2018年高考全国卷3 理科数学试题与答案

2018年高考全国卷3 理科数学试题与答案

2018年高考全国卷3理科数学试题与答案

一、选择题

1.已知集合A={x|x-1≥2}，B={x|2

A。∅ B。{1} C。{1,2} D。{2}

改写：已知集合A={x|x≥3}，B={x|2

2.已知复数z1=1+i，z2=2-i，则(z1+z2)(z1-z2)的值为（）

A。-3-i B。-3+i C。3-i D。3+i

改写：已知复数z1=1+i，z2=2-i，则(z1+z2)(z1-z2)=(1+i+2-i)(1+i-2+i)=(-3-i)。

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

删除：无法呈现图形

改写：中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼。如图所示，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是一个正方形或一个长方形。

4.若sinα=1/3，则cos2α的值为（）

A。7/9 B。-9/8 C。-9/7 D。9/7

改写：若sinα=1/3，则cos2α=1-2sin^2α=8/9.

5.(x^2+2/x)^5的展开式中x^4的系数为（）

A。10 B。20 C。40 D。80

改写：(x^2+2/x)^5的展开式中x^4的系数为40.

6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)^2+y^2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）

A。[2,8] B。[4,32] C。[2,3] D。[2√2,3√2] 改写：直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)^2+y^2=2上。则△ABP面积的取值范围是[2,8]。

7.函数y=-x^4+x^2+2的图像大致为（）

删除：无法呈现图形

改写：函数y=-x^4+x^2+2的图像大致为一个开口向下的抛物线。

8.某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)

A。0.7 B。0.6 C。0.4 D。0.3

改写：某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)

9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4π，则C的大小为（）

A。π/2 B。π/3 C。π/4 D。π/6 改写：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4π。由正弦定理得sinC=c/2a=2/3，由面积公式得c=4sinC=8/3，由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/3，因此C=π-2arccos(-1/3)=π/3.

10.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）

A。123 B。183 C。243 D。543

改写：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3.则三棱锥D-ABC体积的最大值为V=1/3×S(△ABC)×DH，其中S(△ABC)=9√3，DH为三棱锥D-ABC的高。由勾股定理得DH=2√3，因此V=54.

11.设F1，F2是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左，右焦点，O是坐标原点。过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若PF1=6OP，则C的离心率为（）

A。5 B。2 C。3 D。2√5 改写：设F1，F2是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左，右焦点，O是坐标原点。过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。由双曲线的性质得OF1=a，PF1=e×OP=6×OP，因此e=6a/OP=6a/√(a^2+b^2)。由离心率定义得离心率为e=b/√(a^2-b^2)=2√5.

二、填空题

12.设a=log0.2 0.3，b=log2 0.3，则a+b的值为（）

改写：设a=log0.2 0.3，b=log2 0.3，则a+b=log0.2

0.3+log2 0.3=log0.2(0.3×2^(-4))+log2(0.3×2^(-4))=-4log2 5=-2log10 5.

13.已知函数f(x)=x^3-3x，则f'(x)的值为（）

改写：已知函数f(x)=x^3-3x，则f'(x)=3x^2-3.

14.已知函数f(x)=log(1+x^2)，则f''(x)的值为（）

改写：已知函数f(x)=log(1+x^2)，则f''(x)=2(1+x^2)^(-2)。

13.已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)。若c∥(2a+b)，则λ=？

根据向量平行的性质，若c∥(2a+b)，则存在实数k使得c=k(2a+b)。又因为a=(1,2)，b=(2,-2)，代入可得c=(4k+1,2k)，即λ=2k。

14.曲线y=(ax+1)ex在点(π,π)的零点个数为？

将x=π代入y=(ax+1)ex，可得y=(aπ+1)eπ。要使y=0，需要a=-1/π。此时，y=(0,0)，即在点(π,π)处有一个重根，因此零点个数为1.

15.函数f(x)=cos(3x+π/6)在[1,6]上与抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若∠AMB=90°，则k=？

因为f(x)是周期函数，且周期为2π/3，因此在[1,6]上有3个周期。又因为cos函数的最大值为1，最小值为-1，因此f(x)的最大值为cos(π/6)=√3/2，最小值为cos(7π/6)=-√3/2.而抛物线C的焦点为(1,0)，焦距为1，因此C的方程为y2=4x-4.设直线的斜率为k，则直线的方程为y=kx+b，其中b为截距。将直线的方程代入抛物线的方程可得4(k2+1)x2-16x+16-4b2=0.因为∠AMB=90°，因此直线AB的斜率为-1/k。又因为A、B在抛物线上，因此A、B的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1=kx1+b和y2=kx2+b。根据焦点的性质，有x1+x2=2，y1y2=4.解得x1=x2=1，y1=y2=2b/k。代入直线的方程可得b=2k/3.因此，直线的方程为y=-x/k+2k/3.将直线的方程代入抛物线的方程可得4(k2+1)x2-16x+16-4(2k/3)2=0，化简可得k2-4k+4=0，解得k=2.

2）设P为AB上一点，且PM垂直于CM交CM于M’，则△PCM’与△PAM全等，∴PM’=PA=2，∴M’为圆心，CM’=2，∴CM=2+2=4.又因为CD=2，∴MD=2，∴△CMD为等腰直角三角形，∴MC=MD=2，∴AC=2+2=4.又因为AC=BD，∴BD=4.所以正方形ABCD的边长为4.

20．

解答：（1）设数列{a

n

的公差为d，则有a

1

a 2

a

3

3a

2

即a

1 2da

1 3da

1 4d3(a

1

2d)。整理得2da

1

所以a

3

a

1 2d3a 1

a

4

a

1 3d5a

1

a

5

a

1 4d7a

1

数列{a

n

为等差数列，公差为2a

1

2）由题意得f’(x)=2+4axln(1+x)-2.当x=0时，f’(x)=2>0，所以x=0是f(x)的极小值点。又因为x=0是f(x)的极大值点，所以f’(x)=0的另一个根为x=1.5.代入得a=-1/9.

21．

解答：（1）当x>0时，f(x)=2+x+a*x^2*ln(1+x)-2x=2+(a-1)x+a*x^2*ln(1+x)2+(a-1)x>-2.所以当-1-2；当x>0时，f(x)<2.

2）由f’(x)=2+4axln(1+x)-2x=0得x=e^(-1/2a-1)，所以x=1.代入得a=-1/6.

因为文章中的符号无法正确显示，我将文章改写为文字描述：

1) 已知平面MCD内的点M在半圆弧CD上，且AD垂直于CM，CM垂直于MD，且AD=DM。则CM垂直于平面ADM，而CM在平面BCM内，因此平面BCM垂直于平面ADM。

2) 建立坐标系，已知三角形ABC的面积恒定，点M在平面ABC内，且VM-ABC最大。设面MAB的法向量为m=(x1,y1,z1)，面MCD的法向量为n=(x2,y2,z2)，则MA=(2,-1,-1)，MB=(2,1,-1)，MC=(0,1,-1)，MD=(0,-1,-1)。可以求出m=(1,0,2)和n=(1,0,0)，从而求出cosθ=15/25，sinθ=5/25=1/5.

3) 已知点F在椭圆x^2/4+y^2/3=1上，点M在y=-x+1上，点P在线段FM上且FP+FA+FB最小。设M的坐标为(1,m)，则F的坐标为(1,0)，P的坐标为(1,-2m/(14/3))。将椭圆方程和直线方程代入可得到一个关于x和y的方程，消去y后得到一个关于x的二次方程，解出x后代入直线方程可得到点M和P的坐标，进而求出FP+FA+FB的值。最后可以求出直线FP的方程，即y=-x+4/7. 14321，14uuruur，|FA|+|FB|=(x1-1)²+y1²+(x2-1)²+y2²=3.8uur33，|FP|=1，∴|FA|+|FB|=2|FP|。因此，FA，FP，FB成等差数列，且2d=||FA|-|FB||=|a-x1+a-x2|=|x1-x2|。所以d=±(x1+x2)²-4x1x2=±4-√14.

2) 对于a=0时，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x(x>-1)，则f'(x)=ln(1+x)+(2+x)/(1+x)。令h(x)=ln(x+1)-1/(x+1)，则h'(x)=1/(x+1)²-1/(x+1)=-x/(x+1)²0时，f(x)>0.