2012年第三届丘成桐大学生数学竞赛试题

中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''. 4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

贵阳市观山湖区2024年九年级质量监测语文学科同学你好！答题前请认真阅读以下内容：1．全卷共8页，共24道小题，满分150分。

答题时间150分钟。

考试形式为闭卷。

2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效。

一、书写水平（5分）1．请规范、端正、整洁地使用楷体字答题，此题根据作文的书写水平计分。

（5分）二、基础积累（共4道小题，20分）走进观山湖公园民族大联欢广场，只见一个个造型独特、惟妙惟肖的艺术灯组立在其中。

2024年观山湖区的灯会场地十分kuān chang①，共有3大灯区，六大组团，近100组灯彩艺术。

其中既有来自当代艺术家融合山海经、贵州山地文化、民族文化而创作的“山海过大年”组团，又有画龙点jīng②般添加国风元素的“国风过大年”组团，满足全年龄段不同人群骇人听闻的观赏需求。

除灯会庙市民俗体验活动外，贵阳贵安文旅部门还将组织“贵阳路边音乐会”“文旅+”贵阳冬季新玩法活动，“烟火味”“文化味”“人情味”相互调和，为游客和市民朋友提供井然的zhì③序、舒心的体验、暖心的服务，让大家乐享新春，处处洋溢着喜庆的气息。

1. 根据上面文段的语境和拼音，请用楷体字写出横线处的汉字。

2. 上面文段中加点词语使用不恰当的一项是（）A. 惟妙惟肖B. 骇人听闻C. 调和D. 洋溢3. 根据所给信息默写相应内容。

①_____，白露为霜。

《诗经·蒹葭》②学而时习之，______。

《〈论语〉十二章》③_____，沉鳞竞跃。

陶弘景《答谢中书书》④欲为圣明除弊事，______。

韩愈《左迁至蓝关示侄孙湘》⑤拣尽寒枝_____，寂寞沙洲冷。

苏轼《卜算子·黄州定慧院寓居作》⑥我们大家要学习他______之心的精神。

毛泽东《纪念白求恩》⑦《雁门太守行》中从声、色两方面渲染悲壮气氛的句子是：______，______。

⑧《岳阳楼记》中抒发作者政治抱负的句子是：______，_______。

丘成桐女子中学生数学竞赛题目
1.在坐标平面上，点A(3,2)、B(7,6)、C(5,8)分别为三角形ABC 的顶点。

求三角形ABC的周长和面积。

2. 已知正整数x和y满足x+y=13，试求x和y的所有可能取值。

3. 已知函数f(x)=x-3x+2x+1，求f(x)的最小值和最大值。

4. 已知在一个几何级数中，第1项为1，公比为3/4，第n项为an。

若∑(n=1 to ∞)an=16/3，则求n的值。

5. 在一次函数y=kx+b的图像上，已知点A(3,2)和点B(5,6)。

求k和b的值，并画出该函数的图像。

6. 已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}。

求A与B 的并集、交集和差集。

7. 已知函数f(x)=2x+1，函数g(x)=x-3x+2，求f(g(x))和
g(f(x))。

8. 在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)和点Q(9,6)。

求过点P 和点Q的直线的斜率，以及该直线与y轴的交点坐标。

9. 已知实数a、b、c满足a+b+c=0，且a+b+c=6。

求a+b+c的值。

10. 已知正整数n满足n+10n+24为完全平方数。

试求n的值。

以上是丘成桐女子中学生数学竞赛的部分题目，希望参赛者能够认真思考并取得好成绩。

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S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2010Analysis and Differential EquationsTeam(Please select 5problems to solve)1.a)Let f (z )be holomorphic in D :|z |<1and |f (z )|≤1(z ∈D ).Prove that|f (0)|−|z |1+|f (0)||z |≤|f (z )|≤|f (0)|+|z |1−|f (0)||z |.(z ∈D )b)For any finite complex value a ,prove that 12π 2π0log |a −e iθ|dθ=max {log |a |,0}.2.Let f ∈C 1(R ),f (x +1)=f (x ),for all x ,then we have ||f ||∞≤ 10|f (t )|dt + 10|f (t )|dt.3.Consider the equation¨x +(1+f (t ))x =0.We assume that ∞|f (t )|dt <∞.Study the Lyapunov stability of the solution (x,˙x )=(0,0).4.Suppose f :[a,b ]→R be a L 1-integrable function.Extend f to be 0outside the interval [a,b ].Letφ(x )=12h x +h x −hf Show thatb a |φ|≤ b a |f |.5.Suppose f ∈L 1[0,2π],ˆf (n )=12π 2π0f (x )e −inx dx ,prove that 1)∞ |n |=0|ˆf(n )|2<∞implies f ∈L 2[0,2π],2)n |n ˆf (n )|<∞implies that f =f 0,a.e.,f 0∈C 1[0,2π],where C 1[0,2π]is the space of functions f over [0,1]such that both f and its derivative f are continuous functions.126.SupposeΩ⊂R3to be a simply connected domain andΩ1⊂Ωwith boundaryΓ.Let u be a harmonic function inΩand M0=(x0,y0,z0)∈Ω1.Calculate the integral:II=−Γu∂∂n(1r)−1r∂u∂ndS,where 1r=1(x−x0)2+(y−x0)2+(z−x0)2and∂∂ndenotes theout normal derivative with respect to boundaryΓof the domainΩ1.(Hint:use the formula∂v∂n dS=∂v∂xdy∧dz+∂v∂ydz∧dx+∂v∂zdx∧dy.)S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2010Applied Math.,Computational Math.,Probability and StatisticsTeam(Please select 5problems to solve)1.Let X 1,···,X n be independent and identically distributed random variables with continuous distribution functions F (x 1),···,F (x n ),re-spectively.Let Y 1<···<Y n be the order statistics of X 1,···,X n .Prove that Z j =F (Y j )has the beta (j,n −j +1)distribution (j =1,···,n ).2.Let X 1,···,X n be i.i.d.random variable with a continuous density f at point 0.LetY n,i =34b n (1−X 2i /b 2n )I (|X i |≤b n ).Show that n i =1(Y n,i −EY n,i )(b n n i =1Y n,i )1/2L −→N (0,3/5),provided b n →0and nb n →∞.3.Let X 1,···,X n be independently and indentically distributed ran-dom variables with X i ∼N (θ,1).Suppose that it is known that |θ|≤τ,where τis given.Showmin a 1,···,a n +1sup |θ|≤τE (n i =1a i X i +a n +1−θ)2=τ2n −1τ2+n −1.Hint:Carefully use the sufficiency principle.4.The rules for “1and 1”foul shooting in basketball are as follows.The shooter gets to try to make a basket from the foul line.If he succeeds,he gets another try.More precisely,he make 0baskets by missing the first time,1basket by making the first shot and xsmissing the second one,or 2baskets by making both shots.Let n be a fixed integer,and suppose a player gets n tries at “1and 1”shooting.Let N 0,N 1,and N 2be the random variables recording the number of times he makes 0,1,or 2baskets,respectively.Note that N 0+N 1+N 2=n .Suppose that shots are independent Bernoulli trails with probability p for making a basket.(a)Write down the likelihood for (N 0,N 1,N 2).12(b)Show that the maximum likelihood estimator of p is ˆp =N 1+2N 2N 0+2N 1+2N 2.(c)Is ˆp an unbiased estimator for p ?Prove or disprove.(Hint:E ˆp is a polynomial in p ,whose order is higher than 1for p ∈(0,1).)(d)Find the asymptotic distribution of ˆp as n tends to ∞.5.When considering finite difference schemes approximating partial differential equations (PDEs),for example,the scheme(1)u n +1j =u n j −λ(u n j −u n j −1)where λ=∆t ∆x ,approximating the PDE (2)u t +u x =0,we are often interested in stability,namely(3)||u n ||≤C ||u 0||,n ∆t ≤T for a constant C =C (T )independent of the time step ∆t and the spa-tial mesh size ∆x .Here ||·||is a given norm,for example the L 2norm orthe L ∞norm,of the numerical solution vector u n =(u n 1,u n 2,···,u n N ).The mesh points are x j =j ∆x ,t n =n ∆t ,and the numerical solutionu n j approximates the exact solution u (x j ,t n )of the PDE (2)with aperiodic boundary condition.(i)Prove that the scheme (1)is stable in the sense of (3)for boththe L 2norm and the L ∞norm under the time step restriction λ≤1.(ii)Since the numerical solution u n is in a finite dimensional space,Student A argues that the stability (3),once proved for a spe-cific norm ||·||a ,would also automatically hold for any other norm ||·||b .His argument is based on the equivalency of all norms in a finite dimensional space,namely for any two norms ||·||a and ||·||b on a finite dimensional space W ,there exists a constant δ>0such thatδ||u ||b ≤||u ||a ≤1δ||u ||b .Do you agree with his argument?If yes,please give a detailed proof of the following theorem:If a scheme is stable,namely (3)holds for one particular norm (e.g.the L 2norm),then it is also stable for any other norm.If not,please explain the mistake made by Student A.6.We have the following 3PDEs(4)u t +Au x =0,(5)u t +Bu x =0,3 (6)u t+Cu x=0,C=A+B.Here u is a vector of size m and A and B are m×m real matrices. We assume m≥2and both A and B are diagonalizable with only real eigenvalues.We also assume periodic initial condition for these PDEs.(i)Prove that(4)and(5)are both well-posed in the L2-norm.Recall that a PDE is well-posed if its solution satisfies||u(·,t)||≤C(T)||u(·,0)||,0≤t≤Tfor a constant C(T)which depends only on T.(ii)Is(6)guaranteed to be well-posed as well?If yes,give a proof;if not,give a counter example.(iii)Suppose we have afinite difference schemeu n+1=A h u nfor approximating(4)and another schemeu n+1=B h u nfor approximating(5).Suppose both schemes are stable in theL2-norm,namely(3)holds for both schemes.If we now formthe splitting schemeu n+1=B h A h u nwhich is a consistent scheme for solving(6),is this scheme guar-anteed to be L2stable as well?If yes,give a proof;if not,givea counter example.S.-T.Yau College Student Mathematics Contests2010Geometry and TopologyTeam(Please select5problems to solve)1.Let S n⊂R n+1be the unit sphere,and R n⊂R n+1the equator n-plane through the center of S n.Let N be the north pole of S n.Define a mappingπ:S n\{N}→R n called the stereographic projection that takes A∈S n\{N}into the intersection A ∈R n of the equator n-plane R n with the line which passes through A and N.Prove that the stereographic projection is a conformal change,and derive the standard metric of S n by the stereographic projection.2.Let M be a(connected)Riemannian manifold of dimension2.Let f be a smooth non-constant function on M such that f is bounded from above and∆f≥0everywhere on M.Show that there does not exist any point p∈M such that f(p)=sup{f(x):x∈M}.3.Let M be a compact smooth manifold of dimension d.Prove that there exists some n∈Z+such that M can be regularly embedded in the Euclidean space R n.4.Show that any C∞function f on a compact smooth manifold M (without boundary)must have at least two critical points.When M is the2-torus,show that f must have more than two critical points.5.Construct a space X with H0(X)=Z,H1(X)=Z2×Z3,H2(X)= Z,and all other homology groups of X vanishing.6.(a).Define the degree deg f of a C∞map f:S2−→S2and prove that deg f as you present it is well-defined and independent of any choices you need to make in your definition.(b).Prove in detail that for each integer k(possibly negative),there is a C∞map f:S2−→S2of degree k.1S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2010Algebra,Number Theory andCombinatoricsTeam(Please select 5problems to solve)1.For a real number r ,let [r ]denote the maximal integer less or equal than r .Let a and b be two positive irrational numbers such that 1a +1b = 1.Show that the two sequences of integers [ax ],[bx ]for x =1,2,3,···contain all natural numbers without repetition.2.Let n ≥2be an integer and consider the Fermat equationX n +Y n =Z n ,X,Y,Z ∈C [t ].Find all nontrivial solution (X,Y,Z )of the above equation in the sense that X,Y,Z have no common zero and are not all constant.3.Let p ≥7be an odd prime number.(a)Evaluate the rational number cos(π/7)·cos(2π/7)·cos(3π/7).(b)Show that (p −1)/2n =1cos(nπ/p )is a rational number and deter-mine its value.4.For a positive integer a ,consider the polynomialf a =x 6+3ax 4+3x 3+3ax 2+1.Show that it is irreducible.Let F be the splitting field of f a .Show that its Galois group is solvable.5.Prove that a group of order 150is not simple.6.Let V ∼=C 2be the standard representation of SL 2(C ).(a)Show that the n -th symmetric power V n =Sym n V is irre-ducible.(b)Which V n appear in the decomposition of the tensor productV 2⊗V 3into irreducible representations?1。

（试题共 4 套 数学类、工科类、经管类、文专类前面是试题后面是答案）2012 浙江省高等数学（微积分）竞赛试题工科类一计算题：（每小题 1４分，满分７ 0 分）ab1．求极限 lim lo g x ( x x ) 。

名姓x2．设函数 线达式。

f : RR 可导，且x , yR ，满足f ( x y ) f ( x ) yx y ，求 f ( x ) 的表n3．计算 x sin x d x （ n 为正整数）。

4．计算xy m in x , 2 y d x d y ， D为 y2x 与 yx 2 围成的平面有界闭区域。

Dx 35．求曲线 a co s， (0) 的形心，其中 a0 为常数。

号y3a sin证考 二、（满分 20 分）准订证明：1nln nni 111ln n ， n 。

i三、（满分 20 分）设 u : R2R 所有二阶偏导连续，证明u 可表示为 u ( x , y )f ( x )g ( y ) 的充分必要条件为业 2u u u 。

u专x y xy装四、（满分 20）在草地中间有一个底面半径为 3 米的圆柱形的房子。

外墙脚拴一只山羊， 已知拴山羊的绳子长为 米，外墙底面半径为 3 米，求山羊能吃到草的草地面积。

五、（满分 20 分）校 学nn证明k 1k1( 1)C nk1kk 11 。

k2012 浙江省高等数学（微积分）竞赛试题经管类一、计算题（每小题 14 分，满分 70 分）1 求极限 limlo g x ( xab) 。

xx名姓 2．设 f ( x )a xb x （ ( n )e sin a , b R 为常数），求 f( 0 ) 。

线n3．计算4．求积分5．设函数x sin x d x （ n 为正整数）。

21x24d x1xx1 2a 0 ，常数 a0 ，试求最小的常数a ，使得 f ( x ) 6 。

f ( x )x， x2x号 二、（满分 20 分）证考准证明：1n订ln n1 1 ln n ，nni 1i三、（满分 20 分）求1 2 n C 2n n 的值。

丘成桐大学生数学竞赛试题答案pdf
丘成桐大学生数学竞赛是一项面向全球大学生的数学竞赛，旨在培养
和选拔数学人才。

试题通常涵盖多个数学领域，如代数、几何、分析、概率论等。

由于竞赛的试题和答案属于版权保护内容，我无法提供具
体的试题答案PDF文件。

但是，我可以提供一些关于如何准备丘成桐
大学生数学竞赛的建议：
1. 基础知识：确保你对数学的基础知识有扎实的掌握，包括但不限于
微积分、线性代数、概率论等。

2. 解题技巧：熟悉各种数学问题的解题方法和技巧，包括证明题和计
算题。

3. 历年试题：研究历年的丘成桐大学生数学竞赛试题，了解题型和难度，这有助于你更好地准备。

4. 模拟练习：定期进行模拟练习，以提高解题速度和准确率。

5. 专业书籍和资料：阅读一些高级数学书籍和资料，以拓宽你的数学
视野。

6. 参加研讨会和讲座：参加数学研讨会和讲座，与其他数学爱好者交流，获取新的知识和灵感。

7. 教师指导：如果可能的话，寻求数学教师或导师的指导，他们可以
提供专业的建议和帮助。

8. 时间管理：在准备过程中，学会合理分配时间，确保各个部分都得
到充分的复习。

9. 保持好奇心和热情：对数学保持好奇心和热情，这将帮助你在竞赛中取得更好的成绩。

10. 健康的生活方式：保持良好的生活习惯，包括充足的睡眠、健康的饮食和适量的运动，这些都有助于保持清晰的思维。

请注意，以上建议仅供参考，具体的准备方法应根据个人情况和需求进行调整。

如果你需要获取丘成桐大学生数学竞赛的试题和答案，建议通过官方渠道或授权的教育机构获取。

趣味数学知识竞赛复习题一、填空题1、（苏步青）是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。

2、（华罗庚）是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。

3、编有《三角学》，被称为“李蕃三角”且自称为“三书子”的是（李锐夫）。

4、世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人是（陈景润）。

5、（姜立夫）是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人”，这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。

6. 设有n个实数,满足|xi|<1(I=1,2,3,…,n), |x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn| ,则n的最小值207. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90°___8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不相同,来了2010们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024______把钥匙.9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104 _____.10. 若实数x满足x4+36<13x2,则f(x)=x3-3x的最大值为______18_____11 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。

这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。

" 厨师买了＿18只鸡蛋?12.已知f(x)∈[0,1],则y=f(x)+1的取值范围为___[7/9,7/8]____13. 已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为____（2√3－1）_____14．已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为______ 1949 ___.15. 用E(n)表示可使5k是乘积112233…nn的约数为最大的整数k,则E(150)=__2975_________16. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_2500________种不同的取法．17. 从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保留,划完后剩下的数依次构成一个新的序列:A1=1,A2=2,A3=5,A4=7,…,则A2003的值为____3338_____.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n的最小值是＿ 419. 已知x0=2003,xn=xn-1+ (n>1,n∈N),则x2003的整数部分为_______2003___21. 已知ak≥0,k=1,2,…,2003,且a1+a2+…+a2003=1,则S=max{a1+a2+a3,a2+a3+a4,…, a2001+a2002+a2003}的最小值为________3/2007 _.22. 对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n(n≠1)的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是____. (√3-3/2)a ___24.已知a,b,c都不为0,并且有sinx=asin(y-z),siny=bsin(z-x),sinz=csin(x-y).则有ab+bc+ca=__-1 _____.二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是（1、C ）。