五六年级分数巧算裂项拆分

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小分数裂项计算教学目标知识点拨的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

分数计算技巧(裂项)(寒假课程)2、分数裂和:⑴目的：抵消.本讲主线⑵特点：分子为分母之和.1.分数计算裂差.2.分数计算裂和.⑶公式：ab11⑷口诀：分数裂项两肩挑.【课前小练习】(★)计算：1、分数裂差:⑴目的：抵消.⑵特点：分子相同、分母为连续的等差数列.⑶公式：111 1()a b a b差值⑷口诀：分数裂项两肩挑.，之后乘以差值分之一111 111⑴⑵⑶233457版块一∶分数计算-裂差【例1】(★★)计算:111 1122334910 【例2】(★★★)1111 1133********【巩固】(★★)计算:11 1......101111125960 【拓展】(★★★☆)444 414477104952_____1【拓展】(★★★)⑵计算:1111 124466881098100444 4......1559939797101版块二∶分数计算-裂和【例3】(★★★)4812162024计算:133557799111113【例4】(★★★★)【例5】(★★★)计算:11111111 1 2612203042567290 3112339759839 26122038042015791113151719 ⑵126122030425672902【例6】(★★★★)2 3 5 6 8 9 11 12 98 991 4 47 710 1013 97100 【超常大挑战】(★★★★)1 1 1 11 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100知识大总结【今日讲题】例2, 例3, 例5, 超常大挑战1、分数裂差:⑴特点：分子相同、分母为连续的等差数列.⑵公式： 1 1 1 1( )a b a b差值2、分数裂和:⑴特点：分母为连续等差数列，分子为分母之和.⑵公式：a b 1 1a b a b 【讲题心得】_______________________________________________ ______________________________________.【家长评价】_______________________________________________ __________________________________.抵消3。

六年级分数-裂项法1.2分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。

分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。

法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。

对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=- （2）等差数列求和公式：()n a a a aa a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n ②)(1d n n +＝d 1×（n 1－dn +1）例1. 计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋ (100991)例2. 计算：110×11＋111×12 ＋……＋159×60例3. 计算：12 ＋16 ＋112＋120 ＋130 ＋142例4. 计算：110×11＋111×12 ＋……＋119×20 例5. 计算12×3 ＋13×4＋……＋16×7 ＋17×8例6. 计算：1＋12 ＋16 ＋112＋120例7. 计算：16 ＋112 ＋120＋130 ＋142 ＋156 ＋172例8. 计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431例9. 计算：11111144771*********++++⨯⨯⨯⨯⨯例10. 计算：22222315356399++++例11. 计算：1111118244880120168+++++例12. 计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001例13. 计算：1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051）×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）例1. 计算:20042003200312005⨯例2. 计算:（751×911×116）÷（113×76×95）例3. 计算:989＋9899＋98999＋……＋43421K K 99989999个例4. 计算:（1＋21）×（1＋41）×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×（1－71）×（1－91）例5. 计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331例6. 计算:（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861） 例7. 计算:⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211=.例8. 计算:222345567566345567+⨯⨯+= .例9. 计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .例10. 计算:4513612812111511016131+++++++= .例11. 计算:()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= .例12. 计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211=能力训练：1、计算：1) 5132÷132＋7143÷143＋9154÷1542) 156 ＋172 ＋190 ＋11103) 18 ＋124 ＋148 ＋180 ＋1120 4) 212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋……＋200520042005⨯5) 212＋772＋1652＋……＋16772＋202126) 21＋65＋1211＋2019＋……＋1101097) 1＋216 ＋3112 ＋4120 ＋5130 ＋6142 ＋7156 ＋8172 ＋91908) 21＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋5125119) 5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。

第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

分数计算技巧之裂项法裂项法是一种常用的分数计算技巧，可以帮助我们快速而准确地计算复杂的分数。

当分数的分子或者分母都是多项式时，我们可以使用裂项法将分数分解为多个简单的分数，从而更容易计算。

裂项法的核心思想是分解多项式，通过对多项式进行因式分解，将分数分解为多个部分，每个部分都是简单的分数。

这样一来，我们就可以分别计算每个简单分数，最后再将它们合并在一起得到最终的结果。

下面以一个具体的例子来说明裂项法的具体步骤和运用。

假设我们需要计算以下分数的值：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} \]首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，将它们分解为最简单的形式。

在这个例子中，我们可以将分子分解为(3x-1)(x+1)，将分母分解为(x+1)(x+2)(x+1)。

现在，我们可以将原始的分数分解为三个简单的分数：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} \]其中，A、B、C是待定系数，我们需要通过运算求得它们的值。

将等式两边通分，得到：\[3x^2+2x-1=A(x+2)(x+1)+B(x+1)(x+1)+C(x+1)(x+2)\]将上式两边进行展开，我们可以得到一个带有未知系数A、B和C的多项式。

然后，我们可以通过对多项式比较同类项的系数，来求得A、B 和C的值。

比较x的平方项的系数，我们可以得到：\[3=A+B+C\]比较x的一次项的系数，我们可以得到：\[2=A+2B+C\]比较常数项的系数\[-1=2A+B+2C\]现在，我们得到了一个三元一次方程组，我们可以通过求解这个方程组来得到A、B和C的值。

解方程组后，我们假设得到A的值为1，B的值为1，C的值为1、将这些值带回到原始的分数中，我们可以得到最终的结果：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} \]通过裂项法，我们成功地将原始的分数分解为多个简单的分数，从而更容易计算。

分数裂项计算授课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行合适的变形，也许先进行一部分运算，使其变得更加简单了然。

本讲是整个奥数知识系统中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可以分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。

知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大要点特色：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x提取出来即可转变成分子都是1 的运算。

（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的核心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。

六年级分数 裂项法知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。

分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。

法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。

对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=- （2）等差数列求和公式：()n a a a a a a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n②)(1d n n +＝d 1×（n 1－d n +1）例1.计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋100991⨯例2.计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋159×60例3.计算：12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142例4.计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋119×20例5.计算12×3 ＋13×4 ＋……＋16×7 ＋17×8例6.计算：1＋12 ＋16 ＋112 ＋120例7.计算：16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172例8.计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431例9.计算：11111144771010131316++++⨯⨯⨯⨯⨯例10.计算：22222315356399++++例11.计算：1111118244880120168+++++例12.计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001例13.计算：1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051）×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）例1. 计算:20042003200312005⨯例2. 计算:（751×911×116）÷（113×76×95）例3. 计算:989＋9899＋98999＋……＋43421K K 99989999个例4. 计算:（1＋21）×（1＋41）×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×（1－71）×（1－91）例5. 计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331例6. 计算:（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861）例7. 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211= .例8. 计算:222345567566345567+⨯⨯+= .例9. 计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .例10. 计算:4513612812111511016131+++++++= .例11. 计算:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= .例12. 计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211= 能力训练：1、分数化成最简分数：1812＝ 2718＝ 204＝ 6513＝ 328＝ 82＝2、小数化成最简分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝ 0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、计算：1) 5132÷132＋7143÷143＋9154÷1542)156 ＋172 ＋190 ＋11103)18 ＋124 ＋148 ＋180 ＋11204)212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋ (200520042005)5)212＋772＋1652＋……＋16772＋202126) 21＋65＋1211＋2019＋……＋1101097) 1＋216 ＋3112 ＋4120 ＋5130 ＋6142 ＋7156 ＋8172 ＋9190 8) 21＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋512511 9) 5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。

小学五年级逻辑思维学习—裂项综合知识定位本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

知识梳理一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

专题1 分数裂项将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，分数裂项常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

一、“裂差”型运算对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同或可以转化为相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【典型例题讲练】一 用裂项法求1(1)n n +型分数求和 例1111......101111125960+++⨯⨯⨯例2 871761651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯例3 9018721756164215301420131212611+++++++例4 9089201912116521+++++二 用裂项法求1()n n k +（n,k 均为自然数）型分数求和：分析： 因为11111()[]()()()n knk n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++例1 1111112558811111414171720+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯例2 221931916316133131031073743413⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯例3 41＋281＋701＋1301＋2081例4 11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=三、裂和计算11a baba b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯例1 76136511549437325213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯例2 132231102190197217561542133011209127651+-+-+-+-+-例3 7217561542133011209127311+-+-+-+例4 311－127＋209－3011＋4213－5615课堂练习：1．101992752532312⨯++⨯+⨯+⨯2．27252171521513213112⨯++⨯+⨯+⨯3．100981861641421⨯++⨯+⨯+⨯4．4444442177165285437621+++++5．511172329351447710101313161619-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯6．7217561542133011209127311+-+-+-+课后巩固：基础练习题11111111+++++++=_______6122030425672901111111++++++=3610152128111111111--------＝2612203042567290能力提升题11111+++++12342026122042011111 20082009201020112012++++= 。

分数裂项分数裂项是分数加减法计算的逆向过程分数裂差a与b互质1a－1b＝1×b a×b－1×a b×a＝b－a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的差，那么这个分数就可以写成两个分数单位相减的形式。

b－a a×b＝b a×b－a b×a＝1a－1b分数裂和a与b互质1a＋1b＝1×b a×b＋1×a b×a＝b＋a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的和，那么这个分数就可以写成两个分数单位相加的形式。

b＋a a×b＝b a×b＋a b×a＝1a＋1b例1：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋⋯⋯＋19×10＝11－12＋12－13＋13－14＋14－15＋⋯⋯＋19－110＝1－110＝91021×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝1－111＝1011例3：11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝21×3×12＋23×5×12＋25×7×12＋27×9×12＋29×11×12＝12×21×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝12×11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝12×1－111＝12×1011＝511例4：31×2－52×3＋73×4－94×5＋115×6＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋15＋16＝1＋12－12－13＋13＋14－14－15＋15＋16＝1＋16＝116+16+112+120+130+142+156+172+190+1110（1）12（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50（3）1－14＋120＋130＋142＋156（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11（5）12×5＋15×8＋18×11＋⋯⋯＋120×23（6）113－712＋920－1130＋1342－1556（7）712－920＋1130－1342练习答案：（1）12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＋110×11＝1－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋19－110＋110－111＝1－111＝1011（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50＝11－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋149－150＝1－150＝4950（3）1－14＋120＋130＋142＋156＝1－14＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＝1－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＝1－18＝78（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11观察发现，每一个分数的分子都是2002，分母都是差值位2的两个数的乘积。

六年级奥数第二讲： 分数计算技巧---分数裂项（一）【专题精析】 在计算一列分数之和时，根据)(a n n a ＋＝n 1a n ＋1-把一个分数拆分成两个分数相减的形式，使中间的分数相互抵消，大大化简了运算，这种分数的运算技巧，称作裂项法。

裂项有两种方法：裂和：b a b a a b 11+=⨯+ 比如：3121232365+=⨯+= 裂差：b a b a a b 11-=⨯- 比如：3121322361-=⨯-=练习：1、将下列各数裂项： 例如：4131121-= =201 =209 =152 2、计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋8007991⨯当分子并不是分母之差（或和），而是成倍数关系时，裂项之后再乘以倍数1（或倍数）。

)11(1)(1k n n k k n n +-⨯=+⨯ 比如：）（71314173441731-⨯=⨯⨯=⨯ )11()(k n n N k n n Nk +-⨯=+⨯ 比如：）（413151215125-⨯=⨯= 练习：1、将下列各数裂项：例如：）（51413203-⨯= =212 =994 =563 =551=5612、计算：13112002752002532002312002⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯【基础练习】 1、计算：21＋61＋121＋201＋301＋421＋561＋721＋9012、计算：311⨯＋531⨯＋751⨯＋ (1031011)3、计算：21＋65＋1211＋2019＋30294、计算：49472752532312⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯【拓展提高】1、计算：（1）421＋615＋1216＋2017＋3018＋4219（2）221-65-127＋209-＋30114213-2、计算：（1）161-＋421＋561721＋（2）199919981998⨯＋200019991998⨯＋200120001998⨯＋ (205020491998)3、计算：513⨯＋953⨯＋1393⨯＋ (200119973)4、计算：30×（151＋351＋631＋991＋1431＋1951）5、计算：（1）613⨯＋1163⨯＋16113⨯＋……＋76713⨯＋81763⨯（2）、2521⨯＋4851⨯＋61181⨯＋……＋1001521491⨯＋1021551521⨯6、计算：（1）561542133011209411+-+-（2）56154213301120912732-+-+-（3）7271565542413029201912116521+++++++。

分数数列计算分数数列计算本讲我们向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）以及换元、通项归纳进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。

一般地，形如1a×(a+1)的分数可以拆成1a －1a+1；形如1a×（a+n）的分数可以拆成1n ×（1a －1a+n ），形如a+b a×b 的分数可以拆成1a +1b等等。

同学们可以结合例题思考其中的规律。

对于复杂的分数计算，若有比较庞大的“共同体”，可以考虑换元的方法。

【例1】★计算：11×2+12×3+13×4+…..+199×100【小试牛刀】14×5+15×6+16×7+…..+139×40【例2】★计算：12×4+14×6+16×8+…..+148×50【小试牛刀】13×5+15×7+17×9+…..+197×99【小试牛刀】11×4+14×7+17×10+…..+197×100【例3】★计算：113－712+920－1130+1342－1556【小试牛刀】114－920+1130－1342+1556【例4】★★计算：12+14+18+116+132+164【小试牛刀】计算12+14+18+………+1256【例5】★★计算：（1+12+13+14）×（12+13+14+15）－（1+12+13+14+15）×（12+13+14）【小试牛刀】（12+13+14+15）×（13+14+15+16）－（12+13+14+15+16）×（13+14+15）【例6】★★计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【小试牛刀】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++⨯⨯⨯⨯⨯【例7】★★计算：5791113151719 1612203042567290 -+-+-+-+【小试牛刀】11798175 451220153012 ++++++【例8】★★★计算1111 123234345192021++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________；【例9】★★★1111 135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________【小试牛刀】1111 135357579192123++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________；【例10】★★★11111121231234123450++++++++++++++++=_________；【小试牛刀】1111 11212312100 ++++++++++1.12+16+112+120+130+1422.110×11+111×12+112×13+113×14+114×153.11×5+15×9+19×13+…..+133×374.14+128+170+1130+12085.23+29+227+281+22436.计算（18+19+110+111）×（19+110+111+112）－（18+19+110+111+112）×（19+110+111）7.计算（1+11999+12000+12001）×（11999+12000+12001+12002）－（1+11999+12000+12001+12002）×（11999+12000+12001）8.计算：11111123420261220420+++++9．计算111 123234789 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯10.计算：111112123122007 +++⋯+++++⋯。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

分数的巧算——裂项前面我们介绍了运用定律和性质以及数字的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。

一般地，形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a ；形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；等等。

同学们可以结合例题思考其中的规律。

王牌例题①形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a 100991431321211计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯，……，其中的部分分数可以相互抵消，这样计算就简便多了，1001991()4131()3121()211(-++-+-+-= 原式100199141313121211-++-+-+-= 1009910011=-=举一反三①403917616515411⨯++⨯+⨯+⨯ 、15141141311312112111111012⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、42130120112161213+++++、72156********+++-、王牌例题②形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯50481861641421计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为4121422-=⨯，6141642-=⨯，8161862-=⨯，……，所以，将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求算式的和，最后把求得的和再乘21即可。

所以2150482862642422(⨯⨯++⨯+⨯+⨯= 原式21)501481()8161()6141()4121(⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-= 21)50121(⨯-=215024⨯=256=举一反三②999719717515311⨯++⨯+⨯+⨯ 、10097110717414112⨯++⨯+⨯+⨯ 、3733113919515113⨯++⨯+⨯+⨯ 、20811301701281414++++、王牌例题③形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；56154213301120912731计算：1-+-+-【思路导航】因为311311+=，41314343127+=⨯+=，51415454209+=⨯+=，615165653011+=⨯+=，716176764213+=⨯+=，817187875615+=⨯+=……所以)8171()7161()6151(5141()4131(311+-+++-+++-+=原式81717161615151414131311--++--++--+=87811=-=举一反三③301120912765211 1-+-+、561542133011209411 2+-+-、6599815499814399813299812119983⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、6301162091276 4⨯-⨯+⨯、王牌例题④641321161814121计算：+++++【思路导航】解法一：这道题如果先通分再相加，就比较复杂；如果给原式先“借”来一个641，最后再“还”一个641，就可以通过口算得出结果。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程.很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了.本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高.分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差.遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的.(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算.（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值.二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的.【例 1】 111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为： 111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】56【巩固】 111 (101111125960)+++⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-= 【答案】112【巩固】 2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【例 2】 111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题.此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律.从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯ 例题精讲【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】111111111150(1 13355799101233599101101 ++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…）【答案】50 101【巩固】计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯-⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++-⎪⎝⎭2515015012115165023232=⨯==【答案】21 1532【巩固】计算：3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111111111 255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】1 2【例 4】计算：11111111()128 8244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）1111111128 224461618=⨯-+-++-⨯（）1164218=-⨯（）4289=【答案】4 289【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为：11111111612203042567290+++++++ 1111111123344556677889910112==2105=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 【答案】25 【巩固】 11111113610152128++++++= 【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111212312341234567=+++++++++++++++++ 2221233478=++++⨯⨯⨯ 111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74= 【答案】74【巩固】 计算：1111111112612203042567290--------＝ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111()22334910=--+-++- 111()2210=-- 110=【答案】110【巩固】 11111104088154238++++= . 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭1115321734⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】 计算：1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】 原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11110040034132003200512048045⎛⎫=⨯-= ⎪⨯⨯⎝⎭ 【答案】100400312048045【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭-⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】 原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯ 71111111461123357913123+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭- 4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336【例 7】 计算：11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】小数报，初赛【解析】 原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++- 12021012102121=+-= 【答案】2021021【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270++++= . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级，1试 【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 51005054= 【答案】51005054【巩固】 计算：1122426153577++++= ____. 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级【答案】11【巩固】 计算：1111111315356399143195++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯，2154135=-=⨯，……，21951411315=-=⨯， 所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】四中 【解析】 原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111199122399100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭198100= 【答案】198100【例 8】 111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭= 【答案】35144【巩固】 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111149494949()212991002990019800=⨯-=⨯=⨯⨯ 【答案】494919800【巩固】 计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯) ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【巩固】 4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 11111111()()......()()133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11139799=-⨯⨯32009603=【答案】3200 9603【巩固】9998971 12323434599100101 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...) 123234345991001012334100101 =++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()()2422101002101101=⨯⨯---=【答案】51 24 101【例 9】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111 31232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11131238910⎛⎫=⨯-⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】119 2160【巩固】333...... 1234234517181920 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111113[(...)] 3123234234345171819181920 =⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】1139 6840【例 10】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同． 【答案】2315【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（） 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，五年级【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445351011911=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155= 所以原式31115565155=⨯=． （法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd +，其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111222223434589109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111112223343445910101134451011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1111122231011311⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11223413112220311422055=-+-=-=， 所以原式31115565155=⨯=． （法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055=+--= 所以原式31115565155=⨯=． （法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =，3，……，9） 如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一．【答案】651【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75616【例 11】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【例 12】 123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 115040=-50395040=【答案】50395040【巩固】 计算：23993!4!100!+++= .【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯112100!=-【答案】112100!-【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【答案】12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111(12)112=-⨯++，311(12)(123)12123=-+⨯+++++，……，10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++，所以原式1112100=-+++15049150505050=-=【答案】50495050【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（） 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=【答案】155【例 14】 22222211111131517191111131+++++=------ .【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214=-⨯= 【答案】314【巩固】 计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯，2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯，……所以，原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯2222222111111112233478=-+-+-++-2118=-6364=【答案】6364【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996= 【答案】9979971996【巩固】 计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2221310213+=-，2222420318+=-，22235344115+=-，……由于104233=，204288=，34421515=， 可见原式222244442222213141991=++++---- 1111298413243598100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭199196329900=+-⨯47511984950=【答案】47511984950【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++⎪----⎝⎭1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101= 【答案】6312101【例 15】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 56677889910111111113()...()56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】 原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算：1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】 123791117253571220283042+++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式12311111121133573445475667=++++++++++++11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334=【答案】334【巩固】 1111120102638272330314151119120123124+++++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127= 【答案】127【巩固】 35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11111111782334788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭211110=-=【答案】10【巩固】 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111111111()()()()()()()()23344556677889910=-+++-+++-+++-+++11312105=-+=【答案】35【巩固】 11798175451220153012++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式111111112111453445355646=+++++++++++111124523456=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3【例 16】 22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1232341918192021919 (21736)2123431819201912020 =++++++++++=+⨯+=【答案】19 3620【巩固】11112007111 (......)(......) 120072200620062200712008120062200520061 ++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=1111() 2008200720072015028⨯+=【答案】1 2015028【例 17】计算：111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11491502550=+-=【答案】49 50【例 18】计算：24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111 133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯135134135135=【答案】135134 135135【例 19】计算：283411 1222222 1335571719135357171921⎛⎫++++-+++=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】341199 222224422 1353571719211335355717191921 +++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯所以原式889 122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379 399。

1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 1 of 4本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

知识点拨教学目标分数裂项计算1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 2 of 4二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。