锐角三角函数单元测试 (优质)

锐角三角函数单元测试卷一、精心选一选，慧眼识金1. 在ABC ∆，90C ∠=︒，1sin 2A =，则cos B 等于（ ） A ．12 B ．22 C ．32D ．1 2. 在Rt △ABC 中 ，90C ∠=︒，4sin 5A =，则tan B 的值是（ ） A ．34 B ．35 C ．43 D ．533. ABC ∆中，90C ∠=︒，且3c b =，则cos A 等于（ ）A ．23B ．223C ．13D ．1034. 等腰三角形的边长为6，8，则底角的余弦是（ ） A ．23 B ．38 C ．43 D ．23和385. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图1所示三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A ．450元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元6.如图2，一个钢球沿坡角31的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）米.Ａ．5cos31 Ｂ．5sin31 Ｃ．5tan 31 Ｄ．05tan 31 7. 若()23tan 32sin 30A B -+-=，则以∠A 、∠B 为内角的ABC ∆一定是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形8. ．如图3，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =， 32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）. Ａ．2 Ｂ．22 Ｃ．63 Ｄ．339. 如图4，有两条宽度为1的带子，相交成α角，那么重叠部分（阴影）的面积是（ ）.A ．1B ．1sin αC ．21sin αD ．1cos α10. 如图5，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ）.Ａ．82米 Ｂ．163米 Ｃ．52米 Ｄ．70米 A B C 20米150°30米图1二、耐心填一填，一锤定音1. 在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝22，则BC ＝ 2. ．在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则sin A =3. 离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α， 如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高 为米（用含α的三角函数表示）。

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。

九年级下册《锐角三角函数》单元测试一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、45cos 45sin +的值等于（ ）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 157．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于12C ．大于32D ．小于328．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为 ．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8， （2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°； （2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

第二十八章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．sin 30°的值为()A.32 B.22 C.12 D.332．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin B的值是()A.512 B.125 C.1213 D.5133．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为()A.35 B.34 C.105D．14．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的长是()A．3 B．6 C．8 D．95．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin E的值为()A.12 B.22 C.32 D.336．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为()A.34 B.43 C.35 D.457．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S28．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC 的长为()A．2 3 m B．2 6 m C．(23－2)m D．(26－2)m9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为()A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°10．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 的长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( ) A.312B.36C.33D.32二、填空题(每题3分，共30分)11．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝________．12．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－|－2＋3tan45°|＋(2－1.41)0＝________.13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.14．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A＝________．15．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是________cm 2.16．如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________.(结果保留根号)17．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为________．19．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，CD＝5，则sin A等于________．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且CF FD＝13.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE.若CF＝2，AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan E＝52；④S△DEF＝45，其中正确的是________．三、解答题(21题12分，23题8分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)2(2cos 45°－sin 60°)＋24 4；(2)(－2)0－3tan 30°－|3－2|.22．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.23．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝125，求CF的长．24．如图，大海中某岛C的周围25 km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在其北偏东60°的方向上，前进20 km后到达B 处，测得C在其北偏东45°的方向上．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)25．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝13，求sin 2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°. 设∠BAC＝α，则sin α＝BCAB＝13.易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝22x.作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin 2α＝CDOC＝________.【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sin β＝35，求sin 2β的值．答案一、1.C 2.D 3.B4.B 点拨：因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA .又因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB .在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠ACB ＝10×45＝8，则AB ＝BC 2－AC 2＝6. 5．A 6.A7．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥EF ，交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中，∵sin B ＝AMAB ，∴AM ＝3×sin 50°，∴S 1＝12BC ·AM ＝12×7×3×sin 50°＝212sin 50°.在Rt △DEN 中，∠DEN ＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN ＝DN DE ，∴DN ＝7×sin 50°，∴S 2＝12EF·DN ＝12×3×7×sin 50°＝212sin 50°，∴S 1＝S 2.故选D.8．B 点拨：在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝60°，∴AD ＝4sin 60°＝23(m)．在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∴AC ＝2AD ＝2×23＝26(m)． 9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A ＝12，则∠A ＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC )＝12，则180°－∠BAC ＝30°，所以∠BAC ＝150°.10．B 点拨：如图所示，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x ＝36，故选B.二、11.60° 点拨：∵在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，sin A ＝32，cos B＝12，∴∠A ＝∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－60°＝60°.12．2＋3 点拨：原式＝3－|－2＋3|＋1＝4－2＋3＝2＋ 3. 13.43 14.1215．60 点拨：在Rt △ADE 中，sin A ＝DE AD ＝35，DE ＝6 cm ，∴AD ＝10 cm ，∴AB ＝AD ＝10 cm ，∴S 菱形ABCD ＝AB·DE ＝10×6＝60(cm 2)． 16．(73＋21)m17.2 点拨：由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD′AB ＝222＝ 2.18．y ＝23x －3 点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝3，－cos 60°＝－12，－6tan30°＝－2 3.设y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－23，则用待定系数法可求出k ＝23，b ＝－ 3.19.45 点拨：∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8，∴sin A ＝BC AB ＝810＝45. 20．①②④三、21.解：(1)原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×22－32＋62 ＝2－62＋62 ＝2.(2)原式＝1－3＋3－2 ＝－1.22．解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ， ∴a ＝c ·sin A ＝83×32＝12.b ＝c ·sin B ＝83×12＝4 3. (2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°. ∴b ＝a ＝3 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝6 3.23．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC .又∵∠AFC ＝∠DEC ，∴∠AFC ＝∠ADE ，∴DE ∥FC . ∴四边形DECF 是平行四边形． (2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13.又∵tan A＝125＝tan ∠DCH＝DHCH，∴DH＝12，CH＝5.∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝92＋122＝15.∴CF＝DE＝15.24．解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，∴∠BCD＝∠CBM＝45°.设BD＝x km，则CD＝x km.∵∠CAN＝60°，∴∠CAD＝30°.在Rt△CAD中，tan ∠CAB＝tan 30°＝CDAD＝33，∴AD＝3CD＝3x(km)．∵AB＝20 km，AB＋BD＝AD，∴20＋x＝3x，解得x＝103＋10，∴CD＝103＋10≈27.3(km)＞25 km，∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．25．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6 m．在Rt△DEF中，EFFD＝12，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt△HMN中，MN HN＝12.5，∴HN＝2.5MN＝13(m)．∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.26．解：22x3；429如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR ⊥NO于点R.在⊙O中，易知∠NMQ＝90°.∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝2∠Q＝2β.在Rt△QMN中，∵sin β＝MNNQ＝35，∴设MN＝3k，则NQ＝5k，∴MQ＝QN2－MN2＝4k，OM＝12NQ＝52k.∵S△NMQ＝12MN·MQ＝12NQ·MR，∴3k·4k＝5k·MR.∴MR＝125k.在Rt△MRO中，sin 2β＝sin ∠MOR＝MROM＝125k52k＝2425.。

锐角三角函数单元测试题一、选择题：1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A 的各个三角函数值 ( )A ．都缩小31B ．都不变C ．都扩大3倍D ．无法确定 2.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于 （ ）A ．6B ．323C ．10D ．123.在△ABC 中，锐角A ，B 满足（）2+││=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 4. 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为( ) A ．12B ．13C ．14D．4第4题图 第5题图 第6题图5.如图，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC 的长为 （ ） A.︒526sin 米 B. ︒526tan 米 C. 6·cos52°米 D. ︒526cos 米 6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点 B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是 （ ）A ．247BC ．724D ．137．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 （ ） A.αsin 1 B.αcos 1 C.αsin D.1 8. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于( )AC┐ 68CEABDB A DEFE DBAA.43B.34C.53D.54第7题图第8题图第9题图9.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC的面积为( )A．B．15 C．D．10. 如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：11. ABC△中，90C∠=°，2B A∠=∠，则cos A=12.化简2)130(tan-＝13. 已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α=14．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是15.如图，王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地_________．第14题图第15题图第16题图16．如图，菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=14BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE=_________．17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=ABC的周长等于.C1(第18题)BA M O18. 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于_________．19. 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC 的长是________米．(精确到0.1米)三、解答题 20. (1)计算：20113015(1)()(cos68)38sin 602π---+++(2)已知α是锐角，且,114cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭的值。

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）tan30°的值等于（）A．√3B．√33C．√22D．12．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，⊙APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3B．4C．2√3D．2√23．（3分）已知Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝50°，AB＝2，则AC＝（）A．2sin50°B．2sin40°C．2tan50°D．2tan40°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，tanA=34.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．25．（3分）如图，在扇形AOB中，⊙AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC⌢交AB⌢于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．23π−√3B．√3−13πC．13πD．√3+13π6．（3分）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40√2海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．(40+40√2)海里D．(40+40√3)海里7．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin⊙ABC的值（）A．√22B．1C．√33D．√28．（3分）在⊙ABC中，(2cosA－√2)2＋| √3－tanB|＝0，则⊙ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形9．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin⊙OBD=（）A．12B．34C．45D．3510．（10分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，⊙BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD=3：4B．当⊙BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当⊙ABE⊙⊙QBP时，t=7秒D．当⊙BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）cos245∘−tan30∘⋅sin60∘=．12．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．13．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm.14．（3分）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，CD是高，如果⊙A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）15．（3分）如图，Rt⊙AOB中，⊙OAB＝90°，⊙OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝−4x图象上，若Rt⊙AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为.三、解答题(共8题；共78分)16．（8分）先化简，再求代数式(aa2−1−1a+1)⋅(a−1)的值，其中a=tan60°−2sin30°．17．（9分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）18．（9分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 √2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）19．（9分）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）20．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，√3≈1.732，√2≈1.414）21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊙AB于E，设⊙ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得⊙EFD＝k⊙AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan⊙DCF的值．22．（11分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）（5分）求楼间距AB；（2）（6分）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）（4分）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）（4分）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求⊙ACD的正切值；（3）（4分）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当⊙OCD＝⊙CAP时，求点P的坐标.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：tan30°=√33． 故答案为：B【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

锐角三角函数单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1．计算2sin45°的结果等于（ ）A ．2B ．1C ．22D ．212．在正方形网格中，A B C △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12 B．2 C．2D．33.在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ）A ．1010 B ．32 C ．43 D ．101034．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ）A ．53 B.54 C. 43 D.555．小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ）A ．5200mB ．500mC ．3500mD ．1000m 6．在90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值（ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变7．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ．B ．10米C ．15米D ．8.如图，O ⊙是A B C △的外接圆，A D 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2A C =，第2题图第7题图第8题图则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．439.如图，在R t ABC △中，C D 是斜边A B 上的中线，已知2C D =，3A C =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4310．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）A. m ·sin α米B. m ·tan α米C.m ·cos α米D.αtan m 米二、填空题（每小题3分，共30分）11、= 30sin _____ = 60cos _____ =45tan ______12．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 13.在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是_____cm ．14、已知在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=6，32tan =A ，则BC=_____15、△ABC 中，∠C=90°，AB =6，31cos =B ，则BC = _______16．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．17．△ABC 三边长比为5∶12∶13，则较大锐角的余弦值为______. 18.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上 有一点P （3，4），则sin α=_______．19、如图，测量河宽AB （河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测 得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为__________m （结果保留根号）. 20、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，•地毯的长度至少需________米（结果保留根号）第9题图A B C m α第10题图三、解答题21、（12分）计算（1）2sin30°＋3cos60°－4tan45°；（2）sin 2600+tan 2600；(3)045tan 260tan 160sin --22．（8分）某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示， 已知m BC AC 8==，︒=∠30A ,ABCD ⊥于点D ．(1) 求ACB ∠的大小； (2) 求AB 的长度．23．（10分）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．24．（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼第18题图第19题第20题第22题图北 北第23题图前进40m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB ．25．（10分） 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：5337sin 0≈，4337tan 0≈，10748sin 0≈，101148tan 0≈）26．（10分）由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尘暴侵袭。

锐角三角函数单元检测时间：100分钟班级： 姓名： 分数：一、单选题1．已知△ABC 中， ∠C =90°，tan A =12，D 是 AC 上一点， ∠CBD =∠A ， 则 cos∠CDB 的值为（ ）A ．12B C D ．22．如图，正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，且3CD DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE △．延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：∠ABG AFG △△≌；∠45GAE ∠=︒；∠BG GC =；∠AG CF ∥；∠GCF 是等边三角形，其中正确结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，将边长6cm 的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）A ．（3cm B ．（3﹣cm C ．（6cm D ．（6﹣cm4．三角函数sin40cos16tan50︒︒︒、、之间的大小关系是（ ） A ．tan50cos16sin40︒>︒>︒ B ．cos16sin40tan50︒>︒>︒ C ．cos16tan50sin40︒>︒>︒D ．tan50sin40cos16︒>︒>︒5．如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 都在格点上，则sin A 的值为（ ）A B ．35C ．45D 6．如图，已知窗户高AB m =米，窗户外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD n =米，当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m n ，的关系式是（ ）A ．n =m tan α-0.2B ．n =m tan α+0.2C ．m =n tan α-0.2D ．m =n tan α+0.27．如图，已知楼高AB 为50m ，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD 为50m ，塔高DC ，下列结论中，正确的是（ ）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°8．先化简，再求代数式的值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭＝（ ），其中tan602sin30a =︒-︒．ABCD 9．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈，sin580.85︒≈，tan58 1.60︒≈）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m10．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1AB 的高度为( )（精确到0.1）A ．30.4B ．36.4C ．39.4D ．45.411．如图所示一座楼梯的示意图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA =6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）A ．24sin θ米2 B ．24cos θ米2 C ．2424tan θ⎛⎫+⎪⎝⎭米2D ．()2424tan θ+米212．如图，在长方形ABCD 中，5AB =，3AD =，点E 在AB 上，点F 在BC 上．若2AE =，1CF =，则()sin 12∠+∠=（ ）A ．12B C D 13．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）A B C ．13D ．1214．式子2cos30tan 45︒-︒ ）A ．0B ．C ．2D ．2-15．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（ ）A ．12B C ．35D 16．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，B ，则cos BOD ∠的值等于（ ）A ．14B ．13C D 17．如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则cos BAC ∠的值是（ ）A B C D ．4518．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（ ）A ．B ．3CD ．219．在直角三角形ABC 中，90,4,C AB BC =∠=︒=3tan 2A的值是（ ）AB ．C ．D ．320．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，若4CF =，3tan 4EFC ∠=，则折痕AE =（ ）A ．B ．C ．8D ．1021．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC ，点A 的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于点D ，双曲线y=kx（x ＞0）经过点D ，交BC 的延长线于点E ，且OB •AC =160，有下列四个结论：∠双曲线的解析式为y =40x （x ＞0）；∠点E 的坐标是（4，8）；∠sin∠COA =45；∠AC +OB 其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF ∠的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．81523．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米24．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 25．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos∠APC 的值为（ ）A B C ．25D 26．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ， FG AD ∥ 交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长是（ ）A ．3B ．83C D ．52第II 卷（非选择题）二、解答题27．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB ，且90BHE ∠=︒，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断()A C D --倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面().AB AC CD =+已知山坡的坡角30AEF ∠=︒，量得树干倾斜角45BAC ∠=︒，大树被折断部分CD 和坡面所成的角60ADC ∠=︒，4AD =米．(1)求CAD ∠的度数；(2)求这棵大树折断前AB 的高度.(结果保留根号)28．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB 进行实地测量．如图所示，他在地面上点C 处测得隧道一端点A 在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D ，此时测得点A 在他的东北方向上，端点B 在他的北偏西60︒方向上，（点A 、B 、C 、D 在同一平面内）(1)求点D 与点A 的距离；(2)求隧道AB 的长度．（结果保留根号） 29．（1）已知：对于锐角α满足sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+，求tan15°的值；（2）如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 到D ，使AD =AB ，连接BD ，请利用这个图形求tan15°的值．30．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图∠是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图∠是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ．(1)求坐垫E 到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E '，求E E '的长．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 31．计算：1202203(1)|2cos308|(3)π--︒--- 32．在遵义市科技馆楼前，在A 点观测楼顶K 的仰角为30°，然后将观测点沿石梯向楼的水平方向移动了28m ，上升4m ，到达最上一层平台，用高为1.4m 的测角仪，在C 点观测楼顶K 的仰角为45°．(1)求：A ，C 间的距离；（结果保留根号）(2)求：科技馆的楼高KF 的值．1.7）33．计算：212)4cos30|32-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．34．如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB ，BC ，CA 跑步（小路的宽度不计），观测得点B 在点A 的南偏东30°方向上，点C 在点A 的南偏东60°的方向上，点B 在点C 的北偏西75°方向上，AC 间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1 1.4≈ 1.7≈）35．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B ，C ，D 处可转动，支撑架AB ＝BC ＝CD ＝28cm ，面板DE ＝28cm ，若DE 始终与AB 平行．(1)直接写出∠ABC ，∠BCD ，∠CDE 之间的数量关系；(2)若ABC BCD CDE ∠=∠=∠，电脑显示屏宽EF ＝26cm ．且105DEF ∠=︒，求笔记本电脑显示屏的端点F 到AB 的距离．（结果精确到0.1cm ．参考数据sin750.97︒≈，cos750.26︒≈ 1.73≈）36．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB ＝50cm ，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒∠A ，∠A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ．设AF ∥MN ．(1)求∠A 的半径长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，∠CAF ＝60°．求此时拉杆BC 的伸长距离．37．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离； (2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 2.24≈）38．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响． （1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈910）39．如图，港口B 位于港口A 的南偏西45︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向港口B 的南偏东45︒方向的D 处，它沿正北方向航行21km 到达E 处，此时测得灯塔C 在E 的南偏西70︒方向上，E 处距离港口A 有多远？（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）40．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A 处时，船上游客发现岸上P 1处的临皋亭和P 2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 1处与遗爱亭P 2处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）41．如图，线段EF 与MN 表示某一段河的两岸，EF 平行MN ．综合实践课上，同学们需要在河岸MN 上测量这段河的宽度（EF 与MN 之间的距离），已知河对岸EF 上有建筑物C 、D ，且CD ＝30米，同学们首先在河岸MN 上选取点A 处，用测角仪测得C 建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B 处，测得D 建筑物位于B 北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）42．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE 表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED 落在AE D ''的位置．若90EAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，150AED ∠=︒，AE ＝80厘米，ED ＝40厘米，DC ＝25厘米，且后备厢底部BC 离地面的高CN ＝25厘米．(1)求点D 到地面MN 的距离（结果保留根号）；(2)求箱盖打开60°时的宽D ，D 1.73≈ 2.91116.3，结果取整数）．43．如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ∠AB ，BG ∠AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．44．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC ＝OD ＝10分米，展开角∠COD ＝60°，晾衣臂OA ＝OB ＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE ＝6分米，且HO ＝FO ＝4分米．（参考数据：）(1)当90AOC ∠=︒时，求点A 离地面的距离AM 约为多少分米；（结果精确到0.1）(2)当OB 从水平状态旋转到OB '（在CO 延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB '上的点E '处，求B E BE ''-为多少分米．45．海绵拖把一般由长杆、U 型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A 、B 是拖把上的两个固定点，拉杆AP 一端固定在点A ，点P 与点B 重合（如图1），拉动点P 可使拉杆绕着点A 转动，此时点C 沿着AB 所在直线上下移动（如图2）．已知AB ＝10cm ，连杆PC 为40cm ，FG ＝4cm ，MN ＝8cm ．当P 点转动到射线BA 上时（如图3），FG 落在MN 上，此时点D 与点E 重合，点I 与点H 重合．(1)求ME 的长；(2)转动AP ，当∠P AC ＝53°时，∠求点C 的上升高度；∠求点D 与点I 之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈45，cos53°≈35≈2.45） 参考答案：1．B【分析】由已知条件CBD A ∠=∠，可得1tan tan 2CBD A ∠==，设CD a =，由题意可得1tan 2CD CBD BC ∠==，即可算出2BC a =，在t ΔR CBD 中，根据勾股定理可得BD 答案．【详解】解：CBD A ，1tan tan 2CBD A ∴∠==， 设CD a =，1tan 2CD CBD BC ∴∠==， 2BC a ∴=， 在Rt ΔCBD 中，BD ，cosCD CDB BD ∴∠===． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．2．C【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明===∠∠∠∠AGB AGF GFC GCF ，由平行线的判定可得AG CF ∥；由于BG CG =，得到tan 2AGB ∠=，求得60AGB ∠≠︒，根据平行线的性质得到60FCG AGB ∠=∠≠︒，求得GCF 不是等边三角形．【详解】解：由翻折变换可知，AD AF =，DAE FAE ∠=∠，DE FE =，D AFE ∠=∠，∠18090AFG AFE B ∠=︒-∠=︒=∠，在Rt ABG 和Rt AFG 中，AF AB AG AG =⎧⎨=⎩， ∠()≌Rt ABG Rt AFG HL ，因此∠正确；∠BAG FAG ∠=∠，又∠90BAG FAG DAE FAE ∠+∠+∠+∠=︒， ∠190452GAE FAG FAE ∠=∠+=︒∠⨯=︒，因此∠正确； 由翻折变换可知，DE EF =，由全等三角形可知BG GF =，设正方形的边长为a ，BG x =，13DE EF a ==，则CG a x =-，13GE x a =+，1233EC a a a =-=， 在Rt ECG 中，由勾股定理得，222EC GC EG +=， 即()22221=33a a x x a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12x a =， 即1122BG a BC ==， ∠BG CG =，因此∠正确；∠BG CG FG ==，∠GCF GFC ∠=∠，由三角形全等可得，AGB AGF ∠=∠，又∠180AGB AGF FGC FGC GCF GFC ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，∠ABG FCG ∠=∠，∠AG FC ∥，因此∠正确，∠BG CG =， ∠12BG AB =， ∠tan 2AGB ∠=，∠60AGB ∠≠︒，∠AG FC ∥，∠60FCG AGB ∠=∠≠︒，∠GCF 不是等边三角形，因此∠不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，求一个角的正切值，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．3．A【分析】过M 点作ME ∠AD 于E 点，根据四边形ABCD 是正方形，有AD =CD =6，∠C =∠D =90°，由裁剪的两个梯形全等，可得AN =MC ；再证明四边形MCDE 是矩形，即有MC =ED ，ME =CD =6，进而有AN =ED ，在Rt ∠MNE 中，解直角三角形可得NE =3AN =【详解】如图，过M 点作ME ∠AD 于E 点，∠四边形ABCD 是正方形，边长为6，∠AD =CD =6，∠C =∠D =90°，∠裁剪的两个梯形全等，∠AN =MC ，∠ME ∠AD ，∠四边形MCDE 是矩形，∠MC =ED ，ME =CD =6，∠AN =ED ，根据题意有∠MNE =60°，∠在Rt ∠MNE 中，62tan tan 60ME NE MNE ===∠∠∠6AN ED AD NE +=-=-∠3AN =即梯形中较短的底为3cm ），故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，根据梯形全等得出AN =MC 是解答本题的关键．4．A【分析】首先把sin 40cos16︒︒、转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道1sin74sin 40︒︒＞＞，又根据正切值随着角度增大而增大，因此tan50tan 451︒︒=＞，即可得出正确选项．【详解】解：∠()sin cos 90αα=︒-（090α≤≤︒），∠()cos16sin 9016sin74︒=︒-︒=︒，sin901︒=∠1sin74sin 40︒︒＞＞，∠tan50tan 451︒︒=＞，∠tan50sin74sin 40︒>︒>︒，∠tan50cos16sin40︒>︒>︒，故选：A ．【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．5．C【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，利用面积法求出BD 的长，然后由sin BD A AB=即可获得答案． 【详解】解：过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，如下图，∠小正方形的边长为1，∠AB AC == ∠111333*********ABC S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∠11422ABC S AC BD BD =⋅==，∠BD =∠4sin5BD A AB ===． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形、勾股定理的应用等知识，解题关键是正确作出直角三角形并熟记正弦函数的定义．6．C【分析】根据CB =CA +AB 求出CB 的长，再利用三角函数求出m 的值即可．【详解】解：∠窗子高AB =m 米，窗子外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD =n 米，∠CB =CA +AB =（m +0.2）米，∠光线与水平线成α角，∠∠BDC =α，∠tan∠BDC =CB CD， ∠CB =n •tan α，∠m =n tan α-0.2，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．7．C【分析】求CE ，进而求得∠CAE 的正切值即可求得∠CAE 的度数；同理可求得∠EAD 的正切值，得到∠EAD 的度数．【详解】解：过点A 作水平线AE ，则∠EAD 为楼顶望塔基俯角，∠CAE 为由楼顶望塔顶仰角．∠AB ＝50m∠DE ＝50m∠CE ＝CD 50(m)∠tan∠CAE ＝CE ：AE ＝CE ：BD ∠∠CAE ＝30°．故C 正确，D 错误；∠tan∠EAD ＝DE ：AE ＝50：BD ＝1，∠∠EAD ＝45°．故A 、B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．8．A【分析】先将题目中的式子化简，再根据锐角三角函数求得a 的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭ ()()()212111a a a a a a-++-=⨯+-()()3111a a a a a -=⨯+- 31a =+， 当tan602sin30a =︒-︒1212=⨯=时，原式= 故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确它们各自的计算方法．9．C【分析】在Rt △ABD 中，解直角三角形求出58DB AB =，在Rt △ABC 中，解直角三角形可求出AB ． 【详解】解：在Rt △ABD 中，tan∠ADB ＝AB DB ， ∠5tan 58 1.68AB AB DB AB =≈=︒， 在Rt △ABC 中，tan∠ACB ＝AB CB ， ∠tan 220.45708AB AB ︒=≈+， 解得：112373AB =≈m ， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．10．C【分析】延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH =DE =15米，EG =DH ，设BH =x 米，则CH米，在Rt ∠BCH中，BC =12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH =6米，CHBG 、EG 的长度，证明∠AEG 是等腰直角三角形，得出AG =EG =（）（米），即可得出大楼AB 的高度．【详解】解：如图，延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH ＝DE ＝15米，EG ＝DH ，∠梯坎坡度i ＝1∠BH ：CH ＝1设BH ＝x 米，则CH米，）2＝122，由勾股定理得：x2+解得：x＝6，∠BH＝6米，CH＝∠BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（）（米），∠∠α＝45°，∠∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∠∠AEG是等腰直角三角形，∠AG＝EG＝（）（米），∠AB＝AG+BG＝（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．11．D【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，∠tanθ=BC，AC∠BC=AC tanθ=6tanθ（米），∠在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，∠地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．12．B【分析】连接EF，求证∠DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以1+245∠∠=，即可求解．【详解】解：连接EF，∠四边形ABCD是长方形，∠∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，∠22222=+=+=，DE AD AE3213∠AB=5，∠BE=AB-AE=3，∠CF=1，∠BF=BC-CF=2，在在Rt∠EBF中，∠22222=+=+=，EF BE BF3213∠EF=DE在Rt∠CDF中，∠22222=+=+=，DF DC CF5126∠26=13+13，即：222=+，DF DE EF∠∠DEF=90°，∠∠EDF=∠DFE=45°，∠1+2=45∠∠∠-∠=，ADC EDF∠()2∠+∠=sin12sin45=2故选B．【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出∠DEF是等腰直角三角形是解题的关键．13．B【分析】过点B作BC∠OA于点C．先利用勾股定理求出BO、AO的长，再利用∠AOB的面积求出BC的长，最后在直角∠BCO中求出∠AOB的正弦值．【详解】解：过点B作BC∠OA于点C．BO=，AO==,∠S △AOB 12=×2×2＝2， ∠12AO •BC ＝2,∠BC==sinBC AOB BO ∴∠=== 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用∠的面积求出OA 边上的高是解决本题的关键． 14．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=-11)=-11==0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 15．D【分析】根据勾股定理计算得出AB AC BC CE BE =====可得出AE BC ⊥，由勾股定理得AE =从而可得出sin ABC ∠= 【详解】解：如图，连接AE ，由勾股定理得，AB AC ∠AB AC =又BC CE BE ===∠点E 为BC 的中点，∠AE BC ⊥，∠AE ==∠sin AE ABC AB ∠== 故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理，利用勾股定理求出AE 的长度是解题的关键．16．D【分析】根据网格的特点找到格点E ，使得AE CD ∥，则BOD A ∠=∠，构造Rt AEF ，即可求解．【详解】如图，5DG CG ==，90G ∠=︒，45CDG ∴∠=︒，1AG GE ==，45AEG ∴∠=︒，∴AE CD ∥，∴BOD A ∠=∠，2,AE AF EF ===22218220,20AE EF AF +=+==， 222AE EF AF ∴+=， ∠∠AEF 是直角三角形，∠AEF =90°，cos cosAE BOD A AF ∴∠=== 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键．17．C【分析】过点C 作AB 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ，如图所示，∠每个小正方形的边长为1，∠5AC BC AB ===，设AD x =，则5BD x =-，在Rt ACD △中，222DC AC AD =-,在Rt BCD 中，222DC BC BD =-,∠2210(5)5x x --=-，解得2x =，∠cosAD BAC AC ∠== 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．18．C 【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD 可求出CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC = ∠1tan 2BC A AC ∠==∠2AC BC ==由勾股定理得,5AB ==过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=， ∠11,,23DE DE AE BE ==∠11,,23DE AE DE BE == ∠1123AE BE = ∠32BE AE =∠5,AE BE += ∠352AE AE += ∠2,AE =∠1DE =,在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ∠AD∠AD CD AC +==∠CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 19．A【分析】由勾股定理求出AB =2，再由三角函数的意义求出60,A ∠=︒进一步可得出结论．【详解】解：如图，∠90,4,C AB BC =∠=︒=∠2AC ===又tan BC A AC ∠=== ∠60A ∠=︒ ∠302A ∠=︒∠3tan3tan 3032A =︒== 故选：A【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确求得AC 的长是解题关键．20．B【分析】首先根据折叠及3tan 4EFC ∠=求得EF 的值，进一步知道DC 的长度，后根据BAF EFC ∠=∠，其正切值相同解三角形ABF 得BF 的长度，从而知道AD 的长度，后根据勾股定理求得AE 的长度．【详解】解：由题意4CF =，∠C =90°，3tan 4EC EFC FC ∠== ∠CE =3∠Rt EFC 中，∠C =90°，∠5EF =∠AEF 是ADE 折叠而来∠5ED EF ==，538DC AB ==+=∠矩形ABCD∠90C B AFE ∠=∠=∠=︒∠90BAF AFB ∠+∠=︒，90AFB EFC ∠+∠=︒∠BAF EFC ∠=∠ ∠tan∠BAF =tan∠EFC =34， 即34BF AB =， ∠364BF AB == ∠6410AD BC ==+=∠AE 故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，矩形的性质，翻折的性质，根据等量变换得到BAF EFC ∠=∠并运用其锐角三角函数相等，求线段长是解决本题的关键．21．C【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，先根据菱形的性质可得10AB OA ==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，从而可得8BF =，再在Rt ABF 中，利用勾股定理可得6AF =，从而可得点B 的坐标，然后根据中点的坐标公式可得点D 的坐标，最后利用待定系数法可得双曲线的解析式，由此可判断∠；根据点E 的纵坐标为8，代入反比例函数即可判断∠；先根据平行线的性质可得COA BAF ∠=∠，再根据正弦的定义即可判断∠；先在Rt OBF △中，利用勾股定理可得OB =160OB AC ⋅=可得AC =AC OB +的值，由此即可判断∠．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，点A 的坐标为(10,0)，10OA ∴=，四边形OABC 是菱形，且160OB AC ⋅=，10AB OA ∴==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，AD CD =， 解得8BF =，在Rt ABF 中，6AF ==，16OF OA AF ∴=+=，(16,8)B ∴，又OD BD =，即点D 是OB 的中点，01608(,)22D ++∴，即(8,4)D ， 将点(8,4)D 代入反比例函数k y x =得：8432k =⨯=， 则该双曲线解析式为32y x=，结论∠错误； 四边形OABC 是菱形，BC OA ∴，OC AB ∥，∴点E 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，即为8，当8y =时，3248x ==， 则点E 的坐标是(4,8)，结论∠正确；OC AB ，COA BAF ∴∠=∠，84sin sin 105BF COA BAF AB ∴∠=∠===，结论∠正确；在Rt OBF △中，OB =160OB AC ⋅=，160AC OB∴==，AC OB ∴+==，结论∠正确；综上，正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、反比例函数、正弦等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 22．C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ∆∆≌，得出AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，∠CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ∠=∠=︒，根据折叠可知，3BE BC ==，5DE DE ==，90∠=∠=︒E C ，∠在∠AFD 和∠EFB 中903A E AFD EFB AD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩，∠AFD EFB ∆∆≌（AAS ），∠AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，在Rt BEF ∆中，222BF EF BE =+，即()22253x x -=+， 解得：85x =，则817555DF BF ==-=， ∠315cos 17175AD ADF DF ∠===，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明AFD EFB ∆∆≌，是解题的关键．23．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中，4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒， 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米)， 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．24．A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∠小正方形与每个直角三角形面积均为1，∠大正方形的面积为5，∠小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0，∠a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 25．B【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∠AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos∠APC ＝cos∠EDC 即可得答案．【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∠AB ，∠∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC =5DE =，∠22252025EC DC DE +=+==，∠DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∠cos∠APC ＝cos∠EDC ＝DC DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．26．B【分析】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题干所给条件可知，AG =FG ，EG =GP ，利用∠AGP =∠B 可得到cos∠AGP =14，即可得到FG 的长； 【详解】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题意可知，AB =BC =4，E 是BC 的中点，∠BE =2，又∠1cos 4B =， ∠BH =1，即H 是BE 的中点，∠AB =AE =4，又∠AF 是∠DAE 的角平分线，FG AD ∥，∠∠F AG =∠AFG ，即AG =FG ，又∠PF AD ∥，AP DF ∥，∠PF =AD =4，设FG =x ，则AG =x ，EG =PG =4-x ，∠PF BC ∥，∠∠AGP =∠AEB =∠B ，∠cos∠AGP =12PG AG =22x x-=14， 解得x =83； 故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．27．(1)75︒(2)()2米【分析】（1）根据直角三角形的性质求出EAH ∠，根据平角的定义计算，求出CAD ∠；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，根据正弦的定义求出AM 、根据余弦的定义求出DM ，根据直角三角形的性质求出CM ，根据正弦的定义求出AC ，结合图形计算，得到答案．（1）解：在Rt AHE 中，30AEH ∠=︒， 60EAH ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，180604575CAD ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，在Rt ADM △中，60ADC ∠=︒，4AD =米，cos 4cos602DM AD ADC ∠∴=⋅=︒=（米），sin 4sin 60AM AD ADC ∠=⋅=︒=，在Rt ACM △中，180756045C ∠=︒-︒-︒=︒，CM AM ∴==，sin AM AC C==， ()2AB AC CD ∴=+=米，答：这棵大树折断前高为()2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．28．(1)点D 与点A 的距离为300米(2)隧道AB 的长为米【分析】（1）根据方位角图，易知60ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，解Rt ADC 即可求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．分别解Rt ADE △，Rt BDE 求出AE 和BE ，即可求出隧道AB 的长（1）由题意可知：154560ACD ∠=︒+︒=︒，180454590ADC ∠=︒-︒-︒=︒在Rt ADC 中，∠tan tan 60300AD DC ACD =⨯∠=︒=（米）答：点D 与点A 的距离为300米．（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．。