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2018年下学期九年级数学辅导讲义第06，07讲 相似三角形【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）．要点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.2b判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（五）：如果两个直角三角形斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
教学过程一、课堂导入几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。
主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。
解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。
注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。
二、复习预习相似三角形的概念及性质1. 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．2. 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．三、知识讲解考点1 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或等。
在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。
熟练掌握图形相似的证明方法；知识讲解考点1 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或CD等。
在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。
证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=12b；2.利用等腰三角形证明a=b；3.利用含30°角的直角三角形证明等；考点2 两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90°，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。
在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。
考点3 相似三角形的判定①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 考点4 证明题常用方法归纳（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
①)(,为中间比n mn m d c n m b a == ②'',,n n nmd c n m b a === ③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
例题精析例1已知：如图，若以△ABC边AB、AC为边向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N 分别为BC和DG的中点.试探究线段MN、BC之间的关系，并证明你的结论.例2如图11，在△OAB 和△OCD 中，∠A < 90°，OB = k OD(k > 1)，∠AOB =∠COD ，∠OAB 与∠OCD 互补．试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论． 说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取⑴⑵中的一个条件 ⑴k = 1(如图12)；⑵点C 在OA 上，点D 与点B 重合(如图13)．图 13图 12图 11B (D )CAO DB CAO O ACBD例3已知点E 在△ABC 内，∠ABC ＝∠EBD ＝α，∠ACB ＝∠EDB ＝60°，∠AEB ＝150°， ∠BEC ＝90°．（1）当α＝60°时（如图17）， ①判断△ABC 的形状，并说明理由；②求证：BD ；（2）当α＝90°时（如图18），求BDAE的值．例4已知△ABC是等边三角形，CD⊥AC，AE∥CD，且EA＝ED，BE与AD相交于点F．（1）若∠CAD＝12∠DAE（如图14），试判断BF与FE的数量关系，并说明理由；（2）若∠CAD＝2∠DAE（如图15），求BFFE的值．例5在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB＝AC时，（如图13），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB＝kAC时（如图14），求BEFD的值（用含k的式子表示）．课程小结本节课主要研究了相似与比例相关问题，抓住题干所提供的信息，利用证明所缺条件构造出全等形或是相似形是本节课的重点，几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。
例1【规范解答】证明：延长BN使得BN=NH，连接HG、HC、NC,又∵ ND=NG , ∠DNB=∠GNH∴△DNB≌△GNH∴ BD=HG延长BA交HG于Q点∵BD∥HG ∴∠AQG=∠ACG=90°∴在四边形ACGQ中，∠AQG+∠ACG=180°，则∠HGC+∠QAC=180°又∵∠BAC+∠QAC=180°, ∴∠HGC=∠BAC又∵AC=k⋅AF,AB=k⋅AE , ∴△BAC∽△HGC, ∴BC=kHC∵M、N分别为BC和DG的中点∴MN∥HC, ∴MN⊥BC, ∴HC=2MN∴BC=2kMN【总结与反思】延长BN，构造八字形全等，得到与BD相等的边HG，构造△BAC∽△HGC，从而可以得到HC与BC的关系，进而得到BC与MN的关系。
例2【规范解答】结论：AB =kCD证明：（方法一）在OA 上取一点E ，使OE=k OC ，连接EB ， ∵OB= k OD ，∴k OCOEOD OB == ∵∠AOB=∠COD ， ∴△OEB ∽△OCD ，∴k ODOBCD EB ==，即EB=kCD ，∠OEB=∠OCD ∵∠OAB+∠OCD=180°，∴∠OAB+∠OEB=180° ，∵∠AEB+∠OEB=180°，∴∠OAB=∠AEB ∴EB =AB ， ∴AB =kCD（方法二）延长OC 到点E ，使OE=k1OA ，连接DE ．证明△DOE ∽△BOA ，再证明△DCE 是等腰三角形，进而证出结论．（方法三）作DE ⊥OC 交OC 的延长线于E ，作BF ⊥OA 于F ，证明△DOE ∽△BOF ，再证明△DCE ∽△BAF ，进而证出结论．（评分标准参照证法一） 选择（1）结论：AB =CD证明：（方法一）在OA 上取一点E ，使OE= OC ，连接EB ∵OB=OD ，∠AOB=∠COD ，∴△OEB ≌△OCD∴EB=CD ，∠OEB=∠OCD ，∵∠OAB+∠OCD=1800，∴∠OAB+∠OEB=1800∵∠AEB+∠OEB=1800，∴∠OAB=∠AEB ，∴EB =AB ∴AB =CD（方法二）延长OC 到点E ，使OE=OA ，连接DE ．证明△DOE ≌△BOA ，再证明△DCE是等腰三角形，进而证出结论。
（方法三）作DE ⊥OC 交OC 的延长线于E ，作BF ⊥OA 于F ，证明△DOE ≌△BOF ，再证明△DCE ≌△BAF ，进而证出结论。
（评分标准参照证法一） 选择（2）结论：AB =CD证明：∵∠OAB+∠OCB=1800，∵∠ACB+∠OCB=1800，∴∠OAB=∠ACB ，∴CB =AB 即AB =CD 【总结与反思】方法一是截取图形构造相似形，方法二是补出图形构造相似形，方法三是作垂创造条件构造相似形。
我们介绍的这三种证明方法，同时也适用于后面附加条件的证明。
本题如若选择条件证明会相应的减掉一些分值。
ABDCE图17例3【规范解答】（1）①判断：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ 60=∠=∠ACB ABC∴==∠-∠-=∠ 601800ACB ABC BAC ACB ABC ∠=∠ ∴△ABC 是等边三角形 ②同理△EBD 也是等边三角形连接DC ，则AB=BC ，BE=BD ，CBD EBC ABE ∠=∠-=∠ 60 ∴△ABE ≌ △CBD ，∴AE=CD ， 150=∠=∠CDB AEB∴︒=∠-=∠90150BDE EDC ，︒=︒-︒=∠-∠=∠306090BED BEC CED在Rt △EDC 中3330tan =︒=ED CD ， ∴AE BD BD AE 333==，即． 图18C（2）连接DC ，∵︒=∠=∠︒=∠=∠6090EDB ACB EBD ABC ，，∴△ABC ∽△EBD ， ∴BDEB BCAB BDBC EBAB ==，即，又∵CBD EBC ABE ∠=∠-=∠ 90，∴△ABE ∽ △CBD ，150=∠=∠CDB AEB ，BDBE CDAE =，∴︒=∠-=∠90150BDE EDC︒=∠-︒-︒=∠-∠=∠60)90(90BDE BED BEC CED设BD=x 在Rt △EBD 中，DE=2x ，BE=x 3 在Rt △EDC 中，CD=x DE 3260tan =︒⋅ ∴BD x x x x BD BE CD AE 66332==⋅=⋅=，即61=AE BD【总结与反思】（1）题中给出了特殊角60°，我们通过导角便可以得出△ABC 是等边三角形，同理△EBD 也是等边三角形.由图形全等可以得到一个特殊三角形Rt △EDC ，从而得到AE.（2）补全图形，仿照（1），证明相似，通过边之间的关系便可以确定BD 与AE 的比值了。
例4【规范解答】解(1) 判断：BF=FE 证明：作BQ ⊥AC ，交AC 于点P ，交AD 于点Q ．∵CD ⊥AC ，∴∠ACD =90°，∵AE ∥CD ，∴∠EAC= 90°，∵∠CAD=21∠DAE ，∴∠CAD =30°，∠DAE=60° ∵EA=ED ，∴△EAD 是等边三角形，∴EA=AD=2 CD ，又∵△ABC 是等边三角形∴AP=PC ，∠APB=90°=∠EAC=∠ACD ，∴AE ∥BQ ∥CD ，∴1==PCAP QDAQ 即Q 是AD 中点∠EAF=∠BQF ，∠AEF=∠QBF ，∴PQ=21CD ，AC=3CD 在Rt △ABP 中，BP=3AP=23AC=23CD ，∴BQ= BP+ PQ=2CD=EA∴△AFE ≌△QFB ，∴BF=FE （2）作BQ ⊥AC ，交AC 于点P ，交AD 于点Q ,连接EQ ． 同理P 、Q 为AC 、AD 的中点，∠EAF=∠BQF ，∠AEF=∠QBF ∴△AFE ∽△QFB ，∴EABQ FEBF =∵∠EAC= 90°,∠CAD=2∠DAE ，∴∠CAD =60°，∠DAE=30° ∴PQ=21CD, AC=33CD, AD=332CD ，∴BQ= BP+ PQ=23 AC+21CD=23×33CD+21CD=CDAQ=21AD=33CD ，又∵EA=ED ，∴EQ ⊥AD ∴EA=332 AQ=332×33CD=32 CD∴2332===CD CD EABQ FEBF【总结与反思】（1）作垂线，通过题干所提供的信息得到BQ 与AE 的关系，从而构造全等△AFE ≌△QFB ，去证明BF=FE 。
