反比例函数培优专题训练二

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，∴k=6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，∵点A（2，3），k=6，∴AN=2，∵△APO的面积为2，∴，即，得OP=2，∴点P（0，2），设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，0），设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，则，得，∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．3．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.4．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．【答案】（1）解：y=2x+1中k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．∵y= 中k=2＞0，∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19（2）解：令y= ≤2，解得：x＜0或x≥1．∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1，解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1，解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1，整理得：2m2﹣15m+29=0．∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．∴m的值为1或3．①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．5．如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8）、B （m，-2）两点，交x轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8），∴k=4×（-8）=-32．∵双曲线y= 过点B（m，-2），∴m=16．由直线y=kx+b过点A，B得：，解得，，∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当0＜x＜4或x＞16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），分三种情况：①若OB∥AP，OA∥BP，∵O（0，0），A（4，-8），∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；②若OP∥AB，OA∥BP，∵A（4，-8），B（16，-2），∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；③若OB∥AP，OP∥AB，∵B（16，-2），A（4，-8），∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x＞0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B （0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点；②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．【答案】（1）6；-6；（﹣，4）（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：解得∵抛物线y=﹣过点M、N∴解得∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）∵P在双曲线y=﹣上∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6∴t=此时直线MN解析式为：联立∴8x2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点∴，得t=∴t= 或t=③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）∴y P=5t﹣当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大此时，点P在直线x=﹣1上向上运动∵点F的坐标为（0，﹣）∴y F=﹣∴当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动∴1≤t≤4当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）当t=4﹣时，直线MN过点A．当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6y=4时，x=﹣∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点；②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故,求解得出t的值，综上所述得出答案；③根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣时，直线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题及详细答案一、反比例函数1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．2．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。

新思维反比例函数强化训练题（含答案及解析）1、函数y=-4/x的图象与x轴交点的个数是（）0个,当与X轴相交时说明函数值为0,即-4/x等于0,分母是不能为0的，所以不可能等于0,不可能和X轴有交点2、如图，A、B、C为反比例函数图像上的三个点，分别从A、B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S3D，提示：其中S1＝S2＝S3＝|k|；3、（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数y＝-3/x的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）探究型．根据反比例函数y＝-3/x中k的符号判断出此函数图象所在象限，再根据x1＜x2＜0＜x3判断出y1，y2，y3的大小关系即可．：∵反比例函数y＝-3/x中，k=-3＜0，∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选A．考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据函数解析式判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．4、若反比例函数y=x/k的函数过点（m,3m),则此反比例函数的图象在？在一、三象限k=m乘3mk=3m²∵3m²≥0，且k≠0，∴3m²＞0k＞0所以在一、三象限5、已知反比例函数y=1+m/x的图象上的两点A(x1,y1)B(x2,y2)当x1<0<x2时，有y1<y2则m的取值范围是。

∵y1<y2∴（1+m）/x1＜（1+m）/x2（1+m）/x1-（1+m）/x2＜0（1+m）×（x2-x1）/x1x2＜0∵x1<0<x2 ∴（x2-x1）/x1x2＜0∴1+m＞0∴m＜-1我选-1是错的啊回答：有可能答案是错的m＞06、反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是反比例函数的性质．判断反比例函数所在的象限，再根据其增减性解答即可．：∵x1＜0＜x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）不同象限，y1＞y2，∴点A在第二象限，B在第四象限，∴1-2m＜0，m＞1/2．故答案为m＞1/2．题考查了反比例函数图象的性质和增减性，难度比较大．7、在△ABC的三个顶点A（2，-3），B（-2，-1），C（-3，2）中，可能在反比例函数y＝K/X (k＞0)的图象上的点是反比例函数的性质，k＞0，反比例函数的图象在第一、三象限，则可得出答案．：∵k＞0，∴反比例函数的图象在第一、三象限，∵点A在第四象限，点B在第三象限，点C在第二象限，故点B在反比例函数y＝K/X (k＞0)的图象上．故答案为B．考查了反比例函数图象上点的特点，熟练掌握反比例函数的性质，是解此题的关键．8、如图，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y＝4/x(x＞0)的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（）压轴题．先根据等腰直角三角形的性质，知点P1的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P1的坐标是（2，2），则根据等腰三角形的三线合一求得点A1的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点A1的坐标和双曲线的解析式求得A2点的坐标．（a，a），（1）根据等腰直角三角形的性质，可设点P1又y=4/x，则a2=4，a=±2（负值舍去），的坐标是（4，0），再根据等腰三角形的三线合一，得A1设点P的坐标是（4+b，b），又y=4/x，则b（4+b）=4，2即b2+4b-4=0，腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．9、是反比例函数，则m、n的取值是反比例函数中未知数的次数为-1，系数不为0列式求值即可．y=kx-1（k≠0），注意未知数的系数和次数的取值范围．10.反比例函数y=（a-3）x a2−2a−4的函数值为4时，自变量x的值是据反比例函数的定义先求出a的值，再求出自变量x的值．：由函数y=（a-3）x a2−2a−4为反比例函数可知a2-2a-4=-1，解得a=-1，a=3（舍去），又a-3≠0，则a≠3，a=-1．将a=-1，y=4代入关于x的方程4=-4/x，解得x=-1．故答案为：-1．题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝k/x（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．11、如果反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，则n的取值范围是；如果图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则n的取值范围是据反比例函数图象的性质可以知道，该函数的系数小于0；函数在每个象限内y随x的增大而减小，可知该函数在其定义域内为减函数，可判断函数的系数大于0．：反比例函数y=的图象位于第二、四象限，所以有4-n＜0，即n＞4．又函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，可知4-n＞0，得n＜4．故答案为：n＞4、n＜4．主要考查了反比例函数及其图象在坐标系中的性质，重点是函数图象所在的象限及函数的增减性．12、已知一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点，当m= 时，有一个交点的纵坐标为6．y=6分别代入两个函数可得，然后变形可得．：依题意有，由3x+m=6可得6x=12-2m，再代入m-3=6x中就可得到m=5．故答案为：5．用了函数的知识、方程组的有关知识，以及整体代入的思想．13、函数y1=kx+k，y2=k/x（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A． B. C. D.一次函数的图象．反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．：若k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，所给各选项没有此种图形；若k＜0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，故选C．反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．14、一次函数Y=y1-y2,y1与x²成正比，y2与x成反比，其中x=1时，y=3；x= -1时，y=7. （1）求Y与X之间的函数关系式。

八下第十一章反比例函数中K值的几何意义培优训练（二）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.如图，点A为反比例函数y=−4图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连结OA，x则△ABO的面积为A. −2B. 2C. −4D. 4(x>0)的图象交于2.如图，函数y=6−x与函数y=4xA，B两点，设点A的坐标为(x1,y1)，则边长分别为x1，y1的矩形面积和周长分别为()A. 4，12B. 4，6C. 8，12D. 8，63.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，(k>0)的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影点P(4a,a)是反比例函数y=kx部分的面积等于16，则k的值为()A. 16B. 1C. 4D. −16(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角4.如图，已知双曲线y=kx边AB相交于点C.若点A的坐标为(−6,4)，则△AOC的面积为()A. 12B. 9C. 6D. 45.如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB//y轴，C、D在y轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为()A. 1.5B. 1C. 3D. 26.如图，在平面直角坐标系中，过点M(−3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=4的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为()xA. 12B. 10C. 8D. 6(x>0)的图象上，有点P1，7.如图，在反比例函数y=2xP2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4。

分别过这些点作x轴和y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=A. 43B. 76C. 3D. 32二、填空题8.如图，在平面直角坐标系中，过点M(−3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=4的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为______ ．x9.如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=________ ．10.如图，反比例函数y=−2x 的图象与直线y=−12x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为______ ．11.如图，A，B是反比例函数y=kx(x>0)图像上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C(2,0)，BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=________．12.如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有四个点A、B、C、D，它们的横坐标依次为a，2a，3a，4a，分别过这些点作x轴与y轴的垂线这，则图中阴影部分的面积之和为_____．13.如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=kx(x>0)的图像经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k=．14.双曲线y1=4x 与y2=kx在第一象限的图象如图所示，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C.若S▵AOB=1，则k的值是_________．15.如图，在直角坐标系中，直线y=kx(k≠0)与双曲线y=3x相交于A、B两点，过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥y轴，则图中阴影部分的面积为______．16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C在(x>0)的图象上，BC//x轴．若AB=AC，函数y=kx点A、C的横坐标分别为2、6，△ABC的面积为12，则k的值为．三、解答题17.如图，已知反比例函数y=k的图象经过点A(4,m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为x2．(1)求k和m的值；(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=k的图象上，当−3≤x≤−1时，求函数值y的x取值范围．18.已知反比例函数y=m−7图象的一支位于第一象限．x(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；(2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为3，求m的值．19.已知反比例函数y=k与直线l交于点A(2,2)B(−1,m)．x(1)求k与m的值；(2)求△OAB的面积．(k>0,x>0) 20.如图，E，F分别是矩形OABC的边AB，BC的中点，反比例函数y=kx 的图像经过E，F两点，且B(8,t)(t>0)，△OEF的面积为12．(1)求t，k的值；(k>0)的图像上一点，且P到原点的距离等于P到y(2)点P为反比例函数y=kx轴距离的√5倍，求点P的坐标．21.如图，A(4,3)是反比例函数y=k在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB//x轴，x截取AB=OA(B在A右侧)，连接OB，交反比例函数y=k的图象于点P．x(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)求点B的坐标及OB所在直线解析式；(3)求△OAP的面积．22.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+√2与x轴，y轴分别交于点A，点B，在第一象限内有一动点P(a,b)在反上，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN(比例函数y=mx垂足为M，N)分别与直线AB相交于点E，点F，当点P(a,b)运动时，矩形PMON的面积为定值1．(1)求∠OAB的度数；(2)求反比例函数解析式．(3)求AF⋅BE的值．答案和解析1.B解：设点A的坐标为(a,−4a)，∵AB⊥x轴于点B，∴△ABO是直角三角形，∴SΔABO=12×(−a)×(−4a)=2．2.A解：∵点A(x1,y1)在y=6−x与双曲线y=4x(x>0)的图象上，∴y1=6−x1，y1=4x1，∴x1+y1=6，x1y1=4；∴矩形的面积为：|x1y1|=4，矩形的周长为：2(x1+y1)=12.3.C解：∵图中阴影部分的面积等于16，∴正方形OABC的面积=16，∵P点坐标为(4a,a)，∴4a×4a=16，∴a=1(a=−1舍去)，∴P点坐标为(4,1)，把P(4,1)代入y=kx，得k=4×1=4．4.B解：∵OA的中点是D，点A的坐标为(−6,4)，∴D(−3,2)，∵双曲线y=kx经过点D，∴k=−3×2=−6，|k|=3．∴△BOC的面积=12×6×4=12，又∵△AOB的面积=12∴△AOC的面积=△AOB的面积−△BOC的面积=12−3=9．5.D解：如图，延长BA交x轴于点E．∵AB//y轴，四边形ABCD为矩形，∴四边形AEOD、BEOC都是矩形．∵点A在双曲线y=1上，x∴矩形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=3上，x∴矩形BEOC的面积为3，∴矩形ABCD的面积为3−1=2．6.B解：∵A、B两点在反比例函数y=4的图象上，x∴△AOC的面积为2，△OBD的面积为2，∵点M(−3,2)，∴四边形MCOD的面积为6，∴四边形MAOB的面积为6+2+2=10，7.D解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：(1,2)，(2,1)，(3,23)，(4,12).∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=2−1×12=32=32．8.10解：如图，设点A的坐标为(a,b)，点B的坐标为(c,d)，∵反比例函数y=4x的图象过A，B两点，∴ab=4，cd=4，∴S△AOC=12|ab|=2，S△BOD=12|cd|=2，∵点M(−3,2)，∴S矩形MCDO=3×2=6，∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，9.4解：∵点A、B是双曲线y=3x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，∴S阴影+S1=3，S阴影+S2=3，∴S1+S2=3+3−1×2=4．10.4解：∵点A、B在反比例函数y=−2x图象上，且比例系数k=−2，∴A、B关于原点对称，作BN⊥x轴于点N，则矩形OMCN的面积为S=|k|=2，故三角形BOM的面积为S△BOM=12=|k|=1，由于OM是三角形BAC的中位线，故△ABC的面积为：4×S△BOM=2|k|=2×2=4．11.5解：∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=12BD⋅CD=3，即CD=3，∵C(2,0)，即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B(5,2)，代入反比例解析式得：k=10，即y=10x，则S△AOC=5，12.2解：如图，∵反比例函数的解析式为y=4x，∴矩形AEOF的面积为4．由题意，图中阴影部分的面积之和=12×矩形AEOF的面积=2，13.4解：设B(m,n)(m>0且n>0)，由点D为AB边的中点可得D(12m,n)，结合△BDE的面积为1，得BE=4m ，所以CE=n−4m，E(m,n−4m).由反比例函数y=kx(x>0)的图像经过点D，交BC边于点E，可得k=12mn=m(n−4m)，所以12n=n−4m，所以mn=8，所以k=12mn=12×8=4．14.6解：∵AB//x轴，∴S△OBC=12|k|，S△OAC=12×|4|=2，∵S△OBC−S△OAC=S△AOB，∴12|k|−2=1，而k>0，∴k=6．15.3解：∵直线y=kx(k≠0)与双曲线y=3x相交于A、B两点∴A，B两点关于原点对称，∴设A(a,b)则B(−a,−b)即ab=3∴S阴影=12ab+12ab=3，16.9解：如图，过作AD⊥BC，交BC于D点，∵点A、C在函数y=kx(x>0)的图象上且点A、C的横坐标分别为2、6，∴A(2,k2)、C(6,62)，∵在△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，BC//x轴，∴BD=CD=4，∴BC=8，AD=k2−k6=k3，∵S△ABC=12BC·AD=12×8×k3=12，∴k=9．17.解：(1)∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为y=4x，∵A(4,m)，∴m=44=1；(2)∵当x=−3时，y=−43；当x=−1时，y=−4，又∵反比例函数y=4x在x<0时，y随x的增大而减小，∴当−3≤x≤−1时，y的取值范围为−4≤y≤−43．18.解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限且m−7>0，∴m>7；(2)∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为3，∴△OAC的面积为32．设A(x,m−7x)，则1 2x⋅m−7x=32，解得m=10．19. 解：(1)把A(2,2)代入，得k =4，，把B(−1,m)代入， 得：m =−4 ；(2)设直线AB 为y =k 1x +b 将A(2,2)，B(−1,−4)代入，得：{2k 1+b =2−k 1+b =−4, 解得：{k 1=2b =−2, ∴直线AB 为：y =2x −2与y 轴交于点C(0,−2)S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = ．20. 解：(1)∵B(8,t)(t >0)，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点， ∴E(8,t 2)，F(4,t)，S △OEF =S 矩形OABC −(S △OCF +S △OAE +S △BEF )，即12=8t −(2t +2t +t)，t =4，∴F(4,4)，∵点F 在反比例函数y =k x (k >0)的图像上，∴k =16；(2)设P(a,16a )(a >0)，由题意得√5a =√a 2+(16a)2， 即4a 2=256a 2，a 4=64，解得a =2√2，∴P(2√2,4√2).21. 解：(1)将点A(4,3)代入y =k x (k ≠0)，得：k =12，则反比例函数解析式为y =12x ；(2)如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，则OC =4、AC =3，∴OA =√42+32=5，∵AB//x 轴，且AB =OA =5，∴点B 的坐标为(9,3)；设OB 所在直线解析式为y =mx(m ≠0)，将点B(9,3)代入得m =13，∴OB 所在直线解析式为y =13x ；(3)联立解析式：{y =13x y =12x ， 解得：{x =6y =2, 可得点P 坐标为(6,2)， 过点P 作PD ⊥x 轴，延长DP 交AB 于点E ，连接AP ，则点E 坐标为(6,3)，∴AE =2，PE =1，PD =2，则△OAP 的面积=12×(2+6)×3−12×6×2−12×2×1=5．22. 解：(1)在y =−x +√2中，令x =0，解得y =√2，则B 的坐标是(0,√2)， 令y =0，解得：x =√2，则A 的坐标是(√2,0)． 则OA =OB =√2，△OAB 是等腰直角三角形．则∠OAB =45°；(2)∵矩形PMON 的面积为定值1，∴k =1，则反比例函数的解析式是y=1；x(3)作EG⊥y轴于点G，作FH⊥x轴于点H.则△BEG和△AFH都是等腰直角三角形．∵P的坐标为(a,b)，∴F点的坐标纵坐标是b，则FH=b，故AF=√2b，E的横坐标是a，则GE=a，故BE=√2a，∴AF⋅BE=√2a⋅√2b=2ab=2．。

九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数（k 的几何意义）一、单选题1．如图所示，点是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点．若A ky x =AB x ⊥B 的面积为3，则的值是（ ）AOB kA ．4B ．6C ．4或6D ．不确定2．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于、两点，过作轴y kx =2y x =-A B A y 的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为( )4y x =C BC ABCA ．B ．C ．D ．23563．以正方形两条对角线的交点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比ABCD 例函数的图象经过点D ，则正方形的面积为（ ）4y x =ABCDA ．12B ．16C ．18D ．204．点P ，Q ，R 在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴，y 轴12y x =的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，1S 2S 3S OF FG GA ==则的值为（ ）123S S S ++A ．10B ．12C ．14D ．165．如图，点B 在反比例函数的图象上，点C 在反比例函数的图()60y x x =>()20y x x =->象上，轴，，垂足为点C ，交y 轴于点A ，则的面积为（ ）∥BC y AC BC ⊥AC ABCA ．3B ．4C ．6D ．86．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A 在反比例函数30OAB ∠=︒的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）()120y x x =>A ．B ．C ．D ．6y x=-4y x=-2y x=-2y x=7．如图，在平面直角坐标系中，，点在反比例函数图像的图xOy (4,0),(4,0)A B -C ky x =像上，且，若线段与轴交于点，则的值为（ ）90ACB ∠=︒AC y (0,2)D kA ．B ．C ．D ．19225892458．如图，A 是双曲线上的一点，点C 是的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂()0ky x x =>OA 足为D ，交双曲线于点B ，且的面积是4，则（ ）ABD △k =A ．4B ．6C ．8D ．109．反比例函数的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，垂直于x 轴，垂足ky x =MN 是点N ，如果，则k 的值为（ ）MON S π=△A ．B ．C ．D ．2π2π-ππ-10．已知点A 、B 分别在反比例函数，的图像上，且，()20=>y x x ()80y x x -=>OA OB ⊥则的值为（ ）OAOBA B ．C D ．31211．如图，点是函数图象上一点，过点作轴，轴，分别与A ()10y x x =>A AB x ⊥AC y ⊥函数的图象相交于点和点，则的面积是（ ）．2y x =-B C ABCA ．4B ．C ．6D ．9213212．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B 在第一象限，点C 在x 轴上，点A 在OABC y 轴上，D ，E 分别是中点．过点D 的双曲线与交于点AB OA ，()00x kx k y >=>，BC G ．连接，F 在上，且，连接．若的面积为4，则k DC DC :2:1DF FC =DE EF ，DEF 的值为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点xOy A 6(0)y x x =>AC x ⊥，连接，则面积为________．C OA OAC14．点A 是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A 作轴，垂足为点B ，AB x ⊥的面积是1，则下列结论中，正确的是_______（填序号）．OAB ①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此()1,12y x =(),a b 反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此()--，a b ()()1122,A x y B x y ，，反比例函数的图象上且，则．120x x <<12y y <15．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，OABC O B y A 5y x =-顶点在上，则平行四边形的面积是_____．C 7y x =OABC16．如图，已知在中，点在上，，，，反比例ABO C AB 3BC AC =CO CB =16AOB S =△函数的图象经过点，则的值为_____．ky x =C k17．如图，的边在x 轴上，且，反比例函数的图象与边AOB OB 90∠=︒ABO ()0ky x x =>、分别相交于点C 、D ，连接，已知，的面积为12，若，AO AB BC OC BC =BOC 6AD =直线的函数解析式为 _____．OA18．如图，，分别是反比例函数和在第四象限内的图像，点在1l 2l ()2k y k x =<-2y x =-N 上，线段交于点A ，作轴于点C ，交于点B ，延长OB 交于点M ，作1l ON 2l NC x ⊥2l 1l 轴于点F ，下列结论：MF x ⊥①；1OFM S =△②与是位似图形，面积比为；OBC △OMF 2k -③；OA OBON OM =④．AB NM 其中正确的是____________．三、解答题19．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，()10y k x b k =+≠()20k y x x =>()1,6A 两点．()3,B m(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出时，x 的取值范围：21k k x b x +<(3)求的面积．AOB 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，O A ()0ky k x =>过点作轴，垂足为，的面积为5．A AB x ⊥B AOB(1)求值；k (2)当时，求函数值的取值范围．<2x -y 21．通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．(1)【理解】如图①，，垂足分别为是的中点，连接，AC BC CD AB ⊥⊥，C D E 、，AB CE 已知，（）．AD a BD b ==，0a b <<①已知的代数式表示CE 的长；CD a b ，②比较大小： （填“”“”或“”），并用①中的结论证明该大小关系．CE CD <>=(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图像M N 、1y x =0x >上，横坐标分别为．设，，记．m n ，p m n =+11q m n =+14l pq =①当时， ，当时，；13m n ==，l =22m n ==，l =②通过归纳猜想，可得的最小值是 ．请利用图②构造恰当的图形，并说明你的猜l 想成立．22．已知，如图点P 是双曲线上的一点，轴于点，轴于点，24y x =PA x ⊥A PB y ⊥B 、分别交双曲线于点、．求的面积．PA PB 11y x =D C PCD23．如图，在x 轴的正半轴上依次截取，过点1122312n n OA A A A A A A -===⋯==分别作x 轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得123n A A A A ⋯、、、10y x =123n P P P P ⋯、、、直角三角形并设其面积分别111222333441n n n OP A A P A A P A A P A A P A -⋯、、、、、，为．123nS S S S ⋯、、、(1)求的坐标23P P Pn 、、、(2)求的值；n S 24．如图，直线与轴、轴分别交于点，与反比例函数交于点3y kx =+x y B C 、my x =．过作轴于，连接，若，A D 、D DE x ⊥E ,OA OD ()2,A n -:1:2OAB ODE S S ∆∆=(1)求反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；C (3)直接写出关于不等式：的解集为______．x 3mkx x >-25．如图，已知点，过点P 作轴于点M ，轴于点N ，反比例函数()6,3P PM x ⊥PN y ⊥的图象交于点A ，交于点B .若四边形的面积为12.ky x =PM PN OAPB(1)求k 的值；(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.AB y ax b =+kax bx +。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y1= ，得k=4．反比例函数的表达式为y1=（2）解：∵点A与点B关于原点对称，∴A的坐标为（﹣4，﹣1），观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图，∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．y1= 中，当x=1时，y=4，∴P（1，4）．设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，则，解得．故直线AP的函数关系式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15．【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1=，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP，S△PAB=2S△AOP．求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP= ，则S△PAB=2S△AOP=15．2．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．（1）求k的值；（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标．【答案】（1）解：点P（，）在双曲线上，将x= ，y= 代入解析式可得：k=2；（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，∴∠FBC+∠OBA=90°，∵∠CFB=∠BOA=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，∴∠FBC=∠OAB，在△CFB和△AOB中，，∴△CFB≌△AOB（AAS），同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a）C（b，a+b），可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，解得：a=b=1．所以点C的坐标为：（1，2）．【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.3．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，）．（1）求反比例函数的表达式和m的值；（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），∴k=3× =2，∴反比例函数的表达式为y= ．又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，∴2m=2，解得：m=1（2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，∵点D（1，2），∴CD=1．在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，解得：x= ，∴点G（0，）．过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，∴∠CGD=∠HDF，∵∠DCG=∠FHD=90°，∴△GCD∽△DHF，∴=2，∴DF=2GD= ，∴点F的坐标为（，0）．设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，∴有，解得：．∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+【解析】【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．5．如图1，已知双曲线y= （k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为________；当x满足：________时，≤k′x；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y= （k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．四边形APBQ一定是________；（3）若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．（4）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．【答案】（1）（﹣3，﹣1）；﹣3≤x＜0或x≥3（2）平行四边形（3）∵点A的坐标为（3，1），∴k=3×1=3，∴反比例函数的解析式为y= ，∵点P的横坐标为1，∴点P的纵坐标为3，∴点P的坐标为（1，3），由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1），如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，则四边形CDEF是矩形，CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．（4）解：mn=k时，四边形APBQ是矩形，不可能是正方形，理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°．因为mn=k，易知P、A关于直线y=x对称，所以PO=OA=OB=OQ，所以四边形APBQ是矩形．【解析】【解答】解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥3时，≤k′x．故答案为（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3；（2）∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，∴OA=OB，OP=OQ，∴四边形APBQ是平行四边形．故答案为：平行四边形；=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题，利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可确定自变量x的范围．（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．(3)利用分割法求面积即可．（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定．6．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 上，∴m=2，n=﹣1，∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，得：，解得．∴直线的解析式为y= x+2（2）解：当y= x+2=0时，x=﹣4，∴点C（﹣4，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ACP= S△BOC， A（2，3），B（﹣6，﹣1），∴×3|x﹣（﹣4）|= × ×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，解得：x1=﹣6，x2=﹣2．∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∴BC= AB=5，∴AC= ，∴S△ABC= AC⋅BC=（2）解：连接AD，∵∠ACB=90°，CD=BC，∴AD=AB=10，∵DE⊥AB，∴AE= =6，∴BE=AB−AE=4，∴DE=2BE，∵∠AFE+∠FAE=90°，∠DBE+∠FAE=90°，∴∠AFE=∠DBE，∵∠AEF=∠DEB=90°，∴△AEF∽△DEB，∴ =2，∴EF= AE= ×6=3（3）解：连接EC，设E(x，0)，当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，∴，∵EC是Rt△BDE斜边的中线，∴CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∴∠EOF=∠CEB，∴OF∥CE，∴△AOF∽△AEC∴，∴，即，解得x= ，因为x>0，∴x= ；②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧，若∠EOF=∠B，则OF∥BD，∴OF= BC= BD，∴即解得x= ，若∠EOF=∠BAC，则x=− ，综上点E的坐标为( ，0) ；（，0）；（−，0）.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，、，，其中、是方程的两根，且，过点的直线与抛物线只有一个公共点（1）求、两点的坐标；（2）求直线的解析式；（3）如图2，点是线段上的动点，若过点作轴的平行线与直线相交于点，与抛物线相交于点，过点作的平行线与直线相交于点，求的长. 【答案】（1）解：∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的两根，且x1＜x2，∴x1=-2，x2=4，∴A（-2，2），C（4，8）（2）解：①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（-2，2）在直线l上，∴2=-2k+b，∴b=2k+2，∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①，∵抛物线y= x2②，联立①②化简得，x2-2kx-4k-4=0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴△=（2k）2-4（-4k-4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0，∴k=-2，∴b=2k+2=-2，∴直线l的解析式为y=-2x-2；②平行于y轴的直线和抛物线y= x2只有一个交点，∵直线l过点A（-2，2），∴直线l：x=-2（3）解：由（1）知，A（-2，2），C（4，8），∴直线AC的解析式为y=x+4，设点B（m，m+4），∵C（4.8），∴BC= |m-4|= （4-m）∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，∴D（m， m2），E（m，-2m-2），∴BD=m+4- m2， BE=m+4-（-2m-2）=3m+6，∵DC∥EF，∴△BDC∽△BEF，∴，∴，∴BF=6 .【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF.10．已知，抛物线的图象经过点，．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，是抛物线对称轴上一点，连接，，试求出当的值最小时点的坐标；（3）如图2，是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．【答案】（1）解：将，的坐标分别代入．得解这个方程组，得，所以，抛物线的解析式为（2）解：如图1，由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点，由，令，得，解得，，点的坐标为，又，易得直线的解析式为：．当时，，点坐标（3）解：设点的坐标为，所以所在的直线方程为．那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为．由题意，得① ，即，解这个方程，得或（舍去）．② ，即，解这个方程，得或（舍去），综上所述，点的坐标为，或，．【解析】【分析】（1）将点、的坐标代入可得出、的值，继而得出这个抛物线的解析式；（2）由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法确定直线的解析式，然后求得该直线与轴的交点坐标即可；（3）如图2，交于，设，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设点的坐标为，，．然后分类讨论：分别利用或，列关于的方程，然后分别解关于的方程，从而得到点坐标11．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围________.【答案】（1）解：将B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得，，解得，所以抛物线的解析式为，令y=0，得，解得，，∴A点的坐标为（1,0）（2）解：设D点横坐标为，则纵坐标为，①当∠BCD=90°时，如下图所示，连接BC，过C点作CD⊥BC与抛物线交于点D，过D作DE⊥y轴与点E，由B、C坐标可知，OB=OC=4，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45°，又∵∠BCD=90°，∴∠ECD+∠OCB=90°∴∠ECD=45°，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE=CE=a∴OE=OC+CE=a+4由D、E纵坐标相等，可得，解得，，当时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.当时，D点坐标为（6,10）；②当∠CBD=90°时，如下图所示，连接BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G，∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90°，∴四边形OBFC为矩形，又∵OC=OB，∴四边形OBFC为正方形，∴∠CBF=45°∵∠CBD=90°，∴∠CBF+∠DBG=90°，∴∠DBG=45°，∴△DBG为等腰直角三角形，∴DG=BG∵D点横坐标为a，∴DG=4-a，而BG=∴解得，，当时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题意，舍去.当时，D点坐标为（2,-2）；综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).（3）3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2【解析】【解答】解：（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，∵BC为圆O'的直径，∴∠BDC=∠BD'C=90°，∵，∴D到O'的距离为圆O'的半径，∵D点横坐标为m，纵坐标为，O'点坐标为（2,2），∴即化简得：由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式，∴采用因式分解法进行降次解方程或或，解得，，，当时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；当时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；当时，D点横坐标；当时，D点横坐标为；结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y=0，求A的坐标；（2）设D点横坐标为a，代入函数解析式可得纵坐标，分别讨论∠BCD=90°和∠CBD=90°的情况，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，此时△BCD和△BCD'就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围.12．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．13．如图，已知直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB≌△POC？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3∴B（3，0）．∵A（1，4）为顶点，∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1．∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）解：存在．当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3）．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC．作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠POM＝∠PON＝45°．∴PM＝PN．设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，解得m＝．∵点P在第三象限，∴P（，）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）先确定出点C坐标，然后根据△POB≌△POC建立方程，求解即可14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA（1）求抛物线解析式；（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M 点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值．【答案】（1）解：由A（﹣3，0），且OC＝OA可得C（0，3）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）解：如图，设直线AC解析式为y＝kx+d∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得，∴直线AC解析式为y＝x+3，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝﹣m2﹣m，MN＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，∴m＝﹣时，MN最大，此时S＝．【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC的解析式，用m表示点M，N的坐标，即可表示线段MN的长度；根据S△ACM＝S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM；运用二次函数分析MN最值即可；15．如图，抛物线y= x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m， 0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）解：∵点A（-1，0）在抛物线y= x2 +bx-2上∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0解得b =∴抛物线的解析式为y= x2- x-2.y= x2- x-2 = (x2 -3x- 4 ) = (x- )2- ,∴顶点D的坐标为 ( , - ).（2）解：当x = 0时y = -2,∴C（0，-2），OC = 2。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题附答案解析一、反比例函数1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y= x+ ，把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；（3）解：如下图所示：设P点坐标为（t，t+ ），∵△PCA和△PDB面积相等，∴• •（t+4）= •1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到• •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．3．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）m=________，k1=________；（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）﹣8＜x＜0或x＞4（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．∴CO=2，AD=OD=4．∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12，∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，即OD•DE=4，∴DE=2．∴点E的坐标为（4，2）．又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是y= x，∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，即反比例函数解析式为y2= ，将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1= x+2，故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．4．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）解：如图，过点作，垂足为，∵，∴，设，∵ =12，∴EC=12-x，在RtΔBEC中，，∴整理得：，解得：（不合题意舍去），，∴，，∴，把代入，得（3）解：存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=2或OP=6，∴P（0，2）或P（0，6）；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=12，∴P（0，12）；如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，则，即，解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），∴P（0，4+2 ）；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2 ）故点的坐标为：或或或或【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，解得：，所以，所以，；【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．2．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABH面积．【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，∴CO=2，即C（0，2），把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点A的横坐标是1，∴当x=1时，y=4，即A（1，4），把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，∴反比例函数解析式为y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣2，﹣2），又∵A（1，4），BH⊥y轴，∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.3．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = •an．即n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n．设△OPQ的面积为s1则：s1= ∴•mn= （1+ ），即：n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．设：△OPQ的面积为s1，则 =即： = 化简得：化简得：2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0（k﹣2）（2k﹣n4）=0，∴k=2或k= （舍去），∴当n是小于20的整数时，k=2．∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ …192+ ，∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，∴OP2的最小值是5．【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.4．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

初三数学反比例函数的专项培优练习题附答案一、反比例函数1．如图，直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A（ 1， 4）， B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C，连接 OB．（1）求 k 和 b 的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；（3）在 y 轴上是否存在一点P，使 S△PAC △AOBP 坐标，若不存在请说= S ？若存在请求出点明理由．【答案】（1）解：将A（ 1， 4）分别代入y=﹣ x+b 和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x＞ 4 或 0＜ x＜1（3）解：过 A 作 AN⊥ x 轴，过 B 作 BM⊥ x 轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：由，解得： x=4，或 x=1，∴B（ 4，1），∴，∵，∴，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（ 0，t ），∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP（ CD+AE）=|t|=3 ，解得： t=3， t=﹣ 3，∴P（ 0， 3）或 P（0，﹣ 3）．【解析】【分析】（ 1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（ 3）过 A 作 AM⊥ x 轴，过 B 作 BN⊥ x 轴，由（ 1）知， b=5， k=4，得到直线的表达式为： y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（ 4 ，1），于是得到，由已知条件得到，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥ y 轴，设 P（ 0，t ），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．2．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2= x 的图象交于点A、 B，点 B 的横坐标是4，点 P（ 1，m）在反比例函数 y1= 的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当 x 为何范围时， y1＞ y2；（3）求△ PAB的面积．【答案】（1）解：把 x=4 代入 y2=x，得到点 B 的坐标为（ 4， 1），把点B（4，1）代入y1= ，得 k=4．反比例函数的表达式为 y1=（2）解：∵点 A 与点 B 关于原点对称，∴ A 的坐标为（﹣ 4，﹣ 1），观察图象得，当x＜﹣ 4 或 0＜ x＜ 4 时， y1＞ y2（3）解：过点 A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图，∵点 A 与点 B 关于原点对称，∴OA=OB，△AOP=S△ BOP ，∴S△PAB△AOP∴S=2S．y1=中，当x=1时，y=4，∴P（ 1， 4）．设直线 AP 的函数关系式为y=mx+n ，把点 A（﹣ 4，﹣ 1）、 P（1 ，4）代入 y=mx+n ，则，解得．故直线 AP 的函数关系式为y=x+3，则点 C 的坐标（ 0，3）， OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC?AR+ OC?PS=× 3× 4+ × 3×1=，∴S△PAB=2S△AOP=15．【解析】【分析】（ 1）把x=4 代入 y2= x，得到点 B 的坐标，再把点 B 的坐标代入y1=，求出 k 的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞ y2的解集；（ 3）过点A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点C，由点 A 与点B 关于原点对称，得出△AOP=S△BOP ，S△PAB=2S△AOP ．求出P点坐标，利用OA=OB，那么 S待定系数法求出直线AP 的函数关系式，得到点 C 的坐标，根据 S△AOP△AOC△POC求出=S+SS△AOP=，则S△PAB=2S△AOP=15．3．已知点 A， B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，点 C， D 是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（ A， B， C， D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1 图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y= （ k＞ 0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点 D（ 2，m）（ m＜ 2）在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（ a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD， C、D 中的一个点坐标为（ 3， 4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数 ________．【答案】（1）解：如图1，当点 A 在 x 轴正半轴，点 B 在∵OC=0D=1，∴正方形 ABCD的边长 CD= 当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在设小正方形的边长为a，y 轴负半轴上时，；∠ OCD=∠ ODC=45 ，°y 轴正半轴上时，易得 CL=小正方形的边长=DK=LK，故 3a=CD=．解得 a=，所以小正方形边长为，∴一次函数y=x+1 图象的伴侣正方形的边长为或（2）解：如图2，作 DE， CF分别垂直于x、 y 轴，易知△ ADE≌ △ BAO≌△ CBF此时， m＜ 2， DE=OA=BF=m， OB=CF=AE=2﹣ m，∴O F=BF+OB=2，∴C 点坐标为（ 2﹣m， 2），∴2m=2 （ 2﹣ m），解得 m=1．反比例函数的解析式为 y= ．（3）（ 3， 4）； y=﹣x2+ ；偶数【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3， 4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合①当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点为（ 4， 1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；②当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：不存在，③当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（ 3，4）时：不存在④当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点C 为（﹣⑤ 当点1， 3），对应的函数的解析式是A 在 x 轴负半轴上，点B 在 yy= x2+ ；轴负半轴上，点 D 坐标为（3， 4）时，另一个顶点 C的坐标是（ 7，﹣ 3）时，对应的函数解析式是y=﹣⑥当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点；C 坐标为（3， 4）时，另一个顶点 D的坐标是（﹣ 4， 7）时，对应的抛物线为 y= x2+ ；∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A， B 分别是x 轴、 y 轴上的动点，点C， D 是某个函数图象上的点。