著名的数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者波利亚提出“掌握数学意味着善于解题”．他将解题过程分为四个部分：“审题，转换，实施，反思”．要解好题必须先审好题，审题是解题的第一步．一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题是解题者对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息作有序提炼．本讲结合实例，教你正确的审题方法，开启成功解题之路．审条件挖隐含条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路，审题时要充分挖掘每个条件的内涵和隐含的信息，以便于明确解题的思路．例1 已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3 [审题导引][规范解题]由|BC →|＝10，得|AC →－AB →|＝10， 平方得|AC →|2－2AC →·AB →＋|AB →|2＝100， 因为AB →·AC →＝－16，所以|AC →|2＋|AB →|2＝68， 又因为D 为BC 中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)，即|AD →|＝12|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2＝1236＝3.故选D.[答案] D审结论逆向推结论是解题的最终目标。
解决问题的思维，很多情形下都是在目标意识下启动和定向的，审视结论要探究已知条件和结论间的联系和转化规律，善于从结论中捕捉解题信息，确定解题方向．例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式． [审题导引][规范解题](1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ， 所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *，又因为b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列， 其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ， 所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1.审图形抓特点在一些高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含于图形之中，由此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势、抓住图形的特征，运用数形结合的思想，是破解考题的关键．例3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12＋πB ．8＋πC ．12－πD ．6－π [审题导引]条件――→分析三视图组合体――→分析特点正方体下面挖去一个圆柱――→分析图形数据结果[规范解题]V ＝V 正方体－V 圆柱＝2×2×3－π×12×1＝12－π.故选C. [答案] C[易错提醒] 本题容易错想成一个圆柱上放一正方体，所以易错选成B.审结构巧计算数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的，认真分析其结构特点，找出其隐含的特殊关系，寻找突破问题的方案．例4 不等式(5x ＋3)3＋x 3＋6x ＋3>0的解集为________． [审题导引][规范解题]不等式变形为(5x ＋3)3＋(5x ＋3)>－(x 3＋x )，设f (x )＝x 3＋x ，则不等式变为f (5x ＋3)>－f (x )，又f (－x )＝－f (x )， 故f (5x ＋3)>f (－x )，因为f (x )＝x 3＋x 在R 上单调递增． 所以5x ＋3>－x ， 即x >－12，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－12. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞审图表和数据题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．审题时要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题解决提供有效的途径．例5 某中学为了了解高一学生在一月内参加各种社团活动的情况，随机抽取200名学生，获得了他们的活动时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如图所示．组号 分组 频数 1 [0,2) 12 2 [2,4) 16 3 [4,6) x 4 [6,8) 44 5 [8,10) 50 6 [10,12) 24 7[12,14)128 [14,16) 4 9 [16,18) 4 合计200(1)从该校高一年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生该月参加社团活动的时间少于14小时的概率；(2)求统计表中的x 的值和频率分布直方图中的b 的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该月活动时间的平均数在第几组(只需写出结论)．[审题导引]审表格――→观察计算不少于14小时学生数――→得数据求概率―→审图形――→找数据计算b ――→审图表得出结论[规范解题](1)根据频数分布表可知，200名学生参加社团活动的时间不少于14小时的学生人数为4＋4＝8，所以样本中学生参加社团活动的时间少于14小时的频率是1－8200＝2425，用频率估计概率可得所求概率大约为2425.(2)依据频率分布直方图可知x ＝200×0.085×2＝34. 依据频数分布表和频率分布直方图可知b ＝502002＝0.125. (3)估计样本中的200名学生活动时间的平均数在第4组．专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMI1.命题点集合间的关系、集合的基本运算；四种命题之间的关系、命题的否定、充要条件．2.交汇点集合间的关系、集合的运算常与不等式、函数的定义域、值域交汇考查；充要条件常与不等式、立体几何、函数、解析几何、三角函数、数列等知识交汇考查．3.常用方法Venn图法，数轴法判断集合之间的关系；定义法或集合法判断充要条件．对应学生用书P002[必记公式]集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.(2)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁B)，∁U(∁U A)＝A.U[重要结论]1．集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．复合命题真假的判断方法命题p∧q，p∨q及綈p真假可以用下表来判定：p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真〉〉口诀记忆p∨q，一真则真；p∧q，一假则假；綈p与p 真假相反．4．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.5．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．[易错提醒]1．在A⊆B中，易忽略A＝∅的情形．2．命题的否定与否命题不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．3．“A的充分不必要条件是B”与“A是B的充分不必要条件”不同．4．忽视集合元素“互异性”的验证．5．集合的含义认识不清，如：{x|y＝2x}表示定义域{x|x∈R}，{y|y＝2x}表示值域{y|y>0}．对应学生用书P002热点一 集合的概念及运算例1 (1)[2015·陕西质检]设集合A ＝{x |y ＝lg (3－2x )}，集合B ＝{x |y ＝1－x }，则A ∩B ＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B ．(－∞，1]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] ∵A ＝{x |y ＝lg (3－2x )}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <32，B ＝{x |y ＝1－x }＝{x |x ≤1}，∴A ∩B ＝{x |x ≤1}，故选B.[答案] B(2)[2016·洛阳统测]已知集合A ＝{x |x 2－4x －12<0}，B ＝{x |x <2}，则A ∪(∁R B )＝( )A ．{x |x <6}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x >－2}D ．{x |2≤x <6}[解析] 由x 2－4x －12<0，解得－2<x <6，所以A ＝{x |－2<x <6}．又∁R B ＝{x |x ≥2}，所以A ∪(∁R B )＝{x |x >－2}，故选C.[答案] C例(2)中B ＝{x |y ＝x (8－x )}则∁R (A ∩B )＝________.答案 {x |x <0或x ≥6}解析 由x 2－4x －12<0得－2<x <6， 由x (8－x )≥0得0≤x ≤8. 则A ∩B ＝{x |0≤x <6}所以∁R (A ∩B )＝{x |x <0或x ≥6}．解答集合运算问题的策略首先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表的意义．然后根据集合中元素的性质化简集合．(1)若给定集合涉及不等式的解集，要借助数轴． (2)若涉及抽象集合，要充分利用V enn 图．(3)若给定集合是点集，要注意借助函数图象． 提醒：注意元素的互异性及空集的特殊性．1．[2016·唐山统测]函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0,3] B ．[1,3] C ．[1，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 B解析 要使函数有意义，需要保证⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0x －1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3x ≥1，∴1≤x ≤3，故选B. 2．[2016·九江一模]已知全集U ＝R ，集合A ＝[2,5)，∁U B ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，则A ∩B ＝( )A ．(2,5)B ．(1,2)C ．{2}D ．∅答案 C解析 由题知B ＝[1,2]，∴A ∩B ＝{2}，故选C.热点二 命题真假的判断与否定例2 (1)[2016·贵阳监测]下列说法正确的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x >0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max在x ∈[1,2]上恒成立”D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题[解析] A 中命题的否定是“∃x ∈R ，e x ≤0”，∴A 错误；B 中逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，易知为真命题，∴B正确；C中分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D中若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则①：a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．故选B.[答案] B(2)[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x ＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是() A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∧q[解析]由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p 为假，綈q为真．所以p∧(綈q)为真，(綈p)∧q为假，(綈p)∧(綈q)为假，p∧q为假．故选A.[答案] A命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．1．[2016·安徽高考]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案 D解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．2．[2016·课标全国卷Ⅰ]设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为() A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案 C解析命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.热点三充要条件的判断例3(1)[2016·陕西高考]“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵sinα＝cosα⇒tanα＝1⇒α＝kπ＋π4，k∈Z，又cos2α＝0⇒2α＝2kπ＋π2或2kπ＋3π2(k∈Z)⇒α＝kπ＋π4或kπ＋3π4(k∈Z)，∴sinα＝cosα成立能保证cos2α＝0成立，但cos2α＝0成立不一定能保证sinα＝cosα成立，∴“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．[答案] A(2)[2016·唐山统考]“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.[答案]A(2)题中将“k <9”改为“k >9”、将“双曲线”改为“椭圆”，那么正确答案是( )答案 B解析 方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示椭圆．则⎩⎪⎨⎪⎧k －9>025－k >025－k ≠k －9，即9<k <25且k ≠17，故k >9是方程x 225－k＋y 29－k＝1为椭圆的必要不充分条件，故选B.判断充分、必要条件的方法及关注点(1)充分、必要条件的判断方法先判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，然后再确定p 是q 的什么条件． (2)判断充分、必要条件时的关注点①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，可以尝试通过举出恰当的反例来说明．③要注意转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．1．[2016·北京高考]设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若m ⊂α且m ∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m ⊂α且α∥β一定可以推出m ∥β，所以“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．2．[2016·四川高考]设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由指数函数的性质知，若3a >3b >3，则a >b >1，由对数函数的性质，得log a 3<log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3<log b 3，此时0<b <a <1，于是3>3a >3b ，所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件，选B.对应学生用书P004 课题1 集合中的新定义问题[2015·湖北高考]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30审题过程切入点 将数学关系式用图形表达，应用数形结合思想．关注点 正确“翻译”A ⊕B 的意义.[规范解答] 集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，所以集合A 中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD 上的整点．集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }中的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1内及正方形A 1B 1C 1D 1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．故选C.解决此类问题的模型示意图如下：1.定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )(其中C (A )，C (B )表示非空集合A ，B 中的元素个数)，若A ＝{1,2}，B ＝{x ||x 2＋ax ＋1|＝1，a ∈R }，且A *B ＝1，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么C (S )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 B解析 由定义A *B 可知，A *B ＝1表示A 、B 中元素个数差为1，由A ＝{1,2}有2个元素，得B 中有1个或3个元素，在集合B 中，|x 2＋ax ＋1|＝1，整理得，x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0， 若a ＝0，则B ＝{0}符合要求， 若Δ＝a 2－8＝0，即a ＝±22， a ＝22时，B ＝{0，－22，－2}， a ＝－22时，B ＝{0,22，2}， 符合要求．故S ＝{0,22，－22}，C (S )＝3.选B.2．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“⊕”，满足X ⊕Y ＝(∁U X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，则X ⊕(Y ⊕Z )＝( )A ．(X ∪Y )∪(∁U Z )B ．(X ∩Y )∪(∁U Z )C ．[(∁U X )∪(∁U Y )]∩ZD ．(∁U X )∪(∁U Y )∪Z 答案 D解析 由定义运算得X ⊕(Y ⊕Z )＝X ⊕[(∁U Y )∪Z ]＝(∁U X )∪[(∁U Y )∪Z ]＝(∁U X )∪(∁U Y )∪Z .对应学生用书P151一、选择题1．[2015·兰州双基过关]已知集合U ＝R ，A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}答案 D解析 因为∁U B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ≤2}，故选D.2．[2015·郑州质量预测]已知集合A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x <2m }且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由B ＝{x |x <2m }，得∁R B ＝{x |x ≥2m }．∵A ⊆∁R B ，∴2m ≤2，∴m ≤1，故选A.3．[2015·辽宁五校联考]设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( ) A ．{x |x ≥－2} B ．{x |x >－1} C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A解析因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－2<x<－1}，N＝[－2，＋∞)，所以M∪N＝[－2，＋∞)，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．无穷多个答案 B解析由韦恩图可知，阴影部分可表示为(∁U A)∩B.由于∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁U A)∩B＝{x|－4<x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1答案 B解析要使得“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的一个充分不必要条件．6．[2015·唐山一模]命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)．则() A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真答案 A解析∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．∵f(x)的图象过点(2,0)，∴log a1＝0，对∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q为真命题．7．[2015·大连双基测试]命题“对任意x∈R，都有x2≥ln 2”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2<ln 2B．不存在x∈R，都有x2<ln 2C．存在x∈R，使得x2≥ln 2D．存在x∈R，使得x2<ln 2答案 D解析按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x∈R，使得x2<ln 2.故选D.8．[2015·贵州七校联考]以下四个命题中，真命题的个数是()①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．②存在正实数a，b，使得lg (a＋b)＝lg a＋lg③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．④在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析①原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故是假命题；②根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg (a＋b)＝lg a＋lg b，故是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2R sin A<2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A<sin B，故可知A<B是sin A<sin B的充要条件，故是假命题．选C.9．[2015·浙江高考]设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立 答案 A解析 由题意，d (A ，B )＝card(A )＋card(B )－2card(A ∩B )≥0，对于命题①，A ＝B ⇔card(A ∪B )＝card(A ∩B )⇔d (A ，B )＝0，∴A ≠B ⇔d (A ，B )>0，命题①成立．对于命题②，由韦恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )⇔card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )≤card(A )＋card(B )－2card(A ∩B )＋card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )⇔card(A ∩C )≥card(A ∩B )＋card(B ∩C )－card(B )⇒card(A ∩C )≥card[(A ∪C )∩B ]－card(A ∩B ∩C )－card(B )．因为card(A ∩C )≥0且card[(A ∪C )∩B ]－card(A ∩B ∩C )－card(B )≤0，故命题②成立．10．给定下列四个命题：命题p ：当x >0时，不等式ln x ≤x －1与ln x ≥1－1x 等价； 命题q ：不等式e x ≥x ＋1与ln (x ＋1)≤x 等价；命题r ：“b 2－4ac ≥0”是“函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值点”的充要条件；命题s ：若对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式a <sin xx 恒成立，则a ≤2π.其中为假命题的是( ) A ．(綈s )∧p B ．(綈q )∧s C ．(綈r )∧p D ．綈(q ∧p )答案 A解析 由1x >0，ln x ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x ，故命题p 为真命题；由于x 的取值范围不同，故命题q 是假命题；当b 2－4ac ＝0时，函数f (x )无极值点，故命题r 是假命题；设h (x )＝sin x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2，由于函数h (x )＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，故sin x x >2π，a ≤2π，即命题s是真命题．根据复合命题的真值表可知选A.二、填空题11．已知条件p ：－3≤x <1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且p 为q 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是________．答案 [－1,2]解析 条件q ：由x 2＋x <a 2－a 得x 2＋x －a 2＋a <0，即(x ＋a )[x －(a －1)]<0，当－a <a －1，即a >12时，不等式的解为－a <x <a －1； 当－a ＝a －1，即a ＝12时，不等式的解为∅； 当－a >a －1，即a <12时，不等式的解为a －1<x <－a . 由p 为q 的必要而不充分条件，可知当a >12时，由{x |－a <x <a －1}{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－a ，1≥a －1，解得12<a ≤2； 当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以显然满足条件；当a <12时，由{x |a －1<x <－a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a －1，1≥－a ，解得－1≤a <12.综上，a 的取值范围为[－1,2]．12．[2015·贵阳监测]已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)答案 {a 2，a 3}解析 若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．13．[2015·山东高考]若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.14．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②向量a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件为A >B ；④在△ABC 中，设命题p ：△ABC 是等边三角形，命题q ：a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，那么命题p 是命题q 的充分不必要条件．其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上) 答案 ①③解析 ①正确．因为AB→＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此AB→＝DC →.②不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．③正确．由正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，当sin A >sin B 成立时，得a >b ，则A >B ；当A >B 时，则有a >b ，则sin A >sin B ，故命题正确．④不正确．若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，sin B ＝sin C ＝sin A ，即命题p 是命题q 的充分条件；若a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，则sin C sin A ＝b c ，又由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即sin C sin A ＝c a ，所以c a ＝bc ，即c 2＝ab ，同理得a 2＝bc ，b 2＝ac ，所以c ＝a ＝b ，所以△ABC 是等边三角形．因此命题p 是命题q 的充要条件．综上所述，正确命题的序号是①③.第二讲 函数的图象与性质(选择、填空题型)命题全解密 MINGTIQUANJIEMI1.命题点 函数的定义域、值域；函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图象及其应用．2.交汇点 函数的单调性、奇偶性、周期性交汇命题；函数的定义域、值域与不等式交汇命题；函数的图象与性质交汇命题．3.常用方法 利用定义法判断函数的单调性、奇偶性；利用数形结合的方法判断函数的单调性、奇偶性；排除法判断函数的图象.对应学生用书P005[重要概念]1．单调性定义如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)成立，则f (x )在D 上是增函数(都有f (x 1)>f (x 2)成立，则f (x )在D 上是减函数)．2．奇偶性定义对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．3．周期性定义周期函数f (x )的最小正周期T 必须满足下列两个条件： (1)当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )； (2)T 是不为零的最小正数．[重要结论]抽象函数的周期性与对称性 1．函数的周期性(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．(2)设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．(3)设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．2．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．[易错提醒]1．分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数． 2．在处理有关对数问题时应注意底数与真数的取值．3．确定函数的奇偶性必须先判断函数的定义域是否关于原点对称.对应学生用书P005 热点一 函数及其表示例1 (1)[2015·贵阳监测]函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6][解析]依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．[答案] C(2)[2015·唐山统测]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎨⎧a <12a ≥－1，∴－1≤a <12，故选C.[答案] C(3)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. [答案] 1(2)题中“的值域为R ”改为“在R 上递增”，那么a的取值范围该选哪项．答案 A解析 由题可知，⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >01－2a ＋3a ≤0，解得a ≤－1，故选A.1．求函数定义域的类型和相应的方法(1)若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)在实际问题或几何问题中除要考虑解析式有意义外，还要使实际问题有意义．2．求函数值的三个关注点(1)形如f (g (x ))的函数求值，要遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．(3)对于周期函数要充分利用好周期性． 3．函数值域的求法求解函数值域的方法有：公式法、图象法、分离常数法、判别式法、换元法、数形结合法、有界性法等，要根据问题具体分析，确定求解的方法．1．[2015·唐山统考]函数y ＝x －2·x ＋5的定义域为( ) A ．[－5,2] B ．(－∞，－5]∪[2，＋∞) C ．[－5，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 D解析 要保证函数式有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0x ＋5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ≥－5，∴x ≥2，∴函数的定义域为[2，＋∞)，故选D.2．[2015·课标全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案 C解析 由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.3．[2015·福建高考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．热点二 函数的图象例2 (1)[2015·贵阳监测]函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )[解析] 由题意得，x ≠0，排除A ；当x <0时，x 3<0,3x －1<0，∴x 33x －1>0，排除B ；又∵x →＋∞时，x 33x －1→0， ∴排除D ，故选C. [答案] C(2)将一系列下顶点相接的正三角形的底边放在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动(如图)，设滚动中的圆与系列正三角形的腰相交截得的最大弦长s 关于时间t 的函数为s ＝f (t )，则下列图中与函数s ＝f (t )图象最近似的是( )[解析] 以O 为原点，与地面相切的直线为x 轴，过O 垂直于x 轴的直线为y 轴．不妨设正三角形的边长为23，则圆的半径为1，圆心(a,1)到直线3x ＋y －3＝0的距离d ＝|3a －2|2，弦长21－d 2＝－3a 2＋43a (a ∈[0，3])，同理，圆心(a,1)到直线3x －y －3＝0的距离d 1＝|3a －4|2，弦长21－d 21＝－3a 2＋83a －12(a ∈[3，23])．由于弦长的变化具有周期性，故选C.[答案] C作图、识图、用图的方法技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换，尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．1．[2015·大连测试]函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡－π2，⎦⎥⎤π2的图象大致是( )答案 D解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A 、B.f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，所以选D.2．[2015·安徽高考]函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0答案 C解析 ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x ，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝b c 2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，故c <0，故选C.热点三 函数的性质及应用例3 [2015·洛阳统测](1)若函数y ＝f(2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f(x)的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[解析] ∵f(2x ＋1)是偶函数，∴f(2x ＋1)＝f(－2x ＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x ＝1.[答案] A(2)已知f(x)为定义在[a －1,2a ＋1]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝e x ＋1，则f(2x ＋1)>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1的解的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13 C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，89D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－45[解析] 函数为偶函数，满足－(a －1)＝2a ＋1⇒a ＝0，所以函数的定义域为[－1,1]，当x ≥0时，f(x)＝e x ＋1，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(2x ＋1)>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1满足f(|2x ＋1|)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋1，所以不等式的解的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1－1≤x 2＋1≤1|2x ＋1|>⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋1⇒－1≤x<－45.[答案] D(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则它们的和为( )A ．－6B ．－8C ．0D ．2[解析] 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )，由f (x )为奇函数，所以函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8，故选B.[答案] B函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．1．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x。
