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西城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列说法正确的是（ ）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.2． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10 3． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2016B ．2C ．D ．﹣14． 已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ） A ．23 B. 332C. 33D. 435． “”是“”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则=（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣5D ．﹣37． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）AB ． C． D．8． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）A ．2 B．C．D ．139． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-10．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π11．函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ） A ．（0，） B．（，1） C ．（1，2） D ．（2，3）12．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题13．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 14．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．16．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ；②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．17．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．三、解答题18．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若22211PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．21．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若x0∈（，π），sinx0=，求f（x0）的值．22．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；（2）设(){}1nn n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．23．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ． （Ⅰ）求证：AE=EB ；（Ⅱ）若EF •FC=，求正方形ABCD 的面积．24．已知函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数．（1）求实数m的取值范围；（2）设向量，求满足不等式的α的取值范围．西城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】考点：几何体的结构特征.2．【答案】B【解析】考点：球与几何体3．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k＜2016，s=，k=2满足条件k＜2016，s=2．k=3满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k＜2016，s=，k=5…观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k＜2016，s=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．4．【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆的面积为1||2AB d '⋅=，选C ． 5． 【答案】B【解析】解：，解得或x ＜0，∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B ．6． 【答案】C【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f ′（x ）=0的两个根，∵f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d ， ∴f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ， 由f ′（x ）=3ax 2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，即c=﹣6a ，2b=﹣3a ，即f ′（x ）=3ax 2+2bx+c=3ax 2﹣3ax ﹣6a=3a （x ﹣2）（x+1），则===﹣5，故选：C【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．7． 【答案】A 【解析】考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.8．【答案】C【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，可得=||||cos＜，＞=3×1×=，即有|﹣4|===．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．9．【答案】A【解析】考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 10．【答案】A【解析】考点：三角函数的图象性质．11．【答案】C【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．故选：C．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．12．【答案】D【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB，∴A=，或a=b，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D．【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题．二、填空题13．【答案】814．【答案】)3,0(【解析】构造函数x x f x F 3)()(-=，则03)(')('>-=x f x F ，说明)(x F 在R 上是增函数，且13)1()1(-=-=f F .又不等式1log 3)(log 33-<x x f 可化为1l o g 3)(l o g 33-<-x x f ，即)1()(l o g 3F x F <，∴1log 3<x ，解得30<<x .∴不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为)3,0(.15．【答案】 1 ．【解析】解：∵x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数， ∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x]的图象，再左右扩展知f （x ）为周期函数． 结合图象得到函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．【答案】 菱形 ； 矩形 ．【解析】解：如图所示：①∵EF ∥AC ，GH ∥AC 且EF=AC ，GH=AC∴四边形EFGH 是平行四边形又∵AC=BD∴EF=FG∴四边形EFGH 是菱形．②由①知四边形EFGH 是平行四边形 又∵AC ⊥BD ， ∴EF ⊥FG∴四边形EFGH 是矩形． 故答案为：菱形，矩形【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．17．【答案】锐角三角形【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C∈（0，π），∴角C是锐角，由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形故答案为：锐角三角形【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．三、解答题18．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．（II ）①若m 为直线1=x ，代入13422=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q直接计算知29PQ =，225||||2121=+Q F P F ，22211PQ F PF Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =-由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=⋅由22211PQ F P F Q =+得，110F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k代入得0438)1()143124)(1(222222=+⋅-+++-+k k k k k k ，即0972=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(773-±=x y19．【答案】【解析】解：（1）∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形，∴AC=A 1C 1， ∵AC=AA 1，∴AA 1=A 1C 1，∵∠AA 1C 1=60°，∴△AA 1C 1为等边三角形， 同理△ABC 1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．20．【答案】【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===21．【答案】【解析】（本小题满分12分）φ解：（Ⅰ）f （x ）=+﹣=+=）由f （x）图象过点（）知：所以：φ=所以f （x ）= 令（k ∈Z ）即：所以：函数f （x ）在[0，π]上的单调区间为：（Ⅱ）因为x 0∈（π，2π），则：2x 0∈（π，2π）则：=sin所以=）=【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．22．【答案】【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由990S =，15240S =，得119369015105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，(1)22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分23．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，且四边形ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，由切割线定理得EA2=EF•EC，故AE=EB．（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，∴BF==，解得a=2，∴正方形ABCD的面积为4．【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．【答案】【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数∴x=≤1∴m≤2∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]；（2）由（1）知，函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数∵，∵∴2﹣cos2α＞cos2α+3∴cos2α＜∴∴α的取值范围为．【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．。
北京十五中高一年级数学期中试卷2019.5考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题纸上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷（选择题，共75分）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．）1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是()A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2．在区间[1,3]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式||2x ≤成立的概率为（）A．14B．13C．12D．343．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B ＝60°，那么角A 等于()A．135°B．90°C．45°D．30°4．△ABC 中,∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3,4a b ==，∠C= 60，则c 的值等于（）A.5B.13C.13D.375．△ABC 中,如果cos A cos B cosCa b c==,那么△ABC 是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形6．已知A 船在灯塔C 北偏东70°方向2km 处，B 船在灯塔C 北偏西50°方向3km 处，则A ，B 两船的距离为()A ．19kmB ．7kmC ．(6＋1)kmD ．(6－1)km7．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A.1:2:3B.2：3：4C.3:2:4D.3:1:28．正三棱锥的底面边长为a ，高为a 66，则此棱锥的侧面积等于（）A.432a B.232a C.4332a D.2332a9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A ．3B ．2C ．2D ．210．下表是某校120名学生假期阅读时间(单位:小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（）A．2，5，8，5B．2，5，9，4C．4，10，4，2D．4，10，3，311．以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m 表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（）A．35B．45C．710D．91012．为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库.几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条.根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（）A．20000B．6000C．12000D．200013．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（）A ．3，8，13B ．2，7，12C．3，9，15D．2，6，1214．一个正三棱柱的每一条棱长都是a ，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面面积为（）A.274a B.272a C.263a D.27a 分组频数频率[10,15)120.10[15,20)30a[20,25)m0.40[25,30)n 0.25合计1201.0015．在ABC ∆中，角,,A B C 对边的边长分别为,,a b c ，给出下列四个结论：○1以111,,a b c为边长的三角形一定存在；○2以,,a b c 为边长的三角形一定存在；○3以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；○4以,,222a b b c c a+++为边长的三角形一定存在.那么，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．）16．一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为_________.17．已知正方体外接球的表面积是12π，那么正方体的棱长等于___＿＿__．18．随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为cm ；样本数据的方差为.19．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_______．20．设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，a ＝1.则△ABC 的周长的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）21．（本大题12分）随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.（Ⅰ）判断哪个班的平均身高较高,并说明理由；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于175cm 的学生被抽中的概率.22．（本大题12分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.23．（本大题13分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a ＝3，cosC ＝33，求c 的长．24．（本大题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,4a b c B π=，4cos ,5A b ==（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．吨a北京十五中高一年级数学期中试卷2019.5一、选择题：(8×5′=40′)题号12345678答案D D C C B A D A题号9101112131415答案B A D DBAC21、解析(1)b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝2222b c a bc +-＝12.…………………………………………3分∵0<∠A <π，∴∠A ＝π3.…………………………………………5分(2)∵在△ABC 中，∠A ＝π3，a ＝3，cosC ＝33，∴sinC ＝1－cos 2C ＝1－13＝63.…………………………………7分由正弦定理，知a sinA ＝csinC.∴c ＝asinC sinA＝3×6332＝263.…………………………………………13分22、解：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 45B A π==，∴33,sin 45C A A π=-=，…………………………………………3分∴3sin sin sin 42210C A A A π⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭。
北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. sin(−π3)的值是( )A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】D【解析】解：sin(−π3)=−sin π3=−√32，故选：D ．由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论． 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2. 函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(x 2+π3)的最小正周期为：T =2π12=4π．故选：C ．直接利用三角函数的周期求解即可．本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．3. 如果向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)，那么|a ⃗ +2b⃗ |=( ) A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】解：由向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)， 所以a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有：|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5， 故选：B ．本由向量加法的坐标运算有：a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5，得解．本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题． 4.sin(π2−α)cos(−α)=( )A. tanαB. −tanαC. 1D. −1【答案】C 【解析】解：sin(π2−α)cos(−α)=cosαcosα=1．故选：C ．利用诱导公式化简即可计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5. 已知函数y =sinx 和y =cosx 在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是( )A. (0,π2)B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)【答案】B【解析】解：A ：y =sinx 在(0,π2)上是增函数； C ：y =cosx 在(π,3π2)上是增函数；D ：y =cosx 在(3π2,2π)上是增函数． 故选：B ．依次分析四个选项可得结果．本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗【答案】D【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据向量加法和减法的几何意义即可得出答案． 考查向量加法和减法的几何意义．7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22，那么向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角是( )A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4【答案】D【解析】解：∵a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22；又0≤<a ⃗ ,b ⃗ >≤π；∴<a ⃗ ,b ⃗ >=3π4．故选：D ．根据条件即可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22，根据向量夹角的范围即可求出向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角． 考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．8. 设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是( )A. (π3,2π3)B. (π6,5π6)C. (π3,4π3)D. (7π6,11π6)【答案】B【解析】解：∵α∈[0,2π)，sinα>12， ∴π6<α<5π6．∴设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是(π6,5π6).故选：B ．利用正弦函数的图象和性质直接求解．本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9. 已知函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示.为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位【答案】A【解析】解：函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示， 可见f(x)的周期为2π，g(x)的周期为π，且f(x)图象上的点(0,0)，在g(x)的图象上对应(π6,0)，为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，在向右平移π6个单位， 故选：A ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10. 在△ABC 中，A =π2，AB =2，AC =1.D 是BC 边上的动点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]【答案】A【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)， 设D(x,y)，则x2+y =1，x ∈[0,2]； ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =−2x +(1−12x)=−52x +1∈[−4,1]，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4,1]． 故选：A ．建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围即可． 本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）11. 若cosθ=−12，且θ为第三象限的角，则tanθ=______． 【答案】√3【解析】解：∵cosθ=−12，且θ为第三象限的角， ∴sinθ=−√1−sin 2θ=−√32， ∴tanθ=sinθcosθ=−√32−12=√3．故答案为：√3．由已知利用同角三角函数基本关系式先求sinθ，进而可求tanθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12. 已知向量a ⃗ =(1,2).与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是______． 【答案】(2,4)【解析】解：2a⃗ =(2,4)与a ⃗ 共线； 即与向量a⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)． 故答案为：(2,4)．可求出2a ⃗ =(2,4)，而2a ⃗ 与a ⃗ 共线，即得出与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)．考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算．13. 如果tan(x +π3) =0 (x >0)，那么x 的最小值是______． 【答案】2π3【解析】解：tan(x +π3) =0 (x >0)， 可得x +π3=kπ， 即x =kπ−π3，k ∈N ∗， 可得x 的最小值为π−π3=2π3，故答案为：2π3，由正切韩寒说的图象和性质可得x +π3=kπ，k 为正整数，即可得到所求最小值． 本题考查三角方程的解法，注意运用正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．14. 如图，已知正方形ABCD.若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ，μ∈R ，则λμ=______．【答案】−1【解析】解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−1，μ=1， ∴λμ=−1， 故答案为：−1．利用向量加减法容易把AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得λ，μ，得解． 此题考查了向量加减法，属容易题．15. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M 是坐标平面内的一点．①若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ②若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为______． 【答案】(6,3) (4,2)【解析】解：①设M(x,y)，则：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)； ∵四边形APBM 是平行四边形； ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(−1,−2)=(5−x,1−y)； ∴{1−y =−25−x=−1； 解得{y =3x=6；∴点M 的坐标为(6,3)；②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)； ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(1,2)+(3,0)=2(x −2,y −1)； ∴(4,2)=(2(x −2),2(y −1))； ∴{2(y −1)=22(x−2)=4； 解得{y =2x=4；∴点M 的坐标为(4,2)． 故答案为：(6,3)，(4,2)．①可设M(x,y)，得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)，根据四边形APBM 为平行四边形即可得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出(−1,−2)=(5−x,1−y)，从而得到{1−y =−25−x=−1，解出x ，y 即可；②可求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)，根据PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(4,2)=(2(x −2),2(y −1))，从而得出{2(y −1)=22(x−2)=4，解出x ，y 即可．考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算．16.设函数f(x)=sin(ωx+π3).若f(x)的图象关于直线x=π6对称，则ω的取值集合是______．【答案】{ω|ω=6k+1,k∈Z}【解析】解：由题意ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，得ω=6k+1，k∈Z，故答案为：{ω|ω=6k+1,k∈Z}．利用正弦函数图象的对称轴为x=kπ+π2，列出关于ω的方程，得解．此题考查了正弦函数的对称性，难度不大．17.若集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=______．【答案】{x|−1<x<3}【解析】解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，∴A∪B={x|−1<x<3}．故答案为：{x|−1<x<3}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.函数f(x)=1log2x的定义域是______．【答案】{x|0<x<1或x>1}【解析】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，解得函数的定义域为{x|0<x<1或x>1}，故答案为{x|0<x<1或x>1}．由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，由此求得函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．19.已知三个实数a=312，b=√2，c=log32.将a，b，c按从小到大排列为______．【答案】c<b<a【解析】解：312=√3>√2>1，log32<log33=1；∴c<b<a．故答案为：c<b<a．容易得出312>√2>1，log32<1，从而a，b，c从小到大排列为c<b<a．考查对数函数和y =√x 的单调性，以及增函数的定义．20. 里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 0=0.005是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅.在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为______级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍. 【答案】5 1000【解析】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，则M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5． 设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 8=lgx +5，5=lgy +5，解得x =103，y =1， ∴x y=1000．故答案为：5；1000．根据题意中的假设，可得M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5；设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，8=lgx +5，5=lgy +5，由此知8级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的1000倍．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，是基础题．21. 已知函数f(x)={x −1, c <x ≤3.x 2+x, −2≤x≤c若c =0，则f(x)的值域是______；若f(x)的值域是[−14,2]，则实数c 的取值范围是______．______． 【答案】[−14,+∞) [12,1] [12,1]【解析】解：c =0时，f(x)=x 2+x =(x +12)2−14， f(x)在[−2,−12)递减，在(−12,0]递增， 可得f(−2)取得最大值，且为2，最小值为−14； 当0<x ≤3时，f(x)=1x 递减，可得f(3)=13， 则f(x)∈[13,+∞)，综上可得f(x)的值域为[−14,+∞)；∵函数y =x 2+x 在区间[−2,−12)上是减函数， 在区间(−12,1]上是增函数，∴当x ∈[−2,0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14， 最大值是f(−2)=2；由题意可得c>0，∵当c<x≤3时，f(x)=1x 是减函数且值域为[13,1c)，当f(x)的值域是[−14,2]，可得12≤c≤1．故答案为：[−14,+∞)；[12,1]．若c=0，分别求得f(x)在[−2,0]的最值，以及在(0,3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论f(x)在[−2,1]的值域，以及在(c,3]的值域，注意c>0，运用单调性，即可得到所求c的范围．本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）22.已知α∈(0,π2)，且sinα=35．(Ⅰ)求sin(α−π4)的值；(Ⅱ)求cos2α2+tan(π4+α)的值．【答案】解(Ⅰ)：因为α∈(0,π2)，sinα=35，所以cosα=√1−sin2α=45．所以sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=−√210．(Ⅱ)：因为sinα=35，cosα=45，所以tanα=sinαcosα=34．所以cos2α2+tan(π4+α)=1+cosα2+1+tanα1−tanα=7910．【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，(Ⅱ)根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题23.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)解：由函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象可知 A =3， 因为 f(x)的最小正周期为T =7π6−π6=π，所以 ω=2πT=2．令 2×π6+φ=π2，解得 φ=π6，适合|φ|<π． 所以 f(x)=3sin(2x +π6)．(Ⅱ)解：因为x ∈[π2,π]，所以2x +π6∈[7π6, 13π6]．所以，当2x +π6=13π6，即x =π时，f(x)取得最大值32，当2x +π6=3π2，即x =2π3时，f(x)取得最小值−3．(Ⅲ)解：结合f(x)的图象可得它的单调递增区间为[ kπ−π3, kπ+ π6 ](k ∈Z)． 【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值． (Ⅲ)由f(x)的图象，可得它的单调递增区间．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的增区间，属于中档题．24. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(−1,0)，B(0,√3)，C(cosθ,sinθ)，其中θ∈[ 0, π 2]． (Ⅰ)求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；(Ⅱ)是否存在θ∈[ 0, π 2]，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1,sinθ)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ−√3)； ……………………(2分)所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1)⋅cosθ+sinθ⋅(sinθ−√3)……………………(3分)=cosθ−√3sinθ+1=2cos(θ+π3)+1； ……………………(4分)因为 θ∈[ 0, π2]，所以 θ+π3∈[π3, 5π6]； ……………………(5分)所以 当θ+π3=π3，即θ=0时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2； ……………………(6分) (Ⅱ)因为|AB|=2，|AC| =√(1+cosθ)2+sin 2θ=√2+2cosθ，|BC| =√cos 2θ+(sinθ−√3)2=√4−2√3sinθ； 又 θ∈[ 0, π2]，所以 sinθ∈[0,1]，cosθ∈[0,1]， 所以|AC|≤2，|BC|≤2；所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角， 从而CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0；………………(8分) 由(Ⅰ)得2cos(θ+π3)+1<0，解得cos(θ+π3)<−12； ……………………(9分)所以 θ+π3∈(2π3, 5π6]，即θ∈(π3, π2]； ……………………(11分) 反之，当θ∈(π3, π2]时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0， 又 A ，B ，C 三点不共线，所以△ABC 为钝角三角形；综上，当且仅当θ∈(π3, π2]时，△ABC 为钝角三角形.……………………(12分)【解析】(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值2； (Ⅱ)由两点间的距离公式求得|AC|、|BC|，并判断△ABC 为钝角三角形时角C 是钝角， 利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合题意求得θ的取值范围． 本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题．25. 已知函数f(x)=xx 2−1．(Ⅰ)证明：f(x)是奇函数；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(−1,1)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【答案】解：(Ⅰ)：函数f(x)的定义域为D ={x|x ≠±1}.……………………(1分) 对于任意x ∈D ，因为 f(−x)=−x(−x)2−1=−f(x)，……………………(3分) 所以 f(x)是奇函数. ……………………(4分)(Ⅱ)解：函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(5分) 证明：在(−1,1)上任取x 1，x 2，且 x 1<x 2，……………………(6分)则 f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−1−x2x 22−1=(1+x 1x 2)(x 2−x 1)(x 12−1)(x 22−1). ……………………(8分)由−1<x 1<x 2<1，得 1+x 1x 2>0，x 2−x 1>0，x 12−1<0，x 22−1<0，所以 f(x 1)−f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2).所以 函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(10分)【解析】(Ⅰ)先求定义域，再用奇函数的定义f(−x)=−f(x)证明f(x)为奇函数； (Ⅱ)按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明． 本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．26. 已知函数f(x)=ax 2+x 定义在区间[0,2]上，其中a ∈[−2,0]．(Ⅰ)若a =−1，求f(x)的最小值； (Ⅱ)求f(x)的最大值．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，当a =−1时，f(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14； 所以 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减． 因为 f(0)=0，f(2)=−2， 所以 f(x)的最小值为−2． (Ⅱ)①当a =0时，f(x)=x ． 所以 f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=2．当−2≤a <0时，函数f(x)=ax 2+x 图象的对称轴方程是x =−12a ． ②当0<−12a ≤2，即−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ． ③当−14<a <0时，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=4a +2．综上，当−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ； 当−14<a ≤0时，f(x)的最大值为4a +2．【解析】(Ⅰ)根据题意，将a =−1代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减，分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，按a 的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案． 本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．27. 已知函数f(x)的定义域为D.若对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2，都有f(x 1)+f(x 2)<2f(x 1+x 22)，则称函数f(x)为“凸函数”．(Ⅰ)判断函数f 1(x)=2x 与f 2(x)=√x 是否为“凸函数”，并说明理由； (Ⅱ)若函数f(x)=a ⋅2x +b(a,b 为常数)是“凸函数”，求a 的取值范围； (Ⅲ)写出一个定义在(12,+∞)上的“凸函数”f(x)，满足0<f(x)<x.(只需写出结论)【答案】(本小题满分10分)(Ⅰ)解：对于函数f 1(x)=2x ，其定义域为R ．取x 1=0，x 2=1，有f(x 1)+f(x 2)=f(0)+f(1)=2，2f(x 1+x 22)=2f(12)=2，所以 f(x 1)+f(x 2)=2f(x 1+x 22)，所以 f 1(x)=2x 不是“凸函数”.…………(2分)对于函数f 2(x)=√x ，其定义域为[0,+∞)．对于任意x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，由[f(x1)+f(x2)]2−[2f(x1+x22)]2=(√x1+√x2)2−(2√x1+x22)2=−(√x1−√x2)2<0，所以[f(x1)+f(x2)]2<[2f(x1+x22)]2．因为f(x1)+f(x2)>0，2f(x1+x22)>0，所以f(x1)+f(x2)<2f(x1+x22)，所以f2(x)=√x是“凸函数”.……………(4分) (Ⅱ)解：函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)=(a⋅2x1+b)+(a⋅2x2+b)−2(a⋅2x1+x22+b)……………………(5分)=a(2x1+2x2−2×2x1+x22)=a(2x12−2x22)2.……………………(7分)依题意，有a(2x12−2x22)2<0．因为(2x12−2x22)2>0，所以a<0.……………………(8分)(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12).(注：答案不唯一)……………………(10分)【解析】(Ⅰ)取x1=0，x2=1，有f(x1)+f(x2)=f(0)+f(1)=2，2f(x1+x22)=2f(12)=2，验证，然后利用单调性证明即可．(Ⅱ)函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R.对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)转化证明即可．(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12)．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01学校 班级 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A B =I ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a b P ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤->（C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤（5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是（ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，S B A =U .则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，»AB 的长为2，则»AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是»AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r取得最大值时，,OA OP <>=u u u r u u u r . （14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）BO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分） 已知函数π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，90D ∠=︒，且1BO AD ==u u u r u u u r. （Ⅰ）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.(18)（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值围.附加题：（本题满分5分。
西城区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-3． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40 C ．60 D ．204． 下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（ ）个A.个B.个C.个D.个5． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-6． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-27． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）8． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．114种10．在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．11．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．512个B ．256个C ．128个D ．64个12．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．，b a a b =，则a b += ▲ ．，则cos2α= ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018～2019学年10月北京西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期月考数学试卷一、选择题1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则() A. A B =B. A B =∅IC. A B ⊆D.()1A B ∈U 【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A,显然A ≠B,所以该选项是错误的； 对于选项B,{2,3}A B φ=≠I ,所以该选项是错误的； 对于选项C,应该是B A ⊆,所以该选项是错误的；对于选项D,{1,2,3},A B =U 所以()1A B ∈U ，所以该选项是正确的. 故选D【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2.已知集合{}{}2|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥则()R P Q ⋃=ðA. [2,3]B. （ -2,3 ]C. [1,2）D.(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ， 则()R P Q ⋃=ð ( -2,3 ] . 本题选择B 选项.【此处有视频，请去附件查看】3.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】解方程组2y x y x⎧=⎨=⎩即得解.【详解】解方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩得1111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 所以={1,11,1)}A B --I （），（， 所以A B I 中元素的个数为2个. 故选B【点睛】本题主要考查集合的交集的运算和集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知集合{}A x x a =≤，{}05B x x =<<，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是()A. 5a ≥B. 4a ≥C. 5a <D. 4a <【答案】A 【解析】 【分析】由题得B A ⊆,即得a ≥5.【详解】因为A B B =I ， 所以B A ⊆， 所以a ≥5. 故选A【点睛】本题主要考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件， 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【此处有视频，请去附件查看】6.如果不等式ax 2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么 （ ） A. a<0，且b 2-4ac>0 B. a<0且b 2-4ac≤0 C. a>0且b 2-4ac≤0 D. a>0且b 2-4ac>0【答案】C 【解析】【详解】设2(0),y ax bx c a =++≠要使不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集是∅， 需使抛物线开口向上，图象在x 轴上方（或相切）， 则2040.a b ac >-≤且故选C7.已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A. (1,1)- B. 1(1,)2--C. (1,0)-D. 1(,1)2【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ． 考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域． 【此处有视频，请去附件查看】8.下列函数中，值域为[]0,1的是() A. 2y x =B. 1y x =+C. 211y x =+ D.y =【答案】D 【解析】 【分析】求出每一个选项的函数的值域即得解.【详解】对于选项A,函数2y x =的值域为[0+∞，），所以该选项不符；对于选项B,函数1y x =+的值域为R ，所以该选项不符； 对于选项C,函数211y x =+的值域为0,1]（，所以该选项不符；对于选项D, 函数y =[0,1],所以该选项符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 10.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是 A. ()y x f x =+ B. ()y x f x =⋅ C. 2()y x f x =+ D. 2()y x f x =⋅【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，设()()g x xf x =，则()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，故选B ．考点：函数奇偶性的判定．11.已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (1,3)- C. (3,)-+∞ D. (3,1)-【答案】B 【解析】 【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可.【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围为（） A. 12(,)33B. 12[,)33C. 12(,)23D. 12[,)23【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性，将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系，注意偶函数对应的函数的对称情况.【详解】因为偶函数()f x 是在[)0,+∞上递增，则()f x 在(),0-∞递减，且11()33f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；又因为1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，根据单调性和奇偶性有：112133x -<-<，解得：12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 故选A.【点睛】本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题，难度一般.对于这种奇偶性和单调性的综合问题，除了可以直接分析问题，还可以借助图象来分析，也可以高效解决问题.【此处有视频，请去附件查看】二、填空题13.满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 的个数是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】列举出满足题意的集合A 即得解.【详解】由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4. 故答案为4【点睛】本题主要考查集合关系和集合个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__________.【答案】5]2∞（-,- 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再分析得解. 【详解】由题得抛物线的对称轴为x=-2a,因为函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数， 所以-2a≥5， 所以52a ≤-. 故答案为5]2∞（-,- 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，[)()2120,x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则()3f ，()2f -，()1f 从小到大依次是__________.【答案】(3),(1),(2)f f f - 【解析】 【分析】先分析得到函数的单调性，再比较大小得解. 【详解】因为对任意的1x ，[)()2120,x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以函数在[0,)+∞上单调递减， 因为函数是奇函数， 所以函数在R 上单调递减， 因为312>>-， 所以(3)(1)(2)f f f <<-. 故答案为(3),(1),(2)f f f -【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i ≠，则满足条件的函数()f x 有_____个. 【答案】9 【解析】【分析】直接列举出满足题意的函数，即得满足题意的函数的个数. 【详解】当f （1）2=时，若f （2）1=，则f （3）4=，f （4）3=； 若f （2）3=，则f （4）1=，f （3）4=， 若f （2）4=，则f （3）1=，f （4）3=，共3种； 同理可得：当f （1）3=，f （1）4=时，都有3种． 综上所述：满足条件的函数()f x 共有9种． 故答案为9．【点睛】本题考查了函数的定义域和值域、函数的概念，属基础题．17.已知函数21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x=___________【答案】3- 【解析】 【分析】当0x >时，()2010f x x =-<≠,当0x ≤时，由()2110f x x =+=可得结果.【详解】因为函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，当0x >时，()2010f x x =-<≠, 当0x ≤时，()2110f x x =+=,可得3x =（舍去），或3x =-，故答案为3-.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类讨论思想的应用，属于简单题.18.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题： ①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；②若f x （）为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠则12f x f x ≠（）（）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 【答案】②③ 【解析】【详解】命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误； 命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,综上可知，真命题为②③. 故答案为②③．三、解答题19.已知集合{}44A x a x a =-+<<+，105x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭.⑴若1a =，求A B I .⑵若A B =U R ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) {|31}x x -<≤-;(2) {|13}a a <≤. 【解析】 【分析】（1）把a 的值代入确定出A ，再求出B, 求出A 与B 的交集即可；（2）根据A 与B 的并集为R ，确定出a 的范围即可．【详解】(1) 把1a =代入得：{|35}A x x =-<<， {|1B x x =≤-Q 或5}x >， {|31}A B x x ∴=-<≤-I ；（2）{|44}A x a x a =-+<<+Q ，{|1B x x =≤-或5}x >，且A B R =U ，∴4145a a -+≤-⎧⎨+>⎩，解得：13a <?，则实数a 的范围是{|13}a a <≤．【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.设函数()f x 满足()2231f x x x -=+-.⑴求()f x 的解析式；⑵若()f x 的定义域是区间()5,0-，求()f x 的值域. 【答案】（1）2111()244f x x x =++；（2）511[,)44- 【解析】 【分析】（1）可设23x t -=，从而求得1322x t =+，代入2(23)1f x x x -=+-并整理可得出2111()244f t t t =++，从而得出2111()244f x x x =++；（2）配方得出215()(4)44f x x =+-，根据()f x 的定义域为(5,0)-即可得出5(4)4f -=-最小，并求出11(0)4f =，从而可得出()f x 的值域．【详解】设23x t -=，则1322x t =+，代入2(23)1f x x x -=+-得：221313111()()12222244f t t t t t =+++-=++；∴2111()244f x x x =++； （2）215()(4)44f x x =+-；(5,0)x ∈-Q ；4x ∴=-时，()f x 取最小值54-，且11(0)4f =；()f x ∴的值域为511[,)44-．【点睛】考查换元求函数解析式的方法，配方求二次函数最值的方法，函数值域的定义及求法．21.已知函数()f x 的定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时有()44x f x x =+. ⑴判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性，并用定义证明.⑵求函数()f x 的解析式(写出分段函数的形式). 【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2）4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…. 【解析】【分析】（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义，求出0x <的表达式，即可得到()f x 的解析式．【详解】（1）函数4()4x f x x =+在[0，)+∞上单调递增． 证明：设120x x >…，则12121244()()44x x f x f x x x -=-++， 12121216()4()16x x x x x x -=+++， 又120x x >…，所以120x x ->，120x x …，120x x +>， 所以12121216()04()16x x x x x x ->+++． 则12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数4()4x f x x =+在[0，)+∞上单调递增； （2）由于当0x …时有4()4x f x x =+， 而当0x <时，0x ->， 则44()()44x x f x f x x x --===-+-， 即4()(0)4x f x x x =<-． 则4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．22.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意01x <<，都有()0f x <，若()21f =，且()()()f xy f x f y =+，解不等式()()23f x f x +-≤.【答案】{|24}x x <≤【解析】【分析】先证明函数的单调性，再利用单调性解不等式得解.【详解】设120x x >>， 所以222121111111()()()=()x x x f x f x f x f x f x f x f x x x -=-⋅--（）（）-f(）=（）， 因为22211101,x x x f f x x x <<∴∴-（）<0,（）>0，12()()f x f x ∴>. 所以函数f(x)在()0,∞+上是增函数.由题得(22)(2)(2)112(4)f f f f ⨯=+=+==，(42)(4)(2)213(8)f f f f ⨯=+=+==，因()()23f x f x +-≤，所以()()0[2](8),2028x f x x f x x x ⎧>⎪-≤∴->⎨⎪-≤⎩，所以24x <≤.所以()()23f x f x +-≤的解为{|24}x x <≤.【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式求解三角函数值即可.【详解】由题意可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于基础题目.2.函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合最小正周期公式求解函数的最小正周期即可.【详解】由最小正周期公式可得函数的最小正周期为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查三角函数的周期公式，属于基础题.3.如果向量，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得的坐标表示，然后求解其模长即可.【详解】由题意可得，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合诱导公式化简三角函数式即可.【详解】由题意结合诱导公式可得：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐一考查函数在所给区间的单调性确定满足题意的区间即可.【详解】逐一考查所给的区间：A.，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减，不合题意；B.，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，符合题意；C.，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，不合题意；D.，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，不合题意；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.如图，在中，D是BC上一点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合向量的运算整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法公式、减法公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知为单位向量，且，那么向量的夹角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合向量的夹角公式求解向量的夹角即可.【详解】设向量的夹角是，由题意可得：，则，即向量的夹角是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量夹角的计算，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设，则使成立的的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合三角函数的图像确定不等式的解集即可.【详解】绘制函数在区间上的图像如图所示，且易知，观察可得，使成立的的取值范围是.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，三角函数图像的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数，，其图象如图所示为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后确定函数的变换即可.【详解】由图1可知，函数的周期为，则，当时，，则，令可得，则，同理可得.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，据此可得函数的解析式为：，而，则图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再将函数图像向右平移个单位即可得到函数的图象.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.10.在中，，，是BC边上的动点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合平面向量的加减法和向量的数量积运算法则确定的取值范围即可.【详解】设，则：，，由于，故：，由于，故，结合一次函数的性质可知.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.若，且为第三象限的角，则______．【答案】【解析】【分析】由题意结合同角三角函数基本关系求解的值即可.【详解】由题意结合同角三角函数基本关系可得：，则.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知向量与向量共线的一个非零向量的坐标可以是______．【答案】【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件确定一个非零向量的坐标即可.【详解】由向量共线的充分必要条件可知满足题意的向量为：，取可得：与向量共线的一个非零向量的坐标可以是.【点睛】本题主要考查向量共线的定义及其应用，属于基础题.13.如果，那么x的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由题意求解三角方程确定x的最小值即可.【详解】解三角方程可得：，则，由于，故取可得的最小值为.【点睛】本题主要考查三角方程的解法，正切函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.如图，已知正方形．若，其中，，则______．【答案】【解析】【分析】由题意首先确定的值，然后求解其比值即可.【详解】由题意可得：，则，即.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15.在直角坐标系中，已知点，，，是坐标平面内的一点．①若四边形是平行四边形，则点的坐标为______；②若，则点的坐标为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算求解点的坐标即可.【详解】①.设点的坐标为，四边形是平行四边形，则：，，据此可得：，点的坐标为.②.由题意可得：，，故，设，由题意可得：，据此可得：，解得：，点的坐标为.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量在几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.设函数若的图象关于直线对称，则的取值集合是___．【答案】【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质确定的取值集合即可.【详解】由题意可知，函数的对称轴方程为：，即，结合题意有：，整理可得的取值集合是.【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，三角函数的对称轴等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.，且．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)首先求得的值，然后利用两角和差正切公式求解三角函数式的值即可；(Ⅱ)由题意结合降幂公式和两角和的正切公式求解三角函数式的值即可.【详解】（Ⅰ）因为，，所以．所以．（Ⅱ）因为，，所以．所以．【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，三角函数公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.函数的部分图象如图所示，其中，，．Ⅰ求的解析式；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值；Ⅲ写出的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值；最小值．（Ⅲ）（）．【解析】【分析】(Ⅰ)结合函数图像分别确定的值即可确定函数的解析式；(Ⅱ)由函数的解析式结合正弦函数的性质确定函数的最值即可；(Ⅲ)结合函数的解析式写成函数的单调增区间即可.【详解】（Ⅰ）由图象可知．因为的最小正周期为，所以．令，解得，适合．所以．（Ⅱ）因为，所以．所以，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．（Ⅲ）的单调递增区间满足：，求解不等式组可得其在区间为：（）．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，函数最值的求解，函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.在直角坐标系xOy中，已知点，，，其中．Ⅰ求的最大值；Ⅱ是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)首先求得向量的坐标表示，然后求解其数量积，结合三角函数的性质确定其最大值即可；(Ⅱ)首先确定最大的角，然后结合(Ⅰ)中的结论求解三角不等式确定的取值范围即可.【详解】（Ⅰ），．所以．因为，所以．所以当，即时，取得最大值．（Ⅱ）因为，，．又，所以，，所以，．所以若△为钝角三角形，则角是钝角，从而．由（Ⅰ）得，解得．所以，即．反之，当时，，又三点不共线，所以△为钝角三角形．综上，当且仅当时，△为钝角三角形．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量在几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.B卷 [学期综合]本卷满分：50分四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20.若集合，，则____．【答案】【解析】【分析】结合题意由并集的定义求解即可.【详解】由题意结合并集的定义可得：.【点睛】本题主要考查并集的定义，属于基础题.21.函数的定义域是____．【答案】，或【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数的定义域即可.【详解】函数有意义，则：，求解不等式组可得函数的定义域为，或.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．22.已知三个实数，，将a，b，c按从小到大排列为___．【答案】【解析】【分析】由题意结合函数的单调性和所给的数与1的大小关系比较其大小即可.【详解】由题意可得：，，则a，b，c按从小到大排列为.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．23.里氏震级M的计算公式为：，其中是标准地震的振幅，A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为__级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的___倍【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意结合定义的知识和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，地震曲线的最大振幅是500时，地震的里氏震级为级，设8级地震的最大振幅为，则：，解得：，据此可知：8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【点睛】本题主要考查新定义的应用，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24.已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．【答案】(1). (2).【解析】若，由二次函数的性质，可得，的值域为，若值域为，时，且时，，要使的值域为，则，得，实数的取值范围是，故答案为.五、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25.已知函数．Ⅰ证明：是奇函数；Ⅱ判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)首先确定函数的定义域，然后考查与的关系即可证得函数为奇函数；(Ⅱ)由题意结合函数的单调性的定义确定并证明函数的单调性即可.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为.对于任意，因为，所以是奇函数．（Ⅱ）函数在区间上是减函数．证明：在上任取，，且，则．由，得，，，，所以，即.所以函数在区间上是减函数.【点睛】本题主要考查奇函数的判定，函数的单调性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26.已知函数定义在区间上，其中．Ⅰ若，求的最小值；Ⅱ求的最大值．【答案】(Ⅰ)-2；(Ⅱ)当时，的最大值为；当时，的最大值为．【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合函数的解析式确定函数的单调性，然后确定函数的最值即可；(Ⅱ)由题意分类讨论，，和三中情况确定函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ）当时，．所以在区间上单调递增，在上单调递减．因为，，所以的最小值为．（Ⅱ）①当时，．所以在区间上单调递增，所以的最大值为．当时，函数图像的对称轴方程是.②当，即时，的最大值为.③当时，在区间上单调递增，所以的最大值为．综上，当时，的最大值为；当时，的最大值为．【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．27.已知函数的定义域为若对于任意，，且，都有，则称函数为“凸函数”．Ⅰ判断函数与是否为“凸函数”，并说明理由；Ⅱ若函数b为常数是“凸函数”，求a的取值范围；Ⅲ写出一个定义在上的“凸函数”，满足只需写出结论【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合“凸函数”的定义判断所给的函数是否是“凸函数”即可；(Ⅱ)由题意得到关于a的不等式，讨论确定实数a的取值范围即可；(Ⅲ)按照“凸函数”的定义给出一个满足题意的函数即可.【详解】（Ⅰ）对于函数，其定义域为．取，有，，所以，所以不是“凸函数”．对于函数，其定义域为．对于任意，且，由，所以．因为，，所以，所以是“凸函数”．（Ⅱ）函数的定义域为．对于任意，且，．依题意，有．因为，所以．（Ⅲ）．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
