概 率 论
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概率论
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象
而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大
气压下,纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变
的情况下,一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前,不
能肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性。例如,掷一硬币,可能出现正面或反面,
在同一工艺条件下生产出的灯泡,其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和
对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件,一个或
一组基本事件统称随机事件,或简称事件。
基本起源
概率论是一门研究事情发生的可能性的学问,但是最初概率论的起源与赌博
问题有关。16世纪,意大利的学者吉罗拉莫•卡尔达诺(GirolamoCardano,1501
——1576)开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶,当时的法
国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续掷4次骰子,如果其中
没有6点出现,玩家赢,如果出现一次6点,则庄家(相当于赌场)赢。按照
这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大部分时间是输家,
因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象。
后来为了使游戏更刺激,游戏规则发生了些许变化,玩家这回用2个骰子
连续掷24次,不同时出现2个6点,玩家赢,否则庄家赢。当时人们普遍认为,
2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6,因此6倍于前一种规
则的次数,也既是24次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反,
从长期来看,这回庄家处于输家的状态,于是他们去请教当时的数学家帕斯卡,
求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。
有人对博弈中的一些问题发生争论,其中的一个问题是“赌金分配问题”,
他们决定请教法国数学家帕斯卡(Pascal)和费马(Fermat)基于排列组合方法,
研究了一些较复杂的赌博问题,他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。他们对
这个问题进行了认真的讨论,花费了3年的思考,并最终解决了这个问题,这个
问题的解决直接推动了概率论的产生。概率与统计的一些概念和简单的方法,
早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践,人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性,并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小,
从而产生了概率论,并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与统计的方法日益
渗透到各个领域,并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科
学中。
数学家和精算师认为机率是在0至1之间之闭区间的数字,指定给一发生与
失败是随机的“事件”。机率P(A)根据机率公理来指定给事件A。一事件A在一
事件B确定发生后会发生的机率称为B给之A的条件机率;其数值为折叠
整体发展
随着18、19世纪科学的发展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与
机会游戏之间有某种相似性,从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中;
同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人
是瑞士数学家j.伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定
律,阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了
第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人
工作的基础上写出了《分析的概率理论》,明确给出了概率的古典定义,并在概
率论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末,
俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建
立了大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中遇到的许
多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激,人们开始研究随机
过程。这方面a•n•柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a•a•马尔可夫、a•r•辛钦、p•莱维
及w•费勒等人作了杰出的贡献。