2018届高三下学期二调数学试卷(理科) 含解析

惠州市 2018 届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求1．若z 2 i ( i 为虚数单位 )，则复数 z 在复平面内对应的点在（）1iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知会合 Ax x a ， Bx x 2 3x 20 ，若AI BB ，则实数 a 的取值范围是 （）A ． a 1B ． a 1C ． a 2D ． a 23．设 l ,m, n 为三条不一样的直线，为一个平面，以下命题中正确的个数是（ ） ①若 l，则 l 与订交； ②若 m， n， lm ，l n ，则 l；③若 l // m ， m// n ， l ，则 n； ④若 l // m ， m， n ，则 l // n ．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 44．“不等式 x 2x m0 在 R 上恒成立”的一个必需不充足条件是（）A ． m1 B ． 0 m 1C ． m 0D ． m 145．设随机变量听从正态散布 N4,3 ，若 Pa 5Pa1 ，则实数 a 等于（）A． 7B． 6CD． 4． 56．《周易》向来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴实的认识， 是中华人文文化的基础， 它反应出中国古代的二进制计数的思想方法． 我们用近代术语解说为：把阳爻“”看作数字“1 ”，把阴爻“”看作数字“0 ”，则八卦所代表的数表示以下：卦名 符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0震 001 1坎 010 2 兑0113挨次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（）A ． 18B ．17C ． 16D ． 15 1．已知等差数列a n 的前 n 项和为S n ，且a 91，4，则数列的前 10 项和为（ ）72a126 a 2S nA ．11B ．10C ．9D ．812111098．旅行体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅行，若甲景区不可以 最初旅行，乙景区和丁景区不可以最后旅行，则小李旅行的方法数为（）A ． 24B ．18C ． 16D ． 109．已知 A ， B 为双曲线 E 的左右极点， 点 M 在双曲线 E 上， ABM 为等腰三角形， 且顶角为 120o ，则双曲线 E 的离心率为（）A ． 5B ． 2C ． 3D ． 210 ．某三棱锥的三视图以下图，且三个三角形均为直角三角形，则xy 最大值为（）A ． 32B ．32 7C ． 64D ．64 711 ．函数 f ( x)Asin(2 x), A 0 部分图像以下图，且 f (a) f (b)0 ，2对不一样的 x 1,x 2 a, b ，若 f (x 1 ) f ( x 2 ) ，有 f ( x 1 x 2 )3 ，则（）A ． f ( x) 在 ( 5, ) 上是减函数 B ． f (x) 在 (5 , ) 上是增函数12 1212 12 C ． f (x) 在 (5) 上是减函数 D ． f (x) 在 ( 5 ) 上是增函数,63 ,36 12．函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当x 0 时， f ( x)2|x 1|10 x 21f (x2)x 2g( x)xf ( x)1在 [ 6, ) 上的全部零点之和为（2）A ． 8B ． 32C ．1D ． 08二．填空题：此题共 4小题，每题 5分，共 20分13．已知 tan1，且3，则 cos________2,2214．某班共有 56 人，学号挨次为 1,2,3, ,56 ，现用系统抽样的方法抽取一个容量为号为 2，30，44 的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为 ________15．已知数列a n 知足 a 11, a n 1 2a n 2n (n N ) ，则数列 a n 的通项公式为uuur uuur uuur uuur uuur uuur16．在四边形 ABCD 中， AB DC ，已知 AB 8, AD 5 ，AB 与 AD 的夹角为 uuur uuur uuur uuurCP 3PD ，则 AP BP ________，则函数4 的样本，已知学a n ________11，，且cos =20三．解答题：共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分 12 分）已知 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， 2cos C a cosC c cos A b 0（ 1）求角 C 的大小；（ 2）若 b2 ， c 23 ，求 ABC 的面积18 ．（本小题满分 12 分）60o ， PA如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABCPB ， PC 2（ 1）求证：平面PAB 平面 ABCD ；（ 2）若 PA PB ，求二面角 A PC D 的余弦值19．（本小题满分 12 分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生展开古诗词背诵竞赛，随机抽取题目，背 诵正确加 10 分，背诵错误减 10 分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。

惠州市2018届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．若21zi i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{}A x x a =<，{}2320B x x x =-+<，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．1a ≤ C ．2a > D ．2a ≥ 3．设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ） ①若，则与相交； ②若 则； ③若m l //，n m //，α⊥l ，则； ④若m l //，，，则n l //． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识， 是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻 “”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ）A ．1112B ．1011C ．910D ．898．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能 最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ） A ．24 B ．18 C ．16 D ．109．已知A ，B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在双曲线E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120o， 则双曲线E 的离心率为（ ）A 5B ．2C 3D 210．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 最大值为（ ） A ．32 B ．327 C ．64 D ．64711．函数()sin(2)f x A x θ=+,02A πθ⎛⎫≤> ⎪⎝⎭部分图像如图所示，且， 对不同的，若，有，则（ ）n m l ,,αα⊥l l α，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂ααα⊥l α⊥n α⊥m α⊥n 20x x m -+>R 41>m 10<<m 0>m 1>m 0)()(==b f a f []b a x x ,,21∈)()(21x f x f =3)(21=+x x f 卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑0113A ．在上是减函数B ．在上是增函数C ．在上是减函数D ．在上是增函数12．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()()|1|2102()12(2)2x x f x x f x -⎧-<≤⎪=⎨>-⎪⎩，则函数 1)()(-=x xf x g 在),6[+∞-上的所有零点之和为（ ）A ．8B ．32C ．81D ．0二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ________ 14．某班共有56人，学号依次为56,,3,2,1Λ，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为________15．已知数列{}n a 满足)(22,111*+∈=-=N n a a a n n n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ________16．在四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，已知8,5AB AD ==u u u r u u u r ，AB u u u r 与AD u u u r 的夹角为θ，且11cos =20θ，3CP PD =u u u r u u u r ，则AP BP ⋅=u u u r u u u r________三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos 0C a C c A b ++= （1）求角C 的大小；（2）若2b =，23c =，求ABC ∆的面积)(x f )12,125(ππ-)(x f )12,125(ππ-)(x f )65,3(ππ)(x f )65,3(ππ如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC = （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值19．（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背 诵正确加10分，背诵错误减10分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。

深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案1．解析：2{|10}{|1},{|4}{|22}A x x x x B x x x x =-<=<=<=-<<，所以(2,1)A B =-2i 2==，所以22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z -==-∴=+++-． 3．解析：甲、乙均被选中的概率为1335310C P C ==．4．解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1313333a S a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =-，所以41434436(2)02S a d ⨯=+=⨯+⨯-= 5．解析：因为点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，所以22131,44m m +>∴>，圆心(0,0)到直线20mx y -=的距离1d r =<=<=6其体积11152122112323V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．解析：执行程序框图，1,122i S i S i==→=→→=→→=是否4251052101216i S i S i →=→→=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→是否否否是2214272421858285170S i S i S →=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→→=⨯=否否否是 921701341i S →→=→→=⨯+=→否否输出341S =．8．解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，根据题意，222242m m a b b ⎧+-=+⎪⎨=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2c ==，离心率2c e a==．9． 解析：由(4)(4)f x f x -=+，可知函数()f x 是一个周期函数，周期为8，因为()f x 是偶函数，所以当40x -≤≤时，22()()()2()2f x f x x x x x =-=--⋅-=+，当1x =-时，()f x 有最小值，区间[4,0]-与区PADM N间[12,16]刚好相差2个周期，11615-+=，所以在区间[12,16]上，()f x 有最小值(15)f ．10．解析：()()cos f x x x x x x ωωωωωϕ⎫=-==-⎪⎪⎭，其中sin ϕ=，cos ϕ=()cos()f x x ωϕ'=-，设1122(,0),(,0)P x P x ，不妨设 120,x x ωϕωϕπ-=-=，则11()cos(f x x ωϕ'=-，22()cos()=f x x ωϕ'=--，因为该曲线在点12,P P 处的切线互相垂直，所以212()()31f x f x ω''⋅=-=-，又因0ω>，所以ω=． 11． 解析：将二面角A PO D --展开成一个平面，则当AN MN +取得最小值时，A N M 、、三点共线，且AM PD ⊥，由题可知，此时M 为PD 的中点，所以2PA AD ==，PO =，不妨设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，球心为O '．显然O '在线段PO 上，注意到BOO '△中，有222O B O O BO ''++，即22)1R R =+，解得R =P ABCD -的 外接球的表面积为21643R ππ=． 12．解析：对n N *∀∈，函数()n f x 都不单调，即函数()n f x 存 在极值点，故必存在0(,1)x n n ∈+，使得0001()10,1nn n a f x x a x -'=+=∴=-， 经检验，已知当11n n a n <-<+时，01n x a =-为函数()n f x 的极值点．即12,n n a n +<<+<<，,n b = 所以数列{}n b 的前100项依次为：33336383-21943371,1,,1,2,2,,2,3,3,,3,4,4,,4=-=个个个个，10016219337438307S ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．13．解析：345a b t a ⋅=+==，解得12t =．14．解析：作可行域如图所示，由2z x y =+可得1122y x z =-+表示斜率为12-，纵截距为12z 的直线，作直线12y x =-并平移，当直线过点(1,1)A a --时，直线在y 轴上的截距最大，此时 max 12(1)125z a a =-+⨯-=-=，解得2a =-．15．解析：当1x =时，得各项系数和为(3)81n-=，所以4n =，则展开式中的常数项为2224496C x x ⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭．2x y --O10+=x y a ++16易知(A 下求TC 设线段TC TB -17又因为B ⎛∈ ⎝ (A ∈ （2且AC S ∴△即(2n n 在△可得223m n mn ++=，…② ………………………………10分 联立①②可解得1m n ==，即1BD =．……………………………12分18. 解：（1）ABD △为等腰直角三角形，且90,BAD AB AD ∠=︒∴=，连接AF ，因为点F 是BD 的中点，AF BD ∴⊥，因为侧面ABD ⊥底面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，AF ∴⊥平面BDC ，…………………………………………………………………………………………1分 BC ⊂ 平面,BDC BC AF ∴⊥，…………………………………………………………………………2分设BC 中点为N ，连接DN ，由4BC BG =可知点G 是BN 的中点，又点F 是BD 的中点， 于是//FG DN ，……………………………………………………………………………………………3分,,CD BD BC DN BC FG =∴⊥∴⊥ ，………………………………………………………………4分 ,,,BC AF BC FG AF FG F BC ⊥⊥=∴⊥ 平面AFG ，又MF ⊂平面AFG ，BC MF ∴⊥．……………………………………………………………………5分 （2）连接MN ，FN 是BDC △的中位线，//FN CD ∴，CD ⊂ 平面,ACD FN ⊄平面,//ACD FN ∴平面ACD ，…………………………………………6分 //MF 平面,//ACD FN 平面,ACD MF FN F = ，且MF ⊂平面MNF ，FN ⊂平面MNF ，∴平面//MNF 平面ACD ，又平面MNF 平面AGC MN =，平面ACD 平面AGC AC =，//MN AC ∴，且13GM GN GA GC ==，…………………………………………………………7分 BDC △为等腰直角三角形，且CD BD =，CD BD ∴⊥，//FN CD ，FN BD ∴⊥， 又AF ⊥平面BDC ，FN FD FA ∴、、两两垂直，以F 为坐标原点，以FN FD FA 、、所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设1FD =，从而(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)F D C A B N -，G 是BN 的中点，111111111,,0,,,1,,,,222233663GM G GA GM GA GA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-∴=-=∴==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，易知111,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵E 是AC 的中点，111,,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，11111,,,1,,33322FM FE ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………8分设平面EMF 的法向量为(,,)n a b c = ，则111033311022n FM a b c n FE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，……………………9分解得21,33a cbc =-=，令3c =，(2,1,3)n ∴=- ，…………………………………………10分由（1）可知BC ⊥平面AFG ，即平面MFG 的一个法向量为(2,2,0)BC =，………………11分Bcos ,n BC n BC n BC⋅∴==⋅，易知二面角G MF E --所以二面角G MF E --的余弦值为．19．解：（1）易知123450.50.613, 1.0455t y +++++++====，……………………1分 5152221518.853 1.04ˆ0.3255535i ii ii t y t ybtt ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，…………………………………………………2分 ˆˆ 1.040.3230.08ay bt =-=-⨯=，…………………………………………………………3分 则y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.320.08yt =+，………………………………………………4分 当6t =时，ˆ 2.00y=，即2018年4月份参与竞拍的人数估计为2万人．………………5分 （2）（i ）依题意可得这200人报价的平均值x 和样本方差2s 分别为：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………6分222222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15(5.5 3.5)0.1s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=，…………………………………………………………………………8分（ii ）2018年4月份实际发放车牌数量为3174，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为3174100%15.87%20000⨯=，………………………………………………………………………………9分根据假设，报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且23.5, 1.7μσ==， 1.3σ∴=≈， 又1()()0.1587,( 4.8)0.15872P x P x P x μσμσμσ--<<++==∴=≥≥，………………11分所以可预测2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万．………………………………………………12分 20．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线l 的方程为2y kx p =-（易知l 的斜率必存在），由222x py y kx p ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2331212220,2,2x kpx p x x kp x x p -+=∴+==，…① …………………2分 1212121,1y y k k x x =∴= ，即1212x x y y =，………………………………………………………………3分 又221212()()y y kx p kx p =--，即2241212(1)()0k x x kp x x p --++=，…②将①代入②，整理得4320p p -=，又0p >，解得2p =．…………………………5分亦可由2212121222x x x x y y p p==⋅，得2124x x p =，2342,2p p p ∴=∴=． （2）设切点2111,2x T x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22x py =，得22x y p =，得x y p '=，所以切线斜率11x k p =，切线方程为 2111()2x x y x x p p -=-，将2(0,)M p -代入，得2312x p =，所以22112x y p p==，由对称性易知直线12TT 的方程为2y p =，…………………………………………………………………7分设直线l 的方程为2y kx p =-，设33(,)N x y ，因为点N 为直线12TT 与弦AB 的交点，由22y p y kx p⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得232p x k =，… ③ …………………………………8分 因为,MA MN MB MN λμ==，显然0,0λμ>>，331211MN MNx x x x MA MB λμ∴+=+=+，……………………………………………………………………10分 又123,,x x x 显然同号，33123121211x x x xx x x x x λμ+∴+=+=⋅，…………………………………………11分 由①、③可知，21233122222x x p kpx x x k p+⋅=⋅=，11+2λμ∴=，即11+λμ为定值2．………………………………………………………………12分21．解：（1）由()ax f x xe =，求导得()(1)ax f x ax e '=+，……………………………………1分①当0a =时，()0ax f x e '=>，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，因此函数()f x 无极值；…2分 ②若0a >，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '<，当1x a>-时，()0f x '>， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减；函数()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以函数()f x 存在极小值，极小值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极大值．…………………………3分③若0a <，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '>，当1x a>-时，()0f x '<， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增；函数()f x '在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；所以函数()f x 存在极大值，极大值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极小值．…………………………4分 （2）由题意有ln 1xxe x bx --≥恒成立，即ln 1xx b e x x--≤恒成立，……………………5分 设ln 1()(0)xx g x e x x x =-->，则22221ln 1ln ()x xx x e x g x e x x x-+'=-+=，………………6分 设2()ln x h x x e x =+，下面证明()0h x =有唯一解．易知()h x 单调递增，且(1)0h e =>，所以若()h x 有零点x ，则01x <<， 令()0h x =，可得ln xxxe x=-，(01)x << （※） 注意到ln ln ln (ln ),(01)x xxe f x x x--=-=-<<， 所以方程（※）等价于()(ln )f x f x =-，(01)x <<……………………………………………………8分 又由（1）可知，当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，又当01x <<时，ln (0,)x -∈+∞， 所以方程()(ln )f x f x =-等价于方程ln (01)x x x =-<<，………………………………9分 设函数()ln (01)m x x x x =+<<，则()m x 单调递增，又1110,(1)10m m e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0m x =， 即方程ln x x =-有唯一解0x ，即00ln x x =-，或01x ex =，……………………………………10分 因此方程()(ln )f x f x =-有唯一解0x ，代入得：200ln 0x x +=，所以()0h x =有唯一解0x ， 且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；……………………………………11分 所以()g x 的最小值为000000000ln ()111()1xx x g x e x x x x x -=--=--=， 所以1b ≤．………………………………………………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=，2222sin 3ρρθ∴+=， 又22222cos ,sin ,,33x y x y x y ρθρθρ===+∴+=，即2213x y +=，………………2分所以曲线C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．……………………………………4分（2）不妨设,sin )M ϕϕ，易知121ρρ==，即(0,1),(0,1)A B -，……………………5分010a -=-，解得a =，同理可得b =，……………7分a b ∴+9分显然当0ϕ=或π，即M 或(M 时，a b +=，即a b +的最小值为．23．解：（1）证明：111()()2f x x a x a x a x a a a a a ⎛⎫=-+++++--=+ ⎪⎝⎭≥，…………2分又1122()a a f x x a +=+∴≥≥．……………………………………4分 （2）若(2)3f ≤，即1223a a a-+++≤，又21(1)2a a a a +++=．……………………6分故可如下分类：①若0a <，则1223a a a ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭≤，即1230a a ++≥，即22310a a ++≤， 即1(21)(1)0,12a a a ++∴--≤≤≤，…………………………………………………………7分 ②若02a <<，则1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即11a -≤，所以此时a 无解，………………8分 ③若2a ≥，即1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即123a a +≤，即22310a a -+≤， 即(21)(1)0a a --≤，112a ∴≤≤，所以此时a 亦无解，………………………………9分 综上，112a --≤≤，即11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．……………………………………………………10分。

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴复数点为，位于第二象限．选B．2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．3.命题，关于的方程有实数解，则为（）A. ，关于的方程有实数解B. ，关于的方程没有实数解C. ，关于的方程没有实数解D. ，关于的方程有实数解【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定可得，为：，关于的方程没有实数解．选C．4.在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得点的坐标为，∴．∴．选A．5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的的值为（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3【答案】A【解析】由题意可得本题是求分段函数中，求当时的取值．当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．在中，当时，；当时，．∴阴影部分的面积为，由几何概型概率公式可得，小李需要去快递柜收取商品的概率为．选D．8.在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．9.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．11.函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是( )A. B.C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，∵在上单调，∴，解得．∵，，∴，解得，∴．对于选项A，显然不正确．对于选项B，，故B不正确．对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．综上选C．点睛：解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．12.已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（）A. 的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. ，，的面积一定成等差数列D. ，，的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入上式可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．故选B．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：14.的展开式中含项的系数为__________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.15.已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:416.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．【答案】2或7【解析】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7点睛：解答本题的关键是读懂题意，深刻理解垃圾处理站所在的位置，然后通过合理建立平面直角坐标系，将所求问题转化为求两圆交点的问题，解方程组得到两圆交点坐标后再通过两点间的距离公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由变形得，即，于是可得公比，由此可得通项公式．（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为.由，得，即，，∴．（2）由（1）得，，①∴，②①-②得，∴．18.为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.【答案】（1）103；（2）①117；②4968名.【解析】【详解】试题分析：（1）用每一个小矩形的中点値代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数．（2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求．②先求得，故可得估计名次为名．试题解析：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：.（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．19.在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）由条件可知，，，，.，且为中点，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设为平面的一个法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一个法向量．∴.由图形知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20.已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，为的中点，为中点，.，∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，，，，动点的轨迹方程为.（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由消去y整理得.∵直线与椭圆交于，两点，∴，解得．设，，则，（定值）．点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对求导可得，根据的取值，分，，和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分，和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，此时没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点．（2）由得.①当时，由不等式得，即对在上恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，.②当时，不等式恒成立，；③当时，由不等式得.设，则.设，则，在上单调递减，.若，则，在上单调递增，.若，，，使得时，，即在上单调递减，，舍去..综上可得，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，，解得.∴实数的取值范围为．。

宜昌市2018届高三第二次调考理科数学参考答案及评分标准一：1～5： DBDCA 6～10： BDACA二：11、5 ；12、(1,0)-； 13、48 ； 14、4π ； 15、4884 三：16、解：(1)因为A 点的坐标为)54,53(，根据三角函数定义可知53=x ， 54=y ，1=r ……2分 所以54s i n ==∠r y C O A …4分(2)因为三角形A O B 为正三角形，所以60AOB ∠=，54sin =∠COA ，53cos =∠COA ， ……5分所以 60sin sin 60cos cos )60cos(cos COA COA COA COB ∠-∠=+∠=∠1034323542153-=⋅-⋅=……9分 所以222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠112=+-= ……12分 17、解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(2623==C C A P ………………………………………………4分（2）ξ可取1，2，3，4.103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； …………8分 故ξ…10分.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE答：ξ的数学期望为.47 ……………………………………………………………12分 18、（1）如图，连AC 、BD ，则由P A ⊥底面ABCD ，得平面P AC ⊥底面ABCD 于AC ，又由底面ABCD 为菱形可得BD ⊥AC 于O ，∴DO ⊥平面P AC ．连OE ，则OE 为DE 在 平面P AC 上的射影，∴∠DEO 即为DE 与平面P AC 所成的角． ……3分由E 为PC 的中点可得12EO =PA 2=又由菱形的性质可得，在Rt △AOD 中， ∠ADO =60°，1AD =，∴12DO =． ∴在Rt △DEO中，tan DO DEO EO ∠==，∴DEO ∠=30°． …6分 （2）设ACBD O =，过O 作OM ⊥PC于M ，则由P A ⊥底面ABCD 可得平面P AC ⊥底面ABCD 于AC ．又BD ⊥AC ，BD ⊂底面ABCD ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC ， 而由OM ⊂平面P AC 且OM ⊥PC可得PC ⊥平面MBD ．故在线段PC 上存在一点M ，使PC ⊥平面MBD 成立． …….12分19 、解：（1） )10)(1(1≠>--=a a a a a S n n 且，则)1(111++--=n n a aa S 。

高2018届高三学业质量调研抽测（第二次）理科数学答案一、选择题1—5：ABDAD 6—10：BBCCC 11—12：BA二、填空题13. 3π 14. 20 15.16. 14π三、解答题17.（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由题意，得42381182a a a =⎧⎪⎨+=⎪⎩……………………………………………………………………………2分 即31181(1q)36a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相除，得24990q q --=，解得3q =或34-，……………………………………………………………………………………4分 ∵0q >,∴3q =,解得13a =， ……………………………………………………………………5分 所以113n n n a a q -==. …………………………………………………………………………………6分（2）由（1）得3log 3n n b n ==，…………………………………………………………………7分 ∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， ……………………………………………………………9分 ∴11111111111(1)23352121221242n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………11分 ∴12n T <.…………………………………………………………………………………………………12分 18.（1）由频率分布直方图知，后三组频率分别为0.2，0.1，0.05，………………2分 人数为0.2408⨯=，0.1404⨯=，0.05402⨯=，………………………………………4分 即这40名男生身高在172cm 以上（含172cm ）的人数为14人.………………………5分 （2）∵(1683316833)0.9974P ξ-⨯<≤+⨯=，，而0.00135000065⨯=，……………………7分 以上（含177cm ），这40人中177cm 以上（含177cm ）的有426+=人. ……………………………………………………………………………………8分 随机变量ξ可取0，1，2，于是 (11)分 ………………………………………………………12分 19.解：（1）证明：连接PE ，BE ，∵PAD ∆是等边三角形，E 为AD 中点，∴PE AD ⊥， ………………………………1分又∵2AD =，∴PE =1DE =，∴//DE BC ，且DE BC =，∴四边形BEDC 为矩形，∴BE CD =BE AD ⊥，∴222BE PE PB +=，∴PE BE ⊥，…………………………………………………………4分 又∵AD BE E =，∴PE ⊥平面ABCD ，…………………………………………………5分 又∵PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ． (6)分（2）如图建系，P，B ，(1C-，(0,0,0)E ，EB =设(,),(01)CQ CP λλλ==<<，∴(1,0,0)(,)(1,)BQ BC CQ λλ=+=-+=-，设平面EBQ 的法向量为(,,)m x y z=，∴0(1)0x y z λ=--=⎪⎩∴(3,0,1)m λλ=-，平面EBC 的法向量不妨设为(0,0,1)n =，……………………………………………………9分 ∴cos303m nm n λ⋅==，∴28210λλ+-=，∴14λ=或12-（舍），…………………………………………………11分∴14CQ CP =．……………………………………………………………………………………………12分 20.解：（1）由c a =可得12b a =，所以22121314b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，………………………………2分 解得21a b =⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………………………………4分 所以椭圆的方程为：2214x y +=.…………………………………………………………………5分 （2）设112211(,),(,),(,)P x y Q x y R x y --，联立方程，得2214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2210x t +-=，所以240,22t t ∆=->-<<即，21212,1x x x x t +=⋅=-，……………………7分∴1212121212(1)(1)(222211(1)(1)AN AM y y y x x y k k x x x x -++++=+=+-+-，分子12121)(x t x x x t =+-+++21212()1)()0x t x x t t ++-+=.……………………………10分 ∴OMA ONA ∠=∠,∴AM AN =． …………………………………………………………12分21.（1）因为'()ln 2(0)f x x ax x =-+>,由题意可知'()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立 得max ln 2() (0,)x a x x+≥∈+∞， ……………………………………………………………………2分 令ln 2() (0,)x g x x x +=∈+∞,'2ln 1() 0x g x x --=≥， 解得()g x 在1(0,)e 单调递增，1(,)e +∞单调递减, 所以1()a g e e ≥=, 所以a e ≥.………………………………………………………………………………………………4分(2)函数2()ln 12a y f x x x x x =-=-+有两个极值点1212, ()x x x x <, 即'()1ln 1y f x x ax =-=-+有两个不同的零点,且均为正，令'()()1ln 1F x f x x ax =-=-+,由11'() (0)ax F x a x x x-=-=>可知()y F x =在1(0,)a 是增函数，在1(,)a+∞是减函数，……………………………………………6分 且110x a<<，构造121x a a ->， ……………………………………………………………………7分 构造函数2221()()()ln()()(ln ) (0<)m x F x F x x a x x ax x a a a a=--=-----≤，………………8分 则212()11'()2022()a x a m x a x x x x a a-=-+=<--,故()m x 在区间1(0,]a 上单调减， 又由于110x a <<,则11()()0m x m a >=,即有1()0m x >在1(0,)a上恒成立， 即有1122()()()F x F x F x a->=成立. ………………………………………………………………10分 由于21x a >,121x a a ->, ()y F x =在1(,)a+∞是减函数, 所以212x x a >-，………………11分 所以1222x x a +>>成立.………………………………………………………………………………12分 22.解：（1）曲线221:(1)1C x y -+=，……………………………………………………………1分 把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入()2211x y -+=，得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， …………………………………………………3分 曲线2C 的极坐标方程为24sin 3ρρθ-=，所以曲线2C 的普通方程为22430x y y +--=.…………………………………………………5分 （2）依题意可设12 33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. 所以12cos 13πρ==， …………………………………………………………………………………6分 2224sin 303πρρ--=，即22230ρ--=，所以2ρ= ……………………………………………………………………………………8分 因为点B 在一象限，所以20ρ>，即2ρ…………………………………………9分所以211AB ρρ=-. …………………………………………………………………10分23. 解：（1）1=t 时，()12+--=x x x f ，()3,121,123,2x f x x x x ì?ïïï=-+-<?íïï->ïïî ，………………………………………………………………2分 所以131x ì?ïïíï£ïî或12211x x ì-<?ïïíï-+?ïî或231x ì>ïïíï-?ïî，……………………………………………………4分 所以解集为[)∞+，0 . ……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由绝对值不等式得21(2)(1)3tx tx tx tx --+≤--+=， 所以()x f 最大值3m =，……………………………………………………………………………7分 323212121111=+++=+++++≤⋅+⋅+⋅≤++c b a c b a c b a c b a 当且仅当1===c b a 时等号成立. ……………………………………………………………10分。

2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$，求其值。

2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$，求$A$ 中元素的个数。

3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子？4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$，$a\cdot b=-1$，求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。

5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$，求其渐近线方程。

6.在$\triangle ABC$ 中，$\cos A=\frac{4}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，求 $AB$ 的值。

7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。

8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 $30$ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 $30$ 的概率是多少？9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=BC=1$，$AA_1=3$，求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。

10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数，求$a$ 的最大值。

11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，且 $f(1)=2$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。

12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形，且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$，求椭圆的离心率。