足球00三维建模

CAD绘制足球在网上看了很多有关CAD绘制足球的帖子，大多都没有写的很清楚，致使很多初学者感觉很难！今天本人对用CAD绘制足球的方法详细介绍.先看看效果图：首先打开软件（本人使用的是2012版本的），工作空间在三维建模！工作界面如下图：第一步：在俯视图上作一个边长为50（可以自己定义）的正六边形和正五边形！点击多边形命令（或者输入快捷键POL），输入侧面数6，按回车或者空格键，在弹出的“指定多边形的中心点或者边（E）”中输E回车或空格，指定第一点，在指定第二点时在极轴角度为0的方向输入追踪距离50；重复多边形命令，输入侧面数为5，空格或者回车键；输入E，空格或者回车键，在六边形的一边的连个角上指定第一点，指定第二点：绘制效果图如下：第二部：绘制辅助线：选择构造线命令（或者输入快捷键XL），绘制两条构造线m,n，其中m那条构造线经过B点和E点，B点为六边形和五边形的一个公共点，E点为五边形那条边的中点，n这条构造线经过A和B两点，为五边形和六边形的两个公共点。

从C点作构造线n的垂线，垂足为D点。

绘制效果图如下：第三步：现在将视图转换为东南等轴测；效果图如下：第四步：建立用户坐标系；点击用户坐标系或者注入UCS回车，以D点为远点，DC边为x轴，DA边为y轴，建立坐标系；然后点击圆命令（也可以输入快接键C按回车或者空格键），选择“相切相切相切”命令绘制正五边形和正六边形的内切圆；然后分别以正五边形和正六边形的中心绘制垂直于他们的直线（也就是延z轴正方向）。

然后再新建立用户坐标系：选择绕x轴旋转用户坐标系，输入旋转角度为90度，按回车或空格键！接着以D点坐标原点为圆心，DC长度为半径作圆，再以构造线m与直线DC交点M为起点向z轴正方向作直线交圆于N点。

其绘制效果图如下：现在开始旋转：点击旋转按键（或者输入快捷键RO按空格或者回车键），然后选择对象，（对象选择正六边形、以及它的内切圆和过它中心的直线）选择好之后按回车或者空格键；指定基点为D点，指定第二点为N点。

犀牛足球建模超简单的方法在顶视图中以坐标原点为中心画正五边形，并在原点处用一点做上标记，以五边形的边长为边画两个正六边形如图此时我们思考，要对两个六边形进行翻转，并使得1、3点这条线和1、2点这条线在空间中相交为一条边（即2、3点重合）此时我们运用“旋转成型”工具将两个六边形分别以各自与五边形的公共边为旋转轴360°旋转成实体，然后开启交点工具，在两个实体的交点处点一个点，删除实体，将五边形和六边形分别换为两个不同的颜色，选中六边形，单击三轴旋转工具，依次点击点1、2、3、4（意为以1、2点这条线为旋转轴，将点3转到4的位置）如图删除另一个没有旋转的六边形，在top视图中选择六边形用圆形阵列工具以原点为中心，阵列5个选择五边形使用三点定位工具先顺次点击1、2、3，点击copy（复制）在依次点击4、5、6，得到如图在顶视图中再将刚才得到的五边形进行阵列五个在选择六边形使用三点定位，先选择1、2、3，点击copy,在选4、5、6得到，同样在顶视图中对刚才得到的六边形进行阵列5个在前视图中，框线所有的线进行镜像到上面选择上面的形状包括点，使用三点定位工具先选1、2、3，点击copy,再选4、5、6得到如图以两点为端点画一条直线，在以直线的中点为圆心画一个球体，球体要把线框涵盖住在前视图中选中两个黄色多边形（一个为五边形一个为六边形）投影到球体上，得到四个投影删除右边和左边的投影，用修剪工具，先选择球体，在选择刚才投影得到的两个多边形，完成后，删除球体，单机放样，选择曲面边缘和多边形，得到曲面，并进行join倒圆角处理得到如图同样对上面的曲面边缘和多边形进行放样，join，倒圆角处理使用三点定位工具对五面体和六面体进行定位，前面讲的很仔细在这里就不一一说明，在进行圆形阵列，即可得到，（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

可复制、编制，期待你的好评与关注！）。

足球第一步新建文件File > New... > 输入文件名：football > OK第二步建立曲线> 选择绘图平面：TOP> Okay> Default> 绘制如图1的剖面>> OK > 完成曲线的绘制，如图2第三步建立第一个旋转曲面Feature > Create > Surface > New > Revolve | Done > One Side | Open Ends | Done> Use Prev> Okay> 绘制如图3的剖面>> 180 | Done> OK > 完成第一个曲面的绘制> View > Default> 回3D视图，如图4所示第四步建立第二个旋转曲面New > Revolve | Done> One Side | Open Ends | Done > Use Prev> Okay> 绘制如图5的剖面>> 180 | Done> OK > 完成第二个曲面的绘制> View > Default> 回3D视图，如图6所示第五步用两个曲面建立一条曲线> Intr. Surfs | Done> Single > 选择如图7所示曲面Surf #1 > Done > Simgle > 选择如图7所示曲面Surf #2 > Done > 建立的曲线如图8所示第六步隐藏两个曲面View > Layers... > 出现层对话框> > 输入层的名称：surf > OK> > Quilt > 选择如图9所示的两个曲面 > Done/Return> 重新选择图层SURF> > > Save Status> Close > 关闭层对话框，隐藏曲面后如图10第七步建立一个基准平面> Through > 选择如图11的曲线 Crv #1 > Through > 选择如图11的曲线Crv #2 > Done> 建立基准平面DTM1第八步 > 建立曲线> 选择绘图平面：DTM1> Okay> Bottom > Make Datum > 建立一个基准平面> Through > 选择如图12的曲线> Normal > 在模型树中选择DTM1 > Done > 在出现的References对话框中选 X sec> 在模型树中选择RIGHT> 在模型树中选择TOP> 绘制如图13的剖面>> OK> View > Default> 回3D视图，如图14所示第九步建立曲线> 选择绘图平面：RIGHT> Okay> Top > 选择Top的参考平面：TOP> 绘制如图15剖面剖面中的对齐须回到3D视图对齐，如图16>> OK > 完成后如图17所示第十步建立一个参考点> On Vertex> 选择如图18所示的顶点> Done Sel > Done第十一步建立圆曲面New > Revolve | Done> One Side | Open Ends | Done> Use Prev> Okay> 绘制如图19的剖面>> 360 | Done> OK> View > Default> 回3D视图，如图20所示第十二步隐藏基准点PNT0 在工具栏上单击第十三步隐藏曲线View > Layers... > 出现层对话框> > 输入层的名称：crv > OK> > Curve> 选择如图21所示的两个曲线 > Done/Return> 重新选择图层CRV> > > Save Status> Close > 关闭层对话框，隐藏曲面后如图22第十四步建立Extrude曲面New > Extrude | Done> Both Sides | Open Ends | Done> 选择绘图平面：TOP> Okay> Default> 绘制如图23所示剖面>> Blind | Done> 输入高度值：100> OK> View > Default> 回3D视图，如图24所示第十五步建立偏移曲面New > Offset | Done> 选择如图25所示的曲面> 输入偏移距离：6 > 回车> 选择偏移的方向：Side 2>> 如图26所示第十六步合并曲面Merge > 弹出SURFACE MERGE对话框> 选择如图27所示的曲面surf #1> 选择如图27所示的曲面surf #2>> 如图28所示> 选择如图29所示的曲面>> 如图30所示第十七步对曲面进行圆角New > Fillet | Done> Simple | Done> Constant | Edge Chain | Done> 选择如图31所示的5条边 > Done> 输入圆角半径值：8> OK> 完成后如图32第十八步建立圆角New > Fillet | Done> Simple | Done> Constant | Edge Chain | Done> 选择如图33所示的边 > Done> 输入圆角半径值：5> OK> 完成后如图34第十九步进入插入模式Done/Return > 回到FEAT菜单下> Insert Mode > Activate > 在模型树选择Surface id 123 (即前面第十一步中建立的圆曲面）>进入插入模式> 屏幕右下角有"INSERT MODE"字样> 屏幕上的零件如图35所示第二十步复制出一个曲面Create > Surface > New > Copy | Done> 选择如图36的两个半圆曲面 > Done Sel> Show > Mesh > 如图37所示> Done > OK > 完成圆曲面的复制> Done/Return > 回到FEAT菜单下第二十一步取消插入模式Insert Mode > Cancel > 选择Yes > 退出插入模式> 如图38第二十二步建立Extrude曲面Create > Surface > New > Extrude | Done> Both Sides | Open Ends | Done> 选择绘图平面：DTM1> Okay> Bottom > Make Datum > 建立一个基准平面> Through > 选择如图39的曲线> Normal > 在模型树中选择DTM1 > Done > 在出现的References对话框中选 X sec> 在模型树中选择RIGHT> 在模型树中选择TOP> 绘制如图40的剖面>> Blind | Done> 输入高度值：100> OK> View > Default> 回3D视图，如图41所示第二十三步建立偏移曲面New > Offset | Done> 弹出SURFACE:Offset对话框> 选择如图42的曲面> 输入偏移距离：6 > 回车> 选择偏移的方向：Side 2>> 如图43所示第二十四步合并曲面Merge > 弹出SURFACE MERGE对话框> 选择如图44所示的曲面surf #1> 选择如图44所示的曲面surf #2>> 如图45所示> 选择如图46所示的曲面>> 完成后如图47所示第二十五步对曲面进行圆角New > Fillet | Done> Simple | Done> Constant | Edge Chain | Done> 选择如图48所示的6条边 > Done> 输入圆角半径值：8> OK> 完成后如图49第二十六步对曲面进行圆角New > Fillet | Done> Simple | Done> Constant | Edge Chain | Done> 选择如图50所示的边 > Done> 输入圆角半径值：5> OK> 完成后如图51第二十七步着色看看在工具栏上单击> 着色图如图52第二十八步将五边形曲面改变颜色View > Model Setup > Color and Appearance... > 出现Appearances对话框> Add... > 出现Appearance Editor对话框> 单击Color右边的> 出现Color Editor对话框> 将RGB三原色的分别值调为255、90、130> Close > 关闭Color Editor对话框> OK > 关闭Appearance Editor对话框> 在Set Object Appearance 右边的列表框中选Quilts > 在屏幕上选择五边形曲面 >> Done Sel > Okay> 如图53所示> Close > 关闭Appearances对话框第二十九步保存在工具栏上单击> 接受以文件名FOOTBALL.PRT保存第三十步回到线框视图下在工具栏上单击第三十一步旋转和复制曲面Transform > Move | Copy | Done> 选择如图54所示的曲面> Done Sel> Rotate > Crv/Edg/Axis选择如图55所示的轴A3> Okay> 输入旋转角度：72 > Done Move > 完成后如图56> Done/Return > 回到FEAT菜单下第三十二步镜像曲面Pattern > 选择如图57曲面> General | Done> 选择72为修改的增量> 输入增量：72 > Done> 输入镜像的总数：4 > Done > 完成后如58所示第三十三步着色看看在工具栏上单击> 着色图如图59第三十四步另存为在工具栏上单击> 输入新的文件名：football。

第十五组足球队排名次的方法摘 要本文讨论了依据我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级队联赛中的成绩，给他们进行排列名次的问题。

根据全国足球甲级队联赛的比赛规则，符合要求的排名方法是多种多样的，然而都希望实现尽量公平、尽量精确的排名策略。

我们针对排名的问题，建立了从简单到复杂，从粗糙到较为精确的三个模型，分别用了平均积分法、图论的相关知识、比分矩阵法以及层次分析法。

模型一：依次计算出各个队的总积分，按照国家足球甲级队联赛的规则，可知：获胜加3分，平局各得一分，失败就得零分，同时统计每一个队进行的比赛场数，对总积分/比赛的场数进行排序，所得结果就可以近似的作为各队的排名。

模型二：根据比赛的数据，建立了一个1212⨯的数字矩阵1212ij )(a A ⨯=，在合理的假设条件下，进行分析，从而完善矩阵，用C++编程，输入所得矩阵，求出哈密顿开路的路径，再结合模型一的分析，对其排出名次。

模型三：用三分制计算对任意第i 队与第j 队（i 不等于j ）的得分比ij b ，其中ii b =1，得到比分矩阵1212)(⨯=ij b B ,求出比分矩阵的最大特征值，并求出相应的特征向量。

比较分向量的大小，即可求出排名。

模型四：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。

四个模型的运行结果如下的表所示：的条件是不一样的。

关键词：足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析一、 问题描述近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。

题目中给出了1988-1989年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。

足球教程一堆，为什么我有勇气再这里发帖，除了现在是世界杯，原因有三：1.使用CATIA软件制图，网上大都是UG、破衣，这也算给新的啦！2.网上教程大都生成片体，是面，这里生成的是实体。

3.其他教程一般都是给数据给角度，照着数据画，那画图就没有意义了。

自己算角度，思考，才算是画图！画法跟技巧有很多不足，我没进行过什么培训，欢迎大家指正跟探讨！一、网上教程，步骤复杂，还有这个角度那个角度，表示CATIA完全不用。

知道接来下怎么作了没哈！看看这个图，估计就明白很多了。

后续还有一部分，后门再发上了，有疑问可以加我Q：1032 466436，能帮到大家我就很有成就啦，很欣慰啦，毕竟我没有做技术了，还是希望有人做得很好哈！！！！再次给自己下海做回宣传哈，抱歉啦，/shop/view_shop.htm?tracelog=twddp小流浪兔（旺旺：mashmiro有精美PU包，也有货真价实的真皮包包，技术朋友需要的话，旺旺上说下，肯定最低价！）！希望教程有人喜欢啊！继续说说怎么做成实体吧需要在原中心位置做一球面，大小都可以！提取多边形边线。

将边线投影到球面上。

进行剪切这里跳跃了一大步，相信大家有能够做出来！主要是将中心与剪切后的面连线，进行填充平面，最后再进行倒角！同时可以讲倒角后的面体变成包络体！球心做面形成一个锥形体，这个锥形体可以包络成实心，球体上有很多这种锥形体，就不一一解说了，可以对称旋转，也可以一个个投影切割做面！这个比较关键，利用布尔运算将包络体进行合并，合并为一个整体！！！！！将包络体面提取，这样可以得到一个封闭的面！大工告成。

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用UG打造一个精确真实的足球模型有很多人喜欢踢足球，尤其爱看世界杯、欧锦赛、意甲联赛等足球赛事。

那么你知道如何使用UG软件制作足球吗？下面是一个足球的制作过程，让我们一起动手吧！1、在X-Y平面上一个绘制边长为50的正五边形，中心为（0，0，0）、方位角默认0°，同时绘制两个边长为50正六边形，位置任意，如图1所示。

通过变换|移动至图2所示位置；再绕点旋转|两点方式（在UG NX6中用“编辑|移动对象|根据三点旋转”的方法）得图3。

图1 图2 图32、在X-Y平面绘制如图4所示两条互相垂直的辅助直线，通过其交点作平行于Z轴的直线，如图5所示；通过两直线创建竖直基准平面、并在该基准平面上绘制草图，以直线交点为圆心，交点到六边形顶点为半径绘制圆，此圆即为六边形一顶点绕五边形一条边旋转一周的轨迹，如图6所示。

图4 图5 图63、隐藏基准平面后，用上述同样的方法绘制如图7、8所示的三条辅助直线，直线两两互相垂直。

再通过两直线创建竖直基准平面、并在该基准平面上绘制草图，以直线交点为圆心，交点到六边形顶点为半径绘制圆，此圆即为另一六边形顶点绕五边形另一条边旋转一周的轨迹，如图9所示。

图7 图8 图94、从两圆的交点到任一圆心做辅助直线，如图10所示，测量该直线与水平面的夹角均为37.3774度。

隐藏所有辅助直线和基准平面，通过编辑|变换|绕直线旋转，将两六边形分别绕五边形的两条边旋转37.3774度，结果如图11所示（两个六边形有一条边重合）。

删除其中一个正六边形，结果如图12所示。

图10 图11 图125、利用曲线工具|直线和圆弧中的“相切-相切-相切”分别绘制正五边形和正六边形的内切圆，并过正六边形内切圆做基准平面，如图13所示；分别过两圆心做平行于Z轴的直线和基准平面的法向线，如图14所示。

两直线的交点即为球心，测量该球心到正多边形任意顶点的距离均等于123.9008，此值正是足球内表面的球半径。

足球建模超详细教材Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT一、 首先确认足球皮的构成，它是由12个正五边形和20个正六边形组成的，且五边形同六边形边长相等，w二、 确定正边形的边长（L ）与球体直径（D ）的关系1.首先要确定正边形在球体上的位置. 为了计算方便，我们先将正边形的曲边模拟成直边。

如右上图2所示，正边形必须与球体相切，图示点的位置即为切点。

2.计算特征边长，下图3所示的“赤道”线，恰好穿过10个正六边形，且穿过每个正六边形的距离相等，也就是说“赤道”线在每个正六边形上的距离（如图4弧AB ）是十分之一个周长即πD /10，而弦AB的长度正好等于3L/2(如图5)，由此推出公式L=2*D*SIN(18)/3（图6）.AB图1 足球皮的块数定义图2图3图4A B 图5 图6三、确定其他公式图71. 五边形的偏角AA角对应的正弦边长度＝五边形的内切圆半径＝L*tan(54)/2Sin A = (L*tan(54)/2) / (D/2) = tan(54)*sin(18)*2 / 3A=ASIN(TAN(54)*SIN(18)*2/3)*PI()/180 / 注：按UG的表达式标准书写2. 六边形的偏角BB 角对应的正弦边长度＝六边形的内切圆半径＝L*tan(60)/2Sin B = (L*tan(60)/2) / (D/2) = tan(60)*sin(18)*2 / 3B=ASIN(TAN(60)*SIN(18)*2/3)*PI()/180 / 注：按UG 的表达式标准书写 3. 五边形的偏移高度H H=D*COS(A)/2注：六边形的高度也可以求，但知道五边形的H 值就可以画出足球皮了 四、UG 表达式书写五、绘制足球皮1. 画基础球体 插入 >成形特征 >球，输入直径=D （注意大小写）, 定位到原点。

2. 画正五边形 插入 >曲线 >多边形，输入边数＝5，边长＝L ，定位到0，0，H /注：直接输入H3. 画正六边形 插入 >曲线 >多边形，输入边数＝6，边长＝L ，角度=30, 定位到-S ，0，H 编辑 >转换，选中正六边形，绕重合边旋转角度A+B,如图94. 由直线生成球皮曲线 插入 >曲线操作 >投影曲线，将正五边形和正六边形投影到球体上，如图105. 为了下一步凸垫操作简单，切除一半球体 插入 >特征操作 >裁剪，去除－Z 方向的球体.注：也可追加S ＝(TAN(54)+TAN(60))*L/2，以方便定位正六边形图8 图8图9图106.以步骤4中生成的曲线按凸垫方法生成五边形和六边形的球皮7. 通过镜像方法，生成余下30块球皮图11第一步：选定一般方法来作凸图12第二步：选定半球体来图13第三步：选择轮廓曲线图14第四步：先选择正五边图15第五步：选定顶面参图16第五步：生成正五边形凸垫大功告成！附PART文件在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的面、边和顶点之间存在的关系：V + F – E = 2其中，V为顶点数之和，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和。

再如图做辅助线!做这么的埔助线是为了算出六边形的旋转的轨迹!再画转迹圆前需要把UCS轴的Z轴方向，把视图切换为东南轴测图，打开UCS工具栏，点击Z轴矢量按钮，选择OE为Z轴矢量，然后以O为圆心，OF为半径画黄色圆!如图:继续镜像一个圆,镜像轴为EH,如图镜像时须改变坐标轴,输UCS,N新建,三点确定轴!以EH为Y轴,以EA为X轴!改变之后,镜像圆!两圆相交产生一个交点,我把它命名为M点!用直线联接EM,EM和FE产生一个夹角!等到一下,这个夹角我们要运用到!现在要运用三维旋转命令,把白色的正六边形旋转到M(刚在上步时，提示到有一个角度，现在就要把正六边形旋转到ME那条线上)在实用三维旋转操作时，以参照取角度，这个要注意,旋转后如图位置!好，现在正6边形的陈列角度以确定下来!把所有辅助线删除掉!再如图画两个多边形的对角线!再在两个多边形中心画铅垂线，两线相交产生一个点，此点就是足球中心点!如图~同样须改变坐标轴!再用EXT拉伸命令，拉伸五边形!高度到两线相交点止，拉伸时可选择路径拉伸!打开“实体”工具栏，选择里面的剖切工具，对柱体进行切割!切割以三点切割法切!以同样的方法，把其它边切割出来，最后变成一个锥体样!如图!再以锥体顶点为实体圆心，以正五边形中心点为半径，画实体圆!如图!再运用交集命令intersect，得到第二个图样!再用上步同样的操作，把六边形拉伸，切割，交集!如图!SHADE，加上色看一下!现在看起来，多边形的边比较的生硬，我们实行圆角(FILLET)!圆角半径自定!正在模型已建好!现在要运用三维陈列命令(3darray)五边形的五个边对应着是五个六边形(晕，咋像绕口念了)六边形有三个边对应是五边形，现在用这个顺序来陈列!以五边形中心为旋转轴，陈列六边形五个，命令行参数如图!现在以六边形的中心为旋转轴，旋转3个五边形!如图!重复试用上二步操作，陈列操作，最后可陈列一个完成足球!陈列，陈列把所有旋转完后，删除中心轴线!哇，终于做完了!最后结果:。

UG建模之足球目标：用UG建立足球的三维模型。

效果预览：图 1 最终效果建模步骤：第一步、运用草图工具，建立五边形及两条辅助线，如下图所示。

接着，将两条辅助线，分别沿着相邻边进行回转（90°到-90°），求其两个回转面的交线，如下图所示。

图 2 建立五边形图 3 回转效果第二步、运用草图工具，建立六边形，以及通过五边形及六边形的中心线，如下图所示。

图 4 建立六边形第三步、运用分割面命令，将直径为120mm的球面进行分割，得到一个五边形与一个六边形分割面，如下图所示。

图 5 分割效果第四步、将上步得到的五边形与六边形分割面进行加厚（2.5mm），接着进行倒圆，并着色，如下图所示。

图 6 加厚并倒圆第五步、运用移动对象命令，将白色六边形，沿Z轴，以72°为旋转角度，复制4个，如下图所示。

图7 复制六边形第六步、运用移动对象命令，将图中黑色的五边形，沿六边形中心线，以120°为旋转角度，复制1个，如下图所示。

图8 复制五边形第七步、运用移动对象命令，将上步得到的黑色五边形，沿Z轴，以72°为旋转角度，复制4个，如下图所示。

图9 复制五边形第八步、运用移动对象命令，将图中白色的六边形，沿六边形中心线，以120°为旋转角度，复制1个，如下图所示。

图10 复制六边形第九步、运用移动对象命令，将上步得到的白色六边形，沿Z轴，以72°为旋转角度，复制4个，如下图所示。

图11 复制六边形第十步、再次运用移动对象命令，将上述建立的所有模型，以Y轴为矢量，以两条中心线的交点为轴点，旋转180°，如下图所示。

图12 最终效果。

UG草图练习一、一笔画出整体轮廓用“配置文件”，也就是轮廓线命令按钮绘制与所要求图形大致相似的整体轮廓。

二、形状约束用“约束”命令按钮约束整体轮廓与所要求图形近一步达到形状相似。

三、尺寸约束通过标注尺寸约束实现整体轮廓柜架与所要求图形完全一致。

可借助“延迟草图评估”工具防止标注尺寸约束时引起图形随尺寸变化过大而难以约束。

四、图形位置约束约束整体图形在系统坐标系中的定位。

五、补充图形细节在整体轮廓中，可添加局部细节图形，以便减少建模的草图数量。

28三.足球建模1.足球分析要建立足球模型，就要先分析足球，找出足球表面上各“图形”的分布有什么规律。

其实由图1可以看出，足球表面其实挺规则的，无非是边是弧形的“正五边形”和“正六边形”，而且直觉也可以告诉我们这些多边形的排布是有规律的，但具体规律是什么？这里不妨将足球模型做一简化，试想过足球表面各五边形和六边形牛皮的各个角分别创建平面，然后利用这些平面将多边形的球面部分削掉（如图2），这时就可以直观地看出这些多边形的边长是相等的，而且五边形的周围是五个六边形，每个五边形的顶点都通过一条棱与另一个五边形的一个顶点连接，所以可以设想过连接两个五边形的任意一条棱和球心建立一个平面，这时所谓的规律就一目了然了，由图2可以看出，该平面除了通过用来创建平面的棱外，还恰好通过正五边形和正六边形的高的方向，设用来创建平面的那条棱的两端点和六边形的对边中点分别为A、B、C和D（如图3），其仰视图如图4所示，以球心为原点建立如图4所示坐标系，过A、B两点，以原点O为圆心创建一个圆，显然这就是简化模型前足球的外轮廓，再创建一个与圆O同心，且与直线AB相切的圆，此时我们就会发现，C、D两点和A、B 不在同一个圆上，而落在我们创建的第二个圆上，这又是为什么？细想就会发现，其实点C 和D并没有在足球的表面，而是六边形的两对边的中点在仰视平面上的投影，那么为什么它们又恰好落在与AB相切的圆上呢？我们知道，在同一个圆内，长度相同的弦所对应的弦高也是相等的，对于一个球也一样，因为足球上的每条边的两端点的连线都是相等的，所以它们对应的弦高也相等，也就是说，直线AB的中点到外圆的距离和点C、D到外圆的距离是相等的，所以它们在同一个圆上。