1、定义域与区间

第二章 函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。

③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。

例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

三角函数的定义域区间表达
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

它们的定义域和区间表达如下：
1. 正弦函数（sin）：
定义域，实数集合（-∞，+∞）。

区间表达，[-1, 1]
2. 余弦函数（cos）：
定义域，实数集合（-∞，+∞）。

区间表达，[-1, 1]
3. 正切函数（tan）：
定义域，实数集合，除去所有奇数倍π的整数倍数。

区间表达，(-∞, +∞)。

4. 余切函数（cot）：
定义域，实数集合，除去所有偶数倍π的整数倍数。

区间表达，(-∞, +∞)。

5. 正割函数（sec）：
定义域，实数集合，除去所有奇数倍π的整数倍数。

区间表达，(-∞, -1] ∪ [1, +∞)。

6. 余割函数（csc）：
定义域，实数集合，除去所有偶数倍π的整数倍数。

区间表达，(-∞, -1] ∪ [1, +∞)。

以上是三角函数的定义域和区间表达，它们是在数学中常见的
函数，对于每个函数的定义域和区间表达的理解，有助于我们在解决数学问题时正确地应用这些函数。

函数定义及定义域一：1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，对应关系，值域。

3．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.4.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)二.值域 :函数值的取值构成的集合（ 先考虑其定义域）。

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法三． 函数图象知识归纳1.定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P (x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)，均在C 上 .2. 画法： A.描点法： B.图象变换法3.常用变换方法有三种 (1)平移变换 (2)伸缩变换 (3)对称变换 4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间（3）区间的数轴表示． 5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

第二节函数的定义域和值域[知识能否忆起]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝a x，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R.(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R. (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R.[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]，则f (x )的值域为( ) A ．[－1,8] B ．[－1,16] C ．[－2,8]D ．[－2,4]答案：A 2．函数y ＝1x 2＋2的值域为( ) A ．R解析：选D ∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12.∴0<y ≤12. 3．(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln?x ＋1?＋ 4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.答案：{x |x ≥4，且x ≠5}5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：∵x 有意义，∴x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，∴当x ＝0时，y min ＝－5. 答案：[－5，＋∞)函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．[注意] 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域．求函数的定义域典题导入[例1] (1)(2012·大连模拟)求函数f (x )＝lg?x 2－2x ?9－x 2的定义域； (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域．[自主解答] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3，所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)． (2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1，∴12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.若本例(2)条件变为：函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．以题试法1．(1)函数y ＝2x －x2ln?2x －1?的定义域是________．(2)(2013·沈阳质检)若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5]解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2≥0，ln?2x －1?≠0，2x －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠1，x >12.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2]．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ＋1≤5，－3≤x －2≤5，解不等式组可得－1≤x ≤4. 所以函数g (x )的定义域为[－1,4]．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2] (2)C 求已知函数的值域典题导入[例2] 求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2；(3)y ＝x ＋4x(x <0)；(4)f (x )＝x －1－2x . [自主解答] (1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1，∵1＋x 2≥1，∴0<21＋x2≤2.∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1]．(3)∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．(4)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1))． (2)换元法(例(4))． (3)基本不等式法(例(3))． (4)单调性法(例(4))． (5)分离常数法(例(2))．[注意] 求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择．以题试法2．(1)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________． (2)(2012·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：(1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1， 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈?1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]， 即当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：(1){y |y ∈R ，y ≠1} (2)[－4,6]与函数定义域、值域有关的参数问题典题导入[例3] (2012·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[自主解答] 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. [答案] [－1,0]由题悟法求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．以题试法3．(2012·烟台模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求 法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的 困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的 作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、 分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2 都已讲解)、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例1] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R)的值域是________．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，由图象知函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞[题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型： (1)直线的斜率：yx 可看作点(x ，y )与(0,0)连线的斜率；y －bx －a可看作点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (2)两点间的距离： ?x －x 1?2＋?y －y 1?2可看作点(x ，y )与点(x 1，y 1)之间的距离． 针对训练1．函数y ＝?x ＋3?2＋16＋?x －5?2＋4的值域为________． 解析：函数y ＝f (x )的几何意义为：平面内一点P (x,0)到两点A (－3,4)和B (5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)．连接AB ′交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值y ＝|AB ′|＝82＋62＝10.即函数的值域为[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 2．判别式法对于形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x 的一元二次方程，由判别式Δ≥0，求得y 的取值范围，即为原函数的值域．[典例2] 函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域为________．[解析] 法一：(配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.法二：(判别式法)由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈?，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1 [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，若x ∈R ，则Δ≥0，从而确定函数的最值；再检验a (y )＝0时对应的x 的值是否在函数定义域内，以决定a (y )＝0时y 的值的取舍．针对训练2．已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为( )A ．－1B ．4C ．6D ．7解析：选C 函数式可变形为(y －m )x 2－43x ＋(y －n )＝0，x ∈R ，由已知得y －m ≠0，所以Δ＝(－43)2－4(y －m )·(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)＝0的两根，代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＋?m ＋n ?＋mn －12＝0，49－7?m ＋n ?＋mn －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5.所以m ＋n ＝6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0得x >23.2．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选C 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1,1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1,0}，其子集的个数为23＝8.3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C 由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|解析：选D 选项A 中y 可等于零；选项B 中y 显然大于1；选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)；选项D 中|x ＋1|>0，故y >0.5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( ) A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2]∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 故x －1∈(－∞，0)∪[1,4)， ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 7．(2013·安阳4月模拟)函数y ＝x ＋1＋x －1?0lg?2－x ?的定义域是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1，所以定义域是{x |－1≤x <1，或1<x <2}．答案：{x |－1≤x <1，或1<x <2}8．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，即y max ＝14.答案：149．(2012·太原模考)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2] 10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x .解：(1)y ＝1－x2x ＋5＝－12?2x ＋5?＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5， 因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12， 所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. (2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24， 于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6， 显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112， 因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134， 当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112， 故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 11．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值． 解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1. 即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝3. 12．(2013·宝鸡模拟)已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2?⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2] 解析：选C －x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.2．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：由函数f (x )＝|log 12x |的图象和值域为[0,2]知，当a ＝14时，b ∈[1,4]；当b ＝4时，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154，最小值为1－14＝34.所以区间长度的最大值与最小值的差为154－34＝3. 答案：3 3．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)行车所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．1．已知函数f (x )＝2x ＋4－x ，则函数f (x )的值域为( )A ．[2,4]B ．[0,2 5 ]C ．[4,2 5 ]D ．[2,2 5 ] 解析：选D ∵x ∈[0,4]，∴可令x ＝4cos 2θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 则y ＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，tan φ＝2.又0≤θ≤π2，φ≤θ＋φ≤π2＋φ， 故cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而cos φ＝15， ∴2≤y ≤2 5.2．若函数f (x )＝ ?a 2－1?x 2＋?a －1?x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解：由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立．①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意； ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1>0，Δ＝?a －1?2－4?a 2－1?×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9.综上，可得实数a 的取值范围是[1,9]．。

1、函数定义域、值域求法总结函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。

2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。

一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。

因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。

一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。

定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。

()的定义域求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域()():f g x ,f (x)⎡⎤⎣⎦题型二已知的定义域求的定义域()[]():f g x ,f h(x)⎡⎤⎣⎦题型三已知的定义域求的定义域()[]()[])x (h f x f x g f →→一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

函数的概念与定义域学生姓名年级科目任课老师日期时段教学目标1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用3.会求函数的定义域重点、难点1．函数的定义的理解；2．求简单函数的定义域考点及考试要求1.了解函数的概念；2.理解函数的三种表示方法；3.了解简单的分段函数教学内容知识点一、区间的概念【内容概述】设ba Rb a <∈且,,区间是集合的另一种形式.对于区间的理解应注意：1、区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b -a 成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a ；2、注意开区间),(b a 与点),(b a 在具体情景中的区别.若表示点),(b a 的集合应为{}),(b a ；3、用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；4、对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示；5、要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆.【典型例题】例1.把下列数集用区间表示：（1）}1|{-≥x x ；（2）}0|{<x x ；（3）}11|{<<-x x ；（4）}4210|{≤≤<<x x x 或知识点二、函数的定义【内容概述】一般地，设A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.显然：B A x x f ⊆∈}|)({【典型例题】例2.下列式子能否确定y 是x 的函数？（1）422=+y x ；（2）111=-+-y x ；（3）xx y -+-=12变式1：判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数.○1||:},0|{,x y x f x x B R A =→>==○22:,,x y x f Z B Z A =→==○3xy x f Z B Z A =→==:,,○40:},0{},11|{=→=≤≤-=y x f B x x A知识点三、函数的三要素【内容概述】1.函数的定义域函数的定义域是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围.2.求函数定义域的一般法则：（1）若)(x f 为整式，则其定义域为实数集R ；(2)若)(x f 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合；（3）若)(x f 为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；（4）若)(x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集；（5）0)(x x f =的定义域是}0|{≠x x ；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.【典型例题】例3.求下列函数的定义域，结果用区间表示.（1）6122--++=x x x y ；（2）xx x y -+=||)1(0；（3）91552-----=x x x y .例4.已知四组函数：（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）33)(,)(x x g x x f ==；（3）)(12)(),(12)(N n n n g N n n n f ∈+=∈-=；（4）tt t g x x x f 2)(,2)(22-=-=其中表示同一函数的是________________.变式1：下列各组式子是否为同一函数？为什么？（1）2)(|,|)(t t g x x f ==；（2）22)(,x y x y ==；（3）21,11x y x x y -=-⋅+=；（4）3,)3(2-=-=x y x y 例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域.例6.已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R，求实数a 的取值范围.例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）知识点四、抽象函数的定义域【拓展】【内容概述】（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围；（2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围；（3）已知))((x g f 的定义域为B，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.【典型例题】例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]13,5[，求)(2x f 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]3,3[-，求)12(2+x f 的定义域.例9.已知函数)(x f 的定义域为]5,21[，)1()1()(++-=x f x f x g 求)(x g 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]4,31[，)1()()(xf x f xg +=求)(x g 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]4,1[，)()()(2x f x f x g +=求)(x g 的定义域.知识点五、检验图形是否为函数图像的方法【典型例题】例10.设}20|{},22|{≤≤=≤≤-=y y N x x M ，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是（）A BC D课后作业1.下列各组函数表示相等函数的是（）A、⎩⎨⎧<->=0,,0,)(x x x x f 与||)(x x g =B、12)(+=x x f 与xxx x g +=22)(C、|1|)(2-=x x f 与22)1()(-=t t g D、2)(x x f =与xx g =)(2.函数xx y 1+=的定义域为_______________.3.函数12)(22-+-=a ax x x f 的定义域为A，若A ∉2，则a 的取值范围是____.4.已知函数)(x f y =的定义域为]4,1[，求函数)(2x f y =的定义域.5.已知)(x f 的定义域为]2,0(，求函数)()12(2x f x f +-的定义域.。

定义区间和定义域区别的例子区间和定义域是数学中常用的概念，它们在函数、集合和数列等方面有着重要的应用。

区间是指数轴上的一段连续的区域，而定义域是函数能够接受的输入值的集合。

下面将分别通过具体的例子来解释区间和定义域的概念。

1. 区间的例子：考虑一个线段AB上的点集合，假设A和B是实数轴上的两个点，区间[AB]表示从点A到点B之间所有的点的集合。

例如，[0,1]表示0到1之间的所有实数，包括0和1；(0,1)表示0到1之间的所有实数，但不包括0和1；[0,1)表示0到1之间的所有实数，包括0但不包括1。

2. 定义域的例子：考虑一个函数f(x)=1/x，其中x是实数。

这个函数的定义域为所有非零实数的集合，因为在这个函数中，除数不能为零。

因此，定义域为R-{0}，其中R表示实数集合。

3. 区间的例子：考虑一个数列{an}=1/n，其中n是正整数。

这个数列的前n项和可以表示为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n。

这里的区间是指数列的有限项的和，例如，S3=1+1/2+1/3=1.8333...，S4=1+1/2+1/3+1/4=2.0833...。

4. 定义域的例子：考虑一个函数g(x)=√x，其中x是实数。

这个函数的定义域为所有非负实数的集合，因为在这个函数中，被开方的数不能为负数。

因此，定义域为[0,+∞)，其中+∞表示正无穷大。

5. 区间的例子：考虑一个集合S={x | -1 ≤ x ≤ 1}，其中x是实数。

这个集合表示了实数轴上的一个闭区间[-1, 1]，包括-1和1。

也可以表示为[-1, 1] = {-1, -0.9, -0.8, ..., 0, 0.1, 0.2, ..., 1}。

6. 定义域的例子：考虑一个函数h(x)=log(x)，其中x是实数。

这个函数的定义域为所有正实数的集合，因为在这个函数中，对数的底不能为零或负数。

因此，定义域为(0,+∞)，其中+∞表示正无穷大。

7. 区间的例子：考虑一个集合T={x | x > -2}，其中x是实数。

函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。