 当110,a -<+<即21a -<<-时，()g x 与()h x 有四个交点． 当10a +=，即1a =-时，()g x 与()h x 有三个交点． 所以，当2a <-时，函数()f x 无零点． 当2a =-或1a >-时，函数()f x 有两个零点． 当21a -<<-时，函数()f x 有四个零点． 当1a =-时，函数()f x 有三个零点．【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．类型四：函数的综合问题例8．（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a 的值； （2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[－1，1]，求函数()f x 的最小值．【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a ＞0，a ＜0三种情况分析； 第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定． 【答案】（1）－3或38；（2）略 【解析】（1）2()(1)1f x a x a =++-．①当a=0时，函数()f x 在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；②当a＞0时，函数()f x在区间[－1，2]上是增函数，最大值为(2)814f a=+=，38a=；③当a＜0时，函数()f x在区间[―1，2]上是减函数，最大值为(1)14f a-=-=，a=―3．综上，a的值为－3或38．（2）222()22()2f x x ax x a a=-+=-+-，对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a≥1时，函数()f x在区间[―1，1]上是减函数，最小值为(1)32f a=-；当―1＜a＜1时，函数()f x在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为2()2f a a=-；当a≤―1时，函数()f x在区间[―1，1]上是增函数，最小值为(1)32f a-=+．【总结升华】求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．举一反三：【变式1】设函数2()22f x x x=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数()f x的最小值．【答案】2222,1()1,011,0t t tf x tt t⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【解析】二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．22()22(1)1f x x x x=-+=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数()f x在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为2(1)1f t t +=+；当1≤t+1≤2，即0≤t ≤1时，如上图②，最小值为(1)1f =；当t ＞1时，如上图③，函数()f x 在区间[t ，t+1]上为增函数，所以最小值为2()22f t t t =-+．综上有2222,1()1,011,0t t t f x t t t ⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．例9．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值；（3）设函数()()h x f x =，x ∈（a ，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．【答案】（1）（―∞，－1]；（2）222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；（3）略．【解析】（1）因为(0)||1f a a =--≥，所以－a ＞0，即a ＜0． 由a 2≥1知a ≤―1．因此a 的取值范围为（―∞，－1]． （2）记()f x 的最小值为()g a ，我们有2222223(), ()2()||33()2, a a x x a f x x x a x a x a a x a ⎧-+>⎪=+--=⎨⎪+-≤⎩①② （i ）当a ≥0时，2()2f a a -=-，由①②知2()2f x a ≥-，此时2()2g a a =-．（ii ）当a ＜0时，22()33af a =．若x ＞a ，则由①知22()3f x a ≥；若x ≤a ，则x+a ≤2a ＜0，由②知222()23f x a a ≥>．此时22()3g a a =．综上得222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩．（3）（i）当2(,[,)22a ∈-∞-+∞时，解集为（a ，+∞）； （ii ）当22a ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭时，解集为3a ⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭； （iii ）当2a⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，解集为3,33a a a ⎛⎡⎫+-+∞ ⎪⎢⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 类型五：函数的实际应用【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】例10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度x 与车流速度v 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：映射的概念例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个考点2：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

11．已知R 是实数集，21xx ⎧⎫M =<⎨⎬⎩⎭，{y y N ==，则RN M =（ ）A ．()1,2B ．[]0,2C ．∅D ．[]1,22已知集合A=｛x |01<--ax ax ｝，且A 3A 2∉∈，，则实数a 的取值范围是 ____3．函数f （x ）=x 2﹣4x ﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]，则m 的取值范围是（ ）A ．[0，4]B ．[2，4]C ．[2，6]D ．[4，6] 4．设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（ ）A. ∪(1，＋∞)B. [0，＋∞)C.D. ∪(2，＋∞)5．定义在),0(+∞上的函数满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有.则满足＜的x 取值范围是( )6．已知上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. B.C.D.7．函数在（－1，＋∞）上单调递增，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）＝{2x 1x 01x 0+≥，，则满足不等式f （1－x 2）>f （2x ）的x 的取值范围是________. 9．若函数y ＝2ax 1zx 2ax 3++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 10．已知函数f （x ）＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a]，并且f （x ）的最小值为f （a ），则实数a 的取值区间是________．11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②24b ac =；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）()f x 2121()(()())0x x f x f x -->(21)f x -1()3f 25---=a x x y a 3-=a 3<a 3-≥a 3-≤a12．已知1x f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则(1)f -= ． 13．已知()221f x ax ax =++在[]2,3-上的最大值为6，则()f x 的最小值为_________．14已知[]1,0∈x ，则函数x x y --=12的值域是____15．已知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ）16．已知函数222f xmx m mx 为偶函数，求实数m 的值= .17．若函数f （x ）＝（2k －3）x 2＋（k －2）x ＋3是偶函数，则f （x ）的递增区间是____________． 18．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22xf x x =-，则()(0)1f f +-＝ ．19． 函数()f x 是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A ．)1()0()2(f f f >>- B ．)0()1()2(f f f >->- C ．)2()0()1(->>f f f D ．)0()2()1(f f f >->20．已知函数()f x 是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ） A.1[1,)2- B. 1，2 C. (,0)-∞ D.(,1)-∞21．（5分）（2011•湖北）若定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足f （x ）+g（x ）=e x，则g （x ）=（ ）A.e x﹣e ﹣xB.（e x+e ﹣x） C.（e ﹣x﹣e x） D.（e x﹣e ﹣x）22．已知函数1()f x x x=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数()f x 在区间[1,+∞）上为增函数； （3）若函数()f x 在区间[2,]a 上的最大值与最小值之和不小于1122a a-，求a 的取值范围.123．已知c bx x x f ++=22)(，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(， （1）求)(x f 的解析式；（2）若对于任意]1,1[-∈x ，不等式2)(≤+t x f 恒成立，求t 的取值范围．24．已知函数()x f 为定义域为R ，对任意实数y x ,，均有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(>x f（1）证明)(x f 在R 上是增函数（2）判断)(x f 奇偶性，并证明（3）若2)1(-=-f 求不等式4)4(2<-+a a f 的解集25．函数2()21f x x ax =-+在闭区间[]1,1-上的最小值记为()g a ．（1）求()g a 的解析式； （2）求()g a 的最大值．26．已知函数22()1x f x ax x =++为偶函数. （1）求a 的值；1（2）用定义法证明函数()f x 在区间[0,)+∞上是增函数； （3）解关于x 的不等式(21)(1)f x f x -<+．参考答案1．D 【解析】试题分析：因0|{<=x x M 或}1|{},2≥=>x x N x ,故}20|{≤≤=x x M C R ，}21|{≤≤=x x M C N R ,故应选D.考点：集合的交集补集运算． 2．B 【解析】试题分析：函数()f x 是R 上的偶函数,所以()()22f f -=, ()()11f f -=,因为函数()f x 是[)0,+∞上增函数,则()()()210f f f >>,即()()()210f f f ->->．故B 正确． 考点：1函数的奇偶性;2函数的单调性． 3．A 【解析】试题分析：根据题意知,函数在[)0,2-上单调递增,在[]2,0上单调递减.首先满足⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-22212m m ,可得21≤≤-m .根据函数是偶函数可知:)()(m f m f -=,所以分两种情况:当20≤≤m 时,根据不等式(1)()f m f m -<成立,有12-21m m m m <-≤≤-<-或,解得102m ≤<;当20m -≤<时,根据不等式(1)()f m f m -<成立,有12 -21m m m m -<-≤≤-<或,解得10m -≤<;综上可得112m -≤<. 考点：偶函数性质. 4．D 【解析】试题分析：根据已知中定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）=e x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f （x ）、g （x ）的另一个方程：f （﹣x ）+g （﹣x ）=e ﹣x，解方程组即可得到g （x ）的解析式． 解：∵f （x ）为定义在R 上的偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）又∵g （x ）为定义在R 上的奇函数1g （﹣x ）=﹣g （x ） 由f （x ）+g （x ）=e x，∴f （﹣x ）+g （﹣x ）=f （x ）﹣g （x ）=e ﹣x， ∴g （x ）=（e x﹣e ﹣x） 故选D点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f （x ）、g （x ）的另一个方程：f （﹣x ）+g （﹣x ）=e ﹣x，是解答本题的关键． 5．B【解析】函数f （x ）=x 2﹣4x ﹣6的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线 故f （0）=f （4）=﹣6，f （2）=﹣10∵函数f （x ）=x 2﹣4x ﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]， 故2≤m≤4即m 的取值范围是[2，4] 故选B 6．B 【解析】试题分析：由题意，如下图：设1122(,),(,)A x yB x y ，联立21y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得2210x bx +-=，则221212||(1)[()4]AB k x x x x =++- 25(8)b +=，O点到直线AB 的距离5d =，∴225(8)1||8()25b b b S f b ++==⋅⋅=. ∵()()f b f b -=，∴()f b 为偶函数.当0x >时，28()4b b f b ⋅+=，易知()f b 单调递增.故选B.考点：1.函数奇偶性；2.三角形面积应用. 7．A 【解析】 试题分析：因为2121()(()())0x x f x f x -->，所以函数()f x 在),0(+∞上单调增. 由(21)f x -＜1()3f 得：.3221,31120<<<-<x x考点：利用函数单调性解不等式 8．C 【解析】,,所以,所以,选C.9．D【解析】令x<g(x)，即x 2－x －2>0， 解得x<－1或x>2.令x ≥g(x)，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. 故函数f(x)＝当x ＜－1或x ＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2； 当－1≤x ≤2时，函数≤f(x )≤f(－1)，即≤f(x )≤0.1故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.10．B 【解析】 作出函数在区间上的图象，以及的图象，由图象可知当直线在阴影部分区域时，条件恒成立，如图，点,,所以，即实数a 的取值范围是，选B.11．B 【解析】试题分析：由2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，得a a 31-=-，解得：41=a ．再由()()x f x f =-，得()bx ax bx x a +=--22，即0=bx ，∴0=b ．则41041=+=+b a ．故选：B ．考点：函数的奇偶性. 12．D 【解析】试题分析：由于函数52x y x a -=--在()1,-+∞上单调递增,可得当1x >-时,()()()()22253'022x a x a y x a x a -----==≥----,可得3021a a -≥⎧⎨+≤-⎩,解得3a ≤-,故选D. 考点：1、反比例函数的图象与性质；2、利用导数研究函数的单调性. 13．()12,1-- 【解析】试题分析：由题意可得()x f 在[)+∞,0上是增函数，而0<x 时，()1=x f ，故满足不等式()()x f x f 212>-的x 需满足⎪⎩⎪⎨⎧>->-012122x xx ，即⎩⎨⎧<<-+-<<--112121x x ，解得()12,1--∈x ，故答案为()12,1--．考点：不等式的解法.【方法点睛】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力，属于基础题．由题意可得 ()x f 在[)+∞,0上是增函数，而0<x 时，()1=x f ，故21x -必需在0=x 的右侧，故满足不等式()()x f x f 212>-的x 需满足⎪⎩⎪⎨⎧>->-012122x xx ，由此解出x 即可，借助于分段函数的图象会变的更加直观. 14．[)3,0 【解析】试题分析：因为函数3212+++=ax ax ax y 的定义域为R ，所以0322≠++ax ax 恒成立．若0=a ，则不等式等价为03≠，所以此时成立．若0≠a ，要使0322≠++ax ax 恒成立，则有0<∆，即03442<⨯-=∆a a ，解得30<<a ．综上30<≤a ，即实数a 的取值范围是[)3,0．故答案为：[)3,0．考点：函数的定义域及其求法. 15．0或2- 【解析】试题分析：当0=m 时，()2=x f 为偶函数，满足题意；当0≠m 时，由于函数()()222+++=mx m mx x f 为偶函数，故对称轴为022=+-=mm x ，即2-=m ，故答案为0或2-.考点：函数的奇偶性.【方法点晴】本题考查函数奇偶性的应用．若已知一个函数为偶函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x 都有()()x f x f =-成立．其图象关于轴对称．()()222+++=mx m mx x f 是偶函数,对于二次项系数中含有参数的一元二次函数一定要分为二次项系数为0和二次项系数不为0两种情况，图象关于y 轴对称⇒对称轴为y 轴⇒实数m 的值．16．(]31，【解析】试题分析：函数()()[]a x x x x x f ,1,138622∈--=+-=，并且函数()x f 的最小值为()a f ，又∵函数()x f 在区间(]31，上单调递减，∴31≤<a ，故答案为：(]31，．考点：（1）二次函数的性质；（2）函数的最值及其几何意义. 17．①④ 【解析】试题分析：由图象知0a >，0c <，=12ba-，即20a b +=，所以0b <，所以0abc >，故①正确；因为二次函数图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ∆=->，即24b ac >，故②错；因为原点O 与对称轴的对应点为(20)，，所以2x =时，0y <，即420a b c ++<，故③错；因为当1x =-时，0y >，所以0a b c -+>，把2b a =-代入得30a c +>，故④正确，故填①④．考点：二次函数图象与系数的关系．【技巧点睛】利用图象判断解析式中,,a b c 的正负及它们之间的关系：(1)开口方向判断a 的正负；(2) 与y 轴交点位置判断c 的正负；(3) 对称轴位置判断b 的正负 (左同右异）；(4) 与x 轴交点个数判断24b ac -的正负；(5) 图象上特殊点的位置判断一些函数值正负；(6) 对称轴判断2a b +和2a b -的正负． 18．12-【解析】 试题分析：由1x f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭,可令；1,1x x =-+求解可得； 11.2x x x =--=-。

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二 相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三 求函数值【例3】 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解 这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析 根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析 选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析 由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2， 于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。

P19 练习1.（1）因为4x+7≠0，得x≠-7/4，所以，函数f(x)=的定义域为｛x∈R | x≠-7/4｝（2）因为1-x≥0且x+3≥0，得-3≤x≤1，所以，函数f(x)=+-1的定义域为｛x∈R | -3≤x≤1｝2.（1）f(2)=28, f(-2)=-28, f(2)+f(-2)=0（2）f(a)=+2a, f(-a)=-(+2a), f(a)+f(-a)=03.（1）不相等，因为前者的定义域为{t| 0≤t≤26}，而后者的定义域为R。

（2）不相等，因为前者的定义域为R，而后者的定义域为{x| x≠0}P23 练习1.y=x(0＜x＜50)2.(1)题与D图，(2)题与A图，(3)题与B图吻合的最好，剩下的与C图相符的一件事可能为：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。

3.4.（1）（2）45度P23 习题1.2A 组1.（1）由于x-4≠0，得x≠4，所以f(x)=的定义域是｛x| x≠4｝（2）因为对于x∈R 的任何一个值，f(x)=都有意义，所以f(x)=的定义域是R。

（3）因为由—3x+2≠0，得x≠1且x≠2，所以f(x)=的定义域为{x∈R| x ≠1，且x≠2}（4）因为由4—x≥0且x—1≠0 ，得x≤4且x≠1 所以f(x)=的定义域为{x∈R| x ≤4且x≠1}2.第（3）组中的函数f(x)与g(x)相等。

第（1）（2）组中的两个函数的定义域不同。

3.（1）y=3x 的定义域为R，值域为R（2）y=的定义域为{x| x≠0}，值域为{y| y≠0}（3）y=-4x+5的定义域为R，值域为R。

（4）y=—6x+7的定义域为R，值域为{y| y≥-2}4.（1）f()=8+5（2）f(a)=3+5a+2（3）f(a+3)= 3+13a+14（4）f(a)+f(3)= 3-5a+16（图略）5.（1）因为=≠14，所以点（3,14）不在函数f(x)的图像上（2）-3（3）由=2解得x＝146.因为f(x)=(x-1)(x-3)=—4x+3,所以f(-1)=88.例如，y=10/x (x＞0)，L=2x+20/x (x＞0)，L=2（d＞0）9.依题意得x=vt,，所以x=*t.据题意可知函数的值域是[0,h],所以函数的定义域为[0,].10.设f为集合A到集合B的映射，则从A到B的映射共有8种，分别为：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)B组1.（1）{p| -5≤p≤6或2≤p＜6}（2）[0,+](3) r在{r| 0≤r＜2或r＞5}上取值时2. (1)略(2)点（x,0）和（5，y）,即纵坐标为0或横坐标为5的点不在图像上。