多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则(总7页)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第四节 多元复合函数的求导法则

要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。

重点：各种类型复合函数的求导与计算。

难点：抽象函数的二阶偏导数计算。

作业：习题8－4（36P）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13

一．多个中间变量，一个自变量情况

定理1 如果函数()ut及()vt都在点t可导，且函数),(vufz在对应点具有连续偏导数，则复合函数(),()zftt在点t可导，且其导数公式为

dzzduzdvdtudtvdt （全导数）

证明 设t有增量t，相应函数()ut及()vt的增量为

,uv，此时函数),(vufz相应获得的增量为z．

又由于函数),(vufz在点(,)uv处可微，于是由上节定理3证明有

12ffzuvuvuv

这里，当0,0uv时，120,0，上式除以t得

12zfufvuvtutvttt．

当0t时，0,0uv，,uduvdvtdttdt，

所以 0limtdzzfdufdvdttudtvdt，即

dzfdufdvzduzdvdtudtvdtudtvdt．

此时，dzzduzdvdtudtvdt从形式上看是全微分zzdzdudvuv两端除以dt得到的，常将dzdt称为全导数．

推论 若),,(wvufz，()ut，()vt，)(tww复合而的复合函数

(),(),()zfttwt满足定理条件，则有全导数公式

dzzduzdvzdwdtudtvdtwdt 例1．设函数yxu，而txe，sinyt，求全导数dtdu．

解

dtduudxudyxdtydt1sinlncos(sincos)ytyttyxexxtettt．

二．多个中间变量，多个自变量情况

定理2 若(,)uxy及(,)vxy在点),(yx具有偏导数，而函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数(,),(,)zfxyxy在点),(yx两个偏导数存在，且有公式

xvvzxuuzxz；

yvvzyuuzyz

例2．设函数vuz，而223yxu，yxv24，求yzxz,．

解 16ln4vvzzuzvvuxuuxuxvx

224212242226(42)(3)4(3)ln(3)xyxyxxyxyxyxy

uuyvuyvvzyuuzyzvvln221

224212242222(42)(3)2(3)ln(3)xyxyyxyxyxyxy．

注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：

首先从自变量z向中间变量,uv画两个分枝，然后再分别从,uv向自变量,xy画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求zx（zy）时，我们只要把从z到x（y）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到

xvvzxuuzxz，（yvvzyuuzyz）

推论1. 设函数(,)uxy，(,)vxy，),(yxww在点),(yx有偏导数，而函数 ),,(wvufz在对应点),,(wvu偏导数连续，则复合函数(,),(,),(,)zfxyxywxy在点),(yx的两个偏导数存在，且有公式

xwwzxvvzxuuzxz；ywwzyvvzyuuzyz．

推论2. 设函数),(yxu具有偏导数，而函数),,(yxufz可微，则复合函数],),,([yxyxfz在点),(yx偏导数存在，且有公式

xfxuufxz；

yfyuuzyz．

注意 xz与xf区别:

xz是把函数(,),,fxyxy中的y看成常数，对x求偏导，

xf是把),,(yxuf中yu,看常数，对x求偏导．

前者是复合后对x的偏导数，后者是复合前对x的偏导数．

例3．设函数222),,(zyxezyxfu，而yxzsin2，求xu和yu．

解 yxzexexzzfxfxuzyxzyxsin222222222

yxyxeyxx2422sin22)sin21(2

yxzeyeyzzfyfyuzyxzyxcos222222222

yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2．

例4．设函数tuvzsin，而teu，tvcos求全导数dtdz．

解 tzdtdvvzdtduuzdtdz

ttuvetcos)sin(tttetcos)sin(cos．

例5．设抽象函数),(22xyeyxfz，其中f偏导数连续，求yzxz,． 解 xvvzxuuzxz，其中22yxu，xyev，

212122fyefxxefxfxyxy

yvvzyuuzyz

1212(2)2xyxyfyfxeyfxef

其中uvufuzf),(1，vvufvzf),(2．

三．复合函数的二阶偏导数

若函数),(vufz，(,)uxy，(,)vxy二阶偏导数连续，则复合函数

(,),(,)zfxyxy存在二阶偏导数．

记号2211uzf，vuzf212，uvzf221，2222vzf．

例6．设复合函数),32(yxyxfz，其中),(vuf对vu,具有二阶连续偏导数，求yxz2．

解 2112fyfxvvzxuuzxz

)12(212fyfyyxz)1(221fyyyf

))(3(11))(3(222222221211yxffyfyyxff

22122223111236fyfyxyfyxf．

练习题 设函数2(,)yzfxyx，其中),(vuf对vu,具有二阶连续偏导数，求yxz2． （yxz23'1122122132122yxyffyffxfxx） 复合函数求偏导数步骤：

（1）搞清复合关系——画出复合关系图；

（2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；

（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量．

例7.设复合函数),(xyzzyxfw，且f具有二阶连续偏导数，求xw，zxw2．

解 21fyzfxw

)(2221212112xyffyzfyfxyfzxw

22122211)(fyfyzxyfzxyf．

例8.设函数),(yxfu的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形式

（1） 22)()(yuxu；（2） 2222yuxu

解 （1）直角坐标与极坐标关系cosrx，sinry，则

(,)(cos,sin)(,)ufxyfrrFr记

这里(,)ufxy看作由函数(,)uFr及22yxr，xyarctan，复合而成的复合函数，按复合函数求导公式，得

xuxrruxururusincos，

其中 coscos22rryxxxr ；ryxyxyxyxsin1222222，

同理 yuyrruyucossinuurr， 其中 sinsin22rryxyyr；ryxxxyxycos112222，

上边两式平方后相加，得

22222)(1)()()(urruyuxu．

（2）yyuyryuryu)()(22

rrururururcos)cossin(sin)cossin(

sin)coscossin(2222rurruru

222cossincos(sincos)uuuurrrrr

rrurururruru2222222222coscossin2coscossin2sin

同理

rrurururruruxu222222222222sincossin2sincossin2cos

上边两式相加得

22222222211urrurruyuxu222))((1ururrrr

四．全微分形式不变形

设函数),(vufz具有连续偏导数，则全微分

dvvzduuzdz，

若函数(,)uxy，(,)vxy有连续偏导数，则复合函数((,),(,))zfxyxy

的全微分为