三角函数及三角形中常用的二级结论
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三角函数及三角形中常用的二级结论
1、当$x\in[0,\frac{\pi}{2})$时，有$sinx<x<tanx$。
2、对于函数$y=sin(\omega x+\phi)$，当
$\phi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$时，函数为奇函数；当
$\phi=k\pi(k\in Z)$时，函数为偶函数；对于函数$y=cos(\omega x+\phi)$，当$\phi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$时，函数为偶函数；对于函数$y=tan(\omega x+\phi)$，当$\phi=k\pi(k\in Z)$时，函数为奇函数。
3、扇形圆心角为$\alpha$弧度，半径为$R$，则弧长
$l=\alpha R$，扇形面积$S=\frac{1}{2}\alpha R^2$。
4、$cos2\alpha=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1$。
5、$sin2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1+tan^2\alpha}$，
$tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$。
6、辅助角公式：
$asin\theta+bcos\theta=\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta+\phi)$，其中$sin\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},cos\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^ 2}}$。
特别地：$sinx+3cosx=2sin(x+\frac{\pi}{6})$，
$sinx+cosx=2sin(x+\frac{\pi}{4})$。
7、$x+\frac{cos2x}{2sinx}=tan(x+\frac{\pi}{4})$。
8、$(sin\alpha\pm cos\alpha)^2=1\pm sin2\alpha$。
9、$cot^2\alpha+1=csc^2\alpha$，$sec^2\alpha-
1=tan^2\alpha$，$csc^2\alpha-1=cot^2\alpha$。
10、在锐角三角形$\triangle ABC$中，$a+b>c$，
$a^2+b^2>c^2$。
11、$\alpha+\frac{cos2(\alpha+30^\circ)}{2}+sin\alpha cos(\alpha+30^\circ)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}sin3\alpha$。
12、设$f(\alpha)=sin\alpha+cos\alpha$，当$x=2k\pi(k\in N)$时，$1\leq f(\alpha)\leq 1$。
13、在直角三角形$\triangle ABC$中，$AD$为斜边上的高，则$AC=CD\cdot\frac{CB}{AB}$，$AB^2=BD\cdot BC$，$AD^2=CD\cdot BD$。
14、在锐角三角形$\triangle ABC$中，$a+b+c=2R$。
15、在直角三角形$\triangle ABC$中，
$(2AD)=2(AB+AC)-BC$。
16、在三角形$\triangle ABC$中，$AD$为$BC$边上的中线，则$AD=\frac{1}{2}\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}$。
17、在三角形$\triangle ABC$中，$AD$为角$\angle BAC$的平分线，则
$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB+AC}$。
18、在斜三角形$\triangle ABC$中，
$tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB\cdot tanC$。
19、在三角形$\triangle ABC$中，$S=\frac{1}{2}abc\cdot sinC=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$为半周长，$r$为内切圆半径。
20、在三角形$\triangle ABC$中，$a=b\cdot cosC+c\cdot cosB$。
