实变函数论教程(杨力华 编著)思维导图

第1章 集合与n R 中的点集集合论是德国数学家Cantor (1845-1918)于19世纪后期所创立, 已经成为一门独立的数学分支. 集合论是现代数学的基础, 其概念与方法已经广泛地渗透到现代数学的各个分支. 在实变函数论中经常出现各种各样的集合与集合的运算. 本章介绍今后要用到的集合论的一些基本知识, 包括集合与集合的运算, 可列集和基数等. 本章还要介绍具有某些运算封闭性的集类如代数和σ-代数等, 以及n R 中的一些常见的点集.§ 1.1 集合与集合的运算本节要点 集合论是本课程的基础.本节将引入集的概念与集的运算.De Morgan 公式是以后常用的公式.证明两个集的相等是经常要遇到论证,本节的两个例子说明了证明两个集相等基本方法.集列的极限是一种新型的极限,单调递增和单调递减的集列的极限是常见的情形.1.1.1 集合的基本概念集合是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之, 只能给予一种描述性的说明. 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集合(简称为集). 集中的成员称为这个集的元素.一般用大写字母如,,A B C 等表示集, 用小写字母如,,a b c 等表示集的元素. 若a 是集A 的元素, 则用记号A a ∈(读作a 属于A )表示. 若a 不是集A 的元素, 则用记号A a ∉(读作a 不属于A )表示.不含任何元素的集称为空集, 用符号∅表示. 本书约定分别用1R , ,Q N 和Z 表示实数集, 有理数集, 自然数集和整数集.表示一个集的方法一般有两种. 第一种方法是列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如{}{}0,1,2,3,4,5.1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,.A B x x x x nx nx ==另一种方法是描述法. 当集A 是由具有某种性质P 的元素的全体所构成时, 用下面的方式表示集A :{:A x x =具有性质P}.例如A BÈBA BÇAAB1{:sin 0}.A x x x =γR设A 和B 是两个集. 如果A 和B 具有完全相同的元素, 则称A 与B 相等, 记为.A B = 如果A 的元素都是B 的元素, 则称A 为B 的子集, 记为B A ⊂(读作A 包含于B ), 或A B ⊃(读作B 包含A ). 若B A ⊂并且,B A ≠ 则称A 为B 的真子集. 按照这个定义, 空集∅是任何集的子集. 由定义知道A B =当且仅当B A ⊂并且.A B ⊂例如11{:,}{:sin 0}.x x k k x x πÎ=Î=Î=R Z R 11{:2,}{:sin 0}.x x k k x x πÎ=ÎÌÎ=R Z R设X 是一个给定的集. 由X 的所有子集构成的集称为X 的幂集, 记为().X P例如, 设{,,}X a b c =是由3个元素构成的集, 则{}(),{},{},{},{,},{,},{,},.X a b c a b a c b c X =ÆP一般地, 若X 是由n 个元素构成的集, 则X 有2n 个不同的子集.1.1.2 集合的运算设A 和B 是两个集. 由A 和B 的所有元素所构成的集称为A 与B 的并集, 简称为并, 记为.A B È 即{:}.A B x x A x B 或者È=ÎÎ由同时属于A 和B 的元素所构成的集称为A 与B 的交集, 简称为交, 记为.A B Ç 即:{}A B x x A x B Ç=ÎÎ并且(如图1.1). 若,A B Ç=Æ 则称A 与B 不相交. 此时称A B È为A 与B 的不相交并.图1.1一族集的并与交 设I 是一非空集(I 可以是有限集或无限集). 若对每个I αÎ都对应一个集,A α 则称{}I A ααÎ为集族, 称I 为指标集. 特别地, 若指标集是自然数集,N 则称{}n n A ÎN 为集列, {}n n A ÎN 一般简写为{}.n A设{}I A ααÎ是一个集族. 这一族集的并集和交集分别定义为:{IA x ααÎ= 存在,I αÎ使得,}x A αÎ1.2图:{IA x ααÎ= 对每个,I αÎ.}x A αÎ 特别地, 若{}n A 是一个集列, 则n n A ÎN和n n A ÎN可以分别记成1n n A ¥= 和1,n n A ¥= 分别称为{}n A 的可列并和可列交.容易证明并与交运算具有如下性质:(1) 交换律: ,.A B B A A B B A È=ÈÇ=Ç(2) 结合律: ()(),A B C A B C ÈÈ=ÈÈ()().A B C A B C ÇÇ=ÇÇ(3) 分配律: ()()(),A B C A B A C ÇÈ=ÇÈÇ()()().A B C A B A C ÈÇ=ÈÇÈ分配律可以推广到一族集的并与交的情形, 即(),I I A B A B ααααÎÎæö÷çÇ=Ç÷ç÷çèø ().I IA B A B ααααÎÎæö÷ç÷ç÷çèø= 设A 和B 是两个集. 由A 中的那些不属于B 的元素所构成的集称为A 与B 的差集, 记为B A -或\A B . 即:.{}A B x x A x B -=ÎÏ并且通常我们所讨论的集都是某一固定集X 的子集, X 称为全集(或全空间). 称全集X 与其子集A 的差集A X -为A 的余集, 记为C A (如图1.2).设,,A B X Ì 称()()A B A B B A =-È- 为A 与B 的对称差集. 对称差集A B 的大小反映了A 与B 差别的大小.以下设所讨论的集都是某一固定集X 的子集. 关于差运算和余运算成立以下性质(4)().(5),.(6),.(7).(8)(),().C C C C C C C C C C C C C A A A A X A A X X A B A B A B A B A B A B =È=Ç=Æ=ÆÆ=-=ÇÈ=ÇÇ=È上述最后一个性质称为De Morgan 公式. De Morgan 公式对一族集的并与交也成立. 这个公式今后要经常用到, 我们将其叙述为如下的定理.定理1.1 (De Morgan 公式) 设{}I A ααÎ是一族集. 则(1) ()CCI IA AααααÎÎ= (并的余集等于余集的交). (2)()CCI IA AααααÎÎ= (交的余集等于余集的并).证明 (1).设(),CIx A ααÎÎ则.Ix A ααÎÏ 于是对任意,I αÎ .x A αÏ 即对任意,I αÎ .C x A αÎ 因此.CIx A ααÎÎ 这表明().CCI IA A ααααÎÎÌ上述推理可以反过来, 即从CIx A ααÎÎ 可以推出().CIx A ααÎÎ这表明().CC IIA A ααααÎÎÌ因此(1)成立. 类似地可以证明(2). ■定理1.1的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 下面再举两个例子. 例1 设}{n f 是1R 上的一列实值函数, 满足121()()()(),n n f x f x f x f x +£££££ ∈x 1R .并且1lim ()()().n n f x f x x ¥=ÎR 则对任意实数c 成立1:():().{}{}n n x f x c x f x c ¥=>=> (1.1)证明 若{:()},x x f x c Î> 则().f x c > 由于lim ()(),n n f x f x ¥= 当0n 充分大时, 0().n f x c > 因此0(){:}.n x x f x c >Î 这表明1:():().{}{}n n x f x c x f x c ¥=>Ì>另一方面, 由于1()()(),n f x f x x ³ÎR 对任意自然数,n 若(),n f x c >则().f x c > 因此:():(){}{}.n x f x c x f x c >>Ì 从而1:():().{}{}nn x fx c x f x c ¥=>Ì>这就证明了(1.1)式成立.在给出下面的例子之前, 先解释一下多重可列并与可列交的意义. 设对每个自然数n 和k 对应有一个集,.n k A 则,11n k n k A ¥¥== 表示,11.n k n k A ¥¥==æö÷ç÷ç÷çèø 换言之, 若令,1,n n k k B A ¥== 则,,11111.n k n k n n k n k n A A B ¥¥¥¥¥=====æö÷ç==÷ç÷çèø 对于更多重的可列并和可列交运算, 可以作类似的理解.例2 设{}n f 是定义在n R 上的一列实值函数. 令:lim ()0.{}n n n A x f x ¥=Î=R 则111:().{}n n k m n mA x f x k ¥¥¥====Î<R (1.2)证明 由于0)(lim =∞→x f n n 的充要条件是, 对任意正整数,1≥k 存在正整数,1≥m 使得对任意正整数m n ≥成立1().n kf x < 因此11,1,,:(){}n kx A k m n m x x f x Î "³$³"³Î<使得1111111,1,:()1,:():().{}{}{}n n mn m n m n k m n m kkkk m x x f x k x x f x x x f x ¥=¥¥==¥¥¥=== "³$³Î< "³Î< Î< 使得因此(1.2)成立. ■在例2中, 集A 的表达式(1.2)看起来较复杂, 但它是通过比较简单的集1{:()}n kx f x <的运算得到的, 以后我们会看到集的这种表示方法是很有用的.设1,,n A A 是n 个集. 由有序n 元组的全体所成的集111(,,):,,{}n n n x x x A x A ÎÎ称为1,,n A A 的直积集(简称为直积), 记为1.n A A ´´例如, 平面2R 可以看作是1R 与1R 的直积, 即211=´R R R . 而´Q Q 是平面上以有理数为坐标的点所成的集, ´Q Q 中的点称为有理点. 又例如,[,][,](,):,{}a b c d x y a x b c y d ´=££££就是平面上的长方形.1.1.3 集列的极限设}{n A 是一个集列. 称集:{x x 属于无限多个(1)}n A n ³.为集列}{n A 的上极限, 记为.lim n n A ∞→ 称集:{x x 至多不属于有限个(1)}n A n ³为集列}{n A 的下极限, 记为.lim n n A ∞→显然⊂∞→n n A lim .lim n n A ∞→ 若=∞→n n A lim ,lim n n A ∞→ 则称集列}{n A 存在极限, 并称=A =∞→n n A lim n n A ∞→lim为集列}{n A 的极限, 记为.lim n n A ∞→定理1.2 设}{n A 是一个集列. 则1lim ,n k n n k n A A ¥¥¥=== (1.3)1lim .n k n n k nA A ¥¥¥=== (1.4)证明 我们有lim n n x A ¥Î x 属于无限多个(1)n A n ³.对任意1,,k n k n x A ³³Î存在使得对任意1,k k n n x A ¥=³Î1.k n k nx A ¥¥== Î因此(1.3)式成立. 类似地可证明(1.4)式. ■设}{n A 是一个集列. 若对每个1,n ³ 均有1+⊂n n A A , 则称}{n A 是单调递增的, 记为↑n A . 若对每个1,n ³ 均有1n n A A +É, 则称}{n A 是单调递减的, 记为↓n A . 单调递增和单调递减的集列统称为单调集列.定理1.3 单调集列必存在极限. 并且(1) 若}{n A 是单调递增的, 则1lim n n n n A A ¥¥== .(2) 若}{n A 是单调递减的, 则1lim n n n n A A ¥¥== .证明 (1). 因为}{n A 是单调递增的, 因此对任意,1≥n 有,kn k nAA ¥==1.kk k nk A A ¥¥===于是利用定理1.2得到11lim .n k n n n k nn A A A ¥¥¥¥=====1111lim .n k k k n n k nn k k A A A A ¥¥¥¥¥¥========所以 .lim lim 1∞=∞→∞→==n n n n n n A A A 因此n n A ∞→lim 存在, 并且1lim .n n n n A A ¥¥== 类似可证明结论(2). ■例 3 设110,1,0,1.((]n n A B n n=-=+ 由于}{n A 是单调递增的, {}n B 称单调递减的. 根据定理1.3,),1,0(lim 1==∞=∞→ n n n n A A ].1,0(lim 1==∞=∞→ n n n n B B例 4 设{}n f 和f 如例1. 令:()(1){}.n n A x f x c n =>³ 则{}n A 是单调递增的. 根据定理1.3并且利用(1.1)式, 我们有1lim :().{}n n n n A A x f x c ¥¥===>习 题 习题1, 第1题的(2), (4), (5)小题, 第 2,3,4题.§ 1.2 映射 可列集与基数本节要点 本节除介绍映射的基本概念外,重点介绍基数,可数集与不可数集的基础知识.一一对应的思想与方法贯穿本节的核心.基数的概念,可数集的讨论,都要用的一一对应的思想.要证明一个集是可数集或者证明两个集的基数相等,有时需要一定的技巧,因而具有一定的难度.本节举了较多的例子说明这种方法和技巧.Bernstein 定理是在证明两个集的基数相等时常用的定理. 1.2.1 映 射在学习数学分析时我们对函数已经很熟悉. 在那里函数的定义域通常是nR 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 就得到映射的概念.定义1.1 设,X Y 是两个非空集. 若f 是某一法则，使得对每个x X Î有唯一的Y y ∈与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记为.:Y X f →当y 与x 对应时, 称y 为x 在映射f 下的像, 记为).(x f y = 称x 为y 的一个原像. 称X 为f 的定义域.在上述定义中, 若Y 是实数集或复数集, 习惯上仍称f 为函数.在数学分析中我们熟知的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 由于习惯的原因, 这些映射在不同的场合有不同的名称.例1 设()i j A a =是一个n n ´阶矩阵. 作映射:n n T R R 使得11(,,)(,,),n n T x x y y =其中1ni i j j j y a x ==å(1,,).i n = 用矩阵表示即111111n n n nn n y a a x y a a x æöæöæö÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷=ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷÷÷÷çççèøèøèø. 在线性代数中, 称T 为由矩阵A 确定的线性变换.例 2 设[,]C a b 是区间[,]a b 上实值连续函数的全体, 0[,].x a b Î 则0:[,],(),:[,],()ba C ab f f x C a b f f x dxϕψ òR R都是[,]C a b 到1R 的映射. 在泛函分析中, 这两个映射都称为泛函.例 3 设(1)[,]C a b 是区间[,]a b 上具有一阶连续导数的函数的全体. 则(1):[,][,],()()D C a b C a b f x f x ¢是(1)[,]C a b 到[,]C a b 的映射. 在泛函分析中, 这个映射称为算子.例4 设{}n x 是一实数列. 令()(),n f n x n =ÎN 则f 是N 到1R 的映射. 因此数列实际上是定义在自然数集N 上的函数.设A 是X 的子集. 称Y 的子集():{}f x x A Î为A 在映射f 下的像, 记为().f A 特别地, 称()f X 为f 的值域. 设B 是Y 的子集. 称X 的子集:(){}x X f x B ÎÎ为集B 在映射f 下的原像, 记为1().f B -由像和原像的定义可以直接验证以下事实: 设f 是X 到Y 的映射, 则()()()()()()111111()().()().()().()().()().IIIIIIIICC f A f A A X fA f A A X fB fB B Y f B fB B Y f B f B B Y ααααααααααααααααααααÎÎÎÎ--ÎÎ--ÎÎ--=ÌÌÌ=Ì=Ì=Ì 定义1.2 设Y X f →:是X 到Y 的映射. 如果当21x x ≠时，),()(21x f x f ≠ 则称f 是一对一的 (或单射). 如果,)(Y X f = 则称f 为映上的(或满射). 如果映射:f X Y 是一对一映上的, 则称f 是X 到Y 的一一对应(或双射).定义1.3 设:f X Y 是一一对应的映射. 定义映射:,,g Y X y x其中X x ∈并且满足y x f =)((由于f 是一对一映上的, 这样的x 存在并且唯一). 称g 为f 的逆映射, 记为.1-f逆映射是反函数概念的推广. 由逆映射的定义知道成立以下等式:11(())(),(())().f f x x x X f f y y y Y --=Î=Î定义1.4 设Y X f →:和Z Y g →:是两个映射. 令()(()),.h x g f x x X =Î则h 是X 到Z 的映射. 称h 为f 与g 的复合映射, 记为.f g设Y X f →:和Z Y g →:是两个映射, .C Z Ì 则111()()(()).g f C f g C ---= 设A 是X 的子集, f 和f ~分别是A 到Y 的和X 到Y 的映射. 若对每个A x ∈成立),()(~x f x f = 则称f ~是f 在X 上的延拓. 称f 是f ~在A 上的限制, 记为.~A f f =设A 是X 的子集. 令1,,()0,.A x A x x A Îìïï=íïÏïîχ则()A x χ是定义在X 上的函数, 称之为A 的特征函数. 以后会经常用到这个函数.关于特征函数成立以下简单性质:(1)()().(2)()()()().A B A B A B A B A B x x x x x x χχχχχχÈÇÌ £=+-11(3)()()().(4)()()(()),()().(5)(,)()()(,).CA B A B A B A B A A A B A B x x x x x x x x x y x y A X B Y χχχχχχχχχχχÇ-´=⋅=-=-=⋅ÌÌ()11(6)()(),().n A A n m n n n x x A A A A m n χχ¥¥====Ç=ƹå利用特征函数为函数的表示带来方便. 例如, 设1,,n A A 是X 的互不相交的子集, 1.ni i X A == 若()(1,,)i f x i n = 是定义在i A 上的函数, 则定义在X 上的函数11(),,()(),,nn f x x A f x f x x A ìÎïïïï=íïïÎïïî可以表示为1()()().i ni A i f x f x x χ==å1.2.2 可列集定义 1.5 设B A ,是两个非空集. 若存在一个从A 到B 的一一对应的映射, 则称A 与B 是对等的, 记为A B . 此外规定∅~.∅例如, 数集{}111,,,23A = 与自然数集N 是对等的. 又如圆周去掉一点后与全直线对等. 两个半径不同的圆作为平面上的点集是对等的(图1.3).x x 'O Px 'X O xY图1.3 显然, 集的对等关系具有如下性质:(1) A A (反身性).(2) 若,A B 则B A (对称性).(3) 若,A B ,B C 则A C (传递性).利用对等的概念, 可以给出有限集和无限集的严格定义. 设A 是一非空集. 若存在一个自然数,n 使得A 与集1,2{,,}n 对等, 则称A 为有限集. 规定空集是有限集. 若A 不是有限集, 则称A 为无限集.自然数集N 是无限集. 自然数集有一个重要的特点, 就是它的元素可以编号排序成为一个无穷序列(稍后我们将会举例说明, 并非每个无限集都可以做到这一点). 具有这种性质的集就是我们下面要讨论的可列集.定义1.6 与自然数集N 对等的集称为可列集.有限集和可列集统称为可数集. 注意, 有的作者将我们这里的可列集称为可数集. 此时可数集不包括有限集.由对等关系的传递性知道, 若A 是可列集, B 与A 对等, 则B 也是可列集. 定理1.4 集A 是可列集的充要条件是A 的元素可以编号排序成为一个无穷序列12{,,,,}.n A a a a = (1.5)证明 设A 是可列集, :A ϕ N 是一一对应的映射. 对任意,a A Î 若(),a n ϕ= 则将a 记为.n a 这样, A 的元素就编号排序成为如(1.5)式的无穷序列: 反过来, 若A 的元素可以编号排序成为如(1.4)的无穷序列, 令(),n f a n = 则f 是A 到N 的一一对应的映射. 因此A 是可列集. ■注意, 编号排序必须既无遗漏, 也无重复.例 5 自然数集当然是可列集. 以下几个集都可以编号排序, 因此都是可列集:奇自然数集: {1,3,5,,21,}.n -整数集Z : {0,1,1,2,2,,,,}.n n ---三角函数系: {1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,}x x x x nx nx在上面的例子中, 奇自然数集是自然数集的真子集, 但却与自然数集对等. 这表明无限集可以与其真子集对等. 这与有限集的情形是不同的.下面给出一个不可数集的例子.定理1.5 区间)1,0(不是可数集证明 首先注意到, 区间)1,0(中的实数可以表示为十进制无限小数:321.0a a a x =,其中i a 是0,1,,9 中的数字, 并且有无限多个i a 不为零. 例如5.0表示为,499.0 不表示为 500.0. 这样, )1,0(中每个实数的表示是唯一的(本节后面讨论的p 进制小数表示法, 将把这种表示法一般化).我们证明)1,0(不是可列集. 用反证法. 若)1,0(是可列集 则)1,0(中的实数可以编号排序成为一个无穷序列:},,,,{)1,0(321 x x x = (1.6),.0)1(3)1(2)1(11 a a a x =,.0)2(3)2(2)2(12 a a a x =,.0)3(3)3(2)3(13 a a a x =.现在考虑小数3210.0a a a x =,其中()()11,2, 1.i i i i i a a a ì¹ïï=íï=ïî则)1,0(0∈x . 但是i x x ≠0(1,2,3,)i = (因为0x 与i x 的第i 位数字不同). 这样0x 就不在(1.6)式的序列中, 这与假设矛盾! 因此)1,0(不是可列集. ■例 6 若A 是可列集, B 是有限集, 则A B È是可列集.证明 设},,,{21 a a A =1{,,}.n B b b = 若,A B Ç=Æ 则A B È的元素可以编号排序为112{,,,,,}.n A B b b a a È=此时A B È是可列集. 若,A B Ç¹Æ 注意到(),A B A B A È=È-这表明A B È可以表示为可列集与有限集的不相交并, 此时A B È也是可列集. ■定理1.6 可列集的任何无限子集还是可列集. 换言之, 可列集的子集是可数集.证明 设A 是一可列集, 则A 的元素可以编号排序成为一个无穷序列.,,,,21 n a a a设B 是A 的一个无限子集. 则B 中的元素是上述序列的一个子列.,,,,21 k n n n a a a因此B 是可列集. ■结合定理1.5和定理1.6知道, 实数集1R 是不可列集.定理1.7 任何无限集必包含一个可列子集.证明 设A 是无限集. 在A 中任取一个元, 记为.1a 假定11,,-n a a 已经取定. 由于A 是无限集, 故},,{11--n a a A 不空. 在},,{11--n a a A 中任取一个元, 记为.n a 这样一直作下去, 就得到A 中的一个无穷序列}.{n a 令112{,,},A a a = 则1A 是A 的一个可列子集. ■定理1.8 若{}i A 是一列可列集, 则1n i i A = 和1i i A ¥= 都是可列集.证明 设{}i A 是一列可列集. 则每个i A 的元素可以编号排序. 设12,{,,,},1,2,.i i i i j A a a a i ==先考虑可列并的情形. 1i i A¥= 的元素可按如下方式编号排序:111121314221222324331323344142::::A a a a a A a a a a A a a a A a a在编号排序时, 若碰到前面已编号的重复元素, 则跳过去不再编号. 于是1ii A ¥= 的全部元素可以按上述方式编号排序成为一无穷序列. 所以1i i A ¥= 都是可列集.1n i i A = 也可以用同样的方法编号排序, 因此1nii A = 也是可列集. ■ 定理1.9 若{}i A 是一列有限集, 则1i i A ¥= 是有限集或可列集.证明 记1.i i A A ¥== 我们只需证明, 当A 不是有限集时, A 是可列集. 事实上, 可以先排1A 的元素, 排完1A 的元素后再排2A 的元素, 这样一直排下去, 若碰到重复元素则跳过去不排. 这样, A 的元素可以编号排序成为一无穷序列. 因此A 是可列集. ■定理1.8和定理1.9可以合并叙述为: 可数个可数集的并还是可数集. 定理1.10 若1,,n A A 是可列集, 则它们的直积1n A A ´´ 是可列集. 证明 为简明计不放只证2=n 的情形. 一般情况可以用数学归纳法证明.设112{,,},A a a = 212{,,}.A b b =对每个正整数,1≥k 令11{}{(,):}.k k i k i E A b a b a A =´=Î则121.k k A A E ¥=´= 将(,)i k a b 与i a 对应即知k E 与1A 对等. 因此每个k E 是可列集.根据定理1.8知道12A A ´是可列集. ■推论1.1 设1,,n I I 是n 个可列集. 则1,,11:,,{}n i i n n A a i I i I =ÎÎ是可列集.证明 将1,,n i i a 与1(,,)n i i 对应即知A 与n I I ⨯⨯ 1对等. 由定理 1.10, n I I ⨯⨯ 1是可列集. 因此A 也是可列集. ■例如, 集{:,}i j A a i j =ÎN 是可列集.例7 有理数集Q 是可列集.证明 对每个,,3,2,1 =n 令 {}123,,,.n A n n n= 则每个n A 是可列集. 由于正有理数集+Q =1n n A ¥= 由定理1.8知道+Q 是可列集.由于负有理数集-Q 与+Q 对等, -Q 也是可列集. 从而=Q {0}+-ÈÈQ Q 是可列集. ■ 有理数集是可列集, 这个事实非常重要, 以后会经常用到.例8 设n n=´´Q Q Q 是n R 中的有理点(即座标全为有理数的点)的全体所成的集. 由例7和定理1.10知道n Q 是可列集.例9 整系数多项式的全体是可列集.证明 设n P (0,1,2,3,n = )是n 次整系数多项式的全体. 则0n n P ¥= 就是整系数多项式的全体. 由对应关系0101(,,,)n n n a a x a x a a a +++«即知n P ~01n n -´´´Z Z Z (其中01,,n -=Z Z Z 是整数集，{0}n =-Z Z ). 由于0,,n Z Z 都是可列集, 根据定理1.10, 01n n -´´´Z Z Z 是可列集, 因此每个n P 都是可列集. 再由定理1.8知道0n n P ¥= 是可列集. ■实数x 称为是一个代数数, 若x 是某个整系数多项式的零点. 显然每个有理数是代数数. 由于220x -=的根, 是代数数. 这表明有些无理数也是代数数.例10 代数数集是可列集.证明 根据例9的结论, 可设整系数多项式的全体为}.,,{21 p p 又设 :{A x x =是代数数},:{n A x x =是n p 的实零点}, .,2,1 =n则每个n A 是有限集, 并且1.n n A A ¥== 显然A 是无限集, 根据定理1.9知道, 代数数集是可列集. ■例11 若{}A I α=是直线上一族互不相交的开区间所成的集(注意A 中的元是开区间), 则A 是可数集.证明 对每个,I A αÎ 在其中任意选取一个有理数记为.r α 作映射:f A Q 使得().f I r αα= 由于当12I I αα¹时12,I I ααÇ=Æ因此12.r r αα¹这说明f 是单射. 令(),B f A = 则f 是A 到B 的一一对应的映射, 从而.A B 由于Q 是可列集, ,B ÌQ 由定理1.6知道B 是可数集. 因此A 亦如此. ■例12 定义在区间上的单调函数的间断点的全体是可数集.证明 设()f x 是定义在区间I 上的单调函数, 不妨设()f x 单调增加. 对任意,x I Î()f x 在x 的左右单侧极限(0)f x -和(0)f x +都存在, 并且(0)(0).f x f x -£+ 若x 是()f x 的间断点, 则(0)(0).f x f x -<+ 这样()f x 的每个间断点x 就就对应一个开区间((0),(0)).f x f x -+ 由于当12x x <时12(0)(0),f x f x +£- 因此不同的间断点对应的开区间不相交. 这样()f x 的间断点的全体就对应于直线上的一族互不相交的开区间. 由例11的结果即知()f x 的间断点是可数集. ■1.2.3 基 数两个有限集可以比较它们的元素的多与少. 对于两个无限集, 可以通过元素对应的方法, 在某种意义下也可以比较它们的元素的多与少.定义 1.7 设A 和B 是两个集, 如果,A B 则称A 和B 具有相同的基数(或势). 集A 的基数记为A .根据基数的定义, 所有相互对等的集具有同样的基数. 因此, 集的基数是所有相互对等的集的一种共同属性, 是有限集元素个数这个属性的推广.规定集{1,2,,}n 的基数用n 表示, 空集∅的基数用0表示. 即有限集的基数等于该集中元素的个数. 自然数集N 的基数用符号0À(读作“阿列夫零”)表示.实数集1R 的基数用c 表示, 称之为连续基数.基数的比较 设B A ,是两个集. 若A 与B 的一个子集对等, 则称A 的基数小于或等于B 的基数, 记为.B A ≤ 若,A B £ 但A B ¹ 则称A 的基数小于B 的基数, 记为A B <或.B A >例13 若A 是无限集, 则0.A À£ 换言之, 可列集的基数是无限集基数中的最小的一个. 事实上, 根据定理1.7, A 包含一个可列集. 设这个可列集为1.A 则自然数集N 与A 的子集1A 对等. 因此0.A À=£N此外, 由于N 与1R 不对等, 因此10.À¹=N R 从而0.c À<定理1.11 若A 是无限集, B 是有限集或可列集, 则.A B A È=证明 不妨设,∅=⋂B A 否则用A B -代替.B 又不妨只考虑B 是可列集的情形. 设12{,,}.B b b = 因为A 为无限集, 由定理1.7知道A 包含一个可列子集1.A 设112{,,}.A a a = 作映射:,f A B A È 使得当1n a A Î(1,2,)n = 时, 21(),n n f a a -=当n b B Î(1,2,)n = 时, 2(),n n f b a =当1x A A Î-时, ().f x x =显然f 是A B È到A 的一一对应. 因此,A B A È 于是.A B A È= ■例14 无理数集的基数是.c证明 记无理数集为,A 有理数集为.Q 显然A 是无限集. 根据定理 1.11, 我们有1.A A c =È==Q R因此无理数集的基数是.c ■例14表明在实数集中, 无理数比有理数多得多.设x 是一个实数. 若x 不是代数数, 则称x 为超越数. 类似于例14容易证明, 超越数的全体具有基数.c 而代数数集的基数是0.À 这表明超越数是存在的, 而且要比代数数多得多.例15 区间(0,1)和区间[0,1]的基数都是.c证明 作函数:(0,1)f 1,R 12()tan().f x x π=- 则f 是一一对应的映射. 故(0,1)与1R 对等. 因此(0,1)的基数是.c 由于[0,1](0,1){0,1},=È 根据定理1.11, [0,1](0,1).c ==仿例15的证明, 可以证明直线上任何区间的基数都是.c 在上面在证明[0,1](0,1)=时, 我们利用了定理1.11. 实际上也可以直接作出一个[0,1]到(0,1)的一一对应. 例如, 作映射:[0,1](0,1)ϕ 使得1111(0),(1),,2,3,.23211(),0,1,,,.23n n n x x x ϕϕϕϕæöç====ç+çèø=¹则ϕ是[0,1]到(0,1)的一一对应. 因此[0,1]~(0,1).为了下面的需要, 现在介绍p 进制小数. 设2p ³是一自然数, }{n a 是一个数列, 其中n a 只取0,1,,1p - 为值. 则级数++++n n pa p a p a 2211 (1.7) 收敛, 并且其和[0,1].x Î 把级数(1.7)的和记为..021 n a a a x = (1.8)称上式的右边为p 进制小数. 在p 进制小数(1.8)中, 若有无限多个0,n a ¹ 则称之为p 进制无限小数, 否则称之为p 进制有限小数. 这样, 一个p 进制无限小数表示区间(0,1]中的一个实数.定理1.12 p 进制无限小数与区间(0,1]中的实数一一对应.证明 以2=p 为例. 一般情形是类似的. 上面我们已经知道, 一个二进制无限小数表示区间(0,1]中的一个实数. 反过来, 设(0,1].x Î 将区间(0,1]分割为两个等长的区间(120,ùû和(12,1.ùû 若x 落入在第一个区间, 则令10.a = 若x 落入在第二个区间, 则令1 1.a = 设1a 已经确定,则(111222,.a a x ù+ûÎ将区间(111222,a a ù+û分割为两个等长的区间112,1222a a +æùçúççúèû, 11211,2222a a æùçú++ççúèû. 若x 落入在第一个区间, 则令20.a = 若x 落入在第二个区间, 则令2 1.a = 这样一直作下去, 得到一个数列},{n a 其中0n a =或1, 并且有无限多个.1=n a 由这样的数列}{n a 构成的级数(1.7)的部分和n s 满足.1,210≥<-<n s x nn 令∞→n 得到.lim n n s x ∞→= 这表明x 是级数(1.7)的和. 于是x 可以唯一地表示成二进制无限小数..021 n a a a x = ■设12(,,)a a a = 是一数列. 若每个n a 只取0或1两个可能的值, 则称}{n a 为二元数列.定理1.13 (1) 二元数列的全体所成的集具有基数.c(2) 若X 是一可列集, 则)(X P 具有基数.c证明 (1). 将二元数列的全体所成的集记为,A 二进制无限小数的全体记为.E 由定理1.12, (0,1].E c == 令1:(,,,0,),1,2,{}n B a A a a a n =Î== .即B 是从某一项开始恒为零的二元数列的全体. 对每个1,2,,n = 令1:(,,,0,).{}n n B a A a a a =Î=则1.n n B B ¥== 由于每个n B 只有2n 个元, 故B 是可列集. 作映射:f A B E - 使得()1212(,,)0..f a a a a =则f 是A B -到E 的一一对应, 因此,A B E - 从而.c E B A ==- 由定理 1.11知道().A A B B A B c =-È=-=(2). 设}.,,,,{21 n x x x X = 作映射:(),X A ϕ P 使得),,,()(21 a a C =ϕ ∈C ).(X P其中1,,0,.n n n x C a x C Îìïï=íïÏïî则ϕ是一一对应的映射, 因此)(X P ~A , 从而.)(c A X ==P ■特别地, 自然数集N 的子集的全体所成的集具有基数.c定理1.14* (F. Bernstein 定理) 设,A B 是两个集. 若A 与B 的一个子集对等, 并且B 与A 的一个子集对等, 则A 与B 对等. 用基数表示就是, 若A B £并且,B A £ 则.A B =证明 略(见教材). ■Bernstein 定理是证明两个集对等的一个有力工具. 下面举两个个例子说明Bernstein 定理的应用.例17 .n c =R证明 由于1R 与n R 的子集1(,0,,0):{}x x ÎR 对等, 因此1.n £R R 另一方面, n R 与¥R 的子集11{(,,,0,):(,,)}n n n x x x x ÎR 对等, 因此1.n ¥£=R R R 再由Bernstein 定理即知1.n c ==R R ■例18 设[,]C a b 是[,]a b 上的连续函数的全体. 则[,].C a b c =证明 对任意1,a ÎR 作常数函数()([,]),f x a x a b =Î 则[,].f C a b Î 因此1R 与[,]C a b 的一个子集对等, 从而1[,].C a b £R (1.11)另一方面, 设12{,,}r r 是[,]a b 中的有理数的全体. 作映射:[,]C a b ϕ¥ R 使得()12()(),(),,[,].f f r f r f C a b ϕ=Î则ϕ是单射. 事实上, 若,[,]f g C a b Î使得()(),f g ϕϕ= 则()()i i f r g r =(1,2,).i = 对任意[,],x a b Î 存在{}n r 的一个子列{}k n r 使得k n r x ().k ¥由于f 和g 的连续性得到()lim ()lim ()().k k n n k k f x f r g r g x ¥ ¥=== 所以.f g = 这表明 是单射, 因此[,]C a b 与¥R 的一个子集对等. 于是1[,].C a b ¥£=R R (1.12)综合(1.11)和(1.12), 利用Bernstein 定理即知1[,].C a b c ==R ■注1 根据定理 1.13(2)的结论, 若X 的基数是0,À 则)(X P 的基数是.c 在例13中的已经知道0.c À< 因此若X 是一可列集, 则().X X <P 一般地可以证明对任何一个非空集A , 必有().A A <P 这说明不存在一个具有最大基数的集.注 2 关于连续统假设. 集合论的创立者Cantor 猜想不存在一个集A 使得0.A c À<< Cantor 用了很大精力试图证明这个结论, 但没有成功. 但他相信这个结论是正确的. 这就是著名的“连续统假设”. 在1900年的国际数学家大会上, 著名的数学家希尔伯特(D. Hilbert, 1862-1943)提出了在新世纪数学家应当关注的23个数学问题, 其中第一个就是连续统假设. 连续统假设的真与假只能在给定的集合论的公理系统下才能作出结论. 在Z-F 集合论公理系统的框架下, 这个问题在1938年获得部分解决, 直到1963年获得最终解决. 结论是, 在Z-F 集合论公理系统的框架下, 连续统假设既不能被证明, 也不能被推翻. 连续统假设与集合论的其他公理是彼此独立的.习 题 习题1, 第5题-第13题.§ 1.3 集 类本节要点 本节介绍了代数和σ-代数这两种重要的集类. 特别是σ-代数是在测度论中常用的集类.由一个给定的集类生成的σ-代数是本节的另一个重要的概念.本节最后一部分介绍了在测度论中常用的一种证明方法,即“σ-代数方法”.利用这种方法常常可以简化一些定理的证明.设X 是一固定的非空集. 以X 的一些子集为元素的集称为X 上的集类. 一般用花体字母如A ,B ,C 等表示集类. 例如, 直线上开区间的全体就是1R 上的一个集类. 由X 的所有子集构成的幂集()X P 就是X 上的一个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是X 上的集类.设A 是一非空集类. 若对任意,,,A B A B ÎÈÎA A 均有 则称A 对并运算封闭. 显然若A 对并运算封闭, 则A 对有限个集的并运算也封闭. 若对A 中的任意一列集{}n A 总有1,n n A ¥=ÎA 则称A 对可列并运算封闭. 类似可定义集类对其它运算的封闭性.例如, 考虑1R 上的集类11(,),1,2,,.:n i i i A a b n A A =ìüïïïï===ÆíýïïïïîþÌ=R C 或 易知C 对并运算和交运算封闭, 但对差运算和可列并运算不封闭.1.3.1 代数与σ-代数在测度论中经常要遇到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就得到不同的集类. 本节主要介绍代数和σ-代数两种集类.定义1.8 设A 是一个非空集类. 若A 对并运算和余运算封闭, 则称A 为代数.例1 设X 是一无限集. 则:{}C A X A A A 或是有限集=Ì是代数.事实上, 由于,ÆÎA 故A 非空. 显然A 对余运算封闭. 设,.A B ÎA 若A 和B 都是有限集, 则A B È是有限集, 因而.A B ÈÎA 若A 和B 中至少有一个是无限集, 不妨设A 是无限集. 则C A 是有限集. 由于()C C C C A B A B A È=ÇÌ,故()C A B È是有限集, 此时也有.A B ÈÎA 因此A 对并运算封闭. 这就证明了A 是代数. ■定理1.15 设A 是一个非空集类. 则。

介绍微分方程的基本概念及分类，如初值问题、边界问题等。
微分学基本定理
导数的定义
介绍导数的定义及基本性质，如求导法则、高阶导数 等。
中值定理
介绍中值定理的内容及其证明方法，如拉格朗日中值 定理、柯西中值定理等。
极值定理
介绍极值定理的内容及其应用，如单调函数的极值、 最值等。
02 泛函分析
泛函分析的基本概念
投影定理：有界线性算子的投 影定理
紧算子与Fredholm算子
紧算子的定义
将紧集映射为紧集的算子
Fredholm性质
可逆、可计算、可逼近的性质
ABCD
Fredholm算子的定义
具有Fredholm性质的算子
Fredholm算子的应用
在微分方程、积分方程等领域有广泛应用
自伴算子与投影算子
自伴算子的定义
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
01
正交分解定理
02
Hilbert空间
03
Hilbert空间的定义
内积空间与Hilbert空间
正交基 Riesz表示定理
巴拿赫空间与连续线性映射
总结词：泛函分析是研究线性或非线性算子在某 种空间上的性质及其应用的学科，相关习题主要 考察学生对算子、空间及其性质的理解程度。
1. 空间上的算子与变换部分的习题主要涉及线性 算子、有界算子、紧算子等不同类型的算子的定 义、性质和计算方法，以及空间上的变换和约化 定理的应用。

命题 3 （ii）E 是闭集。
O( x', ')
利用 ( E )' ( E E ' )' E ' ( E ' )' E ' E ' E ' E 可得 E为闭集
E
命题 3 （i）E 是闭集。（ii）E 是闭集。
证明
（i）设 x0 (E), 则对 0, 点 x1 U (x0, ) s.t. x1 E. 由第一节命题 3 知, 0 , 使U( x1, ) U( x0, ).
（ii） 只须证两个开集 G1、G2 的交 G1 G2 是开集.
设x0 G1 G2 , 则 x0 G1 且 x0 G2 , 从而存在正数 1、
2 使 U (x0 ,1 ) G1、U (x0 , 2 ) G2 .
由第一节命题 （3 iii）, 存在 0 使 U (x0 , ) U (x0 , i ) （i 1,2）, 从而U (x0 , ) G（i i 1,2）, U (x0 , ) G1 G2 ,
故 x0 是G1 G2 的内点, 所以 G1 G2 是开集.
（iii）设
x0
I
G
,则存在 0

I
使
x0
G0 .由G0
是
开集知存在 0 使U (x0 , ) G0 , 从而U (x0 , )
G ,故
I
x0
是 I
G
的内点. 所以 G I
i.e., 没有孤立点的集合就是自密集。
定义5 设 E 是 RN 中的点集, 若 E E, 就称 E 是完备集。
因此, 完备集就是自密的闭集 (E E,E E ). i.e., 没有孤立点的闭集就是完备集。

数学专业课复试专题系列——实变函数论（集合与测度,可测函数）实变函数论是数学专业的一门重要的基础课，一般在大二下学期开设，需要学习者有较为良好
的数学分析基础.这门课的主要内容是通过引入测度这一概念，将Riemann积分的概念进行了推
广，得到了如Lebesgue积分或Lebesgue-Stieltjes积分等，并进一步降低了交换运算与取极限间
次序对于收敛性的要求.这些内容在概率论，偏微分方程，泛函分析，金融数学等学科中有着广
泛的运用.通常来说实变函数是整个本科阶段数学阶段较为难学的一门课，其难点主要表现在对
测度这一概念感到十分抽象与陌生，所以目前一个较为“可行”的方法是对测度论仅做简单介绍之
后，直接引入可测函数与积分的相关内容，但其局限性在于后续的内容无法进一步拓展和推广.
我的整理内容主要来自于(1)，但学习(1)前我是先学习了(3)并完成了相关习题，(1)中对于测度的
相关概念讲解深入，并且相较于(1)有许多细节的补充.由于篇幅所限，并且针对于考研复试，故
诸如Zorn引理，连续统假设，环的延拓，不可测集的构造等内容并未收入.这是我第一次尝试教
材(1)，欢迎指正！。

实变函数笔记（1）——集合与基数 实变函数这门课应该是我这学期最为困难的⼀门课，因此更需要加把劲去学习。

这门课⼀开始是从定积分的定义出发的，我们知道求曲边梯形⾯积⼀共分为4步：(1)划分区间;(2)对每个⼩区间[x i−1,x i]上选定⼀点ξi计算f(ξi);(3)对每个区间上的⼩矩形⾯积求和;(4)令最⼤的⼩区间长度趋向于0，如果求和存在极限，那么记为定积分lim。

接着在数学分析中我们已经知道连续函数必然可积，除此之外，还有什么类型的函数可以求定积分呢？考虑下⾯的函数f(x) =\begin{cases} 0 & x \in Q \\ x & x \not \in Q \\ \end{cases} 显然⽆论\bigtriangleup x_{i}多么⼩均可以找到\xi _{i} \in Q或\xi _{i} \not \in Q，因此定积分\int_{a}^{b}f(x)dx不存在。

基于以上事实，我们需要将现有的黎曼积分推⼴，之后我们会看到，当对y进⾏划分时，如果x轴上的测度存在，那么我们可以定义Lebesgue积分(L) \int_{a}^{b}f(x)dx 这门课程的⼀个⼤⽬标是证明这个定理：如果函数f(x)黎曼可积，那么它必然Lebesgue可积，并且两者相等，反之不然。

为了证明该定理，我们引⼊了⼀系列新的概念，⽐如建⽴了测度，它是长度、⾯积和体积的推⼴。

此外还将连续函数推⼴为可测函数，利⽤可测集代替开区间，可以断⾔的是，可测集⼏乎是开区间，可测函数⼏乎是连续函数。

让我们从集合开始，它是建⽴测度的基础。

⼀、集合的基本运算 集合的基本运算在离散数学课程已经提到过，这⾥只需要重新回忆起即可。

Def1 (⼦集、补集、集合的相等)⼦集是说对于两个集合A和B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称A是B的⼦集。

补集是说给定全集U及它的某个⼦集A，由所有x \in U但x \not \in A的元素组成集合称为A的补集，称为\overline{A}或者A^{C}集合的相等是指对于两个集合A和B，如果A \subset B且B \subset A，那么有A=B 对于集合的交集、并集，有如下的公式以及De Morgan法则Thm2 (集合的交并补公式)(1) A \bigcap (B \bigcup C) = (A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)(2) (A \bigcap B) \bigcup C = (A \bigcup C) \bigcap (B \bigcup C)Thm3 (De Morgan法则)设\{ A_{i} \}为集合列，那么成⽴如下并集和交集规律(1) (\bigcup _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcap _{i=1}^{n} (A_{i})^{C}(2) (\bigcap _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcup _{i=1}^{n} (A_{i})^{C} 接下来需要对集合引⼊极限的概念，我们称之为上极限集和下极限集。

02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。

VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定 积分都可以通过求和的方式计算，该求和 公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、 加速度、位移等物理量；在经济学中，微分 被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、 体积、能量等物理量；在经济学中，积分被 用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连 续的，即任意两个不同的实数之 间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同 的实数之间都存在无限多的其他 实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z， 有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确 定性、互异性和无序性等基本性质。
实变函数论ppt课件
目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用

CHAPTER
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。

21
第27讲 Lp-空间简介
| f (x) g(x) || f (x) | | g(x) | a.e.[E]
这意味着 f (x) 与 g (x) 的符号在E上几乎处处
1
相 同， 从而由 | f (x) | c p | g(x) | a.e.[E] 得
1
1
f (x) c p g (x) a.e.[E] 所以 f (x) c p g(x) a.e.[E] ，
由上面的讨论，显见对任意 f , g Lp (E，) 有
0 ( f , g)
7
第27讲 Lp-空间简介
即 是Lp (E) Lp (E) 上非负的有限函数。它是不是Lp (E) 上的距离呢？为此，设 ( f , g) 0 ，则得
1
[ | f (x) g(x) |p dx] p 0 ， E
则显然有 [ f ] [g] 。这样， 作为 Lp (E) Lp (E)
上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是
显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。
10
第27讲 Lp-空间简介
为方便起见，以后也用 f 记 [ f ]，只要说f Lp (E)
则指的就是与 f 几乎处处相等的函数类[ f ] ，若
证毕。
由定理2不难看到 Lp (E) Lp (E上) 的函数
满足三角不等式，即对任意 f , g, h Lp (E) ，
22
第27讲 Lp-空间简介
有 ( f , g) ( f , h) (h, g) 。 1
事实上， ( f , g) [ |f (x) g(x) |p dx] p 1
|f g |p dx 0 ，且
p 1
，注意到
p

第6讲 直线上的点集
问题3 问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？ 集合？
第6讲 直线上的点集
Cantor集的构造: 将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间
2 三等分，删去中间的两个区间即 1 , 9 , 7 , 8 。 9 9 9
1 2 , ，将剩下的两个区间 3 3
(α, β) − F = U(αi , βi ) ，从而
证毕。 证毕。
F = [α, β] − U(αi , βi ) = I([α, β] − (αi , βi )) 。
i i
i
第6讲 直线上的点集
问题8 直线上什么样的闭集是完备的？ 问题8：直线上什么样的闭集是完备的？所有 的完备集都是这样的吗？ 的完备集都是这样的吗？
。如
果 αx ∈G ，则存在 α, β ，使 αx ∈(α, β) ⊂ G， 显然 (α, βx ) ⊂ (α, β) U (αx , βx ) ⊂ G，这与αx的 定义矛盾。因此 αx ∉G 。同理可证 βx ∉G 。
第6讲 直线上的点集
(i)证完。 再证（ii），对任意 x, y ，若
(αx , βx ) ≠ (αy , βy ) ， (αx , βx ) I(αy , βy ) ≠ ∅ ，
x 必然在删去的区间内，即 x∉G 。因此，除了分 必然在删去的区间内， 因此，
点外， 中当且仅当其三进制表示中不出现数1 点外，x 在 G中当且仅当其三进制表示中不出现数1。 注意挖去的区间是可数的， 也可数， 注意挖去的区间是可数的，故分点集 G0 的区间是可数的 也可数，因此
第6讲 直线上的点集
存在开区间 (α, β ) ，使 x ∈(α, β ) ⊂ G 。 不难看到， 中开区间有无穷多个， 不难看到，包含 x 的 G 中开区间有无穷多个，记

第一章集合（总授课时数8学时）由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法. 集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解.授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母A, B,C , D , X , Y, Z L 表示集合，用小写字母a,b,c, x, yL 表示集合中的元素．如果 a 是集合 A的元素，则说 a 属于A，记作a A ，或说A含有a．如果 a 不是集A的元素，则说a 不属于A，记作a A ，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{ a} ．由n个元素 a1 , a2 L a n所组成的集合，可表示为{ a1 , a2 L a n }由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L , n,L } ．当集 A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A { x | x具有性质 p}例如，方程x2 1 0 的解x的全体组成的数集是{ x | x210} ，实际上就是 { 1, 1} .有时我们也把集 { x | x E, x 具有性质 p} 改写成 E[ x 具有性质 p] ．例如，设 f ( x) 是定义在集合 E 上的一实函数，a是一个实数，我们把集{ x | x E, f (x) a} 写成E[ f (x) a] 或 E[ f a] ．不含任何元素的集合称为空集，记作．设 A ， B 是两个集，若 A 和 B 的元素完全相同，就称 A 和 B 相等，记作 A = B (或B = A ).若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，就称为 A 是 B 的子集，记作 A B (或 B A )，读作 A 包含于 B (或B包含A)．若 A B 且 A B ,就称A是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理 1 对任何集合 A ， B ，C，均有（1）A A ；（2）若A B, B C ，则A C；（3）A BA B 且 B A ．二集合的运算设 A ， B 是两个集合，集合 A 与 B 的并集或并 A U B { x : x A或 x B}集合 A 与 B 的交集或交 A I B { x : x A且 x B}特别地，若 A B，称A与B不相交；反之，则称 A 与 B 相交．集合 A 减 B 的差集或差:A B或 A B { x : x A但 x B}当 B A时，称差集A B 为 B 关于A的余集记作(C A B)．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集 A 的子集时，就称 A为基本集或全集，并把 A 的子集B关于 A 的余集C A B简称为B的余集，记为B C或 CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合 A ,此时我们称 { A |} 是以为指标集的集族，集族{ A |} 的并与交分别定义为 :U A { x :, 使x A } IA { x :, 有xA }例 设 A n{ x : 11x 11}, n N , 则nnnA n [ 1,0],A n( 2,1)1n 1关于集合的并和交显然有下面的性质： ( 见课本 P9-P10)更一般地有 : De Morgan 公式(UA ) cIA c , ( I A )cUA c证明（略）注：通过取余集，使A 与 A C ，与 互相转换 .三、集列极限设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 是一个集合序列， ，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim A n (或 limsup A n ) { x : x 属于无限多个集合 A n } { x : 存在无限多个 A n ，使 x A n }nn{ x : N , n N , 使 x A n }I UAnN 1 n N下极限集：lim A n ( 或 liminf A n ) { x : 除去有限个集外， 有 x A n } { x : 当 n 充分大时，有 x A n }nn{ x : N , n N ,有 x A n }UIAnN 1 n N注：I A nlim A nlim A nU A nnnn 1 n 1例：设 A 2n [0,1], A 2 n 1 [1,2] ，则上极限集为 [0,2] ,下极限集为 {1} .极限集如果集列 { A n } 的上极限集与下极限集相等，即lim A n lim A n Ann则称集列 { A n}收敛，称其共同的极限为集列{ A n } 的极限集，记为： lim A n An单调增集列极限若集列 { A n } 满足 A nA n 1 ( n N ), 则称{ A n }为单调增加 ;若集列 { A n} 满足 A n A n 1 ( n N ),则称 { A n }为单调减少 ; 定理 2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列 { A n } 单调增加，则lim A n U A nn n 12) 如果集列 { A n } 单调减少，则lim A n I A nn n 1例1：设A2n 1 ( 1 1 1( n, n), n N, 则,1 ), A2 nn nlim A n ( , ) ， lim A n ( 1,1] n n例 2：设A2n 1 [ 1,41], A2 n [1,11], n N, 则n n n nlim A n [0,4) ， lim A n (0,1]n n小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础 .证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要 , 以后会经常用到 . 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念 .——————————————————————————————作业： P30 5, 7, 8练习题1. 设{ A n}为一集列：n 1（1）作B1A1 , B n A n U A k (n1) ，证明{ B n}为一列互不相交的集列，且k 1n nU A k U B k ( n 1,2,L )k 1k 1（2）若{ A n}是单调减少的集列，证明A1( A1 A2 ) ( A2 A3 ) L( A n A n 1 ) L( I A k ),k 1并且其中各项互不相交.2. 证明 :(1) nUIA n,n IUA n lim A n lim A nN 1 n N N 1 n N(2) lim A n lim A nn n(3) { A n } 单调递增时，有 lim A n lim A n lim A n U A nn n n n 1(4) { A n } 单调递减时，有 lim A n lim A n lim A n I1 A nn n n n3. 已知A2n E, A2n 1 F ,( n 1,2,L ) ，求 lim A n和 lim A n ，并问 lim A n是否存在？n n n§2对等与基数教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心. 基数的概念，讨论都要用一一对应的方法 . 证明两个集对等或具有相同的基数 , 有时需要一定的技巧 , 因而具有一定难度 , 通过较多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其中的技巧 .本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是R n的子集,值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念.定义：设 X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则 f ，对X中的每个 x ，均存在Y中唯一的 y 与之对应，则称这个对应法则 f 是从X到Y的一个映射，记作 f : X Y 或：设 X , Y 是两个非空集合， f 是X Y 的子集，且对任意 x X ，存在唯一的y Y 使 (x, y) f ，则 f 是从X到Y的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外 , 我们还经常会遇到许多其它的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2集合运算关于映射的性质（像集）定理 1 ：设f : X Y, A, B, A () 是X的子集，称 { f ( x) : x A} 为A的像集，记作 f ( A) ，则有：1) A B f ( A) f (B);U A ) U f ( A );2) f ( A U B) f ( A) U f ( B), 一般地有 f (3) f ( A I B) f ( A) I f ( B), 一般地有 f ( I A )I f ( A );证明的过程略注： f (A I B) f ( A) I f ( B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当 f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理 2：设f : X Y, A X ,C , D ,C () 是Y的子集，称{ x : f (x)C} 为C的原像集，记作 f 1(C )( f不一定有逆映射），则有：1)C D f 1 (C ) f 1 ( D );1 1 1一般地有：1 12) f (C U D ) f (C ) U f ( D ), f ( U C ) U f (C );3) f 1 (C I D ) f 1 (C ) I f 1 (D ), 一般地有： f 1 ( I C ) I f 1 (C );4) f 1 (C D) f 1 (C) f 1( D );5) f 1 (C c ) [ f 1 (C)] c ;6) A f 1 [ f ( A)];7) f [ f 1 (C)] C;证明略 .注： 6）， 7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当 f 为单射，7）等号成立当且仅当 f 为满射.3对等与势1）定义设 A ， B 是两非空集合，若存在着 A 到 B 的一一映射（既单又满），则称 A 与 B 对等,记作 A ~ B .约定 ~ .注：（ 1）称与A对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A .（2）势是对有限集元素个数概念的推广.2）性质a) 自反性：b)对称性：c) 传递性：A ~ A;A ~B B ~ A;A ~ B,B ~C A ~ C;例： 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z2)( 1,1) ~ ( , )证明：令 f : x tg ( x) ，则 f 是 ( 1,1) 到 ( , ) 的一一映射.故2( 1,1) ~ ( , )注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较a) 若 A ~ B, 则称 A B；b) 1B, 则称A B； A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射 .若 A ~ B 相当于：c) 若A B,且 A B，则称 A B .注：不能用 A 与 B 的一个真子集对等描述. 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , )4 Bernstein 定理引理：设 { A : }{ B : }是两个集族，是一个指标集，又，, A ~ B , 而且 { A : } 中的集合两两不交， { B : } 中的集合两两不交，那么：U A ~ U B证明略定理 3:（ Bernstein 定理）若有A的子集A* ，使 B ~ A* , 及B的子集B* ，使 A ~ B* , 则A ~ B. 即：若 A B,B A, 则A B.证明：根据题设，存在 A 到 B*上的一一映射 f ，以及B到A*上的一一映射g .令A1 A A*， B1 f ( A1 ) ， A2 g ( B1 ) ， B2 f ( A2 ) ， A3 g( B2 ) ， B3 f ( A3 ) ，L L 由 g(B) A*知 A2 g( B1 ) A* , 而 A1 A A*，故 A1与 A2不交.从而 A1, A2在 f 的像B1 , B2不交， B1 , B2在g下的像 A2 , A3不交.由 A3A* , 知 A1与 A3不交，故 A1 , A2 , A3两两不交.从而 A1, A2 , A3在 f 的像 B1 , B2 , B3也两两不交， L Lf从而 A1 , A2 , A3 ,L两两不交，B1 , B2 , B3 ,L 也两两不交且A n ~B n (n 1,2,L ),fU A n~ U B nn 1n 1g另外由 B k ~ A k 1 (k 1,2,L ), 可知gU B k~ U A k 1k 1k 1g又 B ~ A* , 所以g U A k 1， A* U A k 1 ( A A1 )U A k 1 A U A kB U B k ~ A*k 1 k 1 k 1 k 1 k 1B U Bk ~ A U Akk 1k 1A ( A U A k ) U (U A k ) ~ (B U B k ) U (U B k )Bk 1k 1k 1k 1 证毕．注：要证 A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例： ( 1,1) ~ [ 1,1]证明：由 ( 1,1) [ 1,1] (,) ~ ( 1,1)可知， ( 1,1) ~ [1,1]——————————————————————————————作业： P30 9, 10练习题1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？2．证明:若A B C , A : C , 则A : B : C.3. 证明：若A B ， A : A C ，则有 B : B C .4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F : M .§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集. 可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来 , 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握 .本节难点证明集合可数 .授课时数2学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a 或01,2,3,4,5,6 L La1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L注： A 可数当且仅当 A 可以写成无穷序列的形式{ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L } 例： 1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 L }2）[0,1] 中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, L }２可数集的性质（子集）定理 1 任何无限集合均含有可数子集 .证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为则e1.M { e1} ,在M{ e1}中取一元素e2 ,显然e2e1 .设从M中已取出n个互异元素1, 2 n,由于M 是无限集，故 M { e1, e2 ,L e n } ,于是又可以从1, 2n 中e e ,L e M { e e ,L e }取出一元素 e n 1,它自然不同于 e1, e2 ,L e n.所以，由归纳法，我们就找到 M 的一个无限子集{ e1,e2,L , e n L } 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集A a1 , a2 , a3 ,L，B b1 , b2 ,L , b n，C c1 , c2 , c3 ,L假设 A, B, C 两两不交，则A B b1 ,b2 ,L , b n , a1 ,a2 ,L（当集合有公共元素时，不重复排）第9页（共 14 页）A C a1 ,c1 , a2 ,c2 , a3 , c3 ,L关于可数个可数集的并仍可数集的明a11 , a12 , a13 , a14，La21 , a22 , a23 , a24，La31 , a32 , a33 , a34，La41 , a42 , a43 , a44，LL , L , L , L ，L当A i互不相交，按箭所示，我得到一个无序列;当A i有公共元，在排列的程中除去公共元素；因此U A n是可数集。

《实变函数论》课程主要内容第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A B C --=- ； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+ ； 2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1) ；②证明(0,1)[0,1] ；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；5、第一章所布置的作业。

第二章 点 集1、度量空间，n 维欧氏空间中有关概念2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor 集的构造和性质；5、练习： ①P =，P '= ，P = ； ②111,,,,2n '⎧⎫⎨⎬⎩⎭ = ； 6、第二章所布置的作业。

第三章 测 度 论1、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、 零测度集的例子和性质；4、 可测集的例子和性质；练习： ①mQ = ，mP = ；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；5、存在不可测集合；6、第三章所布置的作业。

第四章 可 测 函 数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；7、第四章所布置的作业。

应用：实变函数的积分在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解某些物理量、优化 问题等。
04
实变函数的微分
实变函数的微分定义
实变函数的微分概念 微分的基本性质 微分与导数的关系 微分的应用
实变函数的微分性质
实变函数的微分定义 微分性质：可加性、可数性、可交换性 微分与导数的关系 微分在函数逼近中的应用
物理学：实变函数论在物理学中也有着重要的应用，例如在量子力学、热力学等领域 中，实变函数论可以用来描述一些物理现象。
工程学：实变函数论在工程学中也有着广泛的应用，例如在电气工程、机械工程等领 域中，实变函数论可以用来解决一些实际问题。
经济学：实变函数论在经济学中也有着重要的应用，例如在金融工程、计量经济 学等领域中，实变函数论可以用来描述一些经济现象和解决一些实际问题。
投资组合优化：实变函数论可以用于优化投资组合，提高投资收益并降低风险。
信用评级：实变函数论可以用于评估借款人的信用等级，帮助金融机构做出更明智的贷款 决策。
金融衍生品定价：实变函数论可以用于定价金融衍生品，如期权、期货等，为金融机构提 供更准确的定价模型。
在其他领域的应用
数学分析：实变函数论是数学分析的重要分支，在数学分析中有着广泛的应用。
实变函数在复分析中的应用
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实变函数在概率论中的应用
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实变函数在微分方程中的应用
在工程中的应用
实变函数在工程力学中的应用
实变函数在流体力学中的应用
实变函数在电气工程中的应用
实变函数在计算机科学中的应 用
在金融中的应用
风险度量和管理：实变函数论提供了一种量化风险的方法，帮助金融机构更好地管理风险。

目录1．数论的内容......... ... (3)2．实变函数论的特点......... (4)3．学习实变函数论的方法......... (5)4．本教材的特色处理之处......... (5)第一章集合论§１.１集合概念与运算......... (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题...... (25)第二章点集§２.１R n空间...... ... (26)§２.２几类特殊点和集......... (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积... (38)习题......... (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... ... (48)§３.３可测集的构造......... (55)习题......... (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... ...... (59)§４.２可测函数的结构......... (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算... (88)§５.４Fubini定理......... (93)习题......... (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数... (101)§６.２绝对连续函数......... (106)§６.３微分与积分......... (108)习题......... (112)附录1．不可测集......... (113)2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115)3.单调函数的可微性绪 论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。

An I n,m , I n,m
m 1 m 1


m An n 2
*
， An I n,m 且
n 1 n 1 m 1



I
n 1 m1


n,m
* * m An n m An ，于是 2 n1 n 1
，按 P 的作法，
1 3n
在进行第 n 次删去过程后，余下了 2n 个长度为
的闭区间，
故 x 必落入这 2n 个闭区间当中的一个，不妨记为
1 , x . U x, 任一y , d x, y n .因为接下去还要对 3
如此继续下去， 一般地，第 n 步是把第 n-1 步删去过程后余下的 2n 1 个闭区间 各自三等分，并各删去中间的开区间
I1n , I2n ,, I2n1 . n
令 G 为所有删去开区间的并，即
2 n 1 2 1 2 7 8 G , 2 , 2 2 , 2 Ik 3 3 3 3 3 3 n 1 k=1
注 3.设 F R1， 是非空有界闭集， F 中必有一最大点 F 则 （最 大数）和一最小点（最小数）.
P.45
§5 康托尔三分集
3 3
2 第一步： 把闭区间[0， 1]三等分， 删去中间的开区间 I11 1 ， ；
1 第二步：把余下的两个闭区间 0， ，2 ， 各自三等分，并各删 1 3 3 2 8 去中间的开区间 I1 2 12 ，2 ，I22 72 ，2 ； 3 3 3 3
P P ， P ).

问题2：给定一个集合，如何构造 问题2 给定 个集合 如何构造 一个集合，使其具有比给 个集合，使其具有比给 定集合更大的势?
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
定理9（i）假设M是由两个元素 p, q ( p q ) 作成 的元素序列全体，则 的元素序列 体，则 M C 。 （ii）若 Q 是可数集，则 Q 的子集全体所 构成的集合F有连续势 构成的集合F有连续势。
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
目的：掌握连续势及其基本性质，了解连 续连续势的性质。
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
一. 连续势的例 问题1：有限集或可数集的一切子集构 成的集具有大于该集的势，由 此我们可以作出何种猜测？
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
证明：略
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
二．不存在最大势
M 的一切子集 定理10 定理 10 设 M 是一集合，
所构成的集合记作

，则
M 。
定理10 说明不存在最大势。 说明不存在最大势
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
三． 进位表数法 三．P进位表数法 略

E φ 设 f ( x) = ci，任意 x∈ Ei ， i I Ej = （任 ∈ n 意 i ≠ j ）， = U Ei 。对每个 Ei，可以找到 E i=1 ε 闭集 Fi ⊂ Ei ，使 m(Ei − Fiε ) < ε / n ，令
Fε = UF ，则 Fε 仍是闭集，且
n i=1 ε i
基本内容： 一．一般集合上的连续函数 （1） 回忆闭区间上连续函数的性质。 最大最小值原理、介值定理、Weirstrass 定理 回忆前一章，对任意可测集E及任意 ε > 0可以找到闭集F ⊂ E ，使 m(E − F) < ε
第13讲 Lusin定理 13讲 Lusin定理
（见第二章§2定理3的证明）。因此，如 果函数序列{ fn ( x)}在E上几乎处处收敛到 f (x) ,且f (x)几乎处处有限，则我们可以 先利用Egoroff定理，找一个集合Eε ⊂ E, 使m(E − Eε ) < ε / 2，且 fn ( x)在Eδ上一致收 敛到 f (x)，然而再找闭集 Fε ⊂ Eε ，使 m(Eε − Fε ) < ε / 2， n ( x) 限制在 Fε 上当然 f
引理1 假设F ⊂ Rn是闭集，fn (x)是F上的连 续函数序列，且一致收敛到f (x)， f (x)在 则 F上连续。 证明：对任意 x，x0 ∈F ，由下列不等式 | f ( x) − f ( x0 ) |≤| f ( x) − fn ( x) | + | fn ( x) − fn ( x0 ) | + | fn ( x0 ) − f ( x0 ) |
第13讲 Lusin定理 13讲 Lusin定理
也是一致收敛到 f (x)的，并且 这说明，Egoroff定理（ii）中的Eδ 可以 取成闭集。假如我们已经定义了闭集上 的连续函数概念，便可以将数学分析中 有关闭区间上的边续函数及其序列的许 多结论搬到这里来。例如，闭集上一致 收敛的连续函数序列的极限应该也是连