八年级讲义反比例函数教师版

初二数学反比例函数讲义上课时间：20XX 年__月___日一、本节课知识点梳理1、反比例函数的概念2、反比例函数的图像及其性质3、反比例系数k 的意义及其实际应用二、重难点点拨教学重点：反比例函数图像及其性质教学难点：反比例函数k 的几何意义三、典型例题与分析知识点一：反比例函数概念一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=xk ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数）1、在下列函数中，反比例函数是（）A11x yB xy=0 CxkyD xy212、如果函数12m xy为反比例函数，则m 的值是（）A 、1 B 、0 C、21 D 、1知识点二：反比例函数的图象与性质注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

函数解析式正比例函数：y=kx(k ≠0)反比例函数：y=x k(k ≠0) 图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围图象位置（性质）当k ＞0时，经过象限当K ＜0时，经过象限当K ＞0时，在象限当K ＜0时，在象限性质当K ＞0时，y 随x 的增大而当K ＜0时，y 随x 的增大而当K ＞0时，在每一个象限内．．．．．．，y 随x 的增大而当K ＜0时，在每一个象限内。

．．．．．．．y 随x 的增大而（1）已知y=xk （k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)①若x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2②若x 1＜0＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是。

（2）已知y=xk （k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)①若x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2②若x 1＜0＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2③若x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是。

反比例函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.掌握反比例函数的意义2.了解k 的符号不同，反比例函数与图像对应的性质1.定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数。

x ky =还可以写成__________。

2.反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数___________.⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3.反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过______，断开的两个分支，延伸部分逐渐_______坐标轴，但是永远______________相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是______________）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为______。

4．反比例函数性质如下表：k 的取图像所在象函数的增减性值限ok>_______________在每个象限内，y值随x的增大而减小ok<二、四象限____________________________________5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky=中的两个变量必成反比例关系。

人教版初中八年级《反比例函数》说课稿范文（精选5篇）人教版初中八年级《反比例函数》范文篇1一、说教材1.内容分析：本节课是“反比例函数”的第一节课，是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想。

因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。

2.学情分析：对八年级学生来说，虽然他们已经对函数，正比例函数，一次函数的概念、图象、性质以及应用有所掌握，但他们面对新的一次函数时，还可能存在一些思维障碍，如学生不能准确地找出变量之间的自变量和因变量，以及如何从事例中领悟和总结出反比例函数的概念，因此，本节课的难点是理解和领悟反比例函数的概念。

二、说教学目标根据本人对《数学课程标准》的理解与分析，考虑学生已有的认知结构、心理特征，我把本课的目标定为：1.从现实的情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。

2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

三、说教法本节课从知识结构呈现的角度看，为了实现教学目标，我建立了“创设情境→建立模型→解释知识→应用知识”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成与发展的过程，也符合学生的认知规律。

于是，从教学内容的性质出发，我设计了如下的课堂结构：创设出电流、行程等情境问题让学生发现新知，把上述问题进行类比，导出概念，获得新知，最后总结评价、内化新知。

四、说学法我认为学生将实际问题转化成函数的能力是有限的，所以我借助多媒体辅助教学，指导学生通过类比、转化、直观形象的观察与演示，亲身经历函数模型的转化过程，为学生攻克难点创造条件，同时考虑到本课的重点是反比例函数概念的教学，也考虑到概念教学要从大量实际出发，通过事例帮助完成定义。

因此，我采用了“问题式探究法”的教法，利用多媒体设置丰富的问题情境，让学生的思维由问题开始，到问题深化，让学生的思维始终处于积极主动的状态，并随着问题的深入而跳跃。

讲义反比例函数(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除教师： 学生： 时间：一般地，形如ky x=(k 为常数，k 不等于零)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数或叫因变量，ky x=也可以写成:,.要点诠释： 1、y=k x 中分母x 的指数为1，如，2ky x =就不是反比例函数；2、y= k x()可以写成()的形式，自变量x 的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、y=k x()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式。

两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。

典例分析1．下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？思楷教育学生辅导讲义期末复习专题：反比例函数23y x =（ ）12y x -=（ ）1y x =（ ）31y x =-（ ）6xy =（ ）k y x=（ ） 32y x =（ ）4x y =（ ） 12y x -=（ ）11y x =-（ ） 11y x=- （ ） 2.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( ) A.()12x y -= B.12y x =- C.21y x = D.17y x=- 3.若函数()221ny n x -=-是反比例函数，则n 的值是 ( )A. ±1B. -1C. 1D. 2 4.已知函数2211k k y k x --=-（）是反比例函数,你知道k 的值是多少吗？5.已知函数()211m y m x -=-.请你探求当m 取何值时:(1)该函数是正比例函数 (2)该函数是反比例函数图象性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0.②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。

在每个象限内，y随x的增大而减小。

反比例函数知识点1反比例函数的概念一般地，形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．知识点2建立反比例函数的模型在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析，首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数解析式，建立反比例函数的数学模型．知识点3确定反比例函数的解析式求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式y＝kx(k≠0)中常数k的值，一般步骤是“设→列→解→答”．课堂检测(总分30分)1．(知识点1)(3分)下列函数中，表示y是x的反比例函数的是(D)A．y＝3x B．y＝a xC．y＝1x2D．y＝13x2．(知识点1)(3分)如果函数y＝x1－2m是反比例函数，则m的值是(D) A．－1 B．0C.12D．13．(知识点2)(3分)如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y关于x的函数解析式为(C)A．y＝10x B．y＝5xC．y＝20x D．y＝x204．(知识点3)(3分)点A(－2，5)在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，则k的值是(D)A．10 B．5C．－5 D．－105．(知识点2)(3分)近两年来，“共享单车”在全国大范围兴起，哈罗共享单车公司计划在某市投放10000辆单车，将这些单车平均投放到x个投放点，则每个点的投放量y与x的函数解析式为y＝10000 x．6．(知识点1、3)(7分)已知反比例函数y＝－3 2x.(1)说出这个函数的比例系数；(2)当x＝－10时，求函数y的值；(3)当y＝6时，求自变量x的值．解：(1)原函数可变形为y＝－32x，故比例系数为－32.(2)当x＝－10时，y＝－32×(－10)＝320.(3)当y＝6时，－32x＝6，解得x＝－14.7．(综合题)(8分)已知y与x＋2成反比例，且当x＝3时，y＝4.(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当y＝5时，求x的值．解：(1)由题意可设y＝kx＋2.∵当x＝3时，y＝4，∴k＝4×(3＋2)＝20，∴y＝20x＋2.(2)把y＝5代入y＝20x＋2中可得5＝20x＋2.解得x＝2.知识点1反比例函数的图象(1)反比例函数图象的画法：列表、描点、连线．(2)反比例函数图象的特点：①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；②双曲线的两个分支是断开的，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；③双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x或直线y＝－x)．知识点2反比例函数的性质(1)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、第三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小；(2)当k＜0时，两支曲线分别位于第二、第四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．课堂检测(总分30分)1．(知识点1)(3分)反比例函数y＝1x的图象是(D)A．线段B．直线C．抛物线D．双曲线2．(知识点1)(3分)下列图象中是反比例函数y＝－2x图象的是(C)3．(知识点2)(3分)关于反比例函数y＝－4x，下列说法正确的是(D)A．图象过点(2，－8)B．图象在第一、三象限C．当x>0时，y随x的增大而减小D．当x<0时，y随x的增大而增大4．(知识点2)(3分)(2019·广州)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(C)A．y3<y2<y1B．y2<y1<y3 C．y1<y3<y2D．y1<y2<y35．(知识点2)(3分)如图，它是反比例函数y＝m－5x图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是m＞5．6．(知识点1)(7分)请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝4x和y＝－4x的图象．解：如图所示.7．(综合题)(8分)已知函数y＝(k－1)xk2－5为反比例函数，其图象的一支如图所示．(1)求k的值；(2)当1≤x<3时，求y的取值范围．解：(1)由题意可得k2－5＝－1，解得k＝±2.∵图象的一支在第二象限，∴k－1<0，解得k<1，∴k＝－2.(2)由(1)可知k＝－2.∴反比例函数的解析式为y＝－3x.当x＝1时，y＝－3；当x＝3时，y＝－1.∵反比例函数y＝－3x的图象在第四象限y随x的增大而增大，∴当1≤x<3时，y的取值范围是－3≤y<－1.知识点1反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义过双曲线y＝kx上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于||k 2．知识点2反比例函数图象和性质的综合应用(1)交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数解析式联立成方程组求解．若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交点．(2)函数值大小比较：函数图象中处于上方的部分，函数值大，处于下方的部分，函数值小．(3)图象的对称性：反比例函数的图象关于原点成中心对称，常用来求点的坐标和图形的面积等．课堂检测(总分30分)1．(知识点1)(5分)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝kx(x>0)图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为(A)A．3 B．－3C.32D．－32第1题2．(知识点1)(5分)如图，点A为反比例函数y＝－4x图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(D)A．－4 B．4 C．－2 D．2第2题3．(知识点2)(5分)如图，反比例函数y1＝kx与一次函数y2＝ax＋b交于(4，2)，(－2，－4)两点，则使得y1<y2的x的取值范围是(D)A．－2<x<4B．x<－2或x>4 C．－2<x<0或0<x<4 D．－2<x<0或x>4第3题4．(知识点2)(5分)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x >0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x >0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( C )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第4题5．(综合题)(10分)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3kx (k >0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值．(2)若该反比例函数的图象与过点M (－2，0)的直线l ：y ＝kx ＋b 交于A ，B 两点，如图所示．当△ABO 的面积为163时，求直线l 的解析式． 解：(1)由题意知A (1，2)．把点A (1，2)的坐标代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝23. (2)把点M (－2，0)的坐标代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ，∴y ＝kx ＋2k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x ，y ＝kx ＋2k ，消去y ，得到x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或1，∴B (－3，－k )，A (1，3k )．∵△ABO 的面积为163，∴12×2×3k ＋12×2×k ＝163，解得k ＝43.∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋83.知识点反比例函数在日常生活中的应用利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审—审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；(2)设—根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示；(3)列—由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数；(4)写—写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；(5)解—用函数解析式去解决实际问题．课堂检测(总分30分)1．(4分)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均70千米/时的速度用了4个小时到达乙地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数解析式是(B)A．v＝280t B．v＝280 tC．v＝17.5t D．v＝17.5 t2．(4分)用规格为50cm×50cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺客厅，那么y与a之间的函数解析式为(A)A．y＝150000a2B．y＝150000aC．y＝150000a2D．y＝150000a3．(4分)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是(C)4．(4分)某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t小时，写出t与Q之间的函数解析式为t＝48 Q．5．(4分)市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量V(米3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方1000米3，则公司完成全部运输任务需40天．6．(10分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销．试销情况如表所示．第1天第2天第3天第4天售价x/(元/双)150200250300销售量y/双40302420(1)(2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元？解：(1)由表中数据得xy＝6000，∴y＝6000x，∴y是x的反比例函数，所求函数解析式为y＝6000x.(2)由题意得(x－120)y＝3000，把y＝6000x代入得(x－120)·6000x＝3000，解得x ＝240.经检验，x ＝240是原方程的根．∴若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为240元．知识点 反比例函数在跨学科问题中的应用(1)在物理学中，电压U 一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，其解析式为R ＝UI (U 为常数)； (2)气体质量m 一定时，密度ρ与体积V 成反比例函数，其解析式为ρ＝mV (m 为常数)； (3)压力F 一定时，压强p 与受力面积S 成反比例函数，其解析式为p ＝FS (F 为常数)．课堂检测(总分30分)1．(4分)物理学知识告诉我们，一个物体受到的压强p 与所受压力F 及受力面积S 之间的计算公式为p ＝FS .当一个物体所受压力为定值时，该物体所受压强p 与受力面积S 之间的关系用图象表示大致为( C )2．(4分)(2019·孝感)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200 N 和0.5 m ，则动力F (单位：N)关于动力臂l (单位：m)的函数解析式正确的是( B )A ．F ＝1200lB ．F ＝600l C ．F ＝500lD ．F ＝0.5l3．(4分)在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m (kg)的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变，ρ(kg/m 3)与V (m 3)在一定范围内满足ρ＝mV ，它的图象如图所示，则该气体的质量m 为( C )A ．1.4kgB ．5kgC ．7kgD ．6.4kg。

!"#$%&'()%*+*,-.'/-01234567!"#$%89:;<=>?@A4BC&!"#$%8<=8DA4EC&!"#$%FG H8IJKLMNOP1Q8*RSTUV,*R!"#$%8WXYZ[\M ]]一、 反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量 成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数．2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数．3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．x y xy k =ky x=k ky x=k 0k ¹k ky x=!"#$%&知识结构!"#$%&'()*+,-知识精讲内容分析【例1】 下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）A ．圆的面积和半径B ．矩形的面积一定，它的长与宽C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间D ．人的身高及体重【例2】 （1）已知：y 与x 成反比例，且时，，则它的函数解析式是_________;（2）已知y 与成反比例，且当时，，则当时，_________.【例3】 下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?（1）；（2）； （3）； （4）；（5）．【例4】 （1）如果是反比例函数，则k 的值是_________；（2）已知函数是反比例函数，则_________.【例5】 下列说法中正确的有（）个．（1） 当是反比例函数； （2） 如果成反比例； （3） 如果是反比例函数，则；（4） 如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例6】 已知某反比例函数，且当时，，当，求m 的值．1x =-2y =2x 2x =-14y =-13x =y =x 3xy =12y x -=1(0)y k kx=¹2xy =-21y x=+21(1)kk y k x --=-210(3)my m x -=-m =10k y kx¹=时，2213y y x x =，那么与211m y m x-=+-1m =±1x =2y =-3x y m =-=时例题解析【例7】 已知成反比例，且当，当时，y 的值．【例8】 已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的，设下底长为x ，高为y ，求y 关于x 的函数关系式并写出这个函数的定义域．【例9】 已知反比例函数的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离．【例10】 设，当时，，求的值．【例11】已知，若与成反比例，与成正比例，且当时，当时； （1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当时，x 的值．21y x +-与13x y =-=-时3x =12ky x=2280x x --=1212k ky y x x==和2x =121213y y y y +=-=，12k k 、122y y y =-1y x 2y 3x +1x =10y =1x =-2y =12y =二、 反比例函数的图像1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 三、 反比例函数的性质1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小．2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．【例12】（1）已知反比例函数图像在第二、四象限，则a 的取值范围是_______； （2）已知图像上有一点P （3，2），那么这个反比例函数的解析式为_________.【例13】已知反比例函数的图像经过经过点（1，），则这个函数解析式是______________；当＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【例14】当_______时函数是反比例函数，且当时，y 值随x 的值增大而减小．【例15】已知（3，4）是反比例函数图像上的一点，则函数图像必过点（）．A ．（2，）B ．（，2）C ．（3，）D ．（，）ky x=k 0k ¹0k >x y 0k <x y x y x y 2a y x-=(0)ky k x=¹(0)ky k x=¹2-x m =231(2)mm y m x --=-0x >221m m y x+-=6-6-4-3-4-知识精讲例题解析---!".$%&'()*/0123-【例16】（1）已知函数是反比例函数，则k 的取值范围是________； （2）已知反比例函数，点为其图像上的两点，若当，则k 的取值范围是___________．【例17】下列函数中，每个象限内y 的值随x 的增大而减小的有（ ）个 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例18】下列函数的图像上有三点A 、B 、C ，则、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【例19】（1）已知P （1，）在双曲线上，则双曲线的图像在第_______象限内，当x < 0时，y 的值随x 的减小而________；（2）设反比例函数时，函数的最大值是______________．【例20】（1）平面直角坐标系中，点A 在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式； （2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k 的值．y =1k y x+=1122()()x y x y ，、，12120x x y y <<>时，1135y x y x y y x x=-===-，，，21()a y a x--=是常数13y （-，）21y （-，）32y （，）1y 2y 3y 231y y y <<321y y y <<123y y y <<312y y y <<2+1m ky x=15510y x x -=-££，当(725)m m --，3k y x -=2(1)3y k x =-【例21】函数可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么?【难度】★★★【例22】已知反比例函数，当自变量x 的取值范围为时，相应的函数取值范围是，求这个反比例函数解析式．122(4)m y m m x+=+(0)ky k x =¹84x ££--12y ££--1师生总结1.反正比例函数的性质是什么？反比例函数和几何图形的综合【例23】已知反比例函数图像上有一点P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，如果△POH的面积为6，则反比例函数的解析式为_____________.【例24】如图，x 轴上一点C 的坐标是（-3，0）．点P 从原点出发，沿y 轴向上运动，过点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数的图像交于点A 、B ，在点P 从下向上移动过程中，三角形ABC 的面积（ ） A ．逐渐增大 B ．逐渐减小C ．保持不变D ．先增大，到一定程度后减小【例25】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线上，顶点B 在双曲线上，求矩形ABCD 的面积．42y y x x=-=和1y x=3y x=知识精讲例题解析AB DE OxyABCOPy!"4$%&'()*56-【例26】过原点作直线交双曲线于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1） 已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2） 若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【例27】正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F在函数的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16． （1） 求k 的值和直线OP 的函数解析式； （2） 求正方形ADEF 的边长．(0)ky k x=>(0)ky k x=>yAB CDOABPFOE【例28】如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数的图像上，点P （m ，n ）在的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ． （1） 求点B 的坐标； （2） 当时，求点P 的坐标； （3） 写出S 关于m 的函数解析式．(00)k y k x x =>>，(00)k y k x x=>>，92S =A BC PE FyOx【习题1】下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【习题2】 已知成反比例，当x =1时，y =3；当x =8时，y =________． 【习题3】（1）反比例函数的图像在第二、四象限，则m =________；（2）若反比例函数时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是____________． 【习题4】在函数图像上有三点，如果，试比较大小关系___________.【习题5】 反比例函数的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【习题6】作出反比例函数的图像，并根据图像解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的范围．【习题7】点在反比例函数(x ＞0)的图像上，且横坐标为2．若将点先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点．求在第一象限内，经过点的反比例函数图像的解析式．x 13y x =-4xy =15y x =-2(0)ay a a x =¹为常数，1y xp =21y x=1y x -与22(2)my m x -=-230k y x x-+=<，当(0)ky k x=>112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，1230x x x <<<123y y y ，，2121k y k x+=+-12y x=4x =y 2y =-x 2y >x P 1y x=P 'P 'P 随堂检测【习题8】已知函数，与成反比例，与成正比例，当时，；当时，，求当时，的值．【习题9】（1）若P 是反比例函数图像上的一点，PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，若，求k 的值；（2）已知反比例函数的图像上有一点A ，过A 点向轴，y 轴分别做垂线，垂足分别为点，且四边形的面积为15，求这个反比例函数解析式．【习题10】 如图，点A 、B 在 反比例函数的图像上，且A 、B 横坐标分别是a 、2a ．AC ⊥x 轴，垂足为C ，三角形AOC 的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小．12y y y =+1y x 2y (2)x -1x =1y =-3x =5y =6x =y 3ky x=2POQ s D =ky x=x B C ，ABOC (0)ky k x=>(0)a >12(2)a y a y (-，)、-，12y y ， A B G DEFCO xy【习题11】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点A ，AB ⊥x 轴于点B ，AB =6． （1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB 上是否存在点P ，使点P 到正比例函数直线OA 的距离等于点P 到点B 的距离?若存在，求点P 坐标，若不存在，请说明理由．【习题12】 已知反比例函数与正比例函数相交与点A ，点A 的坐标是（1，m ）． （1）求此正比例函数解析式； （2）若正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内相交与点B ，过点A 和点B 分别做x 轴的垂线，分别交x 轴与点C 和点D ，AC 和OB 相交与点P ，求梯形PCDB 的面积；（3）联结AB ，求面积．y =4y x=14y x =4y x=AOB DABOy【习题13】 如图，在反比例函数的图像上，有点，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x 轴和y 轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是的值． 【习题14】【作业1】判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积一定时，它的一条边长和这条边长上的高； （2）存煤量一定时，平均每天的用煤量与可用天数； （3）货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量；（4）车辆所行使的路程一定时，车轮的直径和车轮的旋转周数．【作业2】 已知反比例函数，当时，它的图像在第______象限． 【作业3】（1）已知函数，如果在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是______________； （2）如果双曲线位于第一，三象限，那么m 的取值范围是______________． 【作业4】已知点，在反比例函数图像上，当时，，求的取值范围．2(0)y x x=>1234P P P P ，，，123123S S S S S S ++，，，求S a h Q m t A a x S d n (0)ky k x =<0x <63k y x-=2m y x+=11()x y ，22()x y ，2k y x-=120x x >>12y y <k 课后作业123 4 yO【作业5】作出反比例函数的图像，结合图像回答： （1）当时，的值；（2）当时，的取值范围； （3）当时，的取值范围．【作业6】已知反比例函数的图像上有一点，过点向轴做垂线，垂足分别为点，且的面积为15，求这个反比例函数解析式．【作业7】已知函数，且为的反比例函数，为的正比例函数，且时，的值都是1．求关于的函数关系式．【作业8】在反比例函数的图像上有一点A ，它的横坐标和纵坐标是方程的两个根．求：（1）的值；（2）点到轴的距离； （3）点是否在该反比例函数图像上?xy 4-=2x =y 14x <£y 14y £<y ky x=A A xB AOB D 12y y y =-1y x 2y x 312x x =-=，y y x ky x=x y 290x -=k A y 1(27)3P -，【作业9】等腰直角的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴正半轴上，求点坐标．【作业10】 已知，如图点P 是双曲线上的一点，P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，P A 、PB 分别交双曲线于点D 、C ．求△PCD 的面积．【作业11】 如图已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（0，2）．双曲线经过点D ． （1） 求双曲线的函数解析式；（2） 将正方形ABCD 沿x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点C 正好落在双曲线上．POA !P 4y x=(0)x >A x A 24y x=11y x=(0)ky x x=> BCD OPyABCDEF Ox。

7-3-1反比例函数的图象及性质 讲义·教师版 page 1 of 17
一、反比例函数的定义
函数k y x
=
（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．
二、反比例函数的图象
反比例函数k y x
=
（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数k y x =与k y x
=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 三、反比例函数的性质
反比例函数k y x
=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；
当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数k y x
=
（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此， ①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． 知识点睛
中考要求
反比例函数的图象及性质（2）。

反比例函数(三)【例1】直线如图所示，已知菱形OABC,点。

在x轴上，直线_y=x经过点菱形。

4HC'的面积是71，若反比例函数的图象经过点位则此反比例函数表达式为。

【例2】如图，已知梯J^ABCO的底边/I。

在x轴上，BC//AO,ABLAO,过点C'的双曲线y =-交。

月于。

，且X()1) : DB=\ : 2,若△OHC的面积等于3,则A【例3】已知点(1, 3)在j =—(x>0)的图像上，正方形/HCDx的边ZJC'在x轴上，点E是对角线的中点，函数j=-(x>0)的图像又经过4、E两点,则点E的横坐标X为6【例4】如图，已知点4在双曲线J = -±,且。

4 = 4,过4作/1C丄x轴于G 0/1的垂直平分线交0C于8。

⑴则AAOC的面积=⑵AABC的周长为=【例5】如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2, -1),且P(-l, -2)为双曲线上的一点，0为坐标平面上一动点，B垂直于x轴，。

"垂直于丁轴，垂足分别是/!、Bo⑴写出正比例函数和反比例函数的关系式；【例6】我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形。

你可以利用这一结论解决问题。

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点。

逆时针旋转a度角后的图形。

若它与反比例函数y=^-的图象分别交于第一、三X象限的点"，D,已知点A(-m90)、C(m9 0)。

-X 【例5】⑵当点。

在直线沏。

上运动时，直线〃。

上是否存在这样的点0使得与△Q4P面积相等？如果存在，请求出点0的坐标，如果不存在，请说明理由；⑶如图，当点。

在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、0。

为邻边的平行四边形OPC0求平行四边形OPC0周长的最小值。

”，【例6】⑴直接判断并填写：不论a取何值，四边^ABCD的形状一定是—;⑵①当点乃为3, 1)时，四边形恤CD是矩形，试求p, a,和的值；②观察猜想：对①中的m值，能使四边形NHCQ为矩形的点B共有几个？(不必说理)⑶试探究：四边形/1KCQ能不能是菱形？若能，直接写出"点的坐标，若不能，说明理由。