海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科）2013．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，{}0B x x =<，则A B =U （ ）． A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ． [1,2] D ．[1,)+∞2．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为（ ）． A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3．如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为（A ．ma nB ．na mC ． 2ma nD ． 2nam4．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．180B ．240C ．276D ．3005．在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）．A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ）．A ． 32B ． 36C ． 42D ． 48俯视图左视图主视图7．双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F △是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．B ．1C ．1D ．2+8． 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ． 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是（ ）． A ． 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B． 若m ={}n a 是周期为3的数列C ．*N T ∀∈且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D ．Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______．10．已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______．11．直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30o ，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为________．12．在ABC∆中，30,45,A B a ∠=∠==o o b =_____；C AB S ∆=—_____．13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅uuu r uu u r的取值范围是__________．14．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ． （I ）给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____；（Ⅱ）曲线W 上的点到原点距离的最小值为______．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数cos 2()1π)4x f x x =--．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =， 4AD =．把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EFH ∥平面PBC ；（Ⅱ）求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明 理由．图2图1DCB AHFAEFCB已知函数()e x f x =，点(,0)A a 为一定点，直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记ABC △的面积为()S t ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()S t 的单调区间；（Ⅱ）当2a >时， 若0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥， 求实数a 的取值范围．已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB △（O 为原点）面积的最大值．设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． （Ⅰ）数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；（Ⅱ）数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使 表1得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；（Ⅲ）对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分， 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）9．2 10．c b a >> 11．(112．2 13．[0,1] 14．②③；2三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为πsin()04x -≠，所以ππ,4x k -≠Z k ∈， ……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠}k ∈Z ． …………………4分（Ⅱ）解：因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x -=-- ……………………6分 = 1+(cos sin )x x +π= 1)4x +， ……………………8分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 令πππ2π2π242k x k -≤+≤+， 解得3ππ2π2π44k x k -≤≤+， ……………………11分 又注意到ππ+4x k ≠，所以()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．…………13分16．（Ⅰ）解：设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-=， …………………4分（Ⅱ）解：设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5,0,45,145--， …………………6分 ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =--， …………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p < ， …………………12分 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．…………13分 17．（Ⅰ）证明：因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC ， …………………1分 因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ， 2BC =，4AD =，所以4AC =，60CAB ∠=o ，所以ADC ∆是等边三角形， 所以H 是AC 中点， .....................2分 所以HE PC ∥， (3)分 同理可证EF PB ∥，又,HE EF E CP PB P ==I I ，所以EFH PBC ∥平面PBC ．…………………5分 （Ⅱ）解：在平面ABC 内过H 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P，B ， ………6分因为(0,E -，(0,1HE =-u u u r， 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =r，因为,0)HB =u u u r，HP =u u u r ， 所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uu u r r ，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以 3,0)n =-r， …………………8分Acos ,||||n HE n HE n HE ⋅<>==⋅r uuu rr uuu r r uuuu r ， …………………10分所以直线HE 与平面PHB …………………11分（Ⅲ）证明：存在，事实上记点E 为M 即可， …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====， …………………13分在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB ==，所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等． …………………14分 18．（Ⅰ）解：因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠， …………………2分 当0a =，1()||e 2tS t t =，其中0t ≠，当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2tS t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， …………………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2tS t t =-+，令1'()(1)e 02tS t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增，令1'()(1)e 02tS t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减， …………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-，()S t 的单调递增区间为(1,0)-．（Ⅱ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠， 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2t S t a t =-，因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e ，1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =-， …………………8分当12a -≥时，即3a ≥时，1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增，所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-，令21(2)e e 2a -≥ ，解得 22ea ≥+，所以3a ≥， …………………10分 当12a -<时，即3a <时，1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增，1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减，所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=，令11(1)e e 2a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+，所以ln 223a +≤<． …………………12分 综上所述，ln 22a +≤ ． …………………13分 19．（Ⅰ）解：因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o的菱形的四个顶点，所以1a b =，椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，因为AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时，则AB 的垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=，所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ==△2211(3)322x x +-=，所以AOB S ≤△1||x =AOB S △………6分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y kx t =+，所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-=， 当224(933)0k t ∆=+->， 即2231k t +>， ① 方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+， …………………9分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y k ++=--，化简得到2314k t +=， ②代入①，得到04t <<， …………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=，所以1=||||2AOB S AB d ∆，化简得到AOB S △ …………………12分 因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S △综上，AOB△ …………………14分 20．（Ⅰ）解：法一：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法二：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法三：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分 （Ⅱ）解：每一列所有数之和分别为2,0,2,0-，每一行所有数之和分别为1-，1；①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 12a ≤或52a ≥， 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行，22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a ---， 必有2220a -≥，解得0,1a =-， 当52a ≥时，则接下来操作第二行， 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意． …………………6分 ②如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a ，当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉， 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-， 经检验，0a =或1a =-符合要求．综上：0,1a =-． …………………9分（Ⅲ）证明：能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数．证明如下：记数表中第i 行第j 列的实数为ij c （1,2,,;1,2,,i m j n ==L L ），各行的数字之和分别为12,,,m a a a L ，各列的数字之和分别为12,,,n b b b L ，12m A a a a =+++L ，12n B b b b =+++L ，数表中m n ⨯个实数之和为S ，则S A B ==． 记{}112211221min 11(1,2,,)0|i i n in l i i n in i mK k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}112211221min 11(1,2,,)0|j j m mj s j j m mj j nT t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}min ,K T λ=．按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A （和 B ）增大，从而也就使得S 增加，增加的幅度大于等于2λ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S 必然小于等于最初的数表中m n ⨯个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止．终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S 就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立． ……13分北京市海淀区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：因为{}21A x x =-≤≤，所以A B =U {}1x x ≤． 故选B ．2．【答案】D【解析】解：由题意得22111231214428a q a a q q q a q ⎧===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或112a q =-⎧⎨=-⎩．故选D ．3．【答案】C【解析】解：由几何概型的知识可知S m S n Ω=正，所以2mS ma S n nΩ==正． 故选C ．4．【答案】B【解析】解：画出直观图可知该立体图形为正方体与正四棱锥组成，所以1566465180602402S =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．故选B ．5．【答案】C【解析】解：当1λ=时，可知,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，故四边形ABCD 为平行四边形；四 边形ABCD 为平行四边形，则,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，此时1λ=，故λ∃∈R ，使得 ,AB DC AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选C ．6．【答案】A【解析】解：由题可知2,4都不排在个位和万位共有233336A A ⋅=种，其中5排在百位的 有22224A A ⋅=种，所以满足条件的共有36432-=． 566故选A ．7．【答案】B【解析】解：由题可知作图，过点A 做抛物线准线的垂线，交于点B ，由抛物线的定义可知2AB AF =，因为抛物线方程为24y x =，所以1222F F AF ==；综上可知四边形12ABF F 为正方形，所以1AF =由双曲线的定义可知1222a AF AF =-=，即1a ，1c =，所以1e =．故选B ．8．【答案】D【解析】解：A ．34a =可以经过两次减1得到，也可以经过先减1，再取倒数得到，还 可以是先取倒数，然后减1得到，但是不可能经过两次取倒数得到．因此m 可以取3个 不同的值：6，54，15．B ．21a =，31a ，4a =……，周期为3．C ．设(0,1)α∈满足11T αα=-+，即1α=<．此时一个周期之内的所有项为：1,2,,T T ααα-+-+L ．可以取m 为其中除了α以外的任意一个值． D ．若数列{}n a 是周期数列，则必有小于1的项．而(0,1)α∀∈且α∈Q ，1αα-不可能是正整数，故1α不能写成n α+的形式，*n ∈N ，故数列{}n a 不是周期数列．（假设1n αα-=为正整数，则α=(,)p p q q =∈*N 是有理数，则222(4)p n q=+，由于24n +是正整数，故可设1q =，于是()()4p n p n +-=，无解．故α不是有理数）注：①对于正实数轴上的点，设数轴上的点A 1，点B 所表示的实数是点A 1．考虑一个点P 1出发，1在1的左边，因此点P 随后跳到11处．在此之后，只要该点在1的右边，就往左移动1个单位；只要该点在1的左边，就移动到其倒数所表示的点的位置．因为1)1)2-=是整数，因此此时的{}n a 是周期数列，且周期为213+=．现将A 点向()0,0点移动，与此同时，点B 会相应地向右移动（保持乘积为1），于是,A B 两点 之间的距离逐渐增大．*T ∀∈N ，4T ≥，在此过程中必定存在有某个时刻，,A B 两点 之间的距离恰为1T -，此时{}n a 是周期数列，且周期为T ，而m 的值可以取点P 经过的且在1的右边的任何一个点．周期为2 ② 由于实数是连续的，而有理数不是，因此①只能说明C 选项是正确的，而不能说明 D 选项是正确的． 故选D ．二、 填空题 9．【答案】2【解析】解：由cos 22x ρθ=⇒=，极点()0,0所以距离为2． 故答案为2．10．【答案】c b a >>【解析】解：因为()1ln ,02a =∈-∞，()1sin 0,12b =∈，()1221,c -==+∞，所 以c b a >>．故答案为c b a >>．11．【答案】(【解析】解：1tan 30k ==o )1:2l y x =+ ①121k k ⋅=-得2k =)2:2l y x =- ②由①②解得，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为(．12．【答案】2【解析】解：sin 45b=o，所以2b =，sin sin()C A B =+=，1sin 2ABC S ab C ==△． 故答案为213．【答案】[]0,1【解析】解：建立如图A xyz -的空间直角坐标系，则点()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，因为点在线段1BD 上，可以设点()1,,1P a a a -+，所以()0,1,0DC =u u u r，()[]()1,,10,1AP a a a a =-+∈u u u r ，所以DC AP a ⋅=u u u r u u u r，故 []0,1a ∈．故答案为[]0,1．14．【答案】②③；2-【解析】解：（Ⅰ）① 错误．显然点(1,0)在曲线W 上，点(1,0)-不在曲线W 上． ② 正确．设点1P 和2P 关于直线y x =对称，则点1P 和2P 到两条坐标轴的距离之和相等， 到点(1,1)的距离也相等，因此点1P 和2P 要么都在曲线W 上，要么都不在曲线W 上． ③ 正确．设(,)P x y ，只考虑第一象限内（包括x 轴非负半轴，y 轴非负半轴）的轨迹，由条件可知x y +(1)(1)2x y ++=．它的轨迹是曲线 2(12)xy x =≤≤向左向下各平移一个单位得到的．面积显然小于12，因为原点，点(0,1) 和点(1,0)构成的三角形的面积为12，而题中的封闭图形在三角形的内部．（Ⅱ）对||||x y + ||1xy x y =--．分别对点P 在四个象限进行讨论可知，曲线W 在第二象限的轨迹是1(0)y x =<，在第四象限的轨迹是1(0)x y =<，在第三象限的轨迹是(1)(1)2(1,1)x y x y ++=<-<-．因此曲线W 上的点到原点距离最小的点在第一象限．根据(1)(1)2x y ++=可得1xy x y ++=，到原点的距离最小的点为11)，到原点的1)2=故答案为②③；2-。
