密码学知识

２５３　柬工案技术　理论研究　

探析初等数论基本知识在密码学中的应用　

朱和贵　

（东北大学理学院，沈阳１　１０８１９）　

摘要：一次同余方程、二次剩余是初等数论中基本的理论，本文分别讨论了它们在图像加密和文本加密中的应用。　

关键词：一次同余方程；二次剩余；图像加密；文本加密　

１预备知识　

随着信息技术特别是网络技术的快速发展，图像、视频，声音等　多媒体信息在网络上随处可见。人们在网络不断传送，共享着这些信　

息，在这些信息的传送过程中，通信双方都希望以一种安全的方式在　非安全通信信道传送。密码学的根本的目的是要使通信双方以一种非　

授权用户不能理解的通信方式在不安全信道上通信。需要加密的信息　

被称为明文，用Ｍ或者Ｐ表示，它可能是文本，图像，语音信息或　

者视频信息。用某种方法伪装消息以隐藏它的内容的过程称为加密，　

加密后的没有实际意义的信息称为密文，密文用ｃ表示，加密函数对　明文进行加密得到密文，同样利用解密函数将密文转变为明文的过程　

称为解密。明文通过加密解密之后，明文消息得到恢复。初等数论主　

要包括整除、同余式、二次剩余和连分数等。信息技术特别是密码学　

的发展，给数论的发展注入了新的发展活力，数论这门纯之又纯的数　

学迎来了新的发展历程，本文以数论中的两个基本知识为例，探讨数　

论在密码学和信息安全中的应用。　

２一次线性同余方程及其在图像加密中的应用　

同余方程是同余理论中的核心内容，是应用同余思想来研究整　

数问题的有力工具。一次同余方程是最基本的同余方程，即形如：　

９，Ｘ　ｂ（ｍｏｄｍ）的方程，将其简单变形得到加密函数：Ｃ（ｘ）　

ａｘ＋ｂ（ｍｏｄｍ），其中ｘ是明文，Ｃ（Ｘ）是密文。若满足（ａ，ｍ）　

；１，则其解密函数如下：Ｄ（ｃ（ｘ））　ａ　（ａｘ＋ｂ（ｍ０ｄｍ）．ｂ）　

（ｍｏｄｍ）　ａ－　（ａＸ＋ｂ七（ｍｏｄｍ）　ａ－　ａＸ　ｉ　ｘ（ｍｏｄｍ），其中Ａ－１，ａ满足　

ａｌａ　１（ｍｏｄｍ）。将其应用于图像加密，具体过程描述如下：　

1 密码学分类

2 攻击分类

3 安全业务

4 算法输入输出位数

5 密钥分配管理

6 密钥分配

7 公钥分配

8 三重DES

9 杂凑的要求

10 欧几里得

11 本原根

12勒让德符号

13数字签名的执行方式

14强单向杂凑

15模运算性质

16 同余式

17 DES

18 AES

19 RSA

20 MD5

21费尔马定理

22 欧拉定理

23 中国剩余定理

24 四种工作模式

1 密码学分类

单钥体制 双钥体制

2 攻击分类

唯密文攻击 已知明文攻击 选择明文攻击 选择密文攻击

3 安全业务

认证业务 保密业务 完整性业务 不可否认业务 访问控制

4 算法输入输出位数

DES 64比特明文 56比特密钥 输出64比特密文

AES 128 192 256 比特

RSA 输入 664比特

MD5 输入 512比特分组 128比特输出

5 密钥分配管理

两个用户A和B获得共享密钥的方法包括:

① 密钥由A选取并通过物理手段发送给B。

② 密钥由第三方选取并通过物理手段发送给A和B。

③ 如果A.B事先已有一密钥, 则其中一方选取新密钥后, 用已有的密钥加密新密钥并发送给另一方。

④ 如果A和B与第三方C分别有一保密信道, 则C为A、B选取密钥后, 分别在两个保密信道上发送给A、B

6 密钥分配

① A向KDC发出会话密钥请求

② KDC为A的请求发出应答。

A存储会话密钥, 并向B转发EKB[KS‖IDA]。

④ B用会话密钥KS加密另一个一次性随机数N2, 并将加密结果发送给A。

⑤ A以f(N2)作为对B的应答, 其中f是对N2进行某种变换（例如加1）的函数, 并将应答用会话密钥加密后发送给B。

7 公钥分配

① 用户A向公钥管理机构发送一个带时戳的消息, 消息中有获取用户B的当前公钥的请求。

② 管理机构对A的请求作出应答, 应答由一个消息表示, 该消息由管理机构用自己的秘密钥SKAU加密, 因此A能用管理机构的公开钥解密, 并使A相信这个消息的确是来源于管理机构。

密码学基础知识试题及答案

一、选择题

1. 数据加密标准DES采用的密码类型是？

A. 序列密码

B. 分组密码

C. 散列码

D. 随机码

答案：B

2. 以下几种密码算法，属于公开密钥密码算法的是？

A. DES

B. 3DES

C. RSA

D. AES

答案：C

3. 密码分析者只知道一些消息的密文，试图恢复尽可能多的消息明文，在这种条件下的密码分析方法属于？ A. 唯密文攻击

B. 已知明文攻击

C. 选择明文攻击

D. 选择密文攻击

答案：A

4. 公开密钥密码体制的含义是？

A. 将所有密钥公开

B. 将私有密钥公开，公开密钥保密

C. 将公开密钥公开，私有密钥保密

D. 两个密钥相同

答案：C

5. 一个密码系统的安全性取决于对？

A. 密钥的保护

B. 加密算法的保护

C. 明文的保护

D. 密文的保护、两个密钥相同

答案：A 6. 在密码学中，将明文转换为密文的操作称为？

A. 加密

B. 解密

C. 密钥生成

D. 密钥交换

答案：A

7. 以下哪种加密算法属于对称加密算法？

A. RSA

B. AES

C. DES

D. DSA

答案：C

8. 在密码学中，以下哪种算法属于散列算法？

A. RSA

B. AES

C. DES

D. SHA-256 答案：D

9. 在密码学中，以下哪种算法属于公钥加密算法？

A. RSA

B. AES

C. DES

D. SHA-256

答案：A

10. 在密码学中，以下哪种算法属于数字签名算法？

A. RSA

B. AES

C. DES

D. SHA-256

答案：A

二、填空题

1. 密码学是研究______的科学。

答案：信息的保密性、完整性和真实性

2. 加密算法根据密钥的使用方式可以分为______和______。 答案：对称加密算法、非对称加密算法

3. 加密算法的安全性主要取决于______。

答案：密钥的长度和随机性

4. 密码分析的基本方法有______、______和______。

密码学基础

1. 密码学概述

（1）密码学的发展历程

密码学是一门古老而深奥的学科，是结合数学、计算机科学、电子与通信等诸多学科于一体的交叉学科，是研究信息系统安全保密的一门科学。密码学主要包括密码编码学和密码分析学两个分支，其中密码编码学的主要目的是寻求保证信息保密性或仁整形的方法，密码分析学的主要目的是研究加密消息的破译或消息的伪造。密码学经历了从古代密码学到现代密码学的演变。

最早将现代密码学概念运用于实际的是Caesar大帝，他是古罗马帝国末期著名的统帅和政治家。Caesar发明了一种简单的加密算法把他的信息加密用于军队传递，后来被称为Caesar密码。它是将字母按字母表的顺序排列，并且最后一个字母与第一个字母相连。加密方法是将明文中的每个字母用其后边的第三个字母代替，就变成了密文。

替代密码的基本思想，是将明文中的每个字母用此字符在字母表中后面第 k个字母替代，加密过程可以表示为函数E(m)=(m+k) mod

n。其中：m 为明文字母在字母表中的位置数，n 为字母表中的字母个数，k 为密钥，E(m)为密文字母在字母表中对应的位置数。其解密过程可以表示为函数E(m)=(m-k) mod n。

置换密码的基本思想，不改变明文字符，只是将字符在明文中的排列顺序改变，从而实现明文信息的加密，又称为换位密码。矩阵换位法是实现置换密码的一种常用方法，它将明文中的字母按照给的顺序安排在一个矩阵中，然后根据密钥提供的顺序重新组合矩阵中字母，从而形成密文。

第一阶段：古代―1949年

这阶段的密码技术可以说是一种艺术，而不是一种科学，密码学专家常常是凭知觉和信念来进行密码设计和分析，而不是推理和证明，没有形成密码学的系统理论。这一阶段设计的密码称为经典密码或古典密码，并且密码算法在现代计算机技术条件下都是不安全的。

第二阶段：1949―1975年

1949年C.E.Shannon（香农）发表在《贝尔实验室技术杂志》上的《保密系统的信息理论（Communication Theory of Secrecy