一元二次方程导学案
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一元二次方程导学案
第1课时一元二次方程
一、学习目标1．理解一元二次方程的概念；
．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；
．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；
．理解一元二次方程根的概念．
二、知识回顾1．多项式3x2y-2x-1是
三
次
二
项式，其中最高次项是
x2y
二次项系数为
0
一次项系数为
-2
常数项是
-1
． ．
含有未知数的等式
叫方程，我们学过的方程类型有：
一元一次方程、二元一次方程、分式方程等
．
三、新知讲解1．一元二次方程的概念
等号两边都是
整式
只含有一个
未知数
并且未知数的最高次数是
的方程，叫做一元二次方程．
概念解读：等号两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.
．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
ax2
是二次项，
a
是二次项系数；
bx
是一次项，
b
是一次项系数；
c
是常数项．
概念解读：“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分.如果明确了ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．
．一元二次方程的根的概念
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．
概念解读：一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．
四、典例探究
．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程
【例1】下列方程是一元二次方程的是
A．x2+2x﹣y=3B．c．2﹣3=0D．x2﹣8=x
总结：一元二次方程必须满足四个条件：
是整式方程； 含有一个未知数；
未知数的最高次数是2；
二次项系数不为0.
练1关于x的方程：+x+a2﹣1=0，求当a=
时，方程是一元二次方程；当a=
时，方程是一元一次方程．
．把一元二次方程化成一般形式
【例2】一元二次方程=2x2+1的一般形式是
；它的二次项系数是
一次项系数是
常数项是
．
总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0
特别要注意a≠0的条件；
在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．
练2将方程x=5化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．
练3将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是
A．5，81B．5，﹣81c．﹣5，81D．5x，﹣81
．根据一元二次方程的根求参数
【例3】若0是关于x的一元二次方程x2+5x+2﹣3+2=0的一根，则的值为
A．1B．0c．1或2D．2
总结：
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.
可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.
若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.
练4若关于x的一元二次方程x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a=
．
练5关于的一元二次方程n2﹣n2﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=
．
五、课后小测一、选择题
．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为
A．ax2+bx+c=0B．x+y=2c．x2+3y﹣5=0D．x2﹣1=0
．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是
A．1个B．2个c．3个D．4个
．要使方程x2+x+c=0是关于x的一元二次方程，则
A．a≠0B．a≠3
c．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
．把方程x=5化成一般式，则a、b、c的值分别是
A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10c．1，﹣5，12D．1，3，2
．关于x的方程x2+2x﹣1=0的一个根是1，则的值是
A．0B．﹣c．D．0或，
．已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是
A．B．﹣
c．±D．以上答案都不对
．关于x的方程x2﹣x﹣2=0必有一个根为
A．x=1B．x=﹣1c．x=2D．x=﹣2
二、填空题
．已知x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则的取值范围是
．
．方程2x2﹣1=的二次项系数是
一次项系数是
常数项是
．
0．若是方程x2﹣2x=2的一个根，则22﹣4+XX的值是
．
三、解答题
1．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
x2=3x；
x+x2﹣3=0；
﹣3=0；
=0；
=2．
．已知关于x的方程x2+5x+2﹣3+2=0的常数项为0，
求的值；
求方程的解．
3．已知，下列关于x的一元二次方程
x2﹣1=0x2+x﹣2=0x2+2x﹣3=0…x2+x﹣n=0
求出方程、方程、方程的根，并猜测方程的根．
请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．
．关于y的方程y2﹣ny﹣p=0中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少． 典例探究答案：
【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；
B、不是整式方程，故选项错误；
c、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．
解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．
当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．
故答案是：﹣1；1．
点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定
义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：一元二次方程=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．
故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．
去括号，得x2-x=5x－10.
移项、合并同类项，
得x2-6x＋10=0．
其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．
练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，
二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，
故选：B．
点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出的值．
解：∵0是关于x的一元二次方程x2+5x+2﹣3+2=0的一根，
∴×0+5×0+2﹣3+2=0，即2﹣3+2=0，
解方程得：1=1，2=2，
∴=2，
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．
练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．
解：∵一根是0，∴×2+4×0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0，即a=±1；
