【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 概率综合测试题(含解析)

第三章章末归纳总结一、选择题1．从装有m个红球，n个白球(m、n≥2)的袋中任取2个球，则互为对立事件的是() A．至少有1个白球和至多有1个白球B．至少有1个白球和至少有1个红球C．恰有1个白球与恰有2个白球D．至少有1个白球与都是红球[答案] D[解析]取得一红一白时，A中两个事件都发生，故不互斥；取得一红一白时，B中两个事件都发生，故也不互斥；取得两个红球时，C中两个事件都不发生，故不对立；只有D 中的两个事件不同时发生又有一个发生，是对立事件．2．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数 5 5449 01313 52017 191男婴数 2 716 4 899 6 8128 590A．0.4B．0.5C.0.6D．0.7[答案] B[解析]由表格可知，男婴出生的频率分别为0.49，0.54，0.50,0.50，故这一地区男婴出生的概率约是0.5.3．(2015·河南南阳市高一期末测试)把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．必然事件C．不可能事件D．互斥但不对立事件[答案] D[解析]“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．4．(2015·河北邯郸市高一期末测试)某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是()A.15 B ．13C.35 D ．23[答案] A[解析] 抽取的6个班中，高一、高二、高三分别有3个班、2个班、1个班，记高一的3个班分别为A 1、A 2、A 3，高二的2个班分别为B 1、B 2，高三的1个班为C ，从6个班中随机抽取2个班的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，C )、(A 2，A 3)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，C )、(A 3，B 1)、(A 3，B 2)、(A 3，C )、(B 1，B 2)、(B 1，C )、(B 2，C )共15个，抽取的2个班均为高一的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 2，A 3)共3个，∴所求概率P ＝315＝15.5．在数轴上的区间[0,3]内任取一点，则此点落在区间[2,3]内的概率是( ) A.13 B ．12C.23 D ．34[答案] A[解析] 区间[2,3]的长度为1，区间[0,3]的长度为3，由几何概型的计算公式可知所求概率为13.6．在一底面半径和高都是2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中，现从中随机取出2m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率是( )A.14 B ．18πC.14π D ．1－14π[答案] C[解析] 所有小麦种子的体积为πR 2h ＝π×4×2＝8π(m 3)，现从中随机取出2m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率为28π＝14π.二、填空题7．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．[答案] 12 000[解析] 设保护区内有这种动物x 只，每只动物被逮到的概率是相同的，所以1 200x＝1001 000，解得x ＝12 000. 8．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆面，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率为________(油滴的大小忽略不计)．[答案]49π[解析] 记事件A 为“油正好落入孔中”，由题意可知μA ＝1 cm 2, μΩ＝9π4 cm 2，所以由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝μA μΩ＝49π.三、解答题9．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，将得到的点故分别记为a ，b .(1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． [解析] 先后两次抛掷一颗骰子，将得到的点故分别记为a 、b ，事件总数为6×6＝36. (1)因为直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，所以有5a 2＋b 2＝1即：a 2＋b 2＝25， 由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，所以，满足条件的情况只有a ＝3、b ＝4和a ＝4、b ＝3两种情况， 所以，直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118. (2)∵三角形的一边长为5， ∴当a ＝1时，b ＝5， 当a ＝2时，b ＝5， 当a ＝3时，b ＝3、5， 当a ＝4时，b ＝4、5，当a ＝5时，b ＝1、2、3、4、5、6， 当a ＝6时，b ＝5、6. ∴满足条件的情况共有14种．故三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.10．(2015·陕西文，19)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨．．．的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解析] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315.(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.一、选择题1．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65 C.0.35 D ．0.3[答案] D[解析] 本题主要考查互斥事件概率的求解方法．由题意知事件A 、B 、C 互为互斥事件，记事件D ＝{抽到的是二等品或三等品}，则P (D )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.2＋0.1＝0.3，故选D.2．教室有4扇编号分别为a 、b 、c 、d 的窗户和2扇编号分别为x 、y 的门，窗户d 敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇，则至少有1扇门被敞开的概率为( )A.23 B ．49C.710 D ．712[答案] C[解析] 本题主要考查古典概型的概率求解问题．记“随机地敞开2扇门或窗”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：(a ，b )、(a ，c )、(a ，x )、(a ，y )、(b ，c )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共10种．记“至少有1扇门被敞开”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有：(a ，x )、(a ，y )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共7种，所以P (B )＝710，故选C. 3．有五根细木棒，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320 B ．25C.15 D ．310[答案] D[解析] 以5根木棒中取3根有10种取法，而构成三角形只能有3种，3、5、7；5、7、9；3、7、9，∴P ＝310.4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16 B ．536C.112 D ．12[答案] C[解析] 骰子朝上的面的点数x 、y 构成的有序数对(x ，y )共有36个，满足log 2x y ＝1，即2x ＝y 的有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3个，故所求概率P ＝336＝112.二、填空题5．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________．[答案] 49[解析] 在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)，两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆，1个(中心)各面都不涂漆，∴所求概率为1227＝49.6．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为____________． [答案] 27[解析] 基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本事件，概率P ＝621＝27，选B.三、解答题7．某外语学校英语班有A 1、A 2两位同学，日语班有B 1、B 2、B 3、B 4四位同学，俄语班有C 1、C 2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．(1)写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B 4被选中的概率； (2)求A 1和C 1不全被选中的概率．[解析] (1)基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 1，B 4，C 1)，(A 1，B 4，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 2，B 4，C 1)，(A 2，B 4，C 2)}共16个．其中B 4被选中的事件有4个． ∴B 4被选中的事件的概率为416＝14. (2)A 1和C 1全被选中的事件有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 4，C 1)4个，∴A 1和C 1全被选中的概率为416＝14. 故A 1和C 1不全被选中的概率为1－14＝34.8.(2015·山东潍坊高一期末测试)某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．(1)求频率分布直方图中x的值；(2)估计这次知识竞赛成绩的合格率(60分及以上为合格)；(3)从成绩在[40,60)的学生中任选2人，求此2人的成绩在同一分组区间的概率．[解析](1)由题意，得(0.010＋0.020＋0.030＋0.020＋x＋0.005)×10＝1，解得x＝0.015.(2)估计这次竞赛成绩的合格率为：(0.030＋0.020＋0.015＋0.005)×10×100%＝70%.(3)成绩在区间[40,50)人数为0.1×20＝2人，记为A1、A2；成绩在区间[50,60)人数为0.2×20＝4人，记为B1、B2、B3、B4.从成绩在[40,60)的学生中任选2人的所有基本事件有：(A1，A2)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A1，B4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(A2，B4)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“2人的成绩在同一分组区间”所包含的基本事件是：(A1，A2)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共7个．∴此2人的成绩在同一分组区间的概率为P＝715.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 统计案例单元综合检测 新人教A 版选修2-3时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2015·唐山一中高二期中)已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是y ^＝0.95x ＋2.6，则t ＝( ) A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5[答案] C[解析] ∵x ＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2，∴y ＝0.95×2＋2.6＝4.5，又y ＝15(2.2＋4.3＋t ＋4.8＋6.7)，∴t ＝4.5，故选C ．2．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x 、y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④[答案] D[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．3．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下： 甲A ．期望与方差B ．正态分布C ．K 2D ．概率[答案] A4．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：①将A 、B 、C 三种个体按3 1 2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125、120、122、105、130、114、116、95、120、134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤[答案] B[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为410＝0.4，⑤是真命题．5．对变量x 、y 观测数据(x 1，y 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u 、v 有观测数据(u 1，v 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断．( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案] C[解析] 本题主要考查了变量的相关知识，考查学生分析问题和解决问题的能力． 用散点图可以判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．6．(2014·济南市模拟)为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机地对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：下面的临界值表供参考：C ．99.5%D ．99.9%[答案] C[解析] 由公式得K 2＝50× 20×15－5×10 225×25×30×20≈8.333>7.879，故有1－0.005＝99.5%的把握认为疾病A 与性别有关．7．(2014·洛阳市高二期中)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,12)，则回归直线的方程是( )A ．y ^＝2x ＋4B ．y ^＝52x ＋2C ．y ^＝2x －20 D ．y ^＝16x ＋2[答案] A[解析] 由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^的定义知，b ^＝2， ∵回归直线过样本点的中心，∴12＝2×4＋a ^， ∴a ^＝4，∴回归直线方程为y ^＝2x ＋4.8．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点；③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝bx ＋a ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D ．9．(2014·辽宁省协作体联考)甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙，则下列判断正确的是( )A ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定B ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定C ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定D ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 [答案] A[解析] x 甲＝15(77＋76＋88＋90＋94)＝85x 乙＝15(75＋88＋86＋88＋93)＝86∴x 甲<x 乙且乙的成绩分布比甲的成绩分布集中稳定，故选A ．10．(2015·潍坊市五县高二期中)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)等于( ) A ．47 B ．57 C ．67 D ．1[答案] A[解析] ∵随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，∴ξ可取0,1,2， 当ξ＝0时，表示没有选到女生；当ξ＝1时，表示选到一个女生；当ξ＝2时，表示选到2个女生，∴P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，∴E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.11．(2015·宝鸡市金台区高二期末)两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型C ．模型3 D ．模型4[答案] A[解析] 线性回归分析中，相关系数为r ， |r |越接近于1，相关程度越大； |r |越小，相关程度越小，∵模型1的相关系数r 最大，∴模拟效果最好， 故选A ．12．下面是某市场农产品的调查表． 市场供应量表：) A ．(2.3,2.6) B ．(2.4,2.6) C ．(2.6,2.8) D ．(2.8,2.9)[答案] C[解析] 以横轴为单价，纵轴为市场供、需量，在同一坐标系中描点，用近似曲线观察可知选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知一个回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,7,5,13,19}，则y ＝__________. [答案] 58.5[解析] 因为x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ＝1.5x ＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5.本题易错之处是根据x 的值及y ^＝1.5x ＋45求出y 的值再求y ，由y ^＝1.5x ＋45求得的y 值不是原始数据，故错误．14．给出下列命题：①样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②若随机变量X ～N (0.43,0.182)，则此正态曲线在x ＝0.43处达到峰值； ③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差；④市政府调查江北水城市民收入与市民旅游欲望的关系时，抽查了3000人．经过计算得K 2＝6.023，根据这一数据查阅下表，则市政府有97.5%以上的把握认为市民收入与旅游欲望有关系．[答案] ①②④[解析] 根据样本方差的概念、正态分布的概念可知①②均正确；在回归分布中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好，即X 与Y 有很强的关系，所以③不正确；通过表中的数据和K 2＝6.023>5.024可知，可以认为有97.5%以上的把握认为市民收入与旅游欲望有关系，因此④正确．15．在2015年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，y 对商品的价格x 的回归直线方程为________.[答案] y ^＝－3.2x ＋40[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.16．某市居民2011～2015年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．[答案] 13 正[解析] 中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d[解析](1)25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2K2＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d＝100× 30×10－45×15 275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.[点评] 本题考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，解决这类题目的关键是对题意准确理解．18．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：(1)计算x 与y (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； (3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数． [解析] (1)根据数据可得：x ＝77.7，y ＝165.7，∑10i ＝1x 2i＝70903，∑10i ＝1y 2i ＝277119，∑10i ＝1x i y i ＝132938，所以r ＝0.808， 即x 与y 之间的相关系数r ≈0.808；(2)因为r >0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系； (3)b ^＝0.398，a ^＝134.8.19．(本题满分12分)为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：2只，未患病数为η，工作人员曾计算过P (ξ＝0)＝389P (η＝0)．(1)求出列联表中数据x 、y 、M 、N 的值；(2)求ξ与η的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义； (3)能够以99%的把握认为药物有效吗？参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d.①当K 2≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联； ②当K 2≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联．[分析] (1)从已知P (ξ＝0)＝389P (η＝0)出发，结合2×2列联表可求．(2)求出ξ、η的分布列，再利用期望定义式求E (ξ)和E (η)即可． (3)利用公式算出K 2，结合参考数据可以判断． [解析] (1)∵P (ξ＝0)＝C 220C 250，P (η＝0)＝C 2xC 250，∴C 220C 250＝389×C 2xC 250，∴x ＝10. ∴y ＝40，∴M ＝30，N ＝70. (2)ξ取值为0、1、2.P (ξ＝0)＝C 220C 250＝38245，P (ξ＝1)＝C 120C 130C 250＝120245，P (ξ＝2)＝C 230C 250＝87245.∴E (ξ)＝294245.P (η＝0)＝C 210C 250＝9245.P (η＝1)＝C 110C 140C 250＝80245.P (η＝2)＝C 240C 250＝156245.∴E (η)＝392245.∴E (ξ)<E (η)，即说明药物有效． (3)∵K 2＝100× 800－300230×70×50×50≈4.76.∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效．20．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系的一组样本数据：(1)(2)试预测销售经验为8年时的年销售额约为多少万元(精确到十分位)?[解析] (1)由散点图(图略)知y 与x 呈线性相关关系，由表中数据计算得，x －＝6，y －＝10，b ^＝59180，a ^＝24130，回归直线方程：y ^＝59180x ＋24130.(2)x ＝8时，预测年销售额为59180×8＋24130≈10.7万元．21．(本题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[分析] (1)利用频率和为1，可求x 值；(2)先确定各部分人数，再确定ξ取值，利用组合知识，用古典概型求ξ的分布列，再求数学期望．[解析] (1)图中x 所在组为[80,90]即第五组，∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x ＋0.01＋3×0.006)＝1， ∴x ＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为f ＝10×(0.018＋0.006)＝0.24， 所以成绩不低于80分的学生有：50f ＝50×0.24＝12人． 成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3 所以为ξ的取值为0、1、2 P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19×C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122所以ξ的分布列为：所以为ξ的数学期望E (ξ)＝0×11＋1×22＋2×22＝2.[点评] 1.本题考查频率分布直方图与随机变量的分布列，数学期望等知识，考查抽象概括能力与应用意识．2．应用古典概型求事件的概率是分布列的常见命题方式．22．(本题满分14分)(2015·辽宁葫芦岛市一模)为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1 000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n 名同学每天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90,120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240]，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．(1)求n 的值并补全频率分布直方图；(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n 名学生，完成下列2×2列联表：(3)若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列及期望．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d[解析] (1)设第i 组的频率为P i (i ＝1,2，…，8)，由图可知：P 1＝11500×30＝2100， P 2＝11000×30＝3100∴学习时间少于60分钟的频率为P 1＋P 2＝120由题意：n ×120＝5，∴n ＝100.又P 3＝1375×30＝8100， P 5＝1100×30＝30100，P 6＝1120×30＝25100，P 7＝1200×30＝15100， P 8＝1600×30＝5100， ∴P 4＝1－(P 1＋P 2＋P 3＋P 5＋P 6＋P 7＋P 8)＝325.∴第④组的高度为：h ＝325×130＝1250频率分布直方图如图：(注：未标明高度1/250扣1分)(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，“住宿生”有55人，其中“住宿生”中利用时间不充分的有10人，从而走读生中利用时间不充分的有25－10＝15人，利用时间充分的有45－15＝30人，由此可得2×2列联表如下：将2×2K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d＝100× 30×10－45×15 275×25×45×55＝10033≈3.030因为3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关 (3)由(1)知：第①组2人，第②组3人，第⑧组5人，总计10人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3P (X ＝i )＝C i 5C 3－i5C 310(i ＝0,1,2,3)∴P (X ＝0)＝C 05C 35C 310＝10120＝112，P (X ＝1)＝C 15C 25C 310＝50120＝512，P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝50120＝512，P (X ＝3)＝C 35C 05C 310＝10120＝112∴X 的分布列为：∴E (X )＝0×112＋1×12＋2×12＋3×12＝12＝2(或由超几何分布的期望计算公式E (X )＝n ×M N ＝3×510＝32)。

第三章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·浙江理，2)已知i 是虚数单位，a 、b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2－b 2＝0,2ab ＝1，解a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故a ＝1，b ＝1是(a ＋b i)2＝2i 的充分不必要条件，选A.2．(2015·衡阳二模)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z 等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i[答案] C[解析] 由题意可得2－z －z ＝2－(－1＋i )－1－i ＝(3－i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )＝－1＋2i ，故选C.3．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为15(m －4)，虚部为－25(m＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ m －4>0，－2(m ＋1)>0.得⎩⎪⎨⎪⎧m >4，m <－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．4．(2014·东北三省三校联考)已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D ．12－32i[答案] D[解析] 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋(－12)2＋(32)2＝12－32i. 5．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B[解析] θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限．[点评] 由于θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时，据选项知，此复数对应点只能在某一象限，∴取θ＝π检验知，对应点在第二象限．6．(2015·石家庄市二模)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2015(其中i 为虚数单位)，则z －的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i[答案] B[解析] ∵2015＝4×503＋3， ∴i 2015＝i 3＝－i. ∴z ＝－i 1－i ＝12－12i.∴z 的虚部为－12.故选B.7．设z 的共轭复数为z －，若z ＋z －＝4，z ·z －＝8，则z －z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i[答案] D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎨⎧ z ＝2＋2i ，z －＝2－2i ，或⎩⎨⎧z ＝2－2i ，z －＝2＋2i.所以z －z ＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，或z －z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ， 所以z－z＝±i.8．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m 等于( ) A.112 B ．112iC ．－112D ．－112i[答案] A[解析] 设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)， 则a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－12，m ＝112.故选A.9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B ．33C.12 D ． 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.10．(2014·河北衡水中学模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i 为纯虚数．当a ＋i a －i ＝(a ＋i )2a 2＋1＝a 2－1＋2a ia 2＋1为纯虚数时，a 2＝1即a ＝±1，故选A.11．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R )，若复数ab ∈R ，则实数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83[答案] C[解析] a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2＝0，∴x ＝83. 12．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数 [答案] C[解析] ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称． ∴C 项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·重庆理，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. [答案] 3[解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3；(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 14．已知x ＋1x ＝－1，则x 2014＋1x 2014的值为________________．[答案] －1[解析] ∵x ＋1x ＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2014＝3×671＋1，∴x 2014＝x ， ∴x 2014＋1x 2014＝x ＋1x ＝－1. 15．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是_____________ [答案] cos(α＋β)[解析] z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________________时，z ＝1＋sin θ＋i(cos θ－sin θ)是实数． [答案] π4或54π[解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]， 所以θ＝π4或54π.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2015·长春外国语学校高二期中)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R )，试求m 取何值时(1)z 是实数． (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．[解析] (1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2>0，解得m ＝－1，或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)>0，且m 2＋3m ＋2>0，解得m <－2，或m >3，故当m <－2，或m >3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.19．(本题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .[解析] 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ② 又x 2＋y 2＝1. ③由①②③得 ⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本题满分12分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0， ② 解①得－1<m <0. 解②得m <2.故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2[(1＋m )(3－m )]＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0.故m ＝1±2.21．(本题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．[解析] 存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)． z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．22．(本题满分14分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。

最新北师大版数学精品教学资料【成才之路】高中数学 第三章 概率综合能力测试 北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于概率是1‰的事件，下列说法正确的是( ) A ．概率太小，不可能发生 B ．1 000次中一定发生1次C ．1 000人中，999人说不发生，1人说发生D ．1 000次中有可能发生1 000次 [答案] D[解析] 概率是1‰是说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与恰有2个黑球D ．至少有1个黑球与都是红球 [答案] C[解析] “从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含3个基本事件，关系如图所示. 显然恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．3．从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为( )A.15 B.13 C ．12 D.25[答案] D[解析] 任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为25.4．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：A.580B.780 C ．1720 D.320[答案] D[解析] P ＝5＋75＋68＋7＝320.5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4 C ．π6D.π8[答案] B[解析] 总面积2×1＝2.半圆面积12×π×12＝π2.∴p ＝π22＝π4.6．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.12 B.14 C ．34 D.1[答案] C[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为34.7．(2015·福建文，8)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16 B.14 C ．38 D.12[答案] B[解析] 由已知得，B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)(F 为f (x )与y 轴的交点)，则矩形ABCD 面积为3×2＝6，阴影部分面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14. 8．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14 B.13 C ．12 D.23 [答案] C[解析] 不妨设两间空房为A 、B ，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A ；甲、乙都住B ；甲住A ，乙住B ；甲住B ，乙住A 共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P ＝24＝12.9．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A.34 B.14 C ．12D.18[答案] A[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝34.10.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A ．颜色全相同 B.颜色不全相同 C ．颜色全不相同 D.无红颜色球[答案] B[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为19.因此，颜色不全相同的概率为1－19＝89，故选B.11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π[答案] A[解析] 本题考查几何概型的计算方法．设图中阴影面积为S 1，S 2，令OA ＝R ，∴S 2－S 1＝πR 24－π·(R 2)2＝0，即S 2＝S 1，由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC )＝2[πR224－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 28， ∴P ＝S 1＋S 2S 扇AOB ＝π－R 24πR24＝1－2π，充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．12.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78[答案] D[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．[答案] 0.32[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为32100＝0.32.14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝25外的概率是________．[答案]712[解析] 基本事件空间含有36个基本事件，而“点P 落在圆x 2＋y 2＝25外”含有21个基本事件，所以概率为2136＝712.15．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 34[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝34.16．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[答案]1316[解析] 本题主要考查几何概型． ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π122π×12＝34； ∴去打篮球的概率P 2＝π142π×12＝116. 小波不在家看书的概率P ＝34＋116＝1316.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．[解析] 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B .六种添加剂中任选两种有15种不同选法．(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)，故P (A )＝215.(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的法取有1种：(0,2)，所以事件B 的对立事件B 是“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和小于3”，所以P (B )＝215，故P (B )＝1－P (B )＝1315. 18．(本小题满分12分)现从A ，B ，C ，D ，E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：(1)A 被选中的概率； (2)A 和B 同时被选中的概率； (3)A 或B 被选中的概率．[解析] 基本事件有“ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，CDE ，BCD ，BCE ，BDE ，ADE ”共10个．(1)事件A 被选中包含6个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE . ∴P 1＝610＝0.6.(2)事件A 和B 同时被选中包含3个基本事件， 即ABC ，ABD ，ABE ，∴P 2＝310＝0.3.(3)A 、B 都不被选中只有事件CDE 一种，所以事件A 或B 被选中包含9个基本事件，∴P 3＝910＝0.90.19．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：(1)两次全是红球的概率； (2)两次颜色相同的概率； (3)两次颜色不同的概率．[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)．(1)两次全是红球的概率是P 1＝14.(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P 2＝14＋14＝12.(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P 3＝1－12＝12.点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解．20.(本小题满分12分)(2015·北京文，17)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解析] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．21.(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．[解析] (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16.设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.22.(本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s 至18s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14 s 且小于16 s 认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m －n |>1”的概率．[解析] (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27. (2)设事件M ：“|m －n |>1”由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3， 设这3人分别为x ，y ，z ；成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4， 设这4人分别为A ，B ，C ，D .若m ，n ∈[13,14)时，则有xy ，xz ，yz 共3种情况；若m ，n ∈[17,18]时，则有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m －n |>1.共有12种情况．所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，则事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种. 所以P (M )＝1221＝47.。