高考数学一轮复习 9.2 点与直线、两条直线的位置关系

第二节 两条直线的位置关系

[最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离．

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.

(2)两条直线垂直

①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),则l1与l2的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．

3．三种距离公式

(1)平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.

特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x2＋y2.

(2)点P(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.

[常用结论]

由一般式方程确定两直线位置关系的方法

直线方程l1与l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)

l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)

垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0

平行的充分条件 A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)

相交的充分条件 A1A2≠B1B2(A2B2≠0)

重合的充分条件

A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)

1

2020年高三理科数学一轮讲义案第九章

9.2《两直线的位置关系》

最新考纲

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；

2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

知 识 梳 理

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.

(2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.两直线相交

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应.

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解.

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.

特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.

(2)点到直线的距离公式

平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.

[微点提醒] 2 1.两直线平行的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).

【最新考纲解读】

内 容 要 求

备注

A B C

平面解析几何初步 直线与圆、圆与圆的位置关系

√

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

【考点深度剖析】

直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查：

(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；

(2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；

(3)利用相切或相交求圆的切线或弦长．

【课前检测训练】

【判一判】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )

(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )

(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )

(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )

【练一练】

1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )

A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．相交过圆心 D．相离

2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，－1] B．[－1,3]

C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )

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▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 第2讲 两条直线的位置关系

【2013年高考会这样考】

1．考查两直线的平行与垂直．

2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．

【复习指导】

1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．

2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．

基础梳理

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．

(2)两条直线垂直

①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1.

②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直．

2．两直线相交

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解．

3．三种距离公式

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.