高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式评析诱导公式的解题功能素材北师大版4讲解

三角函数的诱导公式讲义1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是闭区间[-1, 1]。

对于任意角度x（弧度制），我们可以通过三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)来得到正弦函数的周期性。

其他常用的三角恒等式还有sin(x) = sin(π - x)和sin(x) = -sin(-x)等。

2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，其定义域和值域与正弦函数相同。

对于任意角度x，我们可以通过三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)来得到余弦函数的周期性。

其他常用的三角恒等式还有cos(x) = -cos(π - x)和cos(x) = cos(-x)等。

3. 正切函数（tan）：正切函数也是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是全体实数。

有时候我们还会使用余切函数（cot）的值，它是正切函数的倒数。

常用的三角恒等式有tan(x) = tan(x + π)和cot(x) = 1/tan(x)等。

在掌握了这些基本的三角函数性质后，我们可以开始讲解三角函数的诱导公式了。

1.正弦函数的诱导公式：根据三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)，我们可以得到：sin(x + π) = sin(x)cos(π) + cos(x)sin(π)= -sin(x)因此，我们可以得到正弦函数的诱导公式：sin(x + π) = -sin(x)。

2.余弦函数的诱导公式：根据三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)，我们可以得到：cos(x + π) = cos(x)cos(π) - sin(x)sin(π)= -cos(x)因此，我们可以得到余弦函数的诱导公式：cos(x + π) = -cos(x)。

3.正切函数的诱导公式：根据三角恒等式tan(x) = tan(x + π)，我们可以得到：tan(x + π) = (tan(x) + tan(π))/(1 - tan(x)tan(π))= (tan(x) + 0)/(1 - tan(x)*0)= tan(x)因此，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(x + π) = tan(x)。

三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。

正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。

下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。

1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。

当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。

因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。

当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。

因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。

接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。

设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。

根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。

根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。

三角函数的诱导公式与恒等变换三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

在学习三角函数时，了解三角函数的诱导公式和恒等变换可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。

本文将介绍三角函数的诱导公式和恒等变换，并探讨其在解题中的应用。

一、诱导公式1. 正弦函数的诱导公式我们知道，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。

利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将正弦函数表示为cosine的形式，即sinθ = √(1 - cos²θ)。

进一步地，我们可以应用勾股定理将正弦函数表示为另外两个三角函数的形式。

勾股定理指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。

假设直角边a是对边，直角边b是邻边，斜边c是hypotenuse。

则a/hypotenuse = sinθ，b/hypotenuse = cosθ。

根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式sinθ = cos(90° - θ)。

2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。

利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将余弦函数表示为sine 的形式，即cosθ = √(1 - sin²θ)。

同样地，根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式cosθ =sin(90° - θ)。

3. 正切函数的诱导公式正切函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。

利用正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到正切函数的诱导公式tanθ = sinθ/cosθ。

三角函数与函数的概念函数是数学中的一个重要概念，而三角函数则是函数中的一个特殊类别。

本文将探讨三角函数的定义、性质以及在数学和实际生活中的应用。

一、三角函数的定义考虑一个以原点为中心的单位圆O（0, 0）和坐标轴x轴、y轴。

对于单位圆上的每一个点P(x, y)，与x轴正半轴之间的角θ，我们定义三角函数如下：1. 正弦函数（Sine Function）：sin(θ) = y2. 余弦函数（Cosine Function）：cos(θ) = x3. 正切函数（Tangent Function）：tan(θ) = y / x二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数的值在一定区间内呈周期性变化。

正弦函数和余弦函数的周期均为2π，而正切函数的周期为π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tan(θ)。

3. 诱导公式：三角函数之间存在一系列的诱导公式，如sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1和tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)。

三、三角函数的应用1. 几何应用：三角函数在几何中有广泛应用，例如可以利用正弦定理和余弦定理计算三角形的边长和角度。

此外，三角函数还可用于计算图形的面积和体积等几何问题。

2. 物理应用：三角函数在物理学中也有重要的应用。

例如，振动和波动的描述中经常涉及到正弦函数。

光的传播、声音的传播以及电流的变化等也可以通过三角函数进行解析。

3. 工程应用：工程中的测量和调整常常需要用到三角函数。

例如，在建筑设计和土木工程中，我们可以利用正切函数计算倾斜角度和高度等参数。

4. 统计学应用：在统计学中，三角函数可以用于分析和处理周期性数据。

例如，天气预测和经济预测中，常常需要用到周期性变化的数据分析。

综上所述，三角函数是函数中的一个特殊类别，通过单位圆上的点与坐标轴之间的关系进行定义。

三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一 正弦函数、余弦函数的概念实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应．由这个对应法则所确定的函数y ＝sin x (或y ＝cos x )叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R . 知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧的x 轴上取一点O 1，作出以O 1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份．过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线；③找横坐标：把x 轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图象与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象，如图．把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象．正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象“五点法”作正弦函数y ＝sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的步骤 1．列表2.描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 3．用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y ＝sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的简图．1．正弦函数y ＝sin x 的图象向左、右和上、下无限伸展．( × )提示 正弦函数y ＝sin x 的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y ＝1和y ＝－1之间．2．函数y ＝sin x 与y ＝sin(－x )的图象完全相同．( × ) 提示 二者图象不同，而是关于x 轴对称．3．余弦函数y ＝cos x 的图象与x 轴有无数个交点．( √ )4．余弦函数y ＝cos x 的图象与y ＝sin x 的图象形状和位置都不一样．( × ) 提示 函数y ＝cos x 的图象与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．题型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．考点正弦函数图象题点正弦函数图象解(1)取值列表：(2)描点连线，如图所示．反思感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解 (1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示．题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域． 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈[－4，－π)∪(0，π)．反思感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．跟踪训练2 求函数y ＝ log 21sin x－1的定义域． 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z .正弦、余弦函数图象的应用典例 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用解 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6.作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立．所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪ π6＋2k π<x ≤π3＋2k π，⎭⎬⎫或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . [素养评析] 作出相应正弦、余弦函数的图象，借助三角函数图象使问题得解，这正是数学核心素养直观想象的具体体现.1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 B解析 “五点法”作图是当2x ＝0，π2，π，3π2，2π时的x 的值，此时x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 D解析 方法一 由y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象，作关于x 轴的对称图象，就可以得到函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图． 方法二 可以用特殊点来验证． x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C. 当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. 4．点M ⎝⎛⎭⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m ＝________. 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 －1解析 点M 在y ＝sin x 的图象上， 代入坐标得－m ＝sin π2＝1，所以m ＝－1.5．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．答案 2解析 画图可知(图略)．1．对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．2．作函数y＝a sin x＋b的图象的步骤3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．一、选择题1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点 考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y ＝sin x 的图象(图略)，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确．2．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 A解析 由“五点法”可知选A.3．(2018·山西孝义高二期末)对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下描述： ①将[0,2π]内的图象向左、向右平移2k π(k ∈Z )个单位长度；②与y＝sin x图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数个交点；④关于y轴对称．其中正确的描述有()A．1个B．2个C．3个D．4个考点余弦函数的图象题点余弦函数图象的应用答案 D解析根据余弦函数的图象可以判断都正确．4．(2018·安徽滁州高二期末)函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是()考点正弦函数的图象题点正弦函数图象答案 B解析 当x ＝π2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝1； 当x ＝2π时，y ＝1；结合正弦函数的图象可知B 正确． 5．下列各组函数中图象相同的是( ) ①y ＝cos x 与y ＝cos(π＋x )； ②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2； ③y ＝sin x 与y ＝sin(－x )； ④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x .A ．①③B ．①②C ．③④D ．④ 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 答案 D解析 由诱导公式知，只有④中，y ＝sin(2π＋x )＝sin x . 6．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根考点 余弦函数的图象 题点 余弦函数图象的应用 答案 C解析 在同一坐标系中作出函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图象，如图所示．由图知两函数的图象有两个交点，所以方程|x |＝cos x 有两个根． 7．(2018·广西贺州高二期末)在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤3π4，π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 如图所示，在同一坐标系内作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象和y ＝22的图象．由图可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4. 8．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎦⎤3π2，2π，0，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故选D.二、填空题9．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 答案 [－1,0]解析 ∵2m ＋1＝sin x ∈[－1,1]， 即－1≤2m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0.10．不等式sin x <－12，x ∈[0,2π]的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫7π6，11π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是____________．考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈N 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝12的图象，如图所示．当f (x )>12时，函数f (x )的图象位于函数y ＝12的图象的上方，此时－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π(k ∈N )．三、解答题12．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域． 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 解 要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >12.如图所示．cos x ≤12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，k ∈Z .sin x >12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，它们的交集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即为函数的定义域．13．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．考点正弦函数图象题点正弦函数图象的应用解列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.(2)由图可知，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．14．(2018·广西钦州高二期末)已知函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π 考点 正弦函数图象 题点 正弦函图图象的应用 答案 C解析 如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为5π2－π2＝2π，宽为1的矩形的面积， ∴S ＝2π.15．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1,3)．。

三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式是数学中关于三角函数之间的一组等式，通过这组等式可以在不依赖计算器或表格的情况下直接计算出一些角度的三角函数值，从而简化计算。

诱导公式的基本思想是通过将一个角度的三角函数转化为另一个角度的三角函数来求解。

一、正弦和余弦的诱导公式：根据正弦函数和余弦函数的定义，对于任意角度θ，有：sin θ = y/rcos θ = x/r其中，x，y，r代表直角三角形中的边长。

利用勾股定理可以得到x²+y²=r²。

现在考虑角度θ+90°，即sin(θ+90°)和cos(θ+90°)的值。

根据正弦函数和余弦函数的定义，有：sin(θ+90°) = y’/rcos(θ+90°) = x’/r其中，x’，y’，r由右边角相等可知。

然后考虑直角三角形中的边长关系：y’=xx’=-y(由右边角相等，即90°+(-θ))代入sin(θ+90°)和cos(θ+90°)，得到：sin(θ+90°) = x/r，即sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -y/r，即cos(θ+90°) = -si nθ得到正弦的诱导公式：sin(θ+90°) = cosθ；得到余弦的诱导公式：cos(θ+90°) = -sinθ。

利用这两个诱导公式，我们可以在计算中互相转化正弦和余弦的值。

二、正切和余切的诱导公式：正切和余切的定义是：tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θ。

根据正弦和余弦的诱导公式，我们可以得到：sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -sinθ。

将这两个式子带入正切和余切的定义，有：tan(θ+90°) = sin(θ+90°) / cos(θ+90°) = cosθ / (-sinθ) = -cotθcot(θ+90°) = cos(θ+90°) / sin(θ+90°) = (-sinθ) /cosθ = -tanθ。

三角函数的诱导公式解析与应用三角函数是数学中常见且重要的函数之一，在解决几何问题以及物理、工程等实际应用中扮演着重要的角色。

在三角函数的学习过程中，诱导公式是我们必须要掌握和应用的一部分内容。

本文将对三角函数的诱导公式进行解析，并探讨其在数学和实际应用中的具体应用。

一、三角函数的诱导公式解析1. 正弦函数的诱导公式正弦函数是三角函数中最为常见的函数之一，其诱导公式为：sin(x ± π) = sin(x)cos(π) ± cos(x)sin(π)根据诱导公式，我们可以得出几个重要的结论：- sin(x + π) = -sin(x)- sin(x - π) = -sin(x)- sin(x + 2π) = sin(x)- sin(x - 2π) = sin(x)这些结论表明，通过加减π或2π，正弦函数的值可以保持不变或者取负值。

2. 余弦函数的诱导公式余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数，其诱导公式为：cos(x ± π) = cos(x)cos(π) ∓ sin(x)sin(π)同样地，根据诱导公式，我们可以得出以下结论：- cos(x + π) = -cos(x)- cos(x - π) = -cos(x)- cos(x + 2π) = cos(x)- cos(x - 2π) = cos(x)3. 正切函数的诱导公式正切函数是三角函数中较为特殊的函数，其诱导公式为：tan(x ± π) = (tan(x) ± tan(π)) / (1 ∓ tan(x)tan(π))其中，tan(π) = 0，因此可以得到以下结论：- tan(x + π) = tan(x)- tan(x - π) = tan(x)- tan(x + 2π) = tan(x)- tan(x - 2π) = tan(x)二、三角函数的诱导公式应用1. 几何问题中的应用三角函数的诱导公式在解决几何问题中有着广泛的应用。

任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。

它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。

首先，我们来看正弦函数的定义。

对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。

那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。

也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。

接下来，我们来看余弦函数的定义。

与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。

那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。

也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。

正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。

点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。

接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。

诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。

首先，我们来看正弦函数的诱导公式。

对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。

这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。

根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。

如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。

根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。

课题：§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式河南省南阳市一中 贾海山一、教学目标：1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念；2、会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式；3、通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一.二、教学重、难点1、正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2、了解周期性及一般函数周期性的定义，会求简单函数的周期性；3、掌握诱导公式，包括推导、记忆、应用（求值、化简等）；4、利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法. 三、情感态度与价值观1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力. 四、教学过程§4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 §4.2 单位圆与周期性尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合.2、特别注意：角度与弧度不要混用.如090,k k Z π+∈，应写成0018090,k k Z ⋅+∈或,2k k Z ππ+∈ 3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义.探究新知 1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆.单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等.单位圆可根据需要移到其它地方. 2、任意角的正、余弦函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v作角α的正弦函数，记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,u=cos α.通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表示函数值，因此定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为[-1，1]. 设点P （a,b ）是角α终边上除原点之外的任意一点，记r =则定义sin ,cos .b ar rαα==更具有一般性.3、三角函数值的符号根据定义，三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关.sin α在一、二象限为正，三、四象限为负；cos α在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号.例1功能：会求任意角的三角函数值. 其步骤（1）画角；（2）求交点坐标.可联立方程221,.x y y x ⎧+=⎨=-⎩解得；（3）求值.动手实践给我们另一种方法：利用对称性可求交点坐标，从而解其它超过锐角的特殊角的三角函数值.表1-5中的数据变化特点：说对称性可以，说周期性可以，说正余弦函数图像关系可以.4、单位圆与周期性在单位圆中找到角,2,4666αααππ++等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2）交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变.从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变.即sin(4)sin(2)sin ,cos(4)cos(2)cos .666666ααααααππππ+=+=+=+=从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等.即sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈说明：对于任意一个角x ，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.这种随自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数.特别指出，周期性不是三角函数特有的，一般函数也有周期性.周期函数的自变量不一定是角.2π是sin ,y x x R =∈的周期，则2,,0k k Z k π∈≠都是它的周期，并且它的所有周期中有一个最小的正数2π，称2π为它的最小正周期.同理2π也是cos ,y x x R =∈的最小正周期.有的周期函数没有最小正周期，如()2,.f x x R =∈任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数.周期函数的严格定义：一般地，对于函数()f x ，如果存在非零常数T ,对定义域内的任意一个x 值，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为周期函数，T 为它的一个周期.4.3单位圆与诱导公式利用单位圆的对称性：通过观察角的终边的对称性以及角的终边与单位圆交点坐标的对称性，探寻角α与2πααππαα-±-+，，，也方便记忆.把用对称找点的坐标作为重点.1、角α与α-的正、余弦函数关系sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=2、角α与απ±的正、余弦函数关系sin()sin ,cos()cos .sin()sin ,cos()cos .απααπααπααπα+=-+=--=--=-3、角α与πα-的正、余弦函数关系sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-也可以由1、2两组公式推出sin()sin()(sin )sin ,cos()cos()cos .πααπααπααπα-=--=--=-=-=-4、角α与2πα+的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=-5、角α与2πα-的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-= 6、任意角α的正、余弦函数的诱导公式 （1）2k πα+sin(2)sin ,cos(2)cos .()k k k Z πααπαα+=+=∈（2）α-sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=（3）2πα-sin(2)sin ,cos(2)cos πααπαα-=--=（4）πα±sin()sin ,cos()cos .πααπαα+=-+=-sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-（5）2πα±P 1P 1 (-y ,sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=- sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-=补：32πα±33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=-+=33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=--=-2k πα+、2πα-、α-、πα± 记忆规律：“函数名不变，符号看象限”.即它们的正、余弦函数值等于α的同名三角函数值，加上把α看成为锐角时，对应的三角函数值的符号.如把α看成锐角时，2πα-终边在第四象限，其余弦值为正，函数名称不变，所以cos(2)cos παα-=;2πα±，32πα± 记忆规律：“函数名改变，符号看象限”.即它们的正、余弦函数值等于α的“余”名三角函数值，加上把α看成为锐角时，对应的三角函数值的符号.“余”名：“正则余，余则正”.如把α看成锐角时，2πα+终边在第二象限，其余弦值为负，函数名称改变，所以cos()sin 2παα+=-.7、诱导公式的作用（1）可把任意角的三角函数值转化为0~2π的三角函数值求出.一般地：负角化正角（α-），再化成为0~2π（2k πα+），再化成为0~2π求出.第二象限用πα-，第三象限用πα+，第四象限用2.πα-（2）化简 （3）求值1.求下列函数值（1） sin(－47π) （2）sin(316π-)； （3）sin(－1650︒)；解： (1) sin(－47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4π＝22（2）313177cos()cos cos(4)cos cos()cos 666666ππππππππ-==+==+=-= （3）sin(－1650︒)＝－sin1650︒＝－sin(4×360︒＋210︒)＝－sin210︒＝－sin(180︒＋30︒)＝sin 30︒＝21例2．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin 解：原式=1五、小结1、对学生的活动做出评价；2、利用单位圆研究正、余弦函数的定义、周期性、诱导公式；3、会用诱导公式求值、化简等.六、作业1-4 A组 B组P20。