2020版高中数学课时作业15概率的意义新

2019-2020年高中数学第一章概率与统计(第3课)离散型随机变量的期望与方差(1)教案湘教版选修2教学目的：1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ6. 分布列的两个性质：⑴P i≥0，i＝1，2，...；⑵P1+P2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．为参数，并记＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为、事件A 不发生记为，P()=p ，P()=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====（k ＝0,1,2,…， ）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g (k ，p )= ，其中k ＝0,1,2,…， ． 二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布在次射击之前，可以根据这个分布列估计次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有 次得4环； 次得5环；………… 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为，从而，预计n 次射击的平均环数约为．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:…．1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 …… 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 期望的一个性质:若(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变＝……)……) ＝，由此，我们得到了期望的一个性质:5.若ξB （n,p ），则E ξ=np 证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k ×＋…＋n ×． 又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ ＋＋…＋＋…＋．故 若ξ～B (n ，p )，则np ． 三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望 解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：（=1，2， (10)35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B （20,0.9）,,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例5．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为所以1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6× ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值． 例6．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望． 解：⑴因为，，所以 1×＋0×⑵η的概率分布为所以 0×＋1×＋2×＝1.4．所以 0×＋1×＋2×＝2.1.3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．∴P(ξ=k)=P n(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．∴ξ～B(n,)，故Eξ =n×=五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np六、课后作业：1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）于是 E故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数①求的概率分布列②求的数学期望解：①依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取2黑 p(=0)==1时，取1黑1白 p(=1)==2时，取2白或1红1黑p(=2)= +=3时，取1白1红，概率p(=3)= =4时，取2∴分布列为（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3） 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(=1)=p(A 1··)+ p(·A 2·)+ p(··A 3)=p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(=2)=p(A 1· A 2·)+ p(A 1··)+ p(·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3p(=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.22.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. 、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，（1）求，的概率分布； （2）求，解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知，所以()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为,所以七、板书设计（略） 八、课后记：2019-2020年高中数学 第一章 概率与统计(第4课)离散型随机变量的期望与方差(2)教案 湘教版选修2教学目的：1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.分布列:6. 分布列的两个性质：⑴i≥0，＝1，2，...；⑵1+2+ (1)7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．8.9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称……10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质:13.若ξB （n,p ），则E ξ=np 二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么, ＝＋＋…＋＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若ξ～B (n ，p )，则np (1-p ) 4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）121-n D 21n E 2=ξ+=ξ离散型随机变量的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； =0.04, .点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）；同理有由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例4．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2 ×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则的值分别是（ ）A ．；B ．；C ．；D ．答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）=当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）=当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ 答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业：1.设～B(n 、p)且E=12 D=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np D= np （1－p ）∴ ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n 2.已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b (2；6，)解：p(=2)=c 62()2()43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1a=0.30.3+0.3+b=1a=0.4∴E=2.3 , E=2.0D=0.81 , D=0.6七、板书设计（略）八、课后记：。

2021年高中数学课时作业16第三章概率3.1.3概率的基本性质新人教A版必修P (A 1)＝0.16，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.3，P (A 4)＝0.1，P (B )＝0.04.(1)至多2人排队等候的概率为P ＝P (A 0∪A 1∪A 2)＝P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56(2)至少3人排队等候的概率为P ＝1－P (A 0∪A 1∪A 2)＝1－0.56＝0.44.10．(衡水高三调研)某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．解析：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知，A 2，A 3，A 4彼此互斥，所以P (A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.又因为A 1与A 2∪A 3∪A 4互为对立事件，所以P (A 1)＝1－P (A 2∪A 3∪A 4)＝1－0.76＝0.24.因为A 1与A 2互斥，且A ＝A 1∪A 2，所以P (A )＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.24＋0.28＝0.52.|能力提升|(20分钟，40分)11．如果事件A ，B 互斥，记A －，B －分别为事件A ，B 的对立事件，那么( )A ．A ∪B 是必然事件B.A －∪B －是必然事件C.A －与B －一定互斥D.A －与B －一定不互斥解析：用Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示，A －∪B －是必然事件，故选B.答案：B12．(太原高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝________.解析：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A ∪B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4故P (A ∪B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23. 答案：2313．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解析：(1)因为每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，所以P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.。

人教版五年级数学下册概率的意义和性质
知识点
一、概率的意义
概率是描述事件发生可能性的一种数值。

在数学中，概率是用
来衡量随机事件发生的可能性大小的。

它既可以是一个介于0和1
之间的实数，也可以表示为一个百分比。

二、概率的性质
1. 概率值的范围：概率的值始终处于0和1之间，包括0和1。

当一个事件不可能发生时，概率为0；当一个事件必然发生时，概
率为1。

2. 概率的互斥性：对于两个互斥事件（即两个事件不能同时发生），它们的概率之和等于它们分别的概率之和。

即，如果事件A
和事件B是互斥事件，则P(A或B) = P(A) + P(B)。

3. 概率的加法法则：对于两个事件A和B，它们的概率之和减
去它们的交集的概率等于它们的并集的概率。

即，P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。

4. 概率的乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

即，P(A且B) = P(A) x
P(B)。

三、举例说明
例如，掷一枚硬币的正面朝上的概率为1/2，因为硬币只有两个可能的结果：正面或反面，且两种结果的可能性相等。

又如，从一副标准扑克牌中抽出一张红桃的概率为1/4，因为一副扑克牌中共有52张牌，其中有13张红桃牌。

四、应用
概率在日常生活中有着广泛的应用，比如天气预报、赌博、产品质量控制等。

通过研究概率，我们可以更好地理解随机事件的可能性和规律，从而做出合理的判断和决策。

以上是人教版五年级数学下册概率的意义和性质的知识点。

希望对您有所帮助！。

人教版数学九年级上册25.1.2《概率的意义》说课稿一. 教材分析《概率的意义》是人教版数学九年级上册第25章第1节的一部分，本节课的主要内容是让学生理解概率的定义，掌握概率的基本性质和运算方法。

教材通过具体的例子让学生体会概率在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学概念和运算方法有一定的了解。

但是，对于概率这一概念，学生可能比较陌生，难以理解其本质和应用。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出概率模型，培养学生的抽象思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解概率的定义，掌握概率的基本性质和运算方法，能解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法目标：通过具体的例子，让学生体会概率在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对概率学习的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：概率的定义，概率的基本性质和运算方法。

2.教学难点：概率的本质理解，如何从实际问题中抽象出概率模型。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子引导学生理解概率的概念，运用概率的知识解决实际问题。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示具体的例子和概率运算过程，帮助学生形象地理解概率的概念。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的摸球游戏，引导学生思考概率的概念。

2.讲解概率的定义：解释概率的概念，让学生理解概率的本质。

3.讲解概率的基本性质：介绍概率的基本性质，让学生掌握概率的运算方法。

4.应用举例：通过具体的例子，让学生运用概率的知识解决实际问题。

5.课堂练习：布置一些简单的练习题，巩固学生对概率知识的掌握。

6.总结与反思：让学生总结本节课所学的内容，反思自己在学习过程中的收获和不足。

七. 说板书设计板书设计如下：1.概率的定义：反映事件A发生的可能性。

第二章一、选择题(每小题分，共分)．已知ξ的分布列为：则(ξ)的值为( )解析：(ξ)＝×＋×＋×＋×＝，(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.故选.答案：．设一随机试验的结果只有和且()＝，令随机变量ξ＝(\\(，发生，不发生))，则ξ的方差(ξ)等于( ) ．．(－)．(－) ．(－)解析：依题意ξ服从两点分布，则(ξ)＝(－)，故选.答案：．已知随机变量ξ的分布列为(ξ＝)＝，＝，则(ξ＋)等于( )．．．．解析：(ξ)＝(＋＋)×＝，(ξ)＝[(－)＋(－)＋(－)]＝，所以(ξ＋)＝(ξ)＝×＝.故选.答案：．由以往的统计资料表明，甲、乙两位运动员在比赛中得分情况为：．甲．乙．甲、乙均可．无法确定解析：(ξ)＝(ξ)＝，(ξ)＝×＋×＋×＝，(ξ)＝×＋×＋×＝，∴(ξ)<(ξ)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．(·北京市东城区下学期高二期末测试)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日误差分别为，(单位：)，其分布列如下：解析：()＝()＝，()＝，()＝，∵()<()，∴甲质量好．答案：甲．已知随机变量ξ～(，)，且(ξ)＝，则(ξ)＝.解析：由题意知(ξ)＝＝×＝得＝，∴(ξ)＝(－)＝××＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知随机变量的分布列为：试求()和(－)．解析：()＝×＋×＋×＋×＋×＝.所以()＝(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＝.－的分布列为：。

第三章概率一、课时学习目标知识与技能1、掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。

2、正确理解事件A出现的频率的意义。

3、正确理解概率的概率和意义，明确事件A发生的频率f n〔A〕与事件A发生的概率P〔A〕的区别与联系。

4、利用概率知识，正确理解现实生活中的实际问题。

过程与方法通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据的过程，培养探索、归纳的能力和自主学习的能力。

情感、态度与价值观1、通过自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系。

2、培养辩证唯物主义观点，增强科学意识。

二、课前预习导学请同学们阅读P108—112，完成以下问题1、事件的有关概念〔1〕必然条件：在条件S下，_________会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；〔2〕不可能事件：在条件S下，__________会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；〔3〕确定事件：__________事件与___________事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件；〔4〕随机事件：在条件S下，___________的事件叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。

〔5〕_________事件与________事件统称为事件，一般用________表示。

2、概率与频率〔1〕频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_________，称事件A出现的比例fn〔A〕=nAn为事件A出现的__________，显然频率的取值X围是____________。

〔2〕概率：在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率如果逐渐________在区间［0，1］中的某个______上，这个便称为事件A的概率，用P〔A〕表示，显示概率的取值X围是［0，1］，且不可能事件的概率为_________，必然事件的概率为___________。

课时作业(十五)．已知：①某机场候机室中一天的旅客数量；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某篮球下降过程中离地面的距离；④某立交桥一天经过的车辆数.其中不是离散型随机变量的是( )．①中的．②中的．③中的．④中的答案解析①②④中的随机变量可能的取值都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故③中的不是离散型随机变量．．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是( )．将一枚硬币连抛次，正面向上的次数．从名男生、名女生共名学生干部中选出名优秀学生干部，选出女生的人数为．某射手的命中率为，现对目标射击次，记命中目标的次数为．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数答案解析根据超几何分布的概率可知选项正确．．给出下列、、、四个表，其中能作为随机变量ξ的分布列的是( )....答案．一个人有把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数ξ为随机变量，则(ξ＝)等于( )答案解析ξ＝表示第次恰好打开，前次没有打开，∴(ξ＝)＝＝.．设随机变量等可能取值，…，，如果(ξ<)＝，那么的值为( )．．．．不能确定答案解析由条件知(ξ＝)＝(＝，…，)，所以(ξ<)＝×＝，得＝.．(·顺义高二检测)一批产品共件，其中件次品，件正品，从这批产品中任抽两件，则出现件次品的概率为( )．以上都不对答案解析(＝)＝＝＝.．(·太原高二检测)已知随机变量的分布列为(＝)＝，＝，…，则(<≤)＝( )答案解析(<≤)＝(＝)＋(＝)＝＋＝.．已知甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取个球．设ξ为取出的个球中红球的个数，则(ξ＝)＝.答案解析ξ可能取的值为，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，∴(ξ＝)＝－(ξ＝)－(ξ＝)－(ξ＝)＝－－－＝..。

10.3 频率与概率[目标] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2.了解概率的意义以及频率与概率的区别；3.学会用随机模拟法估计概率．[重点] 随机事件的不确定性和频率的稳定性． [难点] 频率与概率的区别．要点整合夯基础知识点一 频率与概率[填一填]1．频率的稳定性大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐稳定于事件A 发生的概率P (A )．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率f n (A )估计概率P (A )．2．频率与概率的区别与联系(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n 次试验中发生了n A 次，当试验次数n 很大时，就将n An 作为事件A 发生的概率的近似值，即P (A )＝n An.(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A 的概率P (A )总介于0和1之间，即0≤P (A )≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.[答一答]1．小明说：“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5次”，这种说法对吗？ 提示：不正确．因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面向上的次数．知识点二 随机模拟[填一填]1．随机模拟产生的原因用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现． 2．随机模拟的方法利用计算器或计算软件产生随机数(根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验)．[答一答]2．用计算机或计算器模拟试验(蒙特卡洛法)的步骤是什么？提示：①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； ②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值.典例讲练破题型类型一 频率与概率的理解[例1] (1)请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其他同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？(2)历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：抛掷次数 正面向上的次数正面向上的比例2 048 1 061 0.518 1 4 040 2 048 0.506 9 12 0006 0190.501 6(续表)(3)在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？(4)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？(5)在相同条件下，事件A 在先后两次试验中发生的频率f n (A )是否一定相等？事件A 在先后两次试验中发生的概率P (A )是否一定相等？[解] (1)通过实际比较可知一致的可能性小，因为抛掷硬币是随机事件，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一致的可能性比较小．(2)当试验次数很多时，出现正面的比例在0.5附近摆动．(3)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(4)事件A 发生的频率趋于稳定，在某个常数附近摆动．(5)频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A 发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．[变式训练1] 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：(续表)得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8645≈0.012.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：(1)A＝“90分以上”，则P(A)≈0.067；(2)B＝“60分～69分”，则P(B)≈0.140；(3)C＝“60分以上”，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.类型二利用频率估计概率[例2]下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.[分析]先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．[解]由f n(A)＝mn可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.[变式训练2] 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数m2 8834 9706 9948 892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？解：(1)计算mn 即得男婴出生的频率依次约是0.520 0,0.517 3, 0.517 3,0.517 3.(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.类型三 利用随机模拟法估计概率[例3] 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15[解析] 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为520＝14＝0.25.[答案] B用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三个方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n 个随机数表示时，要把n 个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.[变式训练3] 已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为( A ) A.34 B.15 C.14 D.45解析：∵4次射击中有2次及以上未击中目标的有：7140,1417,0371, 6011,7610，∴所求概率为1－520＝34.课堂达标练经典1．有下列两个命题：(1)抛掷100次硬币，出现正面朝上的频率为0.4，则硬币正面向上的次数为40次； (2)若一批产品的次品率为0.1，则此该产品中随机抽取100件，一定会有10件次品． 以下判断正确的是( C ) A ．(1)错；(2)错 B ．(1)错；(2)正确 C ．(1)正确；(2)错D ．(1)正确；(2)正确解析：在命题(1)中，根据题设条件可直接求得硬币正面向上的此时为40次，故(1)正确．在命题(2)中次品率为0.1，不等于100件产品中一定有10件次品，故(2)是错误的，故应选C.2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( C )A ．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖B ．这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元C ．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001D ．以上说法都不正确解析：摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10(元)，因此选C.3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( B )A ．概率为45B ．频率为45C ．频率为8D ．概率接近于8解析：做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为mn .如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率．故810＝45为事件A 的频率．4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，某部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，其余6个数字表示不下雨．产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天降雨的概率约为14.解析：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,393，共有5组随机数，∴概率约为520＝14.5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.(1)请完成上述表格(保留3位小数)；(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？解：(1)填表如下：(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.——本课须掌握的三大问题1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大．3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.。

10．2 事件的相互独立性问题导学预习教材P247～P249的内容，思考以下问题： 1．事件的相互独立性的定义是什么？ 2．相互独立事件有哪些性质？3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ■名师点拨 (1)必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立． (2)事件A ，B 相互独立的充要条件是P(AB )＝P (A )·P (B )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A 表示“第一次为正面”，B 表示“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数为偶数”D ．A 表示“一个灯泡能用1 000小时”，B 表示“一个灯泡能用2 000小时” 答案：A甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．答案：0.56一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．答案：(1－a )(1－b )相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．【解】 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )， 所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．判断两个事件是否相互独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子P (AB )＝P (A )P (B )来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A ，B 相互独立，这是定量判断.1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第一枚为正面”，事件B 是“第二枚为正面”，事件C 是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)①A ，B ；②A ，C ；③B ，C .解析：根据事件相互独立的定义判断，只要P (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P (B )P (C )成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (AC )＝0.25，P (BC )＝0.25.可以验证P (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P (B )P (C )．所以根据事件相互独立的定义，事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．答案：①②③2．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A 为“抽得K ”，记事件B 为“抽得红牌”，记事件C 为“抽得J ”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1)A 与B ； (2)C 与A .解：(1)P (A )＝452＝113，P (B )＝2652＝12.事件AB 即为“既抽得K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此事件A 与B 相互独立．(2)事件A 与事件C 是互斥的，因此事件A 与C 不是相互独立事件．相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件． 则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9， 所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P 2＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率． 解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C )＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)． 解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么： (1)A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B . (2)A ，B 都发生为事件AB . (3)A ，B 都不发生为事件A －B －.(4)A ，B 恰有一个发生为事件A B －＋A －B .(5)A ，B 中至多有一个发生为事件A B －＋A －B ＋A － B －. 它们之间的概率关系如表所示：甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多有1个人译出密码的概率； (4)恰有1个人译出密码的概率； (5)至少有1个人译出密码的概率．解：记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”， 所以至多1个人译出密码的概率为 1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.(4)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为 P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”， 所以至少有1个人译出密码的概率为 1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．【解】 (1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.(2)P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316.概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164 B.5564 C.18D.116解析：选B.设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 中至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝5564.,1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49 B.29 C.23D.13解析：选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.2．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A － B －)＝________．解析：因为P (A )＝12，P (B )＝23.所以P (A －)＝12，P (B －)＝13.所以P (A B －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16，P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.答案：16 163．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－ A 2＋A 1－A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310.[A 基础达标]1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立的事件解析：选D.因为P (A 1)＝35，若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，所以A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，所以A 1与A 2不是相互独立事件．2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )A ．0.2B ．0.8C ．0.4D ．0.3解析：选D.由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P ＝0.6×0.5＝0.3，故选D.3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A.12B.13C.23D.34解析：选B.因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B .4．(2019·重庆检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827解析：选A.由已知得逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13，则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.5．有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) A ．1 B.14 C.1124 D.1724解析：选C.一道数学难题，恰有一人解出，包括： ①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14；②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18；③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.267．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析：设“开关a ，b ，c 闭合”分别为事件A ，B ，C ，则灯亮这一事件为ABC ∪AB C －∪A B －C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C －，A B － C 相互独立，ABC ，AB C －，A B － C 互斥，所以P ＝P (ABC )＋P (AB C －)＋P (A B －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＝12×12×12＋12×12×⎝⎛⎭⎫1－12＋12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝38. 答案：388．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________． 解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23， 停车一次为事件(A －BC )∪(A B －C )∪(AB C －)，故其概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎫1－23＝718. 答案：7189．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两互相独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A － B － C －表示，P (A － B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A －BC )∪(A B －C )∪(AB C －)表示．由于事件A －BC ，A B －C 和AB C －两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13. 设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率为P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512. 综合(1)(2)(3)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．[B 能力提升]11．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )A.5960B.35C.12D.160解析：选B.“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A －)＝23，P (B －)＝34，P (C －)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝23×34×45＝25，所以至少有1人回老家过节的概率P ＝1－25＝35. 12．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14解析：选C.记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P (C －)P (D －)[1－P (AB )]＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316. 13．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B －C )＝18，P (AB C －)＝18，则P (B )＝________，P (A －B )＝________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）·P （B ）＝16，P （B －）·P （C ）＝18，P （A ）·P （B ）·P （C －）＝18， 解得P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝14， 所以P (A －B )＝P (A －)·P (B )＝23×12＝13. 答案：12 1314．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－45)×56×23＝19， 所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为(1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990. [C 拓展探索]15．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率．解：记“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B .“两人都击中目标”是事件AB ；“恰有1人击中目标”是A B －∪A －B ；“至少有1人击中目标”是AB ∪A B －∪A －B .(1)“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB ，又由于事件A 与B 相互独立． 所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.8＝0.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A B －)，另一种是甲未击中乙击中(即A －B )．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A B －与A －B 是互斥的，所以所求概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)×P (A －)·P (B )＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P ＝P (AB )＋[P (A B －)＋P (A －B )]＝0.64＋0.32＝0.96.。