精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题2函数概念与基本初等函数第15练函数中的易错题练习文

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝12(e x －e －x )．。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等函数 第9练 函数性质的应用练习 文1．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是________．(填序号)①f (x )＝1x2；②f (x )＝x 2＋1；③f (x )＝x 3；④f (x )＝2－x . 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝________. 3．(2016·盐城模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －1x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1在定义域R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是__________________________．4．已知函数f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．5．(2016·威海模拟)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )＞0的解集为________________．6．(2016·揭阳一模)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1]时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f (2 0165)＋lg 18＝__________. 7．给出四个函数：h (x )＝x ＋1x，g (x )＝3x ＋3－x ，u (x )＝x 3，v (x )＝sin x ，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，有f (－x )＋f (x )＝0及f (x ＋m )＞f (x )的函数为________．8．(2017·北京丰台区联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －a ，x ＜1，x ＋a ，x ≥1，其中a ＞－1.(1)当a ＝0时，若f (x )＝0，则x ＝________；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．9．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数y ＝1x ＋1与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝1x －1.其中正确的个数是________．10．(2016·济宁期中)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2}，且y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x ＜2时，f (x )＝|2x －1|，那么当x ＞2时，函数f (x )的递减区间是__________．11．(2016·孝感模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ，则当10≤x ≤12时，f (x )＝________________.12．(2016·扬州一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a |＋|x －2a |－3|a |)．若集合{x |f (x －1)－f (x )＞0，x ∈R }＝∅，则实数a 的取值范围为____________．13．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若关于x 的方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.其中所有正确命题的序号为________．14．(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，给出下列命题：①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是奇函数；③当a ＞0时，若x 1x 2＜0，x 1＋x 2＞0，则F (x 1)＋F (x 2)＞0成立；④当a ＜0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值．其中所有正确命题的序号是________．答案精析1．① 2.1－33．(0，17)∪[13，1)∪(1，＋∞)4.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 5．{x |x ＜0或x ＞4}解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，则(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，即(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a .则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞0.f (2－x )＞0，即ax (x －4)＞0，解得x ＜0或x ＞4.6．1解析 由函数f (x )是周期为2的奇函数，得f (2 0165)＝f (65)＝f (－45)＝－f (45) ＝－lg 95＝lg 59， 故f (2 0165)＋lg 18 ＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 7．u (x )＝x 3解析 由f (－x )＋f (x )＝0知函数f (x )为奇函数，由f (x ＋m )＞f (x )，m ＞0知函数f (x )为单调增函数．h (x )是奇函数，但不是单调增函数；g (x )是偶函数；u (x )既是奇函数，又是单调增函数；v (x )是奇函数，但不是单调增函数．故满足条件的函数是u (x )＝x 3.8．(1)1 (2)[e －1，＋∞)解析 (1)当a ＝0时，若x ＜1，则f (x )＝e x ＞0，f (x )＝0无实数解；若x ≥1，则由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，则e －a ≤ln(1＋a )，即ln(1＋a )＋a －e≥0，a ＞－1.令g (a )＝ln(a ＋1)＋a －e ，则g ′(a )＝a ＋2a ＋1＞0， 所以g (a )在(－1，＋∞)上单调递增，且g (e －1)＝0，所以ln(1＋a )＋a －e≥0的解为a ≥e－1，故实数a 的取值范围是[e －1，＋∞)．9．3解析 在f (x ＋1)＝f (3＋x )中，以x －1代换x ，得f (x )＝f (2＋x )，所以①正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是y ＝f (x )上的两点，且x 1＝x ＋1，x 2＝3－x ，有x 1＋x 22＝2，由f (x 1)＝f (x 2)，得y 1＝y 2，即P ，Q 关于直线x ＝2对称，所以②正确；函数y ＝f (x ＋1)的图象由y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到，而y ＝f (3－x )的图象由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得y ＝f (－x )，再向右平移3个单位得到，即y ＝f [－(x －3)]＝f (3－x )，于是y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P (x ，y )是函数f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )必在y ＝1x ＋1的图象上，有－y ＝1－x ＋1，即y ＝1x －1，于是f (x )＝1x －1，所以④正确． 10．(2,4]解析 ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，则函数f (x )关于直线x ＝2对称，则f (x )＝f (4－x )．若x ＞2，则4－x ＜2，∵当x ＜2时，f (x )＝|2x －1|，∴当x ＞2时，f (x )＝f (4－x )＝|24－x －1|，则当x ≥4时，4－x ≤0,24－x －1≤0，此时f (x )＝|24－x －1|＝1－24－x ＝1－16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，此时函数递增， 当2＜x ≤4时，4－x ＞0,24－x －1＞0， 此时f (x )＝|24－x －1|＝24－x －1＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，此时函数递减， ∴函数的递减区间为(2,4]．11．－x 2＋22x －120解析 ∵f (x )在R 上是周期为4的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．由f (x ＋4)＝f (x )，可得f (x －12)＝f (x )．设－2≤x ≤0，则0≤－x ≤2， f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，当10≤x ≤12时，－2≤x －12≤0，f (x )＝f (x －12)＝－(x －12)2－2(x －12)＝－x 2＋22x －120.12．(－∞，16] 解析 由题意得f (x －1)≤f (x )恒成立．①当a ≤0时，f (x )＝x ，满足f (x －1)≤f (x )；②当a ＞0，x ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －3a ，x ＞2a ，－x ，0＜x ≤a ，－a ，a ＜x ≤2a ，由于f (x )是定义在R 上的奇函数，所以其图象如图所示，要使f (x －1)≤f (x )恒成立，则－3a ＋1≥3a ，∴0＜a ≤16. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．13．①②④解析 对于①，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，∴当x ＝－2时，f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，∴f (－2)＝0，又f (x )是偶函数，∴f (2)＝0，∴①正确；对于②，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (2)＝0，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4，又直线x ＝0是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴直线x ＝－4也为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴②正确；对于③，∵函数f (x )的周期是4，∴y ＝f (x )在[8,10]上的单调性与在[0,2]上的单调性相同，∴y ＝f (x )在[8,10]上单调递减，∴③错误；对于④，∵直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴x 1＋x 22＝－4，x 1＋x 2＝－8，∴④正确．14．②③解析 ①因为|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，|x |≥2－1a ，－f x ，0＜|x |＜2－1a， 而F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即F (x )＝|f (x )|不成立，①错误．②当x ＞0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1，－x ＜0，F (－x )＝－f (－x )＝－(a log 2|－x |＋1)＝－(a log 2|x |＋1)＝－F (x )；当x ＜0时，F (x )＝－f (x )＝－(a log 2|x |＋1)，－x ＞0，F (－x )＝f (－x )＝a log 2|－x |＋1＝a log 2|x |＋1＝－F (x )，所以函数F (x )是奇函数，②正确．③当a ＞0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x 1x 2＜0，x 1＋x 2＞0，不妨设x 1＞0，则x 2＜0，x 1＞－x 2＞0，所以F (x 1)＞F (－x 2)＞0，又因为函数F (x )是奇函数，－F (x 2)＝F (－x 2)，所以F (x 1)＋F (x 2)＞0，③正确．④函数y ＝F (x 2－2x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧ a log 2x 2－2x －＋1，x ＞3或x ＜－1，－a log 2－x 2＋2x ＋－1，－1＜x ＜3，当x ＞3或x ＜－1时，因为a ＜0，所以y ＝F (x 2－2x －3)既没有最大值，也没有最小值．。

1.几类函数模型2.三种函数模型的性质【知识拓展】 1.解函数应用题的步骤2.“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增， 在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减. (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快.( × )(3)不存在x 0，使0xa <0nx <log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度.( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元. 答案 2 250解析 设每台原价是a 元，则a (1＋40%)·80% ＝a ＋270，解得a ＝2 250.2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y (千克)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________.答案 y ＝22－11100x (0≤x ≤200)解析 流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x ，则y ＝22－11100x (0≤x ≤200).3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________. 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________. 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝a e－nt，那么乙桶的水就是y ＝a －a e－nt，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min ，甲桶中的水只有a8 L.答案 10解析 由题意可得，5 min 时，a e －5n＝12a ，n ＝15ln 2， 那么ln 25et a -＝18a ，∴t ＝15，即再过10 min ，甲桶中的水只有a8L.题型一 用函数图象刻画变化过程例1 某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.解 设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元. 由题意设f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0). 由图①知f (1)＝14，∴k 1＝14.由图②知g (4)＝52，∴k 2＝54.∴f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0).思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (min)与通话费y (元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解 (1)设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (300,35)，C (300，15)分别代入得k 1＝150，k 2＝120.∴y 1＝150x ＋29，y 2＝120x .(2)令y 1＝y 2，即150x ＋29＝120x ，得x ＝96623.当x ＝96623时，两种卡收费一致；当x ＜96623时，y 1＞y 2，即“如意卡”便宜；当x ＞96623时，y 1＜y 2，即“便民卡”便宜.题型二 已知函数模型的实际问题例2 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10 lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为 L 2＝10 lg I 2I 0＝10 lg 1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L 3＝10 lg I 3I 0＝10 lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为 L 4＝10 lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝).(2)由题意知0≤L 1<50，即0≤10lg II 0<50，所以1≤I I 0<105，即1×10－12≤I <1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 大于等于1×10－12W /m 2，同时小于1×10－7 W/m 2.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为________. 答案 (1)19 (2)2解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100，令104·(100－10x )·70·x100≥112×104，解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2.题型三 构造函数模型的实际问题 命题点1 构造二次函数模型例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元. 答案 95解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]. ∴当x ＝95时，y 最大.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)光线通过1块玻璃后，强度y ＝(1－10%)k ＝0.9k ； 光线通过2块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.9k ＝0.92k ； 光线通过3块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.92k ＝0.93k ； ……光线通过x 块玻璃后，强度y ＝0.9x k . 故y 关于x 的函数解析式为y ＝0.9x k (x ∈N *). (2)由题意，得0.9x k <k 4，即0.9x <14，两边取对数，得x lg 0.9<lg 14.因为lg 0.9<0，所以x >lg14lg 0.9.又lg14lg 0.9＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 00.954 2－1＝－0.602 0－0.045 8≈13.14， 且x ∈N *，所以x min ＝14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下.命题点3 构造分段函数模型例5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解 (1)由题意可知当0≤x <20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x <20，13(200－x )， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x <20，13x (200－x )， 20≤x ≤200，当0≤x <20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________. 答案 (1)5 (2)300解析 (1)设经过x 小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000(0≤x ≤400)，60 000－100x (x >400)， 当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以x ＝300时，y max ＝25 000， 当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000，综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.2.函数应用问题典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论. 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[3分]当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.[5分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；[8分]②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.[12分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万美元.[14分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p ，且年销售量将减少203p 万件.则每年征收的税金y 关于税率p 的函数关系为________.答案 y ＝60(80－203p )p解析 征收附加税后年销售为(80－203p )万件，故每年征收的税金y ＝60(80－203p )p .2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________.答案 ①解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变.3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 出租车行驶不超过3 km ，付费9元；出租车行驶8 km ，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km ，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________ m 3. 答案 13解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx (0<x ≤10)，10m ＋(x －10)·2m (x >10)，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13.5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________. 答案 16解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)， 分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元. 答案 43解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.7.(2016·四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) 答案 2019解析 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x ＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年. 8.(2016·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.9.(2016·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 答案 20解析 设内接矩形另一边长为y ， 则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 当x ＝20时，S max ＝400.*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析 依题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位. 12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N ).前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N ).(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值. 解 (1)依题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2t ＋200)⎝⎛⎭⎫12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，45(－2t ＋200)(31≤t ≤50，t ∈N )，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000(1≤t ≤30，t ∈N )，－90t ＋9 000(31≤t ≤50，t ∈N ).(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时， S ＝－90t ＋9 000为递减函数， ∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.综上知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.*13. (2016·常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12).已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12). (1)写出2016年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？ 解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37， 当2≤x ≤12，且x ∈N *时， f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x ) ＝－3x 2＋40x ， 验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12). (2)第x 个月旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)， 即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). ①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0， 解得x ＝5或x ＝1409(舍去).当1≤x <5时，g ′(x )>0， 当5<x ≤6时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元).②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元).综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km /h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？解 (1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知309v ×60≤10⇒v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2)设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x )列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1 min 、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝3030(18－x )×60＝6018－x .设内、外环线乘客的候车时间之差为t min ，于是有t ＝|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪72x －6018－x＝⎩⎨⎧72x ＋60x －18，1≤x ≤9，x ∈N *，－(72x ＋60x －18)，10≤x ≤17，x ∈N *，该函数在(1,9)上递减，在(10,17)上递增.又t (9)>t (10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.。

第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数教师用书理苏教版1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s＋t，(a s)t＝a st，(ab)t＝a t b t，其中s，t∈Q，a>0，b>0.2.指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0，1)(4)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘.( × ) (3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数.( × ) (5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________.答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋148×42________.答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简132113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅⋅＝________. 答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x－1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x－1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10≤x <1，2x －12x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1). 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2xx f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.答案 2，2现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，∴a t ∈[1a ，1]，22x x b a ++∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a ]，则22x x b a ++∈[b ＋1，b ＋1a ]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________.答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________. 答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________.答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b，则a ，b 的大小关系为________.答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b . 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________. 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立； 当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14]解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x≥1，∴0<t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14].∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0].故函数的值域为[－14，14].10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)，(1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值.解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3xx --+，令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2).当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2).所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716].(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)；③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去.综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x ＋1＋m ，m 是实常数.(1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ，3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x ＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。

第5讲 指数与指数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.⎝ ⎛⎭⎪⎫32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋×42－＝________.解析 原式＝＝2.答案 22．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n的大小关系为________．解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .答案 m >n3．(2017·衡水中学模拟改编)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝x 2，c ＝x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是________(从小到大)．解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝x <0，所以c <a <b .答案 c <a <b 4.函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，给出下列结论：①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.其中判断正确的结论有________(填序号)． 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.答案 ④5．(2017·南京、盐城一模)已知c ＝则a ，b ，c的大小关系是________．解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 b <c <a6．(2017·南京调研)已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝________.解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝a x 1＋x2＝a 0＝1.答案 17．(2017·南通调研)若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在[2，＋∞)上递减． 答案 [2，＋∞)8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e|x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e 2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 二、解答题 9．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 解 (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x＋12 a x－1 >0，则a x>1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )< －f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1， 即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．解析 因为2x >0，所以由2x(x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 (－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a<2c ；④2a ＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)． 解析作出函数f (x )＝|2x－1|的图象如图中实线所示， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1， ∴0<2a<1,1<2c<2，∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1，又f (a )>f (c )，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.答案 ④13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x >0.当x <0时，－x >0.∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x.答案 －2x(x <0)14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

1．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为________．2．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是________．3．(2016·湖北浠水实验高中期中)设f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 为y ＝f (x )的两个零点，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是________．4．(2016·广东汕头澄海凤翔中学段考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋1，x ≥0，(a －2)e x，x ＜0是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．5．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)．若f (x 1x 2…x 2013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22013)＝________.6．(2016·湖南娄底高中名校联考)对于函数f (x )，使f (x )≤n 成立的所有常数n 中，我们把n 的最小值G 叫做函数f (x )的上确界．则函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，log 12(12－x )，x ＜0的上确界是________．7．(2016·青海西宁第四高级中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x ＞1.若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是________． 8．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将该函数在区间－T ，T ]上的零点个数记为n ，则n ＝________.9．已知y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是____________．(用“＜”连接)10．(2016·苏州上学期期中)若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为________．11．(2016·四川成都新都一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点有________个．12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且f (x )在－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)13．(2016·湖北重点中学月考)设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2，则f (2)，f (0)，f (3)的大小关系为________． 14．已知f (x )＝|log a |x －1||(a ＞0，a ≠1)，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝________.答案精析1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 2.④ 3.m ＜a ＜b ＜n 4．(2,3] 5．16解析 ∵f (x )＝log a x 且 f (x 1x 2…x 2013)＝8， ∴log a (x 1·x 2·…·x 2013)＝8.∴f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22013)＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋… ＋2log a |x 2013| ＝2log a |x 1x 2…x 2013| ＝2log a (x 1x 2…x 2013) ＝2×8＝16. 6．1解析 ∵f (x )在(－∞，0)上是单调递增的，f (x )在0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (x )在R 上的最大值是f (0)＝1， ∴n ≥1，∴G ＝1. 7．(－∞，1]∪3，＋∞) 解析 由题意可知f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x ＞1的最大值为14，若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则14≤t 24－t ＋1，解得t ∈(－∞，1]∪3，＋∞)． 8．5解析 因为奇函数f (x )在x ＝0处有意义，所以f (0)＝0，即x ＝0为函数f (x )的一个零点；再由周期函数的定义，可知f (T )＝f (－T )＝f (0＋T )＝f (0－T )＝f (0)＝0，所以x ＝T ，x ＝－T 也是函数f (x )的零点；又f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)，而由奇函数的定义，知f (－T 2)＝－f (T 2)，所以f (T 2)＝－f (T 2)，即f (T 2)＝0.所以f (－T 2)＝0.所以x ＝T 2，x ＝－T 2也是函数f (x )的零点． 9．f (72)＜f (1)＜f (52)解析 因为y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因为f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)， 由于72＞3＞52，所以f (72)＜f (3)＜f (52)，即f (72)＜f (1)＜f (52)．10．27，37)解析 设f (x )＝ax 2＋x －2a ，由题中不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，易知抛物线的开口向上，即a ＞0.又f (0)＝－2a ＜0，知解集中有0；f (－1)＝－1－a ＜0，知解集中有－1；而f (1)＝1－a 与f (－2)＝2a －2＝2(a －1)异号，又f (2)＝2＞0，则可推出解集中四个整数为－3，－2，－1,0，故有⎩⎨⎧f (－3)＜0，f (－4)≥0，即⎩⎨⎧7a －3＜0，14a －4≥0，解得a ∈27，37)． 11．2解析 由f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，得c ＝1，b ＝12，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ＞0，－x 2＋32x ＋1，x ≤0.当x ＞0时，函数g (x )有一个零点x ＝1；当x ≤0时，函数g (x )是开口向下的抛物线，且与y 轴交于点(0,1)，故在x 轴的负半轴有且只有一个零点．故函数g (x )有两个零点． 12．①②④解析 由f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，故函数f (x )是周期函数，命题①正确；由于函数是偶函数，故f (x ＋2)＝f (－x )，函数图象关于直线x ＝x ＋2－x2＝1对称，故命题②正确；由于函数是偶函数，故函数在区间0,1]上递减，根据对称性，函数在1,2]上应该是增函数(也可根据周期性判断)，故命题③不正确；根据周期性，f (2)＝f (0)，命题④正确．故正确命题的序号是①②④ 13．f (2)＝f (0)＜f (3) 解析方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0可以看作方程2x ＝－x －2和方程log 2x ＝－x －2.因为方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2的根分别为p 和q ，即函数y ＝2x 与函数y ＝－x －2的交点B 的横坐标为p ；函数y ＝log 2x 与函数y ＝－x －2的交点C 的横坐标为q .因为y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数且关于y ＝x 对称，所以BC 的中点A 一定在直线y ＝x 上，联立方程得⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－x －2，解得A 点坐标为(－1，－1)．根据中点坐标公式得到p ＋q2＝－1，即p ＋q ＝－2，则函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－p ＋q2＝1，得到f (0)＝f (2)，且当x ＞1时，函数为增函数，所以f (3)＞f (2)．综上所述，f (3)＞f (2)＝f (0)． 14．2解析 如图所示，f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，即|log a |x 1－1||＝|log a |x 2－1||＝|log a |x 3－1||＝|log a |x 4－1||，因为x 1＜0,0＜x 2＜1，所以1－x 1＞1,0＜1－x 2＜1，所以log a |x 1－1|＋log a |x 2－1|＝0，即log a (1－x 1)＋log a (1－x 2)＝0，即(1－x 1)(1－x 2)＝1，x 1x 2－(x 1＋x 2)＝0，所以1x 1＋1x 2＝1.同理可得1x 3＋1x 4＝1，所以1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝2.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等函数 第16练 函数综合练练习 文1．(2016·镇江模拟)已知函数y ＝xa 2－2a －3是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a ＝________.2．(2016·武汉调考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx 2，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，且满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．3．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________.4．(2016·常州模拟)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为____________．5．(2016·徐州模拟)函数y ＝x 33x －1的图象大致是________．(填序号)6．(2016·镇江期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－|12＋x |，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是____________．8．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是____________．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足1fx ＋＝f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则f [f (112)]＝________.10．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0，若f (x －1)≤0，则x 的取值范围为________________．11．(2016·北京东城区二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的像为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 如表：则f (3,5)＝________，使不等式f (2x，x )≤4成立的x 的集合是__________．12．(2016·荆门模拟)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________.13．(2016·湖北优质高中联考)函数f (x )＝(12)|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．14．(2016·聊城一中期中)设定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足以下三个条件时称f (x )为“友谊函数”：(1)对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； (2)f (1)＝1；(3)若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立． 则下列判断正确的序号为________．①f (x )为“友谊函数”，则f (0)＝0；②函数g (x )＝x 在区间[0,1]上是“友谊函数”；③若f (x )为“友谊函数”，且0≤x 1＜x 2≤1，则f (x 1)≤f (x 2)． 答案精析1．1 2.1或－22 3.2 4.(12，14) 5．③解析 当x ＝0时，3x－1＝0，无意义； 当x →＋∞时，3x＞x 3，所以y →0； 当x ＝－1时，y ＞0，所以填③. 6．[－13，1)∪(1，＋∞)解析 作出函数图象可得(如图所示)，直线y ＝kx －k 过定点(1,0)，当y ＝kx －k 过点(－12，12)时，直线的斜率最小即k ＝－13，当直线y ＝kx －k 与y ＝x 2－x (x ＞0)相切时有且仅有一个交点，交点即为切点(1,0)，k ＝y ′＝1，故函数f (x )与直线y ＝kx －k 至少有两个不同交点时，k 的取值范围为[－13，1)∪(1，＋∞)，即关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为[－13，1)∪(1，＋∞)．7.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ＞0在x ＜1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，g，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 此时，log a x 是减函数，符合题意． 8．c ＜b ＜a解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a ＝f (log 47)＝f (log 27)，b ＝f (log 123)＝f (－log 123)＝f (log 23)．又0＜log 27＜log 23＜2,0.2－0.6＝50.6＞50.5＞40.5＝2，即0＜log 27＜log 23＜0.2－0.6，∴a ＞b ＞c . 9．－1 解析 由1fx ＋1＝f (x )，得 f (x ＋2)＝1f x ＋＝f (x )，所以f (x )为周期函数，T ＝2， 所以f (112)＝f (112－4)＝f (32)＝f (12＋1)＝1f 12＝－1， f (－1)＝f (1)＝－1.10．[－1,1)∪[3，＋∞)解析 作出f (x )的草图，如图所示，易知x －1≥2或－2≤x －1＜0，解得－1≤x ＜1或x ≥3.11．8 {1,2}解析 由表可知f (3,5)＝5＋3＝8. ∵∀x ∈N *，都有2x＞x ， ∴f (2x ，x )＝2x－x ，则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *) ⇔2x≤x ＋4(x ∈N *)，当x ＝1时，2x＝2，x ＋4＝5， 2x≤x ＋4成立；当x ＝2时，2x＝4，x ＋4＝6， 2x≤x ＋4成立；当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 12．－1解析 由f (x )是R 上周期为5的奇函数，知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1. 13．10解析 原问题可转化为求y ＝(12)|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4,6]内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点关于x ＝1对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在[－4,6]上的图象(图略)，可知在x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 14．①②③解析 ①∵f (x )为“友谊函数”，则取x 1＝x 2＝0，得f (0)≥f (0)＋f (0)，即f (0)≤0，又由f (0)≥0，得f (0)＝0，故①正确；②g (x )＝x 在[0,1]上满足：(1)g (x )≥0；(2)g (1)＝1；若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1，则有g (x 1＋x 2)－[g (x 1)＋g (x 2)]＝(x 1＋x 2)－(x 1＋x 2)＝0，即g (x 1＋x 2)≥g (x 1)＋g (x 2)，满足(3)．故g (x )＝x 满足条件(1)(2)(3)，∴g (x )＝x 为友谊函数，故②正确； ③∵0≤x 1＜x 2≤1，∴0＜x 2－x 1＜1，∴f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)≥f (x 1)，故有f (x 1)≤f (x 2)，故③正确．故答案为①②③.。