三角形面积与二次函数

二次函数与三角形的面积问题二次函数与三角形的面积问题教学目标：1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。

2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。

教学重点和难点：1.运用公式S=水平宽×铅垂高/2；2.运用二次函数解析式；3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。

教学过程：类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求：1）抛物线解析式；2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

解题思路：求出函数解析式y=ax²+bx+c；写出下列点的坐标：A(x1.0)；B(x2.0)；C(0.c)；求出下列线段的长：AO=BO=|c|；AB=|x1-x2|；OC=|c|。

求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。

变式训练1.如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于两点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，与y轴负半轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、B两点间的距离为4，且△ABC的面积为6.1）求点A和B的坐标；2）求此抛物线的解析式；3）求四边形ACPB的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。

（歪歪三角形拦腰来一刀）关于S=水平宽×铅垂高/2的知识点：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。

二次函数与三角形面积的综合寻找类1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。

能应对这部分题的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。

尤其是遇到二次函数与三角形面积的综合题的解题思路。

运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在不在二次函数的图像上。

这些都是在考试中容易失分的地方。

4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运用。

这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。

掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。

而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。

5.求面积常用的方法a.直接法b。

简单的组合c。

面积不变同底等高或等底等高的转换d.相似e.三角函数f。

找面积的最大最小值利用二次函数的性质（1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。

此题中的三角形的面积就能直接求出。

（2）通过简单的重新组合就能求出面积。

第6题（2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法二次函数是一种广泛应用于数学解题中的重要运算工具，有时需要根据给定的几何图形求解相关表达式，比如求出三角形的面积。

三角形面积问题在很多学科中都有着广泛的应用，下面将介绍三种求解三角形面积的方法，这三种方法均基于二次函数的概念。

第一种求解三角形面积的方法是通过使用二次函数的半径求解。

首先，根据给定的三角形边长，使用勾股定理求出该三角形的半径，然后用半径公式计算出三角形的面积，半径公式为πr/2，其中π是常数3.14159。

这种方法的优点是简单易行，只需要掌握勾股定理和半径公式即可求解三角形的面积。

第二种求解三角形面积的方法是使用三角函数求解。

有些三角形的边长有着特殊的关系，可以使用三角函数求出三角形的面积。

举例来说，如果某三角形的三条边长分别为a,b,c，那么可以使用以下公式求出此三角形的面积：S= a*b*sin(c)/2。

这种方法的优点是可以准确求出三角形的面积，但是要掌握的知识比较多，需要熟练掌握三角函数的概念。

第三种求解三角形面积的方法是使用二次函数求解。

如果给定三角形的三条边长都可以用二次函数表示，那么可以使用椭圆公式求解三角形的面积。

椭圆公式为S=∫ab√(f(x))dx，其中f(x)表示三角形边长可以表示为二次函数的表达式，a,b表示积分下限和上限。

这种方法的优点是准确度高，但使用难度也比较大，需要掌握椭圆公式和二次函数的概念。

以上就是介绍了三种求解三角形面积的方法。

不同的求解方法都有各自的优势和局限性，在不同场景下要根据实际情况选择合适的求解方法，使用二次函数可以有效地求出三角形的面积。

∙∙∙∙初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。

如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合，就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习，以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想，让学生学会自主思考问题的过程。

二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。

求面积常用的方法：（1）直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。

（2）简单的组合，解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。

（3）面积不变同底等高或等底等高的转换，利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。

（4）如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”. 可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

三、试题讲解过程如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，－4）三点.（1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 是该抛物线上一动点，且在第四象限，当∆面积最大时，求点D 的坐标.解:（1）解法一: 由题意得，c=－4, ∴⎩⎨⎧=-+=--0441604b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==31b a , ∴=x y 解法二: 由题意得，设y=a （x+1）（x-4）, ∴∴y=（x+1）（x-4）, ∴432--=x x y ,（2）解法一:由（1）可知，y=x 2－3x －4,设点D 为（x, x 2－3x －4）,过点D 作DE ∥OC 交BC 设直线BC 的解析式为y=kx ＋b,则∙∙∙⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4, ∴E （x, x －4）∴DE=（x －4）－（x 2－3x －4）= －x 2＋4x,∵a=－1＜0, ∴当x=2时, DE 取最大值，S △BCD 解法二：由（1）可知，y=x 2－3x －4, 设点D 为（x,y ）,过点D 作DF ⊥OB 于点F,S △BCD =S 梯形OCDF ＋S △BDF －S △OBC=21x （4-y ）＋21（-y ）（4-x ）－8 =2x －2y －8=2x －2（x 2－3x －4）－8=－2x 2＋8x,∵a=－2＜0, ∴当x=2时, S △BCD 取最大值，∴D （2,－6解法三:由（1）可知，y=x 2－3x －4, 过点D 作DE ∥设直线BC 的解析式为y=kx ＋b, 则⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4,∴设直线DE 的解析式为y=x ＋d,则x 2－3x －4=x ＋d, x 2∴当△=（-4）2-4（-4-d ）=0, d=-8, S △BCD 取最大值， ∴x 2－4x ＋4=0, ∴（x-2）2=0, ∴x 1=x 2=2, ∴D （2,－6）. 四、试题的拓展延伸及变式分析如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，3）三点.（1）若点D 是抛物线的对称轴上一点，当ACD ∆求点D 的坐标；（2）在（1）的情况下，抛物线上是否存在除点A 得PCD ∆ 的面积与ACD ∆P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3∴抛物线的对称轴l 是x=231+=2， ∵△ACD 的周长=AD+AC+CD, AC 是定值， ∴当AD+CD 最小时，△ACD 的周长最小，∵点A 、点B 关于对称轴l 对称，∴连接BC 交l 于点D ，即点D 为所求的点, 设直线BC 的解析式为n kx y +=，∴ ⎩⎨⎧=+=033n k n ，∴⎩⎨⎧=-=31n k ,∴直线BC 的解析式为3+-=x y ，∙∙当x=2时，y=-x+3=-2+3=1，∴点D 的坐标是（2，1）.（2）解：由（1）可知，∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3，0），C （0，3）三点，∴c=3, ∴⎩⎨⎧=++=++033903b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==41b a ,∴342+-=x x y ,解法一：如图，①过点A 作AP 1∥CD 交抛物线于点P 1，∴设直线AP 1的解析式为d x y +-=， ∴∴d=1,∴直线AP 1的解析式为1+-=x y ， 解方程1+-x =342+-x x ，（x-1）（x-2）∴x 1=1, x 2=2,当x 1=1时，11+-=x y =0当x 2=2时，12+-=x y =-1，∴点P 1②设直线AP 1交y 轴于点E （0，1）把直线BC 向上平移2个单位交抛物线于P 2得直线P 2P 3的解析式为5+-=x y ，解方程5+-x =342+-x x ， x 2－3x －2=0,∴x 3=2173+, x 4=2173-, 当x 3=2173+时，53+-=x y =2177-， 当x 4=2173-时，54+-=x y =2177+， ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 解法二：如图,过A 点作AE∥y 轴，交BC 于点E ．则E 点的纵坐标为231=+-．∴ AE＝2． 设点P 为（n ，342+-n n ），过P 点作PF∥y 轴，交BC 于点F ，则点F 为（n ，n -3），PF∥AE． 若PF ＝AE ，则△PCD 与△ACD 的面积相等．∙∙①若P 点在直线BC 的下方，则PF ＝（n -3）-（342+-n n ）=n 2-∴n n 32+-=2．解得21=n ，12=n ．当2=n 时，3-n-2∴P 1点坐标为（2，-1）． 同理 当1=n 时，P 点坐标为（1，0）（不合题意，舍去）．②若P 点在直线BC 的上方，则PF=（342+-n n ）-（n -3）=n n 32-∴232=-n n ．解得21733+=n ，4=n 当21733+=n 时，P 点的纵坐标为2177221733-=++-； 当21734-=n 时，P 点的纵坐标为2177221733+=+--． ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因；（2）识别图形的形状；（3）找出图形的计算方法。

初中数学二次函数动点三角形最大面积同课异构美篇摘要：1.二次函数与三角形面积的关系2.动点在二次函数上的三角形面积求解方法3.同课异构美的应用正文：在初中数学中，二次函数是一个重要的知识点，它与三角形面积有着密切的关系。

当动点在二次函数上时，如何求解三角形的最大面积呢？接下来，我们将通过同课异构美的方法来探讨这个问题。

首先，我们需要了解二次函数与三角形面积的关系。

在平面直角坐标系中，二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠0）与x 轴交于两点A、B，与y 轴交于一点C。

假设动点P 在二次函数上，并与x 轴、y 轴分别相交于点M、N。

此时，我们可以通过计算三角形AMN 的面积来求解动点在二次函数上的三角形最大面积。

其次，我们需要探讨动点在二次函数上的三角形面积求解方法。

根据题意，我们可以设动点P 的坐标为(x, ax^2 + bx + c)，其中x 为自变量，y 为因变量。

由于P 点在二次函数上，因此满足y = ax^2 + bx + c。

同时，根据题意可知，M 点的坐标为(x, 0)，N 点的坐标为(0, c)。

根据三角形面积公式S = 1/2 ×底×高，我们可以计算出三角形AMN 的面积为S = 1/2 ×|x| ×|ax^2 + bx + c - 0|。

为了求解最大面积，我们需要对S 进行求导。

将S 带入公式得S" = 1/2 ×a ×|2x^2 + bx + c|。

令S" = 0，我们可以得到两个解：x = 0 和x = -b/2a。

由于x = 0 时，三角形退化为一条直线，因此我们只考虑x = -b/2a 的情况。

将x 带入S 的公式中，我们可以得到最大面积Smax = 1/2 ×|-b/2a| ×|4a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + c| = 1/8 ×|b^2 - 4ac|。

二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。

具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。

通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。

同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。

首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。

二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。

二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。

现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。

假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。

首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。

这可以通过使用求根公式来进行计算。

根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。

假设我们求解得到了两个根，x1和x2。

接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。

根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。

因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。

接下来，我们需要确定三角形的高。

为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。

二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。

通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。

二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。

本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。

一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。

其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。

二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。

2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。

3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。

4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。

二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。

此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。

2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。

正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。

三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。

此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。

以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。