初一数学整式的乘法

七年级整式乘法知识点汇总整式乘法是数学中的重要概念之一，也是初中数学中比较考验学生能力的一部分。

七年级是整式乘法的起点，下面就让我们来回顾一下七年级整式乘法的知识点。

一、整式的定义整式是由数字和变量和它们的乘积按照加减法规则组成的式子，例如：3x^2 + 2xy - 5y^2其中，3、2、-5是数字，x、y是变量，x^2、xy、y^2是它们的乘积。

二、整式的乘法法则整式的乘法法则包括分配律、结合律和交换律。

具体如下：1.分配律：a(b+c) = ab+ac，例如：2(x+3) = 2x+6；2.结合律：a(bc) = (ab)c，例如：2x(3y) = (2x3)y；3.交换律：ab = ba，例如：3xy = xy3。

三、单项式的乘法单项式是只含有一个变量或者没有变量的整式。

单项式的乘法需要特别注意以下几点：1.同底数幂相乘，底数不变指数相加；2.乘方数相乘，指数相加；3.款首项相乘，次数相加。

例如：3x^2 * 2x^3 = 6x^5；(3a^2b^3)(-2ab^4) = -6a^3b^7。

四、多项式的乘法多项式是由多个单项式按照加减法规则组成的式子。

多项式的乘法需要注意以下几点：1.对于多项式相乘的情况，先将一个多项式的每一项和另一个多项式的每一项逐一相乘，然后把每一项积累加起来；2.同一多项式内，每一项相乘后，要将式子全部合并，再进行下一项相乘。

例如：(3x^2+2xy)(2x-5y) = 6x^3 - 11xy^2 - 10x^2y + 15y^3。

五、整式计算中常用的技巧在整式计算过程中，有时候会遇到一些需要采取特殊技巧的情况，以下是一些常用技巧：1.二次项的平方可以拆解成一次项的积。

例如：(2x+3)^2 = 2x*2x + 2x*3 + 3*2x + 3*3 = 4x^2 + 12x + 9。

2.差的平方可以拆解成两个积。

例如：(3x-2)^2 = (3x-2)*(3x-2) = 3x*3x - 2*3x*2 + 2*3x - 2*3x + 4 = 9x^2 -12x + 4。

整式的乘法☆ 第二课时 单项式与多项式的乘法1、选择（1）x(1+x)-x(1-x)等于 （ ）A 、2xB 、2x 2C 、0D 、-2x+2x 2(2)(-3a 2+b 2-1)(-2a)等于 （ ）A 、6a 3-2ab 2B 、6a 3-2ab 2-2aC 、-6a 2+2ab-2aD 、6a 3-2ab 2+2a2、计算（1）-6x(x-3y) (2)5x(2x 2-3x+4) (3)3x(x 2-2x-1)-2x 2(x-2)3、计算下面图形的面积。

☆ 个性练习设计计算图中阴影部分的面积，当E 在AD 上运动时，面积有什么规律？第三课时 多项式与多项式相乘☆ 基础练习设计1、选择（1）计算结果是a 2-3a-40的是（ ）A 、（a-4）（a+10）B 、（a+4）（a-10）C 、（a+5）（a-8）D 、（a-5）（a+8）（2）若x 2-4x+m=(x-2)(x+n),则 （ ）A 、m=-4 n=2B 、m=4 n=-2C 、m=-4 n=-2D 、m=4 n=22、填空(1)（x+p ）(x+q)= (2)(-2x+1)(-2x-1)= (3)(3x-4y)2= (4)(1-x+y)(x+y)=3、如图，P 是线段AB 上一点，分别以AP 、BP （1）如果AB=a ，AP=x ，求两个正方形的面积之和S （2）当AP 分别为31a 、21a 时，比较S 的大小。

A P B☆个性练习设计计算：（a+b+c ）(c+d+e)1.4 幂的乘方与积的乘方一、填空题:(每题4分,共32分)1. 221()3ab c -=________,23()n a a ⋅ =_________.2.5237()()p q p q ⎡⎤⎡⎤+⋅+⎣⎦⎣⎦ =_________,23()4n n n n a b =.3.3()214()a a a ⋅=.4. 23222(3)()a a a +⋅=__________.5.221()()n n x y xy -⋅ =__________.6.1001001()(3)3⨯- =_________,220042003{[(1)]}---=_____.7.若2,3n n x y ==,则()n xy =_______,23()n x y =________.8.若4312882n ⨯=,则n=__________.二、选择题:(每题4分,共32分)9.若a 为有理数,则32()a 的值为( )A.有理数B.正数C.零或负数D.正数或零10.若33()0ab <,则a 与b 的关系是( )A.异号B.同号C.都不为零D.关系不确定11.计算82332()()[()]p p p -⋅-⋅-的结果是( )A.-20pB.20pC.-18pD.18p12.44x y ⨯= ( )A.16xyB.4xyC.16x y +D.2()2x y +13.下列命题中,正确的有( )①33()m n m n x x +++=,②m 为正奇数时,一定有等式(4)4m m -=-成立, ③等式(2)2m m -=,无论m 为何值时都不成立④三个等式:236326236(),(),[()]a a a a a a -=-=--=都不成立( )A.1个B.2个C.3个D.4个14.已知│x │=1,│y │=12,则20332()x x y -的值等于( ) A.-34 或-54 B. 34或54 C. 34 D.-5415. 已知5544332,3,4a b c ===,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a<b<c16.计算620.25(32)⨯-等于( ) A.-14 B.14 C.1 D.-1三、解答题:(共36分)17.计算(6分)(1)4224223322()()()()()()x x x x x x x x +-⋅--⋅-⋅-; (2)3123121()(4)4n m n a b a b ---+-⋅;(3)2112168(4)8m m m m --⨯⨯+-⨯ (m 为正整数).18.已知105,106a b ==,求(1)231010a b +的值;(2)2310a b +的值(7分)19.比较1002与753的大小(7分).20.已知333,2m n a b ==,求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值(7分)21.若a=-3,b=25,则19991999a b +的末位数是多少?(9分)1.5 同底数幂的除法一、填空题:(每题3分,共30分)1.计算52()()x x -÷-=_______,10234x x x x ÷÷÷ =______.2.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________.3.若0(2)x -有意义,则x_________.4.02(3)(0.2)π--+-=________.5.2324[()()]()m n m n m n -⋅-÷- =_________.6.若5x-3y-2=0,则531010x y ÷=_________.7.如果3,9m n a a ==,则32m n a -=________.8.如果3147927381m m m +++⨯÷=,那么m=_________.9.若整数x 、y 、z 满足91016()()()28915x yx⨯⨯=,则x=_______,y=_______,z=________. 10.2721(5)(5)248m na b a b ⨯-÷-=,则m 、n 的关系(m,n 为自然数)是________.二、选择题:(每题4分,共28分)11.下列运算结果正确的是( )①2x 3-x 2=x ②x 3·(x 5)2=x 13 ③(-x)6÷(-x)3=x 3 ④(0.1)-2×10-•1=10A.①②B.②④C.②③D.②③④12.若a=-0.32,b=-3-2,c=21()3--,d=01()3-, 则( )A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.a<d<c<bD.c<a<d<b13.若21025y =,则10y -等于( ) A.15 B.1625 C.-15或15 D.12514.已知9999909911,99Q =,那么P 、Q 的大小关系是( )A.P>QB.P=QC.P<QD.无法确定15.已知a ≠0,下列等式不正确的是( )A.(-7a)0=1B.(a 2+12)0=1C.(│a │-1)0=1D.01()1a =16.若35,34m n ==,则23m n -等于( ) A.254 B.6 C.21 D.20三、解答题:(共42分)17.计算:(12分) (1)03321()(1)()333-+-+÷-; (2)15207(27)(9)(3)---⨯-÷-;(3)33230165321()()()()(3)356233---÷+-÷--+. (4)2421[()]()n n x y x y ++÷-- (n 是正整数).18.若(3x+2y-10)0无意义,且2x+y=5,求x 、y 的值.(6分)19.化简:4122(416)n n n +-+.(6分) 20.已知235,310m n ==,求(1)9m n -;(2)29m n -.(6分)21.已知1x x m -+=,求22x x -+ 的值. 22.已知2(1)1x x +-=,求整数x.(6分)答案: 1.4 幂的乘方与积的乘方 1.24219a b c ,23n a + 2.2923(),4p q a b + 3.4 4.628a 5.331n n x y +- 6.1,-1 •7.6,108 8.37 9.A 、D 10.A 、C 12.D 13.A 14.B 15.A 16.B17.(1)0 (2)12m a b (3)018.(1)2323231010(10)(10)56241a b a b +=+=+=(2)23232323101010(10)(10)565400a b a b a b +=⋅=⋅=⨯= 19.100425753252(2),3(3)==,而4323<, 故1002523<20.原式=22332322(3)()32327n m n m b a b +-=+-⨯=-21.原式=1999199949943199949931999(3)(25)32534325⨯+-+=-+=-⨯⨯+ 另知19993的末位数与33的末位数字相同都是7,而199925的末位数字为5 ∴原式的末位数字为15-7=8.1.5 同底数幂的除法答案:1.-x 3,x2.2.04×10-4kg3.≠24.265.(m-n)66.1007.13 8.2 9.3,2,2 10.2m=n 11.B 12.B13.C 14.B 15.C 16.A17.(1)9 (2)9 (3)1 •(4)61()n x y --+ 18.x=0,y=5 19.0 20.(1)2222219(3)333510020m n m n m n m n ---===÷=÷=. (2)2222222219(3)(3)(3)5104m n m n m n --==÷=÷=.21.22122()22x x x x m --+=+-=-22.①当x+2=0时,x+1≠0,x=-2②当x-1=1时,x=2③当x-1=-1时,x+2为偶数,这时x=0∴整数x 为-2,0,2.。

2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

第二讲：整式的乘法【知识点】(1)单项式乘以单项式；把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同他的指数作为积的一个因式。

如：()()c b a c b b a a ab c b a 5323223262323=⋅⋅⋅-⨯-=-⨯-.(2)单项式乘以多项式；根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

()()()()()ab b a c b a b a ab c b a b a -⋅-+⋅-=--2222222223232(3)多项式乘以多项式；先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

()()ab bc a ab b a 332222+--()()()()()()()()ab ab bc a ab ab b a bc a b a 333322222222⋅-+-⋅-+⋅+-⋅= 323323249362b a c b a b a c b a -++-=【课前热身】1、计算()()()2223232b a b a b a -⋅+-的结果是（ ）A 、3617b a -B 、3618b a -C 、3617b aD 、3618b a2、()c b a a -+-2与()ac ab a a +--2的关系是 （ ） A 、相等.B 、互为相反数.C 、前式是后式的a -倍.D 、以上结论都不对.3、若()()c bx x x x ++=+-258，则=b ，=c . 4、现规定一种运算b a ab b a -+=⊗，求()b a b b a ⊗-+⊗的值为 .5、已知n m ,满足()0312=-++n m ，则()()=--n x m x . 【例题精讲】【例题1】、计算下列各式（1）()()()23222222x y xyxy xy --+ （2）()3238421xy y y x +⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）()xy xy y x 8441223+-⋅⎪⎭⎫⎝⎛ （4）()()()222322----+a a a a a【例题2】、（1）若4122---n m y x 与147--m n y x 的积与273y x -是同类项，求n m ,的值.（2）已知()0112=-+-b a ，求()()222222b a ab b b ab a a -+----的值. （3）已知2232,32ab b a C b a ab B ab A -=+=-=）（，，且b a ,异号，a 是绝对值最小的负整数，21=b ，求C A B A ⋅-⋅213的值.【例题3】、（1）已知()()2264y xy x by x ay x +-=++，求ab b a 23-+）（的值. （2）若()()m x x nx x +-++3322的乘积中不含2x 和3x 的项，求n m ,的值.（3）若()0532232=++++y x y x ．化简(一122x y )(xy 2+42x y －6x 3)+2xy (x 3y －2x 4)+xy 2，并求它的值．【例题4】、如果()()3294223-+⋅=+++x x n mx x x 则=m ______，=n ______．【例题5】、已知()43223140432a x a x a x a x a x ++++=+；求： （1）43210a a a a a ++++；（2）43210a a a a a +-+-；（3）420a a a ++.【过手训练】1、计算下列各式（1）()()()36323142xy x y x y x -⋅-+⋅ （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--132321223x x x x（3）()()22322yxy x y x -+- （4）解方程：x (x 2+3)+ 2x (2x －3)--3x (2x －x －1)=12；2、已知1452=-x x ，求()()()111212++---x x x 的值.3、2,3==-+n m n m y x ，求代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+m n n m n m n m y x y x 226522131的值.4、先化简，再求值：(3x －2)(x －3)一2(x +6)(x －5)+3(2x －7x +13)，其中132x =．【家庭作业】1、计算下列各式（1）c ab abc bc a 2322532335⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）()()()()232234635x xy xy xy y y x -⋅+-⋅-+-⋅（3）()()()233422+-+--x x x x x （4）解方程：()()()()11563223--+=--x x x x2、已知62-=xy ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-y y x y x xy 5273121361的值.3、已知435,477m n ==， 求代数式()()()()321322m n m n m n m n ⎡⎤-+--+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 的值．。

七年级下整式的乘法知识点整式是由常数、变量及其积与和组成的代数式，整式的乘法是七年级下学习中重要的知识点之一。

本文将详细介绍七年级下整式的乘法知识点，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、整式的乘方在整式的乘法中，有时需要将整式自乘若干次，这就涉及到整式的乘方。

整式a的n次方表示连乘n个a：a^n=a×a×……×a(n个a)例如，(2x+y)^2=2x×2x+2x×y+y×2x+y×y=4x^2+4xy+y^2。

二、同类项的乘法同类项指变量的指数相同的项，例如2x和3x就是同类项。

在计算整式的乘法时，同类项的乘积可以简单地计算出来。

例如：3x(2x+4y)=6x^2+12xy三、异类项的乘法异类项指变量的指数不同的项，例如2x和3x^2就是异类项。

在计算异类项的乘积时，可以采用分配律，即将一个整式分别乘以另一个整式中的每一项，再将结果相加。

例如：(2x+3)(4x^2+5y)=2x×4x^2+2x×5y+3×4x^2+3×5y=8x^3+10xy+12x^2 +15y四、多项式的乘法如果有两个多项式相乘，则可以将每个项分别乘以另一个多项式中的每一个项，再将所得乘积相加。

这与异类项的乘法方法相同。

例如：(x+2)(x^2+3x+1)=x×x^2+x×3x+x×1+2×x^2+2×3x+2×1=x^3+5x^2+7 x+2五、乘法公式有些整式的乘法比较繁琐，需要采用乘法公式可以简化计算。

常见的乘法公式有平方差公式、完全平方公式和积和差公式。

本文只介绍最常用的两个公式：1、平方差公式如下：(a+b)(a-b)=a^2-b^2例如，(3x+2)(3x-2)=9x^2-4。

2、完全平方公式如下：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2例如，(x+2)^2=x^2+4x+4，(x-2)^2=x^2-4x+4。

七年级整式乘法知识点整式乘法是初中阶段的重要数学知识之一，不仅在日常生活中有广泛的应用，也是后续高中数学学习的基础。

本文将详细介绍七年级整式乘法的知识点，包括定义、性质、运算规则和简化方法等方面。

一、整式乘法的定义整式乘法指的是两个或多个整式相乘的过程，其中整式是由常数和变量乘幂构成的形如ax^n+bx^m+...+c的多项式式子。

整式乘法的结果也是一个整式，通常写成类似于(a+b)(c+d)的形式。

二、整式乘法的性质1. 乘法结合律：对于任意整式a、b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)。

2. 乘法交换律：对于任意整式a和b，有a*b=b*a。

3. 乘法分配律：对于任意整式a、b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。

三、整式乘法的运算方法1. 单项式相乘：将单项式的系数相乘，指数相加，如2x^3*3x^2=6x^5。

2. 多项式相乘：将每个多项式中的单项式与另外一个多项式中的所有单项式相乘，然后将得到的所有乘积相加。

举例来说，(2x+3)(4x+5)=2x*4x+2x*5+3*4x+3*5=8x^2+10x+12x+15=8x^2+22x+15。

3. 分配律运用：将一个多项式拆分成若干个子式，然后运用分配律将拆分后的子式与另一个多项式相乘。

如(3x^2+2x)(5x+1)=3x^2*5x+3x^2*1+2x*5x+2x*1=15x^3+11x^2+10x。

四、整式乘法的简化方法1. 同底数幂的乘法：将同底数的幂相乘时，将指数相加得到新的指数，保持底数不变。

如2x^3*x^4=2x^7。

2. 消去因式：如果两个整式具有公共因式，可以通过消去公共因式的方式简化式子。

如4x^3-8x^2=4x^2(x-2)。

3. 合并同类项：将具有相同变量和指数的单项式合并，即将它们的系数相加。

如3x^2+5x^2=8x^2。

五、小结整式乘法是数学中的基本运算之一，掌握它的知识点对于理解后续数学内容的学习至关重要。

初中数学如何计算整式的乘法
计算整式的乘法是初中数学中的基础知识之一。

下面我将详细介绍整式的乘法运算步骤，并提供一些例子来说明。

整式的乘法运算步骤如下：
1. 将被乘数和乘数按照相同的顺序排列。

2. 从被乘数中选取一项，与乘数中的每一项逐一相乘。

3. 将每一项的乘积相加，得到最终的结果。

下面是一个例子来说明整式的乘法运算：
考虑两个整式：A = 2x + 3，B = 4x - 5。

我们可以计算A * B。

将被乘数A和乘数B按照相同的顺序排列：
2x + 3
* 4x - 5
从被乘数A中选取一项，与乘数B中的每一项逐一相乘：
(2x) * (4x) = 8x²
(2x) * (-5) = -10x
(3) * (4x) = 12x
(3) * (-5) = -15
将每一项的乘积相加：
8x² + (-10x) + 12x + (-15)
最后，将相同次数的项合并：
8x² + 2x - 15
所以，A * B = 8x² + 2x - 15。

以上就是整式的乘法运算的基本步骤。

在实际计算中，可能会遇到更复杂的整式乘法问题，涉及多个变量和更多的项。

但是，无论多复杂，我们都可以按照相同的步骤进行计算：按顺序排列、逐项相乘、合并同类项。

总结：
计算整式的乘法可以按照以下步骤进行：将被乘数和乘数按照相同的顺序排列，从被乘数中选取一项，与乘数中的每一项逐一相乘，将每一项的乘积相加，最后合并同类项。

掌握整式的乘法运算可以帮助我们解决代数问题，进一步提升数学能力。

初中数学什么是整式的乘法整式的乘法指的是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。

整式是由常数、变量及它们的乘积和幂次的和或差组成的代数式。

下面将详细介绍整式的乘法运算的定义、性质以及如何进行整式的乘法。

一、整式的乘法定义设有两个整式A和B，表示为：A = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀B = bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₂x² + b₁x + b₀其中，aₙ、aₙ₋₁、...、a₂、a₁、a₀和bₙ、bₙ₋₁、...、b₂、b₁、b₀为常数系数，x为变量，n和m 为幂次。

整式A和B的乘积表示为A * B，即：A *B = (aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀) * (bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₂x² + b₁x + b₀)二、整式乘法的性质整式的乘法具有以下性质：1. 乘法交换律：对于任意两个整式A和B，有A * B = B * A。

即整式的乘法满足交换律。

2. 乘法结合律：对于任意三个整式A、B和C，有(A * B) * C = A * (B * C)。

即整式的乘法满足结合律。

3. 乘法分配律：对于任意三个整式A、B和C，有A * (B + C) = A * B + A * C。

即整式的乘法满足左分配律。

三、整式的乘法运算整式的乘法运算可以通过展开和合并同类项的方法进行。

例如，设有两个整式A和B，表示为：A = 2x² + 3xy - 4y²B = 5x - 2y我们将A与B相乘，即A * B，得到：A *B = (2x² + 3xy - 4y²) * (5x - 2y)按照乘法分配律的定义进行展开和合并，得到：A *B = 2x² * 5x + 2x² * (-2y) + 3xy * 5x + 3xy * (-2y) - 4y² * 5x - 4y² * (-2y)进一步计算，得到：A *B = 10x³ - 4x²y + 15x²y - 6xy² - 20xy² + 8y³将上述结果进行合并同类项，得到最后的乘积结果：A *B = 10x³ + 11x²y - 26xy² + 8y³总结：整式的乘法是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。

初一数学整式的乘法试题答案及解析1.计算（ab）2的结果是（）A．2ab B．a2b C．a2b2D．ab2【答案】C【解析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进行计算即可．解：原式=a2b2．故选C．2.计算（﹣2a3）2的结果是（）A．2a5B．4a5C．﹣2a6D．4a6【答案】D【解析】根据积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案；注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．解：（﹣2a3）2=（﹣2）2•（a3）2=4a6．故选D．3.计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6【答案】D【解析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．4.计算（﹣x2y）2的结果是（）A．﹣x4y B．x2y2C．x4y2D．2x4y2【答案】C【解析】根据积的乘方法则，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，求出即可．解：（﹣x2y）2=x4y2，故选C．5.若（a m b n）3=a9b15，则m、n的值分别为（）A．9；5B．3；5C．5；3D．6；12【答案】B【解析】根据积的乘方法则展开得出a3m b3n=a9b15，推出3m=9，3n=15，求出m、n即可．解：∵（a m b n）3=a9b15，∴a3m b3n=a9b15，∴3m=9，3n=15，∴m=3，n=5，故选B．6.（﹣a2b3c）3=（）A．a6b9c3B．﹣a5b6c3C．﹣a6b9c3D．﹣a2b3c3【答案】C【解析】根据积的乘方的运算性质求解．解：（﹣a2b3c）3=﹣a6b9c3．故选C．7.地震中里氏震级增加1级，释放的能量增大到原来的32倍，那么里氏级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍．【答案】7【解析】设里氏n级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍，根据题意得出方程32n﹣1=323﹣1×324，求出方程的解即可．解：设里氏n级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍，则32n﹣1=323﹣1×324，32n﹣1=326，n﹣1=6，n=7．故答案为：7．8.运算结果为a6b12的一个算式是（答案不唯一）．【答案】（a3b6）2=a6b12【解析】只要是根据积的乘方和幂的乘方运算方法列的算式均可．解：如（a3b6）2=a6b12等，答案不唯一．9.计算：（﹣ab2）2=．【答案】4【解析】根据积的乘方的性质把（﹣ab2）2展开，然后根据它们的倍数关系即可求解．解：∵（﹣ab2）2=×（﹣ab2）2，∴4×（﹣ab2）2=（﹣ab2）2．故应填4．10.计算（﹣a2b）2的结果是．【答案】a4b2【解析】根据幂的乘方的性质，积的乘方的性质即可求得答案．解：（﹣a2b）2=a4b2．故答案为：a4b2．11.计算=．【答案】﹣a6b9【解析】根据积的乘方公式，积的乘方等于把每个因式分别平方，再把所得的幂相乘．然后利用幂的乘方法则即可求解．解：原式=﹣（）3（a2）3（b3）3=﹣a6b9．故答案是：﹣a6b9．12.计算：﹣（﹣3a2b3）4的结果是．【答案】﹣81a8b12【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算．解：﹣（﹣3a2b3）4=﹣（﹣3）4a8b12=﹣81a8b12．13.计算（2x3y）2的结果是（）A．4x6y2B．8x6y2C．4x5y2D．8x5y2【答案】A【解析】根据积的乘方的知识求解即可求得答案．解：（2x3y）2=4x6y2．故选：A．14.下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（a4）3=a12C．（﹣2a）3=﹣6a3D．a4+a5=a9【答案】B【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、a2•a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；B、（a4）3=a4×3=a12，故本选项正确；C、（﹣2a）3=（﹣2）3a3=﹣8a3，故本选项错误；D、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选B．15.计算（2a）3的结果是（）A．6a B．8a C．2a3D．8a3【答案】D【解析】利用积的乘方以及幂的乘方法则进行计算即可求出答案．解：（2a）3=8a3；故选D．16.已知a=75，b=57，则下列式子中正确的是（）A．ab=1212B．ab=3535C．a7b5=1212D．a7b5=3535【答案】D【解析】根据幂的乘方和积的乘方求出ab和a7b5的值，再进行判断即可．解：∵a=75，b=57，∴ab=75×57≠1212，ab≠3535，a7b5=（75）7×（57）5=735×535=（7×5）35=3535，而a7b5≠1212，∴选项A、B、C都不正确；只有选项D正确；故选D．17. a14不等于下列各式中的（）A．a7•a7B．a3•a5•a6C．（a7）7D．2a14﹣a14【答案】C【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分别进行分析即可．解：A、a7•a7=a14，故本选项正确；B、a3•a5•a6=a14，故本选项正确；C、（a7）7=a49，故本选项错误；D、2a14﹣a14=a14，故本选项正确；故选C．18.已知32+m=27•3n，当m=4时，n等于（）A．0B．3C．4D．﹣4【答案】B【解析】根据同底数幂的乘法运算法则得出27•3n=33+n，进而求出即可．解：∵32+m=27•3n，m=4，∴36=33+n，则3+n=6，解得：n=3．故选：B．19.下列各式正确的是（）A．（m2）3=m8B．（m2）3=m6C．[（m2）2]2=m6D．﹣（﹣m2）2=m4【答案】B【解析】根据幂的乘方法则对各选项进行判断．解：A、（m2）3=m6，所以A选项错误；B、（m2）3=m6，所以B选项正确；C、[（m2）2]2=m8，所以C选项错误；D、﹣（﹣m2）2=﹣m4，所以D选项错误．故选B．20. a12不能写成（）A．（a3）4B．（a6）2C．（a2）10D．a2•a10【答案】C【解析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法法则判断即可．解：a12=（a3）4=（a6）2=a2•a10，a12≠（a2）10，即选项A、B、D正确，只有选项C错误；故选C．21.化简（）1999•32000等于（）A．3B．C．1D．9【答案】A【解析】把（）1999化为3﹣1999，然后根据同底数幂的乘法法则求解即可．解：原式=3﹣1999•32000=3．故选A．22.计算：（x n+1）2•（x2）n﹣1所得结果是（）A．x4n+2B．x4n﹣1C．x4n D．x4n+1【答案】C【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．解：（x n+1）2•（x2）n﹣1=x2n+2•x2n﹣2=x4n．故选：C．23.如果（a3）6=86，则a等于（）A．2B．﹣2C．±2D．以上都不对【答案】A【解析】由于指数相同，令底数相同即可进行计算．解：∵（a3）6=86，∴a3=8，∴a=2．故选A．24.计算2m•4n的结果是（）A．（2×4）m+n B．2•2m+n C．2n•2mn D．2m+2n【答案】D【解析】先用幂的乘方法则转化为同底数幂的乘法运算，再运用同底数幂的乘法法则进行运算．解：2m•4n=2m•22n=2m+2n．故选D．25.计算：（2a2）2=．【答案】4a4【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．解：（2a2）2=22a4=4a4．26.计算：（﹣m2）5=．【答案】﹣m10【解析】根据幂的乘方的法则求解．解：（﹣m2）5=﹣m10．故答案为：﹣m10．27.计算：（a2b）2=．【答案】a4b2【解析】根据幂的乘方法则及积的乘方法则，进行运算即可．解：原式=a4b2．故答案为：a4b2．28.已知a是整数，且，则a的值是．【答案】﹣4【解析】首先把化为2a=，再根据2﹣4=可得a=﹣4．解：∵，∴2a=，∵2﹣4=，∴a=﹣4，故答案为：﹣4．29.化简（2x3）2=．【答案】4x6【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．解：（2x3）2=22（x2）3=4x6．故答案为：4x6．30.比较大小：（23）4（34）2．【答案】<【解析】根据幂的乘方把两个数写成指数相同的数，再比较．解：∵（23）4=642，（34）2=812，而642＜812∴（23）4＜（34）2．。

第一讲整式乘除1.1 整式的乘法◆赛点归纳整式的乘法包括单项式以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等内容．◆解题指导例1（2001，全国竞赛）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111－b），则a 与b•之间的大小关系是（）．A．a>b B．a=b C．a<b D．不能确定【思路探究】由题设易得乘积式111（a－b），若能说明111（a－b）>0，即可比较a•与b的大小．这可利用多项式乘法推得．例2求在展开（5a3－3a2b+7ab2－2b3）（3a2+2ab－3b2）中，a3b2和a2b3的系数．【思路探究】若根据多项式乘以多项式法则直接运算，计算量就比较大；若用竖式计算，就很方便．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？【解】5 -3 7 -1×) 3 2 -3________________________________________________-15 +9 -21 +6+10 -6 +14 -4+) +15 -9 +21 -6___________________________________________________+15 +1 0 +17 -25 +6∴原式=15a5+a4b+17a2b3－25ab4+6b5．因为展开后的多项式没有a3b2项，所以a3b2系数不存在，a2b3的系数为17．例3 （2001，武汉市竞赛）若3x3－x=1，则9x4+12x3－3x2－7x+2001的值等于（）．A．1999 B．2001 C．2003 D．2005【思路探究】显然是无法直接代入求值的，必须将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值就不难了．例4 （2002，黄冈市竞赛）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x•的绝对值等于3，则x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）·x2001+（－ab）2002的值等于________．【思路探究】要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题设可知，多项式（1+m+n+ab）、（m+n）与（－ab）都等于特殊值．例5 （2000，“希望杯”，初二）已知多项式2x2+3xy－2y2－x+8y－6•可以分解为（•x+2y+m）（2x－y+n）的形式，那么3211mn+-的值是______．【思路探究】由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2+3xy－2y2－x+8y－6．•根据多项式恒等的条件可列出关于m、n的二元一次方程组，进而不难求出m、n的值．【拓展题】按下面规则扩充新数：已知a和b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c•三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到1999，并说明理由．◆探索研讨在求解整式乘法比较复杂的相关问题时，运用整式乘法法则进行计算或求解相关问题，一般不宜直接运用整式乘法法则，请结合本节例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－1997的值是（）．A．1997 B．－1997 C．1996 D．－19962．若19a+98b=0，则ab是（）．A．正数B．非正数C．负数D．非负数3．（2002，“希望杯”，初二）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（ ）．A ．M<NB ．M>NC ．M=ND ．不能确定4．（2001，山东省竞赛）某商店经销一批衬衣，进价为每件m•元，•零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，•那么调价后每件衬衣的零售价是（ ）．A ．m （1+a%）（1－b%）元B ．ma%（1－b%）元C ．m （1+a%）b%元D ．m （1+a%b%）元5．若a=199519951996199619971997,,199619961997199719981998b c ==，则（ ）． A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<b<a D ．a<c<b6．若n 是奇自然数，a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的负整数，则（ ）．A ．（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）是正整数B ．（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）是正整数C ．（11a +1）（21a +2） (1)a +n ）是正数 D ．（1－11a ）（2－21a ）…（n －1n a ）是正数 7．（x ，y ）称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下： （x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．则不成立的运算规律是（ ）．A ．乘法交换律：（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 2，y 2）·（x 1，y 1）B ．乘法结合律：（x 1，y 1）（x 2，y 2）·（x 3，y 3）=（x 1，y 1）（（x 2，y 2）·（x 3，y 3））C ．乘法对加法的分配律：（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））D ．加法对乘法的分配律：（x ，y ）+（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））=（（x ，y ）+（x 1，y 1））·（（x ，y ）+（x 2，y 2））8．计算：（3x+9）（2x－5）=________．9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．14．计算：（12+13+…+12002）（1+12+…+12001）－（1－12+…+12002）（12+13+…+12001）．15．在（x2－ax+b）（ax2+x－b）的展开式中，x2的系数是1，x的系数是9，求整数a和b 的值．16．已知3n+11m能被10整除，试证：3n+4+11m+2也能被10整除．答案:解题指导例1 A [提示：∵12345=（111+a ）（111－b ）=1112+111（a －b ）－ab ，∴111（a －b ）=12345－1112+ab=24+ab ．∵a>0，b>0，∴ab>0．∴24+ab>0，即a －b>0，∴a>b ．]例2 a 3b 2的系数为0，a 2b 3的系数为17．例3 D [提示：由已知有3x 3－x －1=0，9x 4+12x 3－3x 2－7x+2001=3x （3x 3－x －1）+4（3x 3－x －1）+2005=2005．若将3x 3－x=1代入，如何求？]例4 28或－26． [提示：∵m 、n 互为相反数，∴m+n=0．∵a 、b 互为负倒数，∴ab=－1．∴x 3－（1+m+n+ab ）x 2+（m+n ）x 2001+（－ab ）2002=x 3－（1+0－1）x 2+0+[－（－1）] 2002=x 3+1=±│x│3+1=28(3),26(3).x x =⎧⎨-=-⎩] 例5 －78． [提示：由题意知（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2－x+8y －6．又（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2+（2m+n ）x+（2n －m ）y+nm ，根据多项式恒等的条件，得3221,2,1728, 3.186.m n m m n m n n mn +=-⎧=-⎧+⎪-==-⎨⎨=-⎩⎪=-⎩解得故．] 【拓展题】（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．若要求最大新数，第二次应取4和9，得到4×9+4+9=49．同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则499就是扩充三次的最大数．（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，∴c+1=（a+1）（b+1）．取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）=（a+1）2（b+1）．取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）=（b+1）2（a+1）．设扩充后的新数为x，则总存在x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，又1999+1=2000=24×53，∴1999可以通过上述规则扩充得到．能力训练1．D [提示：由m2+m－1=0，知m2+m=1，∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997=m+m2－1997=－1996．]2．B [提示：由19a+98b=0，得a=－9819b，ab=9819－b2≤0．]3．B [提示：证明M－N>0．]4．C [提示：由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，•那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]5．A [提示：设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=•19981998，•则有B=•A+10001，C=B+10001，D=C+10001．∴（B+10001）（B －10001）=B 2－100012，即C·A=B 2－100012． ∴C·A<B 2．由于B 、C 均为正数，所以1995199519961996,1996199619971997A B B C <<即． 同理，可以得到1996199619971997,1997199719981998B C C D <<即．] 6．D [提示：a 1，a 2，…a n 是n 个互不相同的负整数，其中n 是奇自然数，若a 1=－1，a 1+1=0， 则（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）=0，排除A ；若a 1=－1，a 2=－2，a 3=－3，…，a n =－n ，则（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）=（－2）（－4）（－6）…（－2n ）=（－1）n 2×4×6×…×（2n ）<0．因为n 是奇数，故排除B ；若a 1=－1，+1=0，则（11a +1）.（21a +2） (1)a +n ）=0，又排除C ． 如果运用直接证法，如何证明？]7．D [提示：易见乘法交换律成立．由（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））·（x 3，y 3）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）·（x 3，y 3）=（x 1x 2x 3－y 1y 2x 3－x 1y 2y 3－y 1x 2y 3，x 1x 2y 3－y 1y 2y 3+x 1y 2x 3+y 1x 2x 3=（x 1，y 1）·（x 2x 3－y 2y 3，x 2y 3+y 2x 3）=（x 1，y 1）·（（x 2，y 2）·（x 3，y 3）），知乘法结合律成立．由（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（x ，y ）·（x 1+x 2，y 1+y 2）=（x （x 1+x 2）－y （y 1+y 2），x （y 1+y 2）+y （x 1+x 2））=（xx 1－yy 1，xy 1+yx 1）+（xx 2－yy 2，xy 2+yx 2）=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））．知乘法对加法的分配律成立．由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），知加法对乘法的分配律不成立．]8．6x2+3x－45．9．20000．[提示：∵m=－1998，∴m+11=－1987，m+22=－1976．∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．∴m2+11m－999>0．∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，∴m2+22m+999>0．∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]10．－1．[提示：由已知，得x4=1．∴y=x97+x98+…+x103=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104=－（x4）26=－1．]11．1023．[提示：易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]12．－1．[提示：设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则a+d=m－y，b+d=m－x，由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，①②∴a+c≠b+c ，即x≠y ． ∴m=0．又x （m －y ）=1， ∴－xy=1．故（a+c ）（b+c ）=xy=－1．]13．设BC=x ，则AB=10－x ，CD=8－x ，AD=18－x ．∴AB·CD+BC·AD=（10－x ）（8－x ）+x （18－x ）=80．14．设12+13+…+12001=a ，则 原式=（a+12002）（1+a ）－（1+a+12002）a=12002． 15．由条件知1,9.ab b a ab b --=⎧⎨+=⎩ 由①得（a －1）（b －1）=2，因为a 、b 是整数，于是 11,12,11,12,1211121 1.a a a a b b b b -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩或或或 由②检验知a=2，b=3．16．3n+4+11 m+2=3 4×3 n +11 2×11 m =81×3 n +121×11 m =80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）．∵10│80×3 n ，10│120×11 m ，10│3 n +11 m ，∴10│（80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）），即10│（3 n+4 +11 m+2）．。